1. TENDLER: 1. Grobaufbau und prinzipielle Überlegungen
2. TENDLER: 2. Benutzung des Programmes
3. TENDLER: 3. Der Prädiktor
4. TENDLER: 4. Die Korrektoriteration
5. TENDLER: 5. Die Fehlerkontrolle

Inhalt.

• 1. Prinzipien der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung
• 2. Die Schrittweitensteuerung im Programm TENDLER
• 3. Die Idee des Shampine-Testes
• 4. Der Shampine-Test im Programm TENDLER
• 5. Die Auswahl der Ordnung im Programm TENDLER
• 6. Die beiden Sperren wait[] und problem im Programm TENDLER
• 7. Die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung im Programm DE/STEP

For general use, linear multistep formulas are of little value without a means of selecting values of the step size $h$ and method order $q$ for which the method is reasonably accurate and efficient. The algorithm for doing this constitute a major distinction between modern ODE software and its obsolete counterparts. These algorithms are the result of considerable research and development efforts, which are still continuing, and their impact on the accuracy and economy achievable with modern ODE codes is often quite dramatic.

G.D. Byrne, A.C. Hindmarsh (1987)

Hier wird sowohl die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung in dem Programm TENDLER als auch in dem Programm DE/STEP beschrieben. Die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung in dem Programm TENDLER wird nach dem Durchlaufen aller Stufen ausgeführt. Die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung wählt eine passende Schrittweite $h$ und Ordnung $p$ für den nächsten Zyklus aus. Hierduch wird versucht, sowohl den geforderten Genauigkeitswünschen des Benutzers zu entsprechen, als auch die Rechenzeit klein zu halten. Es wird auch der Shampine-Test beschrieben, der dazu dient, zu erkennen, ob eine Differentialgleichung nun im Ganzen gesehen als steif oder als nicht-steif zu klassifizieren ist. Besondere Bedeutung kommt zwei Variablen zu, die nicht nur alleine in der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung gesetzt werden, sondern auch von der Korrektoriteration mit gesteuert werden. Ihren Einfluß entfalten sie jedoch erst in dem Schrittweiten- und Ordnungssteuerungssegment. Auf alternative Zugänge zu den Betrachtungen in dem Schrittweiten- und Ordnungssteuerungssegment wird hingewiesen. Grundlegende Prinzipien, wie sie in gängigen Programmen basierend auf linearen Mehrschrittverfahren immer wieder zur Anwendung gelangen, werden den Überlegungen vorangestellt.

Biographisch:

1. Byrne, Georg Dennis
2. Hindmarsh, Alan C. (*1942)

1. Prinzipien der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung

For a general problem it is most unreasonable to expect the user to have any idea what is a reasonable order or step size.

C.W. Gear (1971)

1. Hier soll die grundlegende Idee der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung erklärt werden. Für ein Programm basierend auf zyklischen Verfahren und Benutzung von rückwärtsgenommenen Differenzen, wird man i.d.R. in einer der unten beschriebenen Art und Weise vorgehen. Durch die rückwärtsgenommenen Differenzen ist nahe gelegt, wie man die Schrittweite und Ordnung für den nächsten Zyklus schätzt und durch die Zyklushaftigkeit werden bestimmte Sicherheitsfaktoren nahegelegt. Zum einen könnte man die Differenz von Prädiktornäherung und Korrektorwert als ein erstes Indiz für die Genauigkeit benutzen. Dieser Weg wird jedoch in dem Programm TENDLER nicht beschritten, da man bei steifen Differentialgleichungen dem Prädiktor noch weniger Vertrauen schenkt, als man dies bei nicht-steifen Gleichungen tut. Hingegen das Programm DE/STEP tut dies; es ist allerdings auch nur für nicht-steife Differentialgleichungen konzipiert. Für nicht-steife Differentialgleichungen ist es sehr erfolgreich.

Biographisch:

1. Gear, Charles William (1935—2022)

2. Es sei $\mathbb{P}$ die Menge der möglichen Ordnungen für den nächsten Zyklus. Für $j\in\mathbb{P} := \{p-1,p,p+1\} \cap \{1,\ldots,7\}$ berechnet man die Größen

wobei für die Konstante $\sigma_{pj}$ gilt, daß $0<\sigma_{pj}\le1$. Die Werte $\overline\eta_{pj}$, die in der folgenden Tabelle aufgelistet erscheinen, sind Schrittweitenbegrenzer, welche von der Stufenanzahl $\ell$ und der Ordnung $p$ abhängen. Diese Begrenzer dienen dazu, die Schrittweite in der Art zu begrenzen, daß man ausschließlich mit schon berechneten Werten für die Interpolation auskommt. Die Schrittweite kann also nur so verändert werden, wenn genügend viele alte Werte vorhanden sind, um die benötigten Startwerte für den neuen Zyklus mit der neuen Schrittweite, durch Interpolation zu erhalten. Andernfalls, wenn dies nicht der Fall ist, so wird die Schrittweite nicht geändert oder zumindestens nicht maximal möglich geändert. Der theoretische Hintergrund für die obige Rechenvorschrift für $\eta_j$ ist die Formel

Hierbei ist wieder $d_{p+1}=A_\kappa^{-1}c_{p+1}$, mit dem Diskretisierungsfehlervektor $c_{p+1}$. Die entsprechend hohe Ableitung multipliziert mit der entsprechenden $h$-Potenz wird wie üblich durch die rückwärtsgenommene Differenz ersetzt.

Man kann natürlich keine optimale Schrittweitenfolge erwarten; interessiert ist man an einer günstigen und brauchbaren Schrittweitenfolge. Die optimale Schrittweitenfolge für eine feste Differentialgleichung und feste Toleranz wäre diejenige Folge von Schrittweiten, die minimalen Rechenaufwand erfordert, ohne daß der Fehler der gefordert wird, überschritten wird. Diese optimale Schrittweitenfolge ist natürlich u.a. von der Rechenanlage abhängig, denn das Verhältnis von benötigter Rechenzeit von Gleitkommaaddition zu Gleitkommamultiplikation ist in jedem Falle von der zugrundeliegenden Rechenmaschine abhängig.

3. Durch die Beschränkung auf die Menge $\mathbb{P}$ wird also nur die um eins niedriegere, die aktuelle und die um eins höhere Ordnung betrachtet. Ein Wechsel z.B. von der Ordnung 2 direkt auf die Ordnung 5 ist damit nicht möglich. In dem Programm TENDLER ist es daher prinzipiell nicht möglich einen solchen sprungartigen Anstieg der Ordnung durchzuführen. Allerdings ist es möglich in langsamerer Progression von der Ordnung 2 auf die Ordnung 5 überzuwechseln. Es gibt mindestens ein Programm basierend auf linearen Mehrschrittverfahren, indem es tatsächlich möglich ist von einer Ordnung $p_1$ auf eine Ordnung $p_2$ überzuwechseln, mit $|p_1-p_2|>1$, insbesondere ist ein Ordnungssprung nach oben um beispielsweise 4 Ordnungen möglich. Üblich ist dies jedoch nicht. Aufgrund der Differenzentabelle, die im Speicher aufgebaut wird, ist eine langsamere Erhöhung, insbesondere in Einerschritten, einfacher zu programmieren und erfordert schließlich auch weniger Rechenaufwand. Folgende Ordnungsfolge kann jedoch ebenfalls nicht vorkommen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Ein direktes Aufsteigen zu der Ordnung $p=7$ in dieser linearen Form ist somit nicht möglich.

Zur Vermeidung dieses Sachverhalts sorgt die Sperrvariable wait[]. Wohl aber möglich ist 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, $\ldots$ . Das letzte ist nur dann wahrscheinlich bei sehr strenger Genauigkeitsanforderung $\varepsilon$. Denkbar ist auch 7, 7, 2, 1; dies muß man jedoch als Ausnahme werten. Dies kann auch nur dann auftreten, falls sich große Probleme während der Integration einstellen. Ein abrupter Wechsel von der höchsten Ordnung $p=7$ zu der niedrigsten Ordnung $p=1$ ist Folge einer besonders schwerwiegenden Problematik, die das Programm TENDLER dadurch versucht zu begegnen, indem versucht wird diesen Schwierigkeiten durch rasche Veränderung der Ordnung beizukommen. Die letzte Folge von Ordnungen 7, 7, 2, 1, wird nicht von der Schrittweiten- und Ordnungs-Steuerung hervorgerufen. Im steifen Modus werden im Programm TENDLER die niedrigeren Ordnungen ggü. den höheren Ordnungen bevorzugt. Im nicht-steifen Modus ist dieser Trend nicht so ausgeprägt.

Niedrigere Ordnungen haben neben ihren i.a. besseren Stabilitätseigenschaften auch den sehr bedeutsamen Vorteil des sehr viel geringeren Rechenaufwandes bzgl. Interpolation und Bildung des Prädiktors. Zudem sind die Veränderungen der Schrittweite, die durchgeführt werden können, größer als diejenigen, die bei den höheren Ordnungen durchführbar sind. Man vgl. hier die nachfolgende Tabelle mit den Schrittweitenbegrenzern $\overline\eta_{pj}$.

4. Es wird nun prinzipiell wie folgt verfahren:

1. Ist $\max \{\eta_j:j\in\mathbb{P}\}{\mskip 3mu}<{\mskip 3mu}\texttt{UPTHRESH}$, so wird die Schrittweite und die Ordnung nicht gewechselt. Dies liegt daran, daß der Aufwand in diesem Falle als zu hoch angesehen wird.
2. Ist jedoch $\max \{\eta_j:j\in\mathbb{P}\}{\mskip 3mu}\ge{\mskip 3mu}\texttt{UPTHRESH}$, so wird $\eta$ auf den Wert $\max \{\eta_j:j\in\mathbb{P}\}$ gesetzt und $\hat p=p$, falls $\eta_p=\eta$ und sonst wird $\hat p$ auf den kleinsten Index $j$ derart gesetzt, sodaß $\eta_j=\eta$ ist.
3. Zum Schluß wird die neue Schrittweite als $\hat h = \eta \cdot h$ gewählt.

Die obigen drei Regeln sind das grundlegende Prinzip der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung. Die wirklichen Regeln sind verschachtelter. Es sei für den Moment vorausgesetzt, daß der Schrittweitenbegrenzer $\overline\eta_{pj}$ keine Rolle spielt, also $\overline\eta_{pj}=+\infty$ ist. Wird nun der Abschnitt für die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung betreten, so sei vereinfachend angenommen, daß $\left\Vert\nabla^{\hat p+1}y_{m\ell+\ell}\right\Vert_w$ der Wert des entsprechenden Ausdrucks für die zweite Stufe im nächsten Zyklus sei. Die Vereinfachung liegt hier also darin, daß man eine Konstanz der entsprechend hohen Ableitung der Lösungsfunktion samt Schrittweite voraussetzt und damit eine entsprechende Konstanz der rückwärtsgenommenen Differenz. Diese Annahme birgt keine allzu großen Gefahren in sich, da ja bei einer sehr raschen Änderung der hohen Ableitung, die Fehlerkontrolle versagen würde und damit die in diesem Falle ungerechfertigte Annahme abfangen würde.

Nun würde (Phase 2) der Fehlerkontrolle soeben mit Gleichheit passieren, unter der Annahme, daß $\sigma_{pj}$ gleich 1 sei. In diesem speziellen Falle wäre also $\hat h$ die größtmögliche Schrittweite. Nun ist aber i.d.R. $\left\Vert\nabla^{\hat p+1}y_{m\ell+\ell}\right\Vert_w$ nicht gleich $\left\Vert\nabla^{\hat p+1}y_{(m+1)\ell+2}\right\Vert_w$ und den weiteren entsprechenden Werten. Deswegen wurde der Faktor $\sigma_{pj}$ eingeführt, um eine gewisse “Sicherheitszone” zu erreichen.

Durch ausgiebige Probeläufe wurde beobachtet, daß Sicherheitsfaktoren in dem Bereich 0.6 bis 0.9 akzeptable Resultate liefern. Diese Grenzen sind allerdings nicht kritisch. Faktoren im Bereich 0.3 bis 0.6 sind ebenfalls denkbar, aber nicht sehr empfehlenswert. Hierduch würde nämlich dann die Schrittweitensteuerung immer mehr zum Hemmschuh für eine große Schrittweite ausarten. Die genauen Werte sind in den Konstanten nssaffac[][] (non-stiff safety-factors) und stsaffac[][] (stiff safety-factors) abgelegt.

Für die Fehlerkontrolle, die ja ebenfalls eine zukünftige Schrittweite voraussagen muß, ergaben sich Sicherheitsfaktoren in einer ähnlichen Größenordnung. Hierbei muß jedoch dem Rechnen an der Grenzgenauigkeit der Maschine gut Rechnung getragen werden. Es sei betont, daß dieser Wertebereich längeren Probeläufen entnommen wurde und nicht etwa einem Beweis entspringt. Das Programm STINT verwendet vergleichsweise große Sicherheitsfaktoren und schenkt den Besonderheiten des Rechnens am Rande der Maschinengenauigkeit keinerlei besondere Beachtung.

5. Man beachte, daß die Schrittweite und damit die Ordnung nur dann gewechselt werden, wenn sich die neue Schrittweite von der alten um mindestens $100(\texttt{UPTHRESH}-1)$ Prozent unterscheidet. Der Wert der Konstanten $\texttt{UPTHRESH}$ beträgt z.Z. 1.16. Der Grund für die Einführung eines solchen Mindestanstieg der Schrittweite liegt darin, daß der Aufwand für die Interpolation der vergangenen Werte für das neue Gitter, sich als lohnend erweisen sollte. In den Programmen DIFSUB, GEAR und LSODE wird der Faktor 11/10 verwendet.

Gear (1971b) gibt an, daß dadurch auch der Einfluß von Rundungsfehlern gedämpft wird. Das Programm DSTIFF hingegen verwendet einen Faktor von $1.025$ und dies, um schneller zu den höheren Ordnungen zu gelangen.

Dennoch zeigen die Testläufe von Gupta (1985), daß das Programm DSTIFF bei hohen Genauigkeitsanforderungen $\varepsilon$ besonders wenig erfolgreich arbeitet. Dies ist ein Hinweis auf die eingangs gemachte Erwähnung, daß höhere Ordnungen mehr Rechenbedarf erfordern und es sich damit anbietet die hohen Ordnungen so weit wie möglich zu meiden, zumindestens im steifen Falle. Das Programm DSTIFF ist maßgeblich für steife Differentialgleichungen gedacht und nicht schaltfähig.

Bibliographisch:

1. Gupta, Gopal K.: “Description and Evaluation of a Stiff ODE Code DSTIFF”, SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, Vol 6, No 4, October 1985, pp.939–950

6. Wie oben schon erwähnt, werden die vergangenen Werte für das neue Gitter durch Interpolation bestimmt. In der Absicht den Interpolationsfehler möglichst gering zu halten, wurde die folgende Einschränkung eingeführt: Die vergangenen Werte für das neue Gitter müssen im Intervall $[t_{m\ell-p+1}{\mskip 3mu} ,{\mskip 5mu} t_{m\ell+\ell}]$ liegen. Dieses Intervall enthält nun genau die vergangenen Werte des aktuellen Zykluses und die gerade berechneten Näherungen. Diese Einschränkung ergibt die Ungleichung

Die größte Schrittweite $\hat h$, die nun dies erfüllt, ist

Die Werte $\overline \eta_{p\hat p}$ sind nun in der nachstehenden Tabelle, wie schon weiter oben angekündigt, aufgelistet. Sie ergeben sich alle durch die oben angegebene Formel, wenn man dabei noch beachtet, daß die Stufenanzahl $\ell$ von der Ordnung $p$ abhängt. Die Abänderung der Unendlichkeitswerte auf 6 und 4$1\over2$ geschah, weil es sonst zu einem völligen Überschiessen kommen könnte. Dieses Verhalten konnte auch tatsächlich beobachtet werden. Dies gilt insbesondere für den Wert 6.

Während der Startphase sind die Schrittweiten u.U. für das gegebene Problem noch so “klein”, daß die Genauigkeit der Schätzung der Schrittweite nicht überbetont werden darf. Den beiden abgeänderten Unendlichkeitsstellen haftet aber dennoch eine gewisse Willkürlichkeit an. Werte entsprechender Größe, also kleiner 10, sind natürlich ebenfalls einsetzbar. Die Werte sind im Programm TENDLER nicht kritisch.

Es ist $\ell(p) = 3 + \lfloor p/5\rfloor$ ($1\le p\le 7$) und dies sogar für die Ordnungen $p=1$ und $p=2$. Das Verfahren für die Ordnung $p=1$ ist, wie vormals schon erwähnt, die dreimalige Wiederholung des impliziten Euler-Verfahrens. Für die Ordnung $p=2$ wird dreimal hintereinander die BDF2 verwendet. Bei diesen beiden Ordnungen handelt es sich, wenn man so will, nicht um “echte” Zyklen. Weil die Schrittweiten- und Ordnungs-Steuerung mindestens $p+3=k+3$ Werte für die Berechnung von $\left\Vert\nabla^{p+2}y_{m\ell+\ell}\right\Vert_w$ benötigt, muß die Zykluslänge für das Verfahren erster Ordnung mindestens 3 betragen, wenn man nur die Lösungswerte aus dem augenblicklichen Zyklus benützen will.

Diese Bemerkung gilt für alle Ordnungen, insbesondere auch für die beiden niedrigsten Ordnungen, $p=1$ und $p=2$. Diese Bedingung kann nun leicht dadurch erfüllt werden, in dem auch die Ordnungen 1 und 2 die Zykluslänge 3 haben. Bei diesen Ordnungen ist dann also natürlich jede Stufe gleich. Die Programme DIFJMT, STINT und TENDLER verwenden alle die völlig gleichen Formeln, insbesondere werden bei den zwei niedrigsten Ordnungen $p=1$ und $p=2$, dreimal hintereinander jeweils die BDF1 und die BDF2 benutzt.

7. Der Aufbau des Differenzenschemas ist

Die eingeklammerten Werte werden nur von der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung benutzt, stehen dem Benutzer aber ebenfalls zur Verfügung, anders als in den Programmen STINT und DIFJMT. Bei diesen beiden letzten Programmen werden diese Werte nur indirekt bei einer Normberechnung bestimmt. In dem Programm TENDLER stehen diese Differenzen direkt als Vektoren dem Benutzer zur Verfügung. Würde man auf diese Vektoren verzichten, so würden $5n$ weniger Speicherzellen benötigt. Das Programm TENDLER würde damit dann echt weniger Speicherplatz beanspruchen als die beiden Programme STINT und DIFJMT und dies trotz erweiterter Funktionalität. Die Ursache hierfür liegt in einem anderen verwendeten Datenschema.

Bei Problemen mit impliziter Zeitvorgabe könnten diese hohen Differenzen u.U. von Vorteil sein.

Zur Erinnerung: Die Berechnung von $\nabla^iy_k$ benötigt die Werte $y_k, y_{k-1}, \ldots, y_{k-i}$, also $i+1$ Ordinatenwerte. Da die zyklischen Verfahren ab der Ordnung $p\ge3$ sowieso mindestens dreistufig sind, entfällt eine Sonderbehandlung dieser hohen Ordnungen. Lässt man die Bedingung, daß bei dem Verfahren erster Ordnung nur zykluseigene Werte benutzt werden dürfen, fallen, so kann man durchaus bei den beiden niedrigsten Ordnungen zweistufige Verfahren wählen. Das Programm TENDLER lässt sich hier durch Austausch nur einer einzigen Konstanten leicht abändern.

Jedoch zeigten Testläufe von Gaffney (1984), daß das Programm STINT bei der Beschränkung auf die beiden niedrigsten Ordnungen, also BDF1 und BDF2, sogar effizienter arbeitet als das Programm LSODE, welches die völlig gleichen Formeln bei diesen beiden niedrigsten Ordnungen benutzt, allerdings in Nordsieck-Darstellung. In dem Programm TENDLER wurde daher vorerst davon abgesehen diese Zyklenlängenverringerung durchzuführen. Auch speicherplatzmässig liesse sich durch eine solche Veränderung keinerlei Gewinn erzielen, es sei denn, man begrenzt die Höchstordnung auf 2 oder auf 4. Bei diesen beiden Ordnungen vollzieht sich ja der Sprung der Stufenanzahl $\ell$. Daß Programme, basierend auf gleichen Formeln, unterschiedliche Wirkungsgrade aufweisen, ist ja schon mehrfach erwähnt worden. Daß allerdings eine, wenn man so will, künstliche Zyklenverlängerung, hier von 1 auf 3 sich positiv auswirkt, ist bemerkenswert. Es wurde schon anderer Stelle darauf hingewiesen, daß diese Erscheinung nicht notwendig ihre kausale Begründung in einer Zyklenverlängerung findet. Jedoch wenn es einen Nachteil für längere Zyklen gäbe, so könnte dieser mögliche Nachteil dennoch in dem allgemeinen Wechselspiel der verschiedenen Segmente keine maßgebliche Rolle spielen. Auf das letzte kommt es aber gerade an.

Bibliographisch:

1. Gaffney, Parick W.: “A Performance Evaluation of Some FORTRAN Subroutines for the Solution of Stiff Oscillatory Ordinary Differential Equations”, ACM Transactions on Mathematical Software, Vo. 10, No. 1, March 1984, pp. 58-72

8. J.M. Tendler gewann seine zyklischen Formeln durch Optimieren des Widlund-Winkels $\alpha$ und der Widlund-Distanz $\delta$ bei der $A_\infty[\alpha]$- und $S_\infty[\delta]$-Stabilität, unter der Prämisse konstanter Schrittweite.

Die in füheren Abschnitten erwähnten Stabilitätseigenschaften, wie $A_\infty^0[\alpha]$- und $S_\infty^0[\delta]$-Stabilität, wurden unter der Voraussetzung gewonnen, daß die Schrittweite sich nicht erhöht oder erniedrigt. Wenn sich nun trotzdem die Schrittweite oder die Ordnung im Laufe der Integration verändert, so muß man u.U. damit rechnen, daß die gewünschten Stabilitätseigenschaften nicht mehr anzutreffen sind.

Gear/Tu/Watanabe (1974) beobachteten, daß bei starken Schwankungen der Schrittweite, die $D$-Stabilität, insbesondere bei höheren Ordnungen, verloren ging. Gear/Tu/Watanabe (1974) berichten über Schrittweitenänderungen jeweils immer um den Faktor 10 bei der BDF2. Wird also bei der BDF2 erst die Schrittweiteite verzehnfacht und dann sofort anschliessend wieder gezehntelt, also

so kann bewiesen werden, daß dieses so gebildete Verfahren nicht D-stabil ist. Genau das gleiche Resultat erhält man auch für die Adams-Formeln. Die $(k-1)$-fache Wiederholung des $k$-Schritt Adams-Verfahrens (mit konstanter Schrittweite) wirkt hingegen stabilisierend.

Mit Hinblick auf die obige Tabelle der Schrittweitenbegrenzer kann eine solche sehr extreme Änderung der Schrittweite in dem Programm TENDLER grundsätzlich nicht vorkommen. Auch in Programmen basierend auf Runge-Kutta-Verfahren werden solche starken Schwankungen von der dortigen Schrittweitensteuerung abgedämpft, man vgl. hier z.B. das Programm DOPRI5 von Hairer/Wanner/Nørsett (1987). Dennoch wird eine grundsätzliche Problematik krass beleuchtet.

Liniger (1979) schreibt hierzu:

The one-leg implementation of $A2$ is $A_0$-contractive with respect to $\left\Vert\cdot\right\Vert_\infty$ (and thus $A_0$-stable), relative to the variable coefficient test equation $\dot x=\lambda(t)x$, for any variable step sequence whatsoever. By contrast, any multistep method (which is not at the same time a one-leg method) can be destabilized by the use of certain variable step sequences when applied to the variable test equation $\dot x=\lambda(t)x$ with real valued $\lambda(t)$.

Es ist nun anzunehmen, daß diese Instabilitätserscheinungen auch für die zyklischen Formeln von Tendler (1973) gelten. Um diesen Schwierigkeiten zumindestens ansatzweise aus dem Wege zu gehen, wird verlangt, daß ein Zyklus immer mit konstanter Schrittweite durchlaufen wird (was in gewisser Hinsicht selbstverständlich sein muß) und ab den Ordnungen 4 und höher, mindestens zwei oder drei Zyklen mit fester Schrittweite benutzt werden.

Die genaue Anzahl der “Zwangs-Wartezyklen” für die Ordnung $p$ wird durch die Sperrvariable $\texttt{wait[}p\texttt{]}$ festgelegt.

Ein weiterer Punkt, dem Aufmerksamkeit gewidmet werden sollte bei der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung in dem Programm TENDLER, ist, daß sowohl für den steifen als auch nicht-steifen Teil, verschiedene Schrittweiten- und Ordnungssteuerungsunterprogramme aufgerufen werden. Im steifen Teil werden niedrige Ordnungen sehr stark favorisiert, während im nicht-steifen Teil diese Tendenz abgeschwächt wurde, da bei nicht-steifen Differentialgleichungen hohe Ordnungen in dem Programm TENDLER wesentlich günstiger sind. Ein Austausch des Schrittweiten- und Ordnungssteuerungsunterprogramm und insbesondere die Hinzufügung weiterer Unterprogramme ist einfach (es handelt sich erneut um einen Vektor von Unterprogrammen). Das Programm LSODAR verwendet nur ein Schrittweiten- und Ordnungssteuerungssegment. Das Programm DEASY enthält natürlich 2 solcher Segmente: eines für das Runge-Kutta-Verfahren und eines für die BDF. Dies hat natürlich seine Ursachen darin, daß zwei ansonsten völlig selbstständige Programme zusammengefaßt wurden zu einem einzigen neuen.

Biographisch:

1. Werner Liniger (1927–2017)
2. Hairer, Ernst (*1949)
3. Wanner, Gerhard (*1942)
4. Nørsett, Syvert Paul (1944–2025)
5. Gear, Charles William (1935—2022)
6. Tu, Kai-Wen
7. Watanable, Daniel S.

2. Die Schrittweitensteuerung im Programm TENDLER

The need to increase step size for efficiency and the simultaneous need to maintain strict error control run somewhat counter to each other. Yet, this is precisely the type of performance we look for in high quality ODE software.

G.D. Byrne, A.C. Hindmarsh (1987)

Vor einer allzu häufigen und allzu starken Änderung der Schrittweite sei jedoch gewarnt; hier sind noch nicht alle Fragen der Stabilität bei Schrittweitenänderungen befriedigend beantwortet worden.

H. Werner, H. Arndt (1986)

1. Unter der Annahme konstanter Schrittweiten werden die theoretischen Begründungen für dieses Segment abgeleitet. Hier wird beschrieben wie die Schrittweite bestimmt wird. Die Auswahl der Ordnung folgt später. Sie ist abhängig von der Schrittweitenwahl.

Berechnet werden nur die wirklich benötigten Werte, also diejenigen Werte, die auch wirklich an der Entscheidungsfindung für eine neue Ordnung und Schrittweite partizipieren.

Biographisch:

1. Helmut Werner (1931—1985)
2. Herbert Arndt

2. Mit der Variablen same berechnet man denjenigen Faktor, mit dem man die Schrittweite $h$ für den nächsten Rechenschritt multiplizieren könnte. Der Wert same wird immer berechnet und zwar nach der Rechenvorschrift:

3. Die Berechnung des Wertes down folgt der Formel:

4. Der Wert up wird nur dann berechnet, falls eine Ordnungserhöhung überhaupt möglich ist. Dies ist gegeben, falls

d.h., keine der Sperren ist gesetzt, die Maximalordnung $p_{\max}$ wird auch bei einer Ordnungserhöhung nicht überschritten, und es wäre möglich, auch bei der aktuellen Ordnung einen Schrittweitengewinn, bzw. zumindestens keinen Verlust zu erleiden. Nun wird up berechnet wie folgend

Für den nicht-steifen Teil werden weniger restriktive Anforderungen gestellt. Zudem ist sf[UP] für den nicht-steifen Teil größer. Die Matrizen stsaffac[][] und nssaffac[][] entsprechen jeweils $\sigma_{p,j}$. Im nicht-steifen Teil wird unter down, same und up schließlich der größte Wert herausgesucht, während hingegen im steifen Teil eine Tendenz über mehrere Ordnungen hinweg notwendig ist, damit die Ordnung erhöht werden kann.

5. Für zwei reelle Zahl $a$, $b$ ist $a\land b=\inf(a,b)$, also hier natürlich $a\land b=\min(a,b)$. Die Konstanten sf[SAME], sf[DOWN] und sf[UP] sind Sicherheitsfaktoren (sf: safety factor), wobei sf entweder stsaffac[][] oder nssaffac[][] ist.

Der Vektor errconst[] enthält die Konstanten für denjenigen Fehlertest, der zuerst der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung nachfolgt.

6. Die hierbei mehrfach aufgetretene Funktion rsmooth() (ratio smooth) ist definiert durch

Diese Funktion ist nicht global-stetig. Man kann sie auffassen als nicht-normalisierte unscharfe Funktion (fuzzy function).

Die Konstanten DOWNTHRESH und UPTHRESH sind gegenwärtig auf die Werte $0.885$ und $1.16$ gesetzt. Das Programm TENDLER verhält sich nicht sensitiv ggü. diesen beiden Faktoren, jedoch führt eine geschickte Wahl dieser beiden Werte zu einer entsprechenden Verringerung der Rechenarbeit. Die Funktion rsmooth()

1. unterstützt die Vermeidung eines Schrittweitenwechsels im Bereich $\xi\in[\texttt{DOWNTHRESH},\texttt{UPTHRESH}]$,
2. reicht das Element $\xi$ unverändert weiter für Werte größer als UPTHRESH und begrenzt ansonsten das Absinken auf $\frac{1}{4}$.

Die Endbewertung des Sicherheitsfaktors ratio geschieht hauptsächlich über die Variablen stsaffac[][] und nssaffac[][].

7. Man kann den Prozeß der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung auffassen als ein stochastisches, multikriterielles Optimierungsproblem. Es soll also eine optimale Strategie gefunden werden, jedoch sind die Auswirkungen dieser Entscheidung, dem Entscheidungsträger im voraus nicht bekannt. Die Optimierungsaufgabe ist multikriteriell, da mehrere, konfliktiöse Zielfunktionen gegeneinander konkurrieren. U.a. unter den Nebenbedingungen

sind die drei folgenden Zielfunktionen simultan zu optimieren:

Die augenblickliche Lösungsstrategie ist stark heuristischer Natur. Insbesondere garantiert sie nicht, das globale Optimum zu finden. Sie verspricht auch nicht per se schrittweitenwechsel-stabil zu sein und dies obwohl Überlegungen bzgl. der Schrittweitenwechselstabilität letztlich gewisse Entscheidungen beeinflussten. Unter veränderten Gesichtspunkten, nämlich kontrolltheoretischen Überlegungen, kommen Gustafsson/Lundh/Söderling (1988) zu einer alternativen Lösungsstrategie.

Von den genannten Autoren werden diese Versuche anhand des Programmes DOPRI5, siehe Hairer/Wanner/Nørsett (1987), durchgeführt.

Bibliographisch:

1. Gustafsson, K., Lundh, M. & Söderlind, G. API stepsize control for the numerical solution of ordinary differential equations. BIT 28, 270–287 (1988).
2. Kjell Gustafsson
3. Gustaf Söderling
4. Michael Lundh

3. Die Idee des Shampine-Testes

For example, such a user solving a set of equations describing a wind turbine got a stiffness indication from DE. The word “stiff” meant nothing to him, but the instruction to switch to another code did, and resulted in the effective solution of his problem. $\ldots$ The imperfection of the tests is that they may not detect stiffness; since they cost almost nothing, they do not harm and may prove useful.

L.F. Shampine (1977)1

1. Es soll hier kurz auf die grundlegende Idee des Shampine-Testes eingegangen werden. Die Stabilitätsbereiche von $P(EC)^iE$- und auch $P(EC)^i$-Verfahren für Picard Iteration zeigen deutlich, daß niedrigere Ordnungen einen wesentlich größeren Stabilitätsbereich aufweisen als höhere Ordnungen. Auf dieser einfachen Grundidee basiert letztlich die gesamte Überlegung. Thompson/Rodabaugh (1981) geben für die Adams-Formeln die folgenden Werte an, siehe Tabelle, die teilweise die Brauchbarkeit für schwach-steife Differentialgleichungen kennzeichnen. $P_i$ steht hier wie üblich für Prädiktor der Ordnung $i$, $E$ für Auswertung der Funktion und $C_j$ für Korrektur mit einer Formel der Ordnung $j$.

Mann erkennt deutlich (für die Adams-Formeln), daß die “Intervalllänge” des Stabilitätsgebietes schnell mit größer werdender Ordnung abnimmt. Ferner ist in diesem Falle die Kombination $P_kEC_{k+1}E$ am günstigsten. Wollte man eine noch weitere Vergrößerung des Stabilitätsintervalles vornehmen, so kann man durch Mittelung von Prädiktor und Korrektor für die Adams-Verfahren sogar eine bis zu zwölffache Verbesserung erzielen, siehe Thompson/Rodabaugh (1981). Man verwendet dann Verfahren der Form $C_k^\alpha = \alpha P_k + (1-\alpha) C_{k/k+1}$. Allerdings verändern sich dann auch die Fehlerkonstanten.

Bibliographisch:

1. D.J. Rodabaugh, S. Thompson: “A note on the relative efficiency of Adams methods” Computers & Mathematics with Applications, Vol. 7, Issue 5, pp. 401–403
2. Thompson, Skip
3. Rodabaugh, D.J.

2. Beginnt nun die Differentialgleichung steif zu werden, so erscheinen mehr und mehr die niedrigen Ordnungen, für die Schrittweiten- und Ordnungs-Steuerung “genauer” zu werden, während die höheren Ordnungen aufgrund der drohenden Instabilität zunehmend eine weniger glatte und stabile Lösung anzeigen. Bei nicht-steifen Regionen ist üblicherweise das Verhalten genau umgekehrt. Hier sind höhere Ordnungen bei höherer Genauigkeitsanforderung i.a. geeigneter.

Im Falle zunehmender Steifheit pendelt $H=h\lambda$ um den Rand des Stabilitätsbereiches. Diese Erscheinung lässt sich verbal wie folgt erklären. Eine Vergößerung der Schrittweite $h$ über den Rand des Stabilitätsbereiches hinaus, führt zu einem Ansteigen des lokalen Fehlers, welcher von der Fehlerkontrolle erkannt wird und durch ein Zurücknehmen der Schrittweite versucht wird entgegen zu treten und zwar so lange, bis $H$ wieder im Stabilitätsbereich liegt und sich damit der Ablauf wiederholt.

3. Diese verbale Beschreibung vereinfacht natürlich an manchen Stellen den wahren Sachverhalt. Zum einen wird man fragen, wie Steifheit auf den lokalen Fehler einwirkt und zum anderen wird eine Periodizität der Schwingung der Schrittweite um die Stabilitätsgrenze postuliert, aber nicht streng begründet. Denn, die Existenz und Einwirkung von Rückstellkräften belegt noch keine Schwingungs- oder Dämpfungserscheinungen. Den letzten Gedanken greift _{Hall, George}Hall (1985) und Hall (1986) auf. Dort wird ein Runge-Kutta-Verfahren untersucht auf Schwingungen um diese angedeutete Gleichgewichtslage. Die Analyse beruht auf der Untersuchung der nichtlinearen Rekurrenzgleichungen

wobei $E_i$ der vom Runge-Kutta-Verfahren geschätzte lokale Fehler ist und $H_n=\lambda h_n$. Diese Rekurrenzgleichung schwingt sich um einen Stabilisationspunkt ein, wenn sich eingeschleppte Störungen in erster Näherung wegdämpfen. Der Gleichgewichtspunkt liegt natürlich bei

Hier ist $\varepsilon$ die gewünschte Genauigkeitsanforderung, und $H_L$ liegt auf dem Rande des Stabilitätsgebietes. $\vartheta$ ist hier ein Sicherheitsfaktor, wie er in gängigen Programmen basierend auf Runge-Kutta-Verfahren üblicherweise benutzt wird. $S$ hängt vom Runge-Kutta Verfahren ab.

Mit dieser Analyse erhält man einen ersten Einblick über die Amplitude des Schwingens. Dämpfen sich die Störungen in erster Näherung nicht weg, ist also der Spektralradius einer gewissen Matrix größer als eins, so erwartet man heftige Ausschläge, und umgekehrt, falls sich Störungen schnell wegdämpfen, also der Spektralradius eins unterschreitet, so erwartet man wesentlich geringere Ausschläge um die Ruhelage. Diese Überlegungen wurden durch Hall (1985) und Hall (1986) empirisch bestätigt.

Sei $\rho$ der Spektralradius dieser hier nicht näher erörterten Matrix. Es wäre von großem Interesse die Eigenwerte der entsprechenden Matrix für die zyklischen Verfahren von J.M. Tendler genau zu kennen, insbesondere das Bild des Randes des Stabilitätsbereiches unter der Abbildung $\rho$, die sogenannte Hall-Kurve.

Bibliographisch:

1. Hall, George: “Equilibrium States of Runge-Kutta Shemes”, ACM TOMS, Vol 11, No 3, September 1985, pp.289–301
2. Hall, George: “Equilibrium States of Runge-Kutta Shemes: Part II”, ACM TOMS, Vol 12, No 3, September 1986, pp.183–192
3. George Hall

4. Der Shampine-Test kann von seiner grundsätzlichen Konzeption her ein unrichtiges Ergebnis liefern. Sei $A$ die Stabilitätsmenge für das Verfahren der höheren Ordnung, und sei $B$ die Stabilitätsmenge für das Verfahren der niedrigen Ordnung, und sei $C:=(A\setminus B)\cap\mathbb{C}^-$ die Differenzenmenge, also die Menge aller derjenigen Punkte aus $\mathbb{C}^-$, die zu $A$ aber nicht zu $B$ gehören. Wenn nun die Differenzenmenge $C$ nichtleer ist, so könnte die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung eine Schrittweite $h$ vorschlagen, sodaß die Stauchung oder Streckung $H$ in $C$ liegt und damit das Verfahren der höheren Ordnung selbst im steifen Gebiete günstiger ist, als das Verfahren niedriger Ordnung.

Natürlich ist das einmalige Bestehen des Shampine-Testes zur globalen Klassifikation einer Differentialgleichung als steif oder nicht-steif, viel zu wenig. Ist der Shampine-Test jedoch 20-mal bis 50-mal hintereinander erfüllt, so ist dies ein sehr deutliches Zeichen für Steifheit. Mußte zudem ebenfalls die Ordnung auch noch runtergefahren werden und sind schon sehr “viele” Funktionsauswertungen bei niedrigen Ordnungen ($\le4$) durchgeführt worden, so hat man noch ein zusätzliches Anzeichen für Vorliegen von Steifheit.

5. Die gemachten Ausführungen lassen sich sehr gut durch Experimente bestätigen. Setzt man PMSSOC, so erhält man (analog wie bei \tracingpages=1 bei TeX) einen Ausdruck der Werte down, same, up, euler und bdf2, und man kann deutlich erkennen, daß wenn euler und bdf2 von unten gegen 1 rücken bei Vorliegen von Steifheit, daß dann auch die höheren Ordnungen rasch von oben gegen 1 streben und das Programm TENDLER bemüht ist die Ordnung zu senken. Zudem zeigt in dieser Situation das $QRP$, daß ein Schalten günstig ist. Den Ausdruck des $QRP_\nu$ und zahlreicher weiterer Größen, die während der Korrektoriteration anfallen, kann man sich durch Setzen von PMCVGCE ausgeben lassen.

4. Der Shampine-Test im Programm TENDLER

The practical man frequently asks, “What is stiffnes?” There is no simple answer.

L.F. Shampine (1981a)

Der Shampine-Test berechnet u.U. noch einen zusätzlichen Vergleichswert zu den Werten down, same und up. Die generierten Statistiken lassen darauf schliessen, daß dieser Test einen fast völlig vernachlässigen Einfluß auf das Schalten besitzt. Sehr wohl ist dieser Test dazu geeignet gewisse zusätzliche Informationen über die Differentialgleichungen zu erlangen. Dennoch, seine Berechnung kostet eine Normauswertung und ist damit recht aufwendig.

Die Berechnungen, die nun durchzuführen sind, gehen wie folgt vor sich. Der Wert bdf2 ist der Schrittweitenfaktor für die Ordnung 2, jedoch ohne einen Sicherheitsfaktor.

Für die Ordnung 1 wird der Wert euler berechnet nach der Vorschrift

Der Wert $\texttt{euler}$ ist der Schrittweitenfaktor für die Ordnung 1 und zwar wieder ohne Sicherheitsfaktoren.

Die Sicherheitsfaktoren wurden nicht berücksichtigt, um den Test restriktiv zu gestalten. Man beachte, daß ja die anderen Schrittweitenfaktoren wie down, same und up, sämtlich mit einem Sicherheitsfaktor belastet werden.

In einer früheren Version des Programmes TENDLER wurden beide Werte, somit bdf2 und auch euler immer ausgerechnet, falls dies möglich war, also bei den Ordnungen $p\ge4$. Da jedoch bei umfangreichen Tests immer

galt und daher die Berechnung von euler überflüssig war, wurde die Berechnungsvorschrift für den Shampine-Test dahingehend modifiziert, wie sie oben angegeben ist.

Der Shampine-Test gilt nun als bestanden, also die Variable shmptst ist somit TRUE, falls

Ein erstes Anzeichen für Steifheit liegt vor, falls der Shampine-Test nicht bestanden wurde. Geschieht dies “häufig”, oder wird über sehr lange Integrationsintervalle nur eine der niedrigen Ordnungen benutzt, so ist dies ein nachträgliches Anzeichen dafür, daß die zugrunde liegende Differentialgleichung in dem betrachteten Intervall wohl als steif zu bezeichnen ist.

5. Die Auswahl der Ordnung im Programm TENDLER

1. Grundsätzlich gilt für die Sicherheitsfaktoren $\sigma_{pj}$: Eine Bevorzugung der niedrigen Ordnung wird durch nahe bei 1 liegende Werte erzielt, eine Vermeidung der höheren Ordnungen durch nahe bei 0.5 liegende Werte. Einer Verringerung der Ordnung wird wesentlich größerer Zuspruch zuteil, als einer Ordnungserhöhung, weil den Verfahren niedrigerer Ordnung die folgenden beiden sehr erwünschten Eigenschaften zugute kommen:

1. bessere Stabilitätseigenschaften und
2. geringerer Rechenaufwand.

Dieser Effekt gilt insbesondere für die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung im steifen Modus. Im nicht-steifen Modus ist der Trend zur Bevorzugung von Formeln niedriger Ordnung nicht so stark ausgeprägt.

Die Sicherheitsfaktoren $\sigma_{pj}$ für die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung sind in den beiden Matrizen stsaffac[][] und nssaffac[][] abgelegt, und die Sicherheitsfaktoren für die Fehlerkontrolle sind im Vektor ecsaffac[] gespeichert. Man beachte, daß eine Veränderung der Ordnung, bei der Darstellung der Lösung in Form von rückwärtsgenommenen Differenzen, sehr einfach ist, im Gegensatz zu der Darstellung der Lösung in der Nordsieck-Darstellung. Diese Aussage gilt in entsprechender anderer Richtung für das Ändern der Schrittweite. In diesem Falle bietet die Nordsieck-Darstellung die größeren Vorteile.

2. Die eigentliche Ordnungsentscheidung sieht nun wie untenstehend aus.

Die vorgeschlagene Ordnung $p_{\rm neu}$ wird als neue Ordnung für den folgenden Zyklus nur dann ohne weitere Abfragen akzeptiert, falls der zu dieser Ordnung korrespondierende Schrittweitenfaktor factor, also einer der Größen down, same oder up, keine Schrittweitenverkleinerung vorschreibt, also $\texttt{factor}\ge1$ ist. Einer Schrittweitenverkleinerung, oder konstanter Schrittweite wird stets Rechnung getragen. Es wird an dieser Stelle angenommen, daß einer bevorstehenden Schrittzurückweisung durch die Fehlerkontrolle in den nächsten Stufen vorgebeugt werden kann.

Die generierten Statistiken deuten auf eine Bestätigung dieser Annahme hin: Die Schrittzurückweisungen sind rapide zurückgegangen. Bei einer Vergrößerung der Schrittweite wird die endgültige Akzeptanz davon abhängig gemacht, ob auch keine der möglichen Sperren, wie $\texttt{wait[}p\texttt{]}$ oder $\texttt{problem}$, aktiviert worden waren. Wird auch dieser letzte Test endgültig bestanden, so wird die vorgeschlagene Ordnung $p_{\rm neu}$ angenommen und hnext wird

Die weiter oben beschriebenen Sperrvariablen wait[] und problem, die schon mehrfach erwähnt wurden, sollen im folgenden genauer und ausführlicher erklärt werden.

6. Die beiden Sperren wait[] und problem im Programm TENDLER

Für die Sperre problem sind hier lediglich die folgenden Operationen zulässig:

Will man den Sperrmechanismus verfeinern oder verändern, so sind lediglich die drei obigen möglichen Klassenfunktionen zu modifizieren.

Für die Sperre wait[] sind die folgenden Funktionen die im Sinne von C++ einzig möglichen Klassenfunktionen:

1. SETWAIT(),
2. WAITCYCLE() und
3. die Abfrage WAITISOK()

Denkbar wäre die Änderung, daß man abgeht von der augenblicklich verwendeten dualwertigen Logik zu mehrfachwertiger Logik, oder sogar unscharfer Logik (fuzzy logic). Dies würde natürlich eine Veränderung der Argumentenlisten der beiden Funktionen ACTIVATE() und DEACTIVATE() erforderlich machen, die im Augenblick lediglich einstellig sind.

Benutzt werden diese Operationen von den Unterprogrammen bzw. Funktionen:

1. setconv(),
2. ecs(),
3. stssocs(),
4. nsssoc().

Die Funktion setconv() überwacht die erfolgreiche Konvergenz des Korrektors. Das Unterprogramm ecs() ist die Fehlerkontrolle (error control segment) und st/ns-ssocs() sind die Schrittweiten- und Ordnungssteuerungen (step-size and order control segment).

Ist die Ordnung $p>3$ und bleibt sie dort, so müssen mindestens ein oder zwei Zyklen mit konstanter Schrittweite durchgeführt werden. Die Fehlerkontrolle ecs() aktiviert mittels ACTIVATE() die Sperre problem und mittels SETWAIT() die Sperren wait[], bei einem Versagen des Fehlertests. Die Funktion setconv() schließlich aktiviert problem, falls wiederholte, langsame Konvergenz eine Refaktorisierung der Iterationsmatrix anzeigten. Eine dann möglicherweise direkt folgende Schrittweitenvergrößerung in der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung wird durch das Aktivieren von problem unterbunden. Man behalte im Gesichtsfeld, daß die Iterationsmatrix $W=I-h\gamma J$, ja von der Schrittweite abhängig ist und somit eine Veränderung der Schrittweite $h$ die Iterationsmatrix “veralten” lässt.

Zusammenfassend hat man also die Abhängigkeiten:

und

7. Die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung im Programm DE/STEP

Da die Theorie der Ordnungs- und Schrittweitenalgorithmen recht unvollständig ist, gibt es keine beste Vorgehensweise. Man muß die Fragmente der vorhandenen Theorie betrachten, die Folgerungen für den Rest des Codes, Experimente, die die Wirkung von Änderungen an den Algorithmen untersuchen, und schließlich die Erfahrung anderer Forscher.

L.F. Shampine, M.K. Gordon (1984)

1. In dem folgenden Abschnitt sollen kurz die grundlegenden Ideen und Algorithmen, die in dem Programm DE/STEP von L.F. Shampine und M.K. Gordon, während der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung benutzt werden, erläutert werden, siehe Shampine/Gordon (1984). Zum Schluß werden Bemerkungen gegeben, zur Übernahme gewisser Teile aus diesem Segment, in andere Programme. Stellenweise erscheinen die in dem Programm DE/STEP zur Anwendung gekommenen Heuristiken genügend universell, sodaß Überlegungen über einen Einsatz dieser Strategien in anderen Programmen, lohnenswert sind. Da die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung mit seinen Entscheidungen über die zu wählenden Schrittgrößen und Ordnungen, maßgeblichen Einfluß auf das Gesamtfunktionieren und die Gesamteffizienz des verwendeten Programmes haben, machen sich die Sorgfalt und Mühe, die man diesem Teil des Programmes angedeihen läßt, von selber mehr als bezahlt.

Das Programm DDASSL zur Lösung von differential-algebraischen Gleichungen der Form $F(t,y,\dot y)=0$, verwendet eine sehr ähnliche Startegie während der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung, wie das Programm DE/STEP.

Insbesondere wird versucht die Schrittweite nur zu halbieren, zu belassen oder zu verdoppeln. Weiterhin sind die Darstellungen in beiden Programmen gleich: Beide Programme verwenden modifizierte rückwärtsgenommene Differenzen.

Dabei trifft das Programm DDASSL noch besondere Vorkehrungen, sodaß sich der führende Koeffizient der Formel nicht ändert. Diese Maßnahme ist bedeutsam für die Iterationsmatrix beim modifizierten Newton-Kantorovich Iterationsverfahren.

Anders als in den Programmen DIFSUB, EPISODE, GEAR, LSODE und LSODA wird hier zuerst eine geeignete Ordnung $p_{\rm neu}$ ausgewählt und erst anschliessend eine zu dieser Ordnung passende Schrittweite $h_{\rm neu}$. Das Programm DE/STEP arbeitet stets im $PECE$-Modus.

Es wird also kein Konvergenztest durchgeführt, und dies erspart zahlreiche Normauswertungen und zwar mindestens so viele, wie Schritte gemacht werden, häufig werden dadurch natürlich mehr Normauswertungen vermieden. Die Überlegungen bzgl. der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung beruhen auf der Annahme, daß mit konstanter Schrittweite gerechnet wurde.

Biographisch:

1. Lawrence F. Shampine
2. Marylin K. Gordon

2. Der $PECE$-Zyklus wird nun wie folgt durchlaufen: Nach $P$ und $E$, wird geprüft, ob die Ordnung $p$ erniedrigt werden kann. Es wird an dieser Stelle nichts über eine Erhöhung der Ordnung oder einer Veränderung der Schrittweite entschieden, sondern lediglich eine Verminderung oder Beibehaltung der aktuellen Ordnung wird in Betracht gezogen. Die Regel zur Auswahl einer neuen Ordnung (höchstens vermindert oder belassen) ist:

Für eine Erniedrigung der Ordnung $p$ wird also verlangt, daß sowohl die um eins niedrigere Ordnung erkm1 günstiger ist, als auch zusätzlich, daß die um zwei tiefere Ordnung erkm2 ebenso noch besser ist, als die aktuelle Ordnung mit erk. Da bei der Ordnung $p=2$ eine solche Tendenz über zwei niedrigere Ordnungen nicht verfügbar ist, verlangt man, daß die um eins niedrige Ordnung erkm1 mindestens halb so klein, oder noch kleiner ist, als die aktuell benutzte Ordnung erk.

Nachdem nun die obigen Tests durchgeführt wurden und u.U. eine um eins kleinere Ordnung $p$ vorschlugen, wird der Fehlertest vollzogen. Man befindet sich hier immer noch hinter $P$ und $E$, aber noch vor $C$ und $E$. Der Fehlertest entscheidet, ob der Schritt wiederholt werden muß. Außer in Notfällen, wird hier lediglich die Schrittweite $h$ halbiert. Ein Notfall liegt vor, bei wiederholtem Nichtbestehen des Fehlertestes. Wird der Fehlertest nicht bestanden, so werden die Stufen $C$ und $E$ nicht durchlaufen.

Ist der augenblickliche Schritt durch die Fehlerkontrolle akzeptiert worden, so folgen nun $C$ und $E$; es wird nun also korrigiert und die Schlußauswertung der Funktion $f$ wird durchgeführt. Danach wird schnell geprüft, ob schon eine Entscheidung über eine Ordnungsreduktion gefällt wurde---w.o. angegeben. Die endgültige Entscheidung für eine neue Ordnung für den folgenden Schritt, geschieht nach der Regel

Die Ordnung $p$ wird also endgültig erniedrigt, falls dies vorher schon bei der Bestimmung von $\hat p_{\rm neu}$ feststand, oder falls die um eins niedrigere Ordnung erkm1 sowohl besser ist, als die aktuelle Ordnung erk, als auch zugleich besser ist als die um eins höhere Ordnung erkp1. Die Ordnung $p$ wird erhöht, falls die maximal mögliche Ordnung 12 noch nicht erreicht wurde und falls eine Ungleichungskette der Form

vorliegt. Außerdem müssen dann mindestens $(k+1)$ Schritte mit konstanter Schrittweite durchgeführt worden sein. Die Zählung der Schrittweite mit konstantem Betrag, wird mit Hilfe des Zählers ns vorgenommen.

Ist die Ordnung vorher gleich eins, so kann eine Tendenz über mehrere Ordnungen nicht überprüft werden und es wird dann verlangt, daß die um eins höhere Ordnung mindestens halb so klein oder noch kleiner ausfällt.

3. Ist nun die neue Ordnung $p$ aufgrund der obigen Überlegungen bestimmt worden, so wird jetzt die zu dieser Ordnung $p$ passende Schrittweite $h$ berechnet. Diese Berechnungen werden also ganz zum Schluß durchgeführt, also nach $PECE$. Als Hilfsgröße sei für das weitere erklärt der Schrittweitenfaktor $r$ mit

Die neue Schrittweite $h_{\rm neu}$ wird nun wie folgt berechnet:

Die Startphase wird verlassen wenn ein Schritt zurückgewiesen wurde, die Ordnung erniedrigt wurde, oder die maximal mögliche Ordnung erreicht wurde. Zur Vermeidung des Rechnens an der Grenze der Maschinengenauigkeit wird tatsächlich weitergerechnet mit der Schrittweite

$u$ ist hierbei die kleinstmögliche Zahl, die auf dem Rechner noch dargestellt werden kann, sodaß $1+u>1$.

DE/STEP ist eines der Programme, welches dem Rechnen nahe der Grenzgenauigkeit große Aufmerksamkeit widmet.

Kann die Schritweite im nächsten Schritt verdoppelt werden, fällt also der Schrittweitenfaktor $r$ größer als zwei aus, so wird die Schrittweite $h$ auch tatsächlich verdoppelt, jedoch sonst nicht weiter vergrößert. Man beachte, daß das Programm DE/STEP die Schrittweiten höchstens verzweifachen kann.

Gilt nicht $r>2$ und ist $\texttt{erk}\le{1\over2}\varepsilon$, man zielt hier also auf doppelt so genaue Ergebnisse, so wird die Schrittweite $h$ derart belassen, wie sie ist. Im anderen Falle wird sie schlimmstenfalls halbiert, aber mindestens jedoch um 10% herabgesetzt.

Die Schrittweitenänderungen sind in diesem Lichte recht dual: man verdoppelt, belässt oder halbiert die Schrittweite. Es sei nocheinmal betont, daß wenn die Schrittweite $h$ nicht verdoppelt wird, sie überhaupt in keiner anderen Weise vergrößert wird. Diese Entscheidung begünstigt konstante Schrittweitenfolgen, welche für lineare Mehrschrittverfahren, in der Darstellung mit rückwärtsgenommenen Differenzen, besonders vorteilhaft ist. Sehr wohl wird jedoch relativ häufig die Ordnung $p$ verändert. Ein Wechsel der Ordnung ist für ein lineares Mehrschrittverfahren basierend auf einer Differenzendarstellung äußerst einfach und äußerst rechengünstig.

4. Wie schon mehrfach geschehen, sei hier abermals darauf hingewiesen, daß die zahlreich auftretenden Minima, Maxima und Sicherheitsfaktoren wie $\varepsilon/2$, $9\over10$ und dergleichen, nicht etwa einem Beweise entspringen, sondern heuristischen Ursprunges sind. Diese Überlegungen basieren auf Erfahrungen und Plausibilitätsüberlegungen. Ihre Bestätigung erhalten sie durch gutes, sicheres und effizientes Funktionieren des resultierenden Programmes.

Es handelt sich allerdings nicht um ad hoc Maßnahmen, sondern um Überlegungen, zu denen es triftige Hinweise gibt. An sehr speziellen Testproblemen kann ihre Wirksamkeit dargelegt werden.

Wollte man die Schrittweiten- und Ordnungssteuerungs-Strategien, wie sie in dem Programm DE/STEP verwendet werden, w.o. beschrieben, übernehmen als Schrittweiten- und Ordnungssteuerungsstrategie für andere Programme, so ist zu beachten, daß eine so duale Schrittweitenauswahl, die Iterationsmatrix $W=I-\gamma J$ ebenfalls recht abrupt ändert. Es ist also so, daß eine glattere und langsamere Anpassung der Schrittweite $h$ an den Verlauf der Lösung, bei steifen Differentialgleichungen, bei denen die impliziten Formeln i.a. mit Hilfe eines modifizierten Newton-Kantorovich Iterationsverfahren gelöst werden, Vorteile haben kann, mit Hinblick auf die Iterationsmatrix $W$. Darum erscheint eine Verwendung der Nordsieck-Darstellung, wie sie bei dem Programm LSODA verwendet wird, eine günstige Wahl zu sein.

Zumindestens wäre der Hindmarsh-Test entscheidend abzuändern, wenn man eine Schrittweiten- und Ordnungssteuerungsstrategie wie in dem Programm DE/STEP, verwenden wollte. Allerdings zeigt das gute Funktionieren des Programmes DDASSL, daß der Aspekt der langsamen Änderung der Iterationsmatrix bzgl. der Schrittweite $h$, nicht von alles entscheidender Bedeutung ist.

Die anderen Überlegungen, die in dem Programm DE/STEP zum Tragen kommen, also Bestimmung der Ordnung vor der Bestimmung der Schrittweite und die Notwendigkeit einer Tendenz im Verhalten von Termen, sind überlegenswerte Ansatzpunkte auch für andere Programme. Das Programm TENDLER übernahm die Gedanken der Tendenz genau von dem Programm DE/STEP.

Auch die Möglichkeit der Verkleinerung der Schrittweite, selbst nach erfolgreichem Schritt, haben Parallelen zwischen dem Programm DE/STEP und TENDLER. Die Programme STINT, LSODE und LSODA können die Schrittweite nur dann überhaupt verkleinern, bei einem Fehlschlag oder bei mehrfachem Konvergenzversagen.

5. Um auch einen Überblick über die Größe der Argumentenliste des Programmes DE/STEP zu erhalten, seien diese Werte hier vermerkt:

Das Programm DE/STEP setzt sich also aus lediglich 4 Unterprogrammen zusammen, von denen das Unterprogramm de die Hauptlast der algorithmischen Leistung vollbringt. Wie allgemein üblich handelt sich bei allen hier überhaupt erwähnten Programmen um Unterprogrammsammlungen und nicht etwa um selbstständige, autonom ablauffähige Programme. Erst durch ein vom Benutzer für sein spezielles Problem angepasstes Aufrufprogramm, werden die erwähnten Unterprogrammsammlungen genutzt.

1. TENDLER: 1. Grobaufbau und prinzipielle Überlegungen
2. TENDLER: 2. Benutzung des Programmes
3. TENDLER: 3. Der Prädiktor
4. TENDLER: 4. Die Korrektoriteration
5. TENDLER: 5. Die Fehlerkontrolle

Inhalt.

• 1. Abbruch- und Diskretisierungsfehler
• 2. Einfache Beziehung zwischen exakten und berechneten Werten
• 3. Die Phase 1 der Fehlerkontrolle
• 4. Die Phase 2 der Fehlerkontrolle
• 5. Die verwendeten Fehlerfaktoren im Programm TENDLER
• 6. Programmnahe Beschreibung der Fehlerkontrolle

However, we can say that if you are using a 12-line solver for differential equations on anything bigger than a hand calculator, you should consider using one of the cited packages instead. Recently, we have noted that there is commercially available “software” for differential equations with no error control, a user-specified fixed step size, no warning messages, and so on. We strongly advise against using such programs, even on a personal computer. The reasons are straightforward. For all but trivial problems, such programs cannot be sufficient reliable for accurate computational results.

G.D. Byrne, A.C. Hindmarsh (1987)

In diesem Segment wird nun versucht zu überprüfen, ob die berechneten Näherungen die geforderte Genauigkeitsbedingung, die der Programmbenutzer angibt, erfüllen. Es wird an dieser Stelle deutlich werden, warum es günstig ist, eine Darstellung der berechneten Lösungen in Form von rückwärtsgenommenen Differenzen zu wählen. Sie dienen als Näherungen für entsprechend hohe Ableitungen, welche seinerseits zur Schätzung des lokalen Fehlers herangezogen werden.

Es folgt also die Beschreibung der Fehlerkontrolle. Die Fehlerkontrolle wird nach der Korrektoriteration ausgeführt. Dabei werden die verwendete Heuristik und weitere Einzelheiten angegeben. Die Fehlerkontrolle ist in zwei Phasen aufgeteilt. Jede Phase für sich fällt Entscheidungen über das Fortrechnen. Die Fehlerkontrolle kann entweder nicht bestanden oder passiert werden. In Abhängigkeit dieser Entscheidung müssen weitere Entscheidungen getroffen werden, wie weiterverfahren werden soll.

Im Falle, daß die Fehlerkontrolle nicht bestanden wurde, stehen einem zwei massgebliche Parameter zur Verfügung. Dies ist zum einen die Ordnung $p$ und zum anderen die Schrittweite $h$.

Zuerst wird versucht durch Verändern der Schrittweite dem Fehlertestversagen zu begegnen. Erst nach mehrmaligen Nichtbestehen wird die Ordnung ebenfalls verändert.

Bei einem Programm basierend auf zyklischen Formeln, sind nach einem Fehlertestversagen mehrere Fortsetzungsmöglichkeiten denkbar. Zum einen könnte nur eine einzige Stufe wiederholt werden, oder es könnte der gesamte Zyklus wiederholt werden. Beide Möglichkeiten haben ihre Vor- und Nachteile. Im Programm TENDLER wird die letztere Möglichkeit gewählt. Statistiken belegen, daß die Furcht vor dem Wiederholen ganzer Zyklen nicht gerechtfertigt ist. Erfahrungsmaterial spricht nicht eindeutig gegen vielstufige Zyklen, allerdings auch nicht eindeutig für sie.

Ein paar Worte zum Begriff “Fehlerkontrolle” und “Konvergenztest”. Die weiter unten zu beschreibende “Fehlerkontrolle” kann nicht wirklich globale Fehler kontrollieren, zumindestens nicht in jedem Falle. Sie kann also nicht Fehler, die entstehen durch Ersetzung des kontinuierlichen Problems (Differentialgleichungsanfangswertproblem) durch ein diskretes Problem (implizite Differenzengleichung) genau quantifizieren. Etwas korrekter wäre von einem Versuch der Schätzung zu sprechen. Den Ersetzungsfehlern überlagern sich weitere Fehler, wie z.B. Rundungsfehler, Iterationsfehler, Startfehler, etc. Mit dem Begriff Konvergenztest verhält es sich ähnlich. Der Konvergenztest ist kein Test im Sinne eines Majorantenkriteriums, Verdichtungskriteriums oder dergleichen, sondern eine Entscheidung über den Abbruch der Iteration, also die ausdrückliche Finitisierung eines unendlichen Vorganges.

Bibliographisch.

1. George Dennis Byrne
2. Alan C. Hindmarsh (*1942)
3. Byrne, George D. und Hindmarsh, Alan C.: “Stiff ODE Solvers: A Review of Current and Coming Attractions”, Journal of Computational Physics, Vol 70, No 1, May 1987, pp.5—62

1. Abbruch- und Diskretisierungsfehler

Die Definition des lokalen Fehlers sind in Hairer/Wanner/Nørsett (1987), Albrecht (1985) und in Reimer (1982) jeweils verschieden, obwohl natürlich letztendlich sinnentsprechend. Gelegentlich wird auch zwischen den beiden Begriffen Abbruch- und Diskretisierungsfehler nicht unterschieden, oder nur einer der beiden eingeführt. Die hier beiden festgelegten Begriffe sind konzeptionell verschieden, führen jedoch unter milden Voraussetzungen zu gleichen Ergebnissen.

1. Sei

eine vorerst nicht weiter eingeschränkte Vektorfunktion mit $k+1$ Vektorargumenten. $n$ erinnere hier an eine von außen kommende Dimension, und $\ell$ erinnere an eine ebenfalls von außen induzierte Stufenzahl. Betrachtet werde die Differenzengleichung

wobei die $u_0,\ldots,u_k$ vorgegeben gedacht seien. $u_k$ berechnet sich als Lösung von $\varphi(u_k,u_{k-1},\ldots,u_0)=0$, $u_{k+1}$ berechnet sich als Lösung von $\varphi(u_{k+1},u_k,\ldots,u_1)=0$, u.s.w. Die eindeutige Auflösbarkeit sei von $\varphi$ im folgenden stets, ohne ausdrückliche Betonung, vorausgesetzt. Dies ist beispielsweise erfüllt, wenn $\varphi$ bzgl. der ersten Vektorkomponente kontrahierend ist; ein häufig auftretender Spezialfall.

2. Beispiele: (1) Implizites Eulerverfahren. Hier ist

(2) Zyklische lineare Mehrschrittverfahren. Hier wäre

3. Sei $y$ eine beliebige Kurve des $\mathbb{R}^{n\ell}$. Die Werte $u_m$ sollen $y(t_m)$ möglichst gut annähern. Die Differenz von $u_m$ und $y(t_m)$ ist der globale Fehler, oder, wenn man betonen will, daß man $y$ diskret annähert, der globale Diskretisierungsfehler, wobei man dann $\varphi$ als Diskretisierungsverfahren oder Differenzenverfahren bezeichnet. Der globale Fehler soll klein sein. Diese Forderungen führt zu Bedingungen an $\varphi$. Jedoch ist dieser globale Fehler schwer bestimmbar, mindestens so schwer bestimmbar wie die Kurve $y(t)$ selber. Einfacher zu bestimmen sind lokaler Abbruchfehler und lokaler Diskretisierungsfehler, zumindestens Anschmiegungen entsprechend hoher Ordnungen.

4. Definition: Sei $y(t)$ eine beliebige aber feste Kurve, z.B. Lösung des Anfansgswertproblems $\dot y=f(t,y)$, $y(t_0)=y_0$.

(1) Sei $u_{m+1}$ Lösung von $\varphi(u_{m+1},u_m,\ldots,u_{m-k+1})=0$ ($\forall m\ge k$). Dann heißt

globaler Diskretisierungsfehler an der Stelle $t_{m+1}$ für das Differenzenverfahren $\varphi$.

(2) Das Residuum

heißt lokaler Abbruchfehler an der Stelle $t_{m+1}$ für das Differenzenverfahren $\varphi$.

(3) Sei $u_{m+1}$ Lösung von $\varphi(u_{m+1},y(t_m),\ldots,y(t_{m-k+1}))=0$. Dann heißt die Differenz

lokaler Diskretisierungsfehler an der Stelle $t_{m+1}$ für das Differenzenverfahren $\varphi$.

5. Bemerkung: Beim lokalen Abbruchfehler werden in alle $k+1$ Argumente von $\varphi$, die exakten Werte $y(t_i)$ eingesetzt und das entsprechende Residuum heißt lokaler Abbruchfehler. Beim lokalen Diskretisierungsfehler nimmt man für die letzten $k$ Argumente von $\varphi$ die exakten Kurvenwerte und der sich dann ergebende Lösungswert der Differenzengleichung wird mit dem exakten Wert der Kurve verglichen. Der lokale Diskretisierungsfehler ist ein spezieller globaler Diskretisierungsfehler, nämlich derjenige, der zusätzlich die Bedingung $\varphi(u_{m+1},y(t_m),\ldots,y(t_{m-k+1}))=0$ erfüllt, also ein globaler Fehler unter Nebenbedingungen.

Bei einfachen Zusatzvoraussetzungen an $\varphi$, sind die Bedingungen (2) und (3) zueinander gleichwertig.

6. Satz: Voraussetzungen: Für

sei $\varphi_1'$ die Jacobimatrix von $\varphi$ bzgl. des ersten Vektorargumentes, wobei jede Zeile der Jacobimatrix an verschiedenen Stellen ausgewertet wird, also

wobei $D_1$ Ableitung nach dem ersten Vektorargument bezeichnet, also

Für $u_{m+1}$ gelte $\varphi(u_{m+1},y(t_m),\ldots,y(t_{m-k+1}))=0$, und $\varphi_1'$ sei beschränkt und invertierbar für $h\to0$.

Behauptung:$\qquad r={\cal O}(h^{p+1}) \quad\iff\quad s={\cal O}(h^{p+1})$.

Beweis: Es gilt

woraus wegen der Beschränktheit und Invertierbarkeit für $\varphi_1'$ die Behauptung folgt.     ☐

7. Corollar: Für das zyklische lineare Mehrschrittverfahren

gilt für beliebige feste $\mu$:

Deutet man $c_{p+1}$ als Vektor der Fehlerfaktoren der Stufen, so besagt das Resultat, wie man vom lokalen Abbruchfehler in den lokalen Diskretisierungsfehler umrechnet, nämlich einfach durch Multiplikation mit $A_k^{-1}$, zumindestens bis auf Anschmiegungen der Ordnung $p+2$ in $h$. Im Falle $\det A_k=0$, also $\varphi_1'$ nicht invertierbar, gilt der Satz nicht mehr so ohne weiteres.

8. Definition: Sei $y$ ein beliebige Kurve des $\mathbb{R}^{n\ell}$.

(1) Das Verfahren $\varphi$ heißt (polynomial) konsistent mit der (polynomialen) Konsistenzordnung $p$ genau dann, wenn

Äquivalent hierzu ist unter der Bedingung $\varphi_1'$ beschränkt und invertierbar, daß $s(t_{m+1},\mathbb{P}_\mu,h)=0$.

(2) Das Verfahren $\varphi$ heißt (polynomial) konvergent der (polynomialen) Konvergenzordnung $p$ genau dann, wenn $d(t_{m+1},\mathbb{P}_\mu,h)=0$, für $\mu=0,1,\ldots,p$, $h\to0$.

Die Betonung auf polynomialer Konsistenz und polynomialer Konvergenz beruht darauf, daß es auch andere Konsistenz- und Konvergenzarten gibt, z.B. basierend auf trigonometrischen Funktionen oder anderen Funktionensystemen.

Der nächste Abschnitt ist im großen und ganzen nichts weiter als eine längliche Fassung des obigen Corollars.

2. Einfache Beziehung zwischen exakten und berechneten Werten

1. Zu einem $\ell$-stufigen Zyklus mit $k$ Startwerten sei betrachtet

mit

und

$\dot Y_{m+i}$ enthält die entsprechenden Ableitungen. Die $B_i$ sind ganz analog wie die $A_i$. Hierbei sind

Es ist $\kappa = \lceil k/\ell \rceil$, mit der Anzahl der Startwerte $k$. Es ist

Die Assoziation von $L$ gemäß obiger Festlegung mit $t_{m\ell}$ besitzt eine gewisse Freizügigkeit. Ein fester Wert $t$ innerhalb des Intervalles $[t_{m\ell+1}, t_{m\ell+\ell}]$ beispielsweise, wäre ebenfalls genauso brauchbar.

Sei $L=(L_1,\ldots,L_\ell)$, mit $L_i\in\mathbb{R}^n$ $(i=1,\ldots,\ell)$, so ist hiermit

2. Ist die Funktion $y$ Lösung der Differentialgleichung

so drückt $L_i$ im Falle $L_i(t_{m\ell},y,h)\ne0$ aus, in wie weit die exakte Lösung der Differentialgleichung die $i$-te Stufe nicht erfüllt. Man findet jetzt durch Taylorentwicklung aller $y(t_{m\ell+j})$ mit der Entwicklungsstelle $t_{m\ell+\hat\imath}$, daß

wobei die $c_{ij}$ gegeben sind durch

und für $j=0$ durch

Die Koeffizienten $c_{ij}$ nehmen also Vorzeichen und Fakultäten der Taylorentwicklung in sich auf. Man beachte, daß alle Stufen der Tendlerschen Zyklen jeweils die gleiche Konsistenzordnung haben, daher erscheint letztendlich für jedes $i\in\{1,\ldots,\ell\}$ die gleiche $h$-Potenz, also schließlich $p\equiv p_i$.

Die $c_{ij}$ für $0\le j\le p_i$ hängen nicht von $\hat\imath$ ab, und $\hat\imath$ muß nicht notwendigerweise ganzzahlig sein. Die $c_{ij}$ für $j>p_i$ können von $\hat\imath$ abhängen.

Für $L=(L_1,\ldots,L_\ell)$ erhält man damit

wobei

Der Vektor $c_{p+1}$ hängt nicht von der Taylor-Entwicklungsstelle $\hat\imath$ ab.

Die Konsistenzordnung ist immer gleich der Konvergenzordnung bei sämtlichen Tendlerschen Zyklen, wie man durch längere, aber elementare Rechnung nachweist. Bei zyklischen Formeln, selbst wenn alle Stufen die gleiche Konsistenzordnung aufweisen, muß die Konvergenzordnung nicht grundsätzlich mit der Konsistenzordnung übereinstimmen. Diese Überlegungen findet man in allgemeiner Form dargestellt bei Albrecht (1985)._{Albrecht, Peter}

Seien $y_{m\ell+i}\in\mathbb{R}^n$ im folgenden die vom Programm TENDLER berechneten Näherungen für $y(t_{m\ell+i})\in\mathbb{R}^n$. Die Komponenten von $y_{m\ell+i}$ bzw. von $y(t_{m\ell+i})$ seien mit $y_{\nu,m\ell+i}$ bzw. mit $y_\nu(t_{m\ell+i})$ bezeichnet, $\nu=1,\ldots,n$.

3. Unter der vereinfachenden Annahme, daß

erhält man durch komponentenweises Anwenden eines Mittelwertsatzes unter Beachtung von beschränkten, geeigneten Inversen ($h$ ausreichend klein), daß

mit

Die vereinfachende Annahme liegt hier darin, daß Gleichheit für “vergangene” Werte $y(t_{m\ell+j})$ und $y_{m\ell+j}$ für geeignete $j$, angenommen wird. Diese Größen können jedoch grundverschieden sein und dürfen nicht miteinander verwechselt werden.

4. Anstatt zyklusweise vorzugehen, kann man auch stufenweise vorgehen. Nimmt man vereinfachend an, daß

für ein festes $i\in\{1,\ldots,\ell\}$, so erhält man

Die Vereinfachung liegt hier wieder in der vorausgesetzten Exaktheit vergangener Werte. Gleichungen $(1)$ und $(2)$ sind die jeweilige Grundlage für Phase 1 und Phase 2 der Fehlerkontrolle im Programm TENDLER. In der Phase 2 wird lediglich der Fall $i=3$ und ggf. der Fall $i=4$ betrachtet.

5. Dem Term $y^{(p+1)}(t_{m\ell+\hat\imath}){\mskip 3mu} h^{p+1}$ mißt man jetzt in der Fehlerkontrolle große Bedeutung bei. Alle anderen einfliessenden Terme, also insbesondere die Terme höherer Ordnung, oder andere Störgrößen, die z.B. aus der Korrektoriteration stammen könnten, werden nicht weiter gesondert beachtet. Aber auch Effekte, die ihren Ursprung in einem Schrittweiten- oder Ordnungswechsel haben, oder Startfehler, alles dies wird völlig in den nachfolgenden Überlegungen ignoriert. Dies heißt nicht, daß diese Größen keinen Einfluß hätten. Im Vergleich zu den einfachen Tests, wie sie nachfolgend beschrieben werden, entziehen sich diese Einflüsse aber leider einer einfach zu handhabenden, kostengünstigen Überprüfung ihres quantitativen Einflusses. Allerdings wird dann an anderer Stelle versucht durch Sicherheitsfaktoren und Sicherheitsreserven hier einen gewissen Ausgleich zu erzielen.

Es ist nun notwendig $y^{(p+1)}(t_{m\ell+\hat\imath}) {\mskip 3mu} h^{p+1}$ durch leichter berechenbare Größen zu ersetzen. Hierzu wird $\nabla^{p+1}y_{m\ell+i}$ genommen, wobei wie üblich $\nabla$ die rückwärtsgenommene Differenz bezeichnet.

Es gilt nun, z.B. siehe Hildebrand, Francis B., Hildebrand (1956) [S.47, (2.6.6) und S.92, (4.2.7)], oder siehe Fröberg, Carl-Erik, Fröberg (1970) [S.170], daß

Für diese Zwischenstelle $\xi$ gilt nicht notwendig $\xi=t_{m\ell+i}$. Da die rückwärtsgenommenen Differenzen ehedem zu Interpolationszwecken berechnet werden müssen, erfordert die Bereitstellung von $\nabla^{p+1}y_{m\ell+i}$ nur eine Vektoroperation. Dieses Argument kann man natürlich auch anders herum betrachten: Da schon sowieso eine Fehlerkontrolle über $\nabla^{p+1}y_{m\ell+i}$ durchgeführt wird, kann man auch leicht mit rückwärtsgenommenen Differenzen interpolieren.

Nach diesen Vorbereitungen sollen nun die beiden wichtigen Glieder der Fehlerkontrolle vorgestellt werden.

Bibliographisch:

1. Hildebrand, Francis Begnaud: “Introduction to Numerical Analysis”, McGraw Hill Book Company, New York Toronto London, 1956, x+511 S.
2. Fröberg, Carl-Erik: “Introduction to Numerical Analysis&rdquo, Addison-Wesley, Reading (Massachusetts) Menlo Park London Sydney Manila, 2nd Edition, 1970, xii+433 S.

3. Die Phase 1 der Fehlerkontrolle

1. Der Fehlerkontroll-Teil ist in zwei Phasen eingeteilt. In der ersten Phase wird nach den ersten beiden Schritten $\nabla^{p+1}y_{m\ell+2}$ ausgerechnet. Die berechneten beiden Näherungen $y_{m\ell+1}$ und $y_{m\ell+2}$ werden nun akzeptiert, falls

Hierbei sind $d_{i,p+1}$, mit $i=1,\ldots,\ell$, die Komponenten des Vektors $d_{p+1}$. Der Nenner wurde gewählt als

Diese Beziehung gilt für alle Ordnungen $p=1,\ldots,7$.

Aus Sicherheitsgründen und um möglichst die vorgegebene Toleranzschwelle nicht zu überschreiten, wird natürlich dem Maximum der beiden Werte der Vorzug eingeräumt. Im Falle, daß Phase 1 oder Phase 2 einen Schritt zurückweisen, kommen dann anschliessend die gleichen Strategien zur Anwendung.

D.h. in der zweiten Stufe entscheidet man über die zweite berechnete Näherung und gleichzeitig aber auch über die erste Näherung. Dies liegt daran, daß nicht immer genügend viele vergangene Lösungswerte bekannt sind, um die rückwärtsgenommenen Differenzen entsprechend hoher Ordnung zu bilden. Dies ist beim Start der Integration der Fall.

Die Vektoren $d_{p+1}=A_\kappa^{-1}c_{p+1} \in \mathbb{R}^{\ell\times\ell}$, für die Ordnungen $p=1,\ldots,7$, sind wie nachfolgend, teilweise gerundet.

Hierbei sieht man also tatsächlich, daß von den ersten beiden Komponenten, die zweite betragsmässig immer die größere ist. Nur die zweite Zeile findet in dem Programm TENDLER Anwendung, die anderen Zeilen werden nicht benötigt. Abgespeichert werden jedoch nicht diese Werte sondern die Kehrwerte.

2. Es ist hierbei $|\cdot |_w$ dieselbe gewichtete Norm wie sie auch bei der Korrektoriteration auftrat. Eine Möglichkeit den Gewichtsvektor zu aktualisieren ist wie folgt. Man wählt für jede Komponente des Gewichtsvektor das Maximum von

1. eins und
2. dem Betrag der größten Näherung, die bisher berechnet wurde.

Diese Wahl der Gewichte würde die Fehlerkontrolle in der folgenden Weise beeinflussen: Die Fehlerkontrolle wäre

1. relativ für diejenigen Komponenten die betragsmässig größer sind als eins,
2. absolut für die Komponenten, die betragsmässig kleiner als 1 sind und so bleiben und
3. absolut gefolgt von relativ für diejenigen Komponenten, die erst betragsmässig kleiner und anschließend größer sind als 1.

Die genaue Wahl des Gewichtsvektors kann der Benutzer beliebig vorgeben. Das Programm TENDLER erzwingt oder erfordert hier keinerlei Einschränkungen. Nichts desto trotz hat die Wahl der Norm Einfluß auf die Effizienz des Programmes.

Nicht unüblich ist hierbei auch eine Kopplung des Gewichtsvektors mit der geforderten Genauigkeit. Aber auch mit berechneten Werten für die Ableitungen kann man die Normroutine versehen. Diese Berechnungsvorschriften hängen z.T. von der zugrunde liegenden Zielsetzung des Programmbenutzers ab.

Eine Beschreibung zu dem Komplex der Normberechnung findet man z.B. bei Shampine/Gordon (1984). Wenn Geschwindigkeitsüberlegungen im Vordergrund stehen, ist eine auf der Maximumnorm aufbauende Norm kostengünstiger zu berechnen, als eine Routine basierend auf der euklidischen Norm. Mit beiderlei Arten von Normroutinen wurde das Programm TENDLER getestet.

Biographisch:

1. Lawrence F. Shampine
2. Marilyn K. Gordon

4. Die Phase 2 der Fehlerkontrolle

1. Wie vorher wird $y^{(p+1)}(t_{m\ell+\hat\imath}) {\mskip 3mu} h^{p+1}$ durch $\nabla^{p+1}y_{m\ell+i}$ angenähert, insbesondere mit $\hat\imath=i$. Die Werte $1/d_{2,p+1}$ liegen in etwa zwischen 1 und 6. Die Werte $\alpha_{ii}/c_{i,p+1}$ liegen größenordnungsmäßig zwischen 1 und 20.

Die maximale Stufenzahl $\ell$ ist hierbei $\ell=3$, für $p\in\{1,2,3,4\}$ und $\ell=4$, für $p\in\{5,6,7\}$. In der zweiten Phase der Fehlerkontrolle wird für die letzte $\ell$-te Stufe, bzw. letzten beiden (d.h. für $\ell-1$ und $\ell$) Stufen im Zyklus, der folgende Test angewendet, um auf Akzeptanz zu prüfen:

Wird dieser Test nicht bestanden, so wird der gesamte Zyklus zurückgewiesen, und es wird für den zu wiederholenden Zyklus eine geeignete neue Schrittweite bestimmt.

Je nach gewählter Option können die Tests während der Phase 2 zu einem einzigen Test zusammenschrumpfen. Testläufe zeigen, daß die maßgeblichste Überprüfung, diejenige der Phase 1 ist, also gemeint sind damit die Überprüfungen, die zu einem Wiederholen des Zyklus führen. Aufgrund der Größenverhältnisse der verwendeten Konstanten ist dies nicht verwunderlich. Dies darf natürlich nicht dahingehend interpretiert werden, daß dies bei allen zyklischen Formeln so der Fall ist, auch nicht bei den zyklischen Formeln von J.M. Tendler. Zu den Gründen warum gleich der gesamte Zyklus wiederholt wird, anstatt nur die betreffende Stufe, gelten die Überlegungen, die beim Konvergenztest angegeben wurden, entsprechend (Stummelzyklusproblem). Gelegentlich tritt der Fall ein, daß ein zurückgewiesener Schritt seine Ursachen in einer zu alten Iterationsmatrix $W$ hatte, jedoch ist dies selten. Es ist gerade die Aufgabe des Hindmarsh-Testes hier für eine entsprechend günstige Aktualisierung zu sorgen.

2. Zur Interpolation der Zwischengitterpunkte wird das Unterprogramm tdlintsglbase() aufgerufen, welches wiederum $(p-1)$-mal das Unterprogramm tdlnewtform() aufruft.

Da $y_{m\ell}$ schon bekannt ist, müssen nur $(p-1)$-mal, anstatt $p$-mal Werte berechnet werden. Die insgesamt $p$ Ordinatenwerte müssen dann umgeformt werden in rückwärtsgenommene Differenzen. Dies geschieht mit dem Unterprogramm tdlformbackdiff().

Schließlich muß noch für den Prädiktor der Wert $hf_{m\ell-1}$ auf die neue Schrittweite angepasst werden. Dies besorgt das Unterprogramm tdladapthz().

Der Arbeitsaufwand für einen Schrittweitenwechsel beträgt insgesamt ${\cal O}({3\over2}p^2+{1\over2}p)$ Vektoroperationen. Die Bereitstellung und die ständige Pflege und Aktualisierung der Differenzentabelle pro Stufe kostet $p$ Vektoroperationen. Das Programm DE/STEP benötigt hier $(p+2)$ Vektoroperationen. Bzgl. der Überlegungen, ob es günstiger ist den gesamten Zyklus zu wiederholen oder nur die zurückgewiesene Stufe, beachte man, daß innerhalb eines Zykluses dann eine Differenzentabelle für Ableitungswerte mitgeführt werden müsste. Dies würde den Speicherplatzbedarf auf jeden Fall anschwellen lassen und möglicherweise auch den Rechenzeitbedarf. Wie erwähnt treten auch theoretische Schwierigkeiten bzgl. des Stummelzyklus, also des nicht zu Ende geführten Zyklus, hinzu.

Nocheinmal soll darauf hingewiesen werden, daß in dem Programm TENDLER nicht alle Stufen einer Fehlerkontrolle unterzogen werden. Beachtet man gewisse Eigenheiten beim Start der Integration, so liesse sich diese Eigenschaft leicht verändern. Der Integrationsanfang ist insofern einer Sonderbehandlung zu unterziehen, als daß dort nicht gleich genügend viele rückwärtsgenommene Differenzen entsprechender Ordnung zur Verfügung stehen.

5. Die verwendeten Fehlerfaktoren im Programm TENDLER

Die Reziprokwerte der Beträge der skalierten Fehlerfaktoren, also

sind in der fünfzeiligen Tabelle zusammengefaßt. Die Werte sind gerundet.

Man behalte im Auge, daß für die Fehlerkontrolle, nur die letzten beiden Zeilen der bzw. die letzten drei Zeilen der angegebenen fünfzeiligen Tabelle verwendet werden und zwar für die zweite Phase des Fehlerkontrollteils.

Die erste Phase benutzte die Werte $d_{p+1}=A_\kappa^{-1}c_{p+1}$. Die obigen Werte $\alpha_{ii}/c_{i,p+1}$ werden in transponierter Form in der Konstantenmatrix alfa_div_errfac[8][4] abgespeichert. Die erste Zeile dieser Tabelle wird also in dem Programm TENDLER nirgendwo benutzt. Dennoch sind diese Werte gespeichert, da sie u.U. bei einer Änderung des Konvergenztestes benutzt werden könnten.

Für die erste Phase werden ja die Reziprokwerte der Beträge $\mathopen|d_{2,p+1}\mathclose|$ für die Ordnungen $p=1$ bis $p=7$ benutzt. Diese lauten gerundet:

Diese Konstanten sind in dem Konstantenvektor errconst[8] abgespeichert.

6. Programmnahe Beschreibung der Fehlerkontrolle

Since for a stiff problem it is stability and not accuracy that controls step-length, an error control mechanism based on accuracy requirements is unnecessary. The numerical results certainly bear this out. We are left with the interesting thought that, in general, algorithms for stiff systems, based on explicit methods used in some acceptably stable manner, do not need to have an error control mechanism.

Jack D. Lambert (1985)

1. Die erste Stufe des Zykluses wird immer durchgelassen. Im Programm TENDLER ist hier also $i=0$. In diesem Falle finden somit keinerlei weitere Überprüfungen statt, insbesondere keine Normberechnungen. Gesetzt wird nun die maximal zulässige Schranke $\varepsilon_{\rm max}$ für die weiteren Stufen, also für $i=1,2$ und gegebenenfalls noch für $i=3$. Man beachte hier die Indizierung von 0 an, anstatt von 1, im Gegensatz zu oben. Man setzt nun

und testet jetzt hiermit auf Akzeptanz des Schrittes durch den Test

Wird dieser Test nicht bestanden, so wird die Schrittweite $h$ auf jeden Falle verkleinert und zwar um den Faktor ratio, mit

Hierbei ist

Schließlich ist ecsaffac[] = $\{0.7, 0.6\}$.

Beim dritten konsekutiven Fehlschlag, also drei Fehlschläge direkt hintereinanderfolgend bei demselben Zyklus, wird die Ordnung $p$ auf 1 gesetzt und dies unabhängig davon, welche Ordnung vorher auch immer benutzt wurde.

Erfahrung und Testläufe zeigten, daß ein Fehlschlag selten ist, circa 1 Fehlschlag auf 400 Schritte, als grober Hinweis. Dies ist natürlich von der Differentialgleichung und der angeforderten Genauigkeit abhängig, aber auch —und das ist wichtig— von der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung.

Ein doppelter Fehlschlag ist noch seltener. Dreifache Fehlschläge in dem Programm TENDLER sind ebenfalls sehr selten. Für Aussagen solcher Art dienen u.a. die generierten Statistiken. Gleichzeitig ergab sich, daß bei vierstufigen Zyklen, also bei den Ordnungen $p\in\{5,6,7\}$, die Fehlerkontrolle für die dritte Stufe ($i=2$) nie versagte. Anteil hat maßgeblich die zweite Stufe und danach die letzte Stufe. Diese Beobachtung gilt ersteinmal nur für das Programm TENDLER, mit seinen Faktoren $\left|\alpha_{33}/c_{3,p+1}\right|$. Für andere Programme, basierend auf möglicherweise anderen zyklischen Formeln, kann das Bild vielleicht schon ganz anders aussehen.

Bei der Zurückweisung eines Schrittes werden die neu benötigten Werte auf dem neuen, engeren Gitter durch Interpolation bestimmt. Bei einem Einschrittverfahren entfällt diese Aufgabe. Wenn in dem Programm TENDLER mit dem impliziten Eulerverfahren gerechnet werden soll, ist also bei einem Schrittweitenwechsel keine Interpolation erforderlich. Die Schrittweite wird um den Faktor ratio verkleinert. Die Interpolation mit Hilfe rückwärtsgenommener Differenzen geschieht durch das Unterprogramm tdloldbdf().

2. Wird ein Schritt zurückgewiesen, so werden die folgenden Maßnahmen ergriffen:

1. Die Ordnung wird niemals erhöht, höchstens drastisch erniedrigt.
2. Falls die Fehlerkontrolle weniger als drei Mal nicht erfolgreich war, so wird die Schrittweite verkleinert, sofern sie die minimale Schrittweite noch überschreiten sollte.
   • Nach dem ersten Fehlschlag, wird die neue Schrittweite ähnlich bestimmt, wie im Abschnitt über die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung.
   • Nach dem zweiten Fehlschlag wird die Schrittweite halbiert, soweit sie dieses zuläßt.
3. Sollte die Schrittweite die kleinstzulässige Schrittweite nicht überschreiten, so wird die Ordnung auf 2 gesetzt, falls die Ordnung größer ist als 2, und sie wird auf 1 gesetzt, falls sie vorher nur noch 2 war.
4. In den beiden Fällen (2) und (3) wird dann der gesamte Zyklus wiederholt.
5. Sollte das nicht möglich sein, d.h. die Schrittweite ist minimal und die Ordnung ist gleich eins, dann wird der Zyklus zwangsweise akzeptiert. Je nach entsprechend gesetztem Modus erfolgt eine Fehlermeldung und eine entsprechende Markierung in den Rückgabeparametern.
6. Nach drei Zurückweisungen wird der Zyklus gänzlich neu gestartet, und zwar fast so, wie bei dem allerersten Aufruf des Programmes TENDLER. Die Schrittweite wird, soweit sie dieses zuläßt, noch gezehntelt.
7. Das Betreten der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung wird durch Setzen der Sperrvariablen problem und wait[] unterbunden.

Die in dem Programm TENDLER verwendeten Taktiken sind denjenigen des Programmes STINT und DIFJMT ähnlich. Die verwendeten Strategien sind überdies ähnlich denjenigen Taktiken, wie sie auch verwendet werden in dem Programm DIFSUB, siehe Gear (1971b), siehe Gear (1971c) [9.3, S.156--166]. Ähnlichkeiten bestehen auch zu dem Programm DSTIFF, siehe Gupta, Gopal K., Gupta (1985), S.942–943, welches seinerseits sich anlehnt an das Programm DIFSUB. Es gibt jedoch auch eine Reihe von Unterschieden. Z.B. wird an keiner Stelle pauschal 10-mal gewartet bis die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung erneut betreten wird.

Bibliographisch:

1. Lambert, Jack D.: A stable sequence of steplengths for Euler's rule applied to stiff systems of differential equations, Computer & Mathematics with Applications, Vol. 12, Issues 5-6, Part 2, September-December 1986, pages 1141–1151
2. Gupta, Gopal K.: “Description and Evaluation of a Stiff ODE Code DSTIFF”, SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, Vol 6, No 4, October 1985, pp.939–950
3. Gear, Charles William (1935—2022)
4. Gear (1968), Charles William: “The Automatic Integration of Stiff Ordinary Differential Equations”, IFIP Congress 68, Edinburgh, Scotland, $5^{\rm th}$–$10^{\rm th}$ August 1968, North Holland Publishing Company, Amsterdam, pp.A81–A85
5. Gear (1971a), Charles William: “Experience and Problems with the Software for the Automatic Solution of Ordinary Differential Equations”, in “Mathematical Software”, ACM Monograph Series, Editor John Rice, Academic Press, New York London, 1971, pp.211–227
6. Gear (1971b), Charles William: “The Automatic Integration of Ordinary Differential Equations”, CACM, Vol 14, No 3, March 1971, pp.176–179
7. Gear (1971b), Charles William: “Algorithm 407. DIFSUB for Solution of Ordinary Differential Equations [D2]”, CACM, Vol 14, No 3, March 1971, pp.185–190
8. Gear (1971c), Charles William: “Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations”, Prentice-Hall, Englewood Cliffs (New Jersey), 1971, _xvii+253 S.
9. Tendler, Joel Marvin: A Stiffly Stable Integration Process Using Cyclic Composite Methods
10. Tendler, J.M., Bickart, T.A., Picel, Z.: A Stiffly Stable Integration Process Using Cyclic Composite Methods. ACM Trans. Math. Softw. 4(4), 339–368 (1978)

Here we analyze the method from Majid/Suleiman/Omar. This is a block implicit method of order 4.

The error constant is

Majid, p=4, k=1, l=3
       -24.0000         0.0000         0.0000
        24.0000       -24.0000         0.0000
         0.0000        24.0000       -24.0000
         0.0000         0.0000        24.0000
         9.0000        -1.0000         1.0000
        19.0000        13.0000        -5.0000
        -5.0000        13.0000        19.0000
         1.0000        -1.0000         9.0000
rho_0          0.000000000           0.000000000           0.000000000
rho_1          0.000000000           0.000000000           0.000000000
rho_2          0.000000000           0.000000000           0.000000000
rho_3          0.000000000           0.000000000           0.000000000
rho_4          0.000000000           0.000000000           0.000000000
rho_5         -0.026388889           0.015277778          -0.026388889   <-----

Parasitic roots of Majid
        nr      real                    imag                    abs                     3-th root
         0      1.00000000         0.00000000              1.00000000                1.00000000
         1      0.00000000         0.00000000              0.00000000                0.00000000
         2      0.00000000         0.00000000              0.00000000                0.00000000

The method, written as

has the stability polynomial

The matrices are

For $\mathop{\rm Re} H\to -\infty$ the matrix $B_0$ will dominate. Matrix $B_0$ has eigenvalues 1, 0, 0.

We assume that the implicitness is resolved by a full Newton method. I.e., for a scaler differential equation we would have to solve a three-dimensional equation at each step. The method is $A$-stable but not $A_\infty^0$-stable (also called $L$-stable). See Tendler-like Formulas for Stiff ODEs for the definitions of all these stability properties.

Majid/Suleiman/Omar, however, treat the implicitness via fixed point iteration. Also, they do not solve a three-dimensional system but solve the block by either Jacobi or Gauß-Seidel iteration. In that case the method is no longer $A$-stable. The stability diagrams are given in their paper.

It would be interesting to investigate the effect of Gauß-Seidel combined with a Newton iteration per stage.

1. Stability region.

Below is the output of:

stabregion3 -f MajidOmar -oj -r120

2. Stability mountain.

Below is the output of:

stabregion3 -fMajidOmar -o3 -L5:-20:5:20

Majid/Suleiman/Omar stability mountain. One can clearly see a trough around zero. Also, clearly the roots approach 1 at infinity. So visually it is obvious that the method is not $A_\infty^0$-stable.

This post is a continuation of

1. Searching for Tendler-like formulas
2. Searching for Tendler-like formulas, #2

Here we search for further Tendler-like formulas. We extended stabregion2.c to stabregion3.c to include higher order base formulas during the search process. This essentially removes restriction R3 given in Tendler-like Formulas for Stiff ODEs.

For reference, below are Widlund-wedge angle α and Widlund-distance δ for the original Tendler formulas and for Tischer's formulas. See Tendler-like Formulas for Stiff ODEs.

The new eTendler formulas have below characteristics.

We will see that when we use more base sets that this unfortunately does not lead to a higher Widlund-wedge angle.

1. Order 3

We employ the program stabregion3.c for the search using random numbers. One can observe that we hit a wall when approaching 90°. The parasitic roots never get below 0.7 and a magnitude for the error constant of 0.1xx is the best we get.

$ echo 1  1 1  1 1 1 : 0 1 1  1 1 1 : 0 0 0  1 1 1 | stabregion3 -l- -bBase3:Base4:Base5 -I3:-450:450:98290900 -W89.75 -E2
W= 89.75367, xmin= -0.00134, parasitic=0.7408, |e|=0.136364	      1.000000   -116.976784   -160.273476    408.544509   -292.870403    258.037289      0.000000    -14.075707    196.676322    277.554276     36.174752    205.967153      0.000000      0.000000      0.000000      8.158036   -280.198221    -31.891473		1
W= 89.75748, xmin= -0.00126, parasitic=0.7416, |e|=0.136364	      1.000000   -129.033953    308.617742   -312.952059    232.284569    281.491023      0.000000   -185.527614    427.835000    357.601449   -131.864607   -108.235271      0.000000      0.000000      0.000000    102.657864   -442.822505    418.360371		2
W= 89.75603, xmin= -0.00138, parasitic=0.7445, |e|=0.209612	      1.000000    183.654754    -83.632788    207.673820   -218.713396    363.329801      0.000000   -186.569124    432.516866    384.545013    349.684793    109.006432      0.000000      0.000000      0.000000   -137.437044    136.879014   -386.410650		3
W= 89.76454, xmin= -0.00133, parasitic=0.7386, |e|=0.136364	      1.000000   -155.175878    -89.336642    428.639437    -23.498355    138.550631      0.000000    206.574634   -348.349077    305.763657   -187.166483    333.663008      0.000000      0.000000      0.000000     70.111688   -319.297164      3.326473		4
W= 89.76309, xmin= -0.00129, parasitic=0.7415, |e|=0.205720	      1.000000    378.930931    338.803078   -412.942075   -171.051043     75.858141      0.000000   -293.809291    186.627542    427.743682   -296.959306    346.637517      0.000000      0.000000      0.000000     23.022649   -169.510911     11.972462		5
W= 89.75091, xmin= -0.00140, parasitic=0.7277, |e|=0.136364	      1.000000   -254.028948    137.138084    308.785130   -362.535901   -200.160496      0.000000   -247.179942    314.404991    312.135153    173.075259   -319.042412      0.000000      0.000000      0.000000     22.176050   -353.400848    -33.246268		6
W= 89.77507, xmin= -0.00126, parasitic=0.7448, |e|=0.195145	      1.000000     80.923590   -264.633620    396.446330    158.964791   -381.872453      0.000000   -114.860961    403.520001   -147.691001   -134.852720     88.339630      0.000000      0.000000      0.000000    134.589696   -348.529725    221.884990		7
W= 89.76553, xmin= -0.00132, parasitic=0.7365, |e|=0.719422	      1.000000    175.253405     -4.649851    112.784379   -158.925687   -229.208964      0.000000   -108.214251    139.410784    430.401274     39.104481    -41.630376      0.000000      0.000000      0.000000     63.944518   -384.330667    138.610250		8
W= 89.78191, xmin= -0.00123, parasitic=0.7472, |e|=0.136364	      1.000000     61.055741   -198.294609     32.046989     98.461421   -149.943627      0.000000    137.961787   -165.238399   -442.538390    236.330556    192.949704      0.000000      0.000000      0.000000    -53.239934    407.183359   -117.471106		9
W= 89.78060, xmin= -0.00123, parasitic=0.7441, |e|=0.136364	      1.000000    150.998010   -156.362153   -348.736299   -364.968312   -378.011467      0.000000    221.897029   -398.173532   -319.851506   -222.120826    135.960244      0.000000      0.000000      0.000000     -8.374722    373.098748     15.659284		10
W= 89.76218, xmin= -0.00133, parasitic=0.7304, |e|=0.136364	      1.000000    323.658466    315.178302   -410.366970    292.301800     13.507339      0.000000   -374.064908    367.539590     73.736412   -360.799354    180.270600      0.000000      0.000000      0.000000    -92.677790    365.730122    -81.373393		11
W= 89.75691, xmin= -0.00137, parasitic=0.7402, |e|=0.136364	      1.000000    203.572050    -56.015338   -292.557649   -427.196344   -271.268842      0.000000     59.668657   -305.631254   -320.484164   -310.237454   -114.796578      0.000000      0.000000      0.000000    -38.170217    362.681799    -58.316759		12
W= 89.76035, xmin= -0.00135, parasitic=0.7318, |e|=0.404415	      1.000000    284.950681     24.449900     33.452911   -258.407145    157.378944      0.000000    -89.020339     22.940782    300.822134     33.191338   -172.344509      0.000000      0.000000      0.000000     33.768718   -258.903285     30.498808		13
W= 89.75581, xmin= -0.00137, parasitic=0.7404, |e|=0.180624	      1.000000   -123.835519    333.009876   -204.997227    153.097603   -392.069727      0.000000    -53.903527     31.176056     44.650735   -246.174318    326.061206      0.000000      0.000000      0.000000   -134.147381    343.991005   -231.660855		14
W= 89.78454, xmin= -0.01065, parasitic=0.7467, |e|=0.136364	      1.000000     34.103396   -420.602979    -30.047193     87.867905   -417.113907      0.000000    154.529430    -61.508100    180.095993   -108.404215    371.867991      0.000000      0.000000      0.000000     52.537943   -235.512929     14.696203		15
W= 89.75374, xmin= -0.00139, parasitic=0.7316, |e|=0.489392	      1.000000     28.663639   -138.924713     44.064525    420.340753      2.669112      0.000000    -26.547494    132.148589   -420.531962   -250.456259   -427.886573      0.000000      0.000000      0.000000     -5.904934    260.326887     53.562520		16
W= 89.77986, xmin= -0.00124, parasitic=0.7428, |e|=0.136364	      1.000000     25.685866    -39.302164    391.344673    232.439293    254.900519      0.000000    136.305323   -225.347826    116.045575    217.723295   -357.344302      0.000000      0.000000      0.000000   -112.756647    180.183583    -68.198834		17
W= 89.75973, xmin= -0.00135, parasitic=0.7369, |e|=0.140274	      1.000000    381.080012    239.022568    334.203023   -147.512079    266.191178      0.000000   -357.016897    344.155380    240.513603     63.616317   -216.542182      0.000000      0.000000      0.000000    -18.517658   -144.601978    -31.168430		18
W= 89.76699, xmin= -0.00131, parasitic=0.7370, |e|=0.136364	      1.000000    107.011466   -214.168536   -259.917980   -172.684619     51.079469      0.000000    201.677352   -406.919795    189.202022   -430.407307    413.204307      0.000000      0.000000      0.000000    -85.794106    337.041601   -271.407788		19
W= 89.76877, xmin= -0.00130, parasitic=0.7410, |e|=0.136364	      1.000000     31.099816    283.777003     -4.124611     -6.860574    376.483818      0.000000   -134.195783    110.878411   -276.463037   -102.745840   -165.034031      0.000000      0.000000      0.000000     15.649431     99.431587     11.141108		20
W= 89.75796, xmin= -0.00136, parasitic=0.7408, |e|=0.136364	      1.000000   -219.063328     40.749167   -146.841633    291.463272    304.645313      0.000000   -177.912851    288.961947    215.745549   -202.211167    -87.027854      0.000000      0.000000      0.000000     25.464944   -210.529958    -17.877108		21
W= 89.76663, xmin= -0.00131, parasitic=0.7417, |e|=0.136364	      1.000000     99.714629    209.863448   -367.191853    173.606977    253.456032      0.000000     89.904003   -330.632884    108.501680    385.754803    214.194288      0.000000      0.000000      0.000000    -83.670184    249.112338   -112.548350		22
W= 89.75009, xmin= -0.00140, parasitic=0.7244, |e|=0.136364	      1.000000   -249.795660   -422.294539   -371.731097    -64.092641   -416.636461      0.000000    272.919215   -169.252243   -271.474092    -95.730028   -138.558940      0.000000      0.000000      0.000000    -17.000242    201.591734    165.597548		23
W= 89.76301, xmin= -0.00133, parasitic=0.7388, |e|=0.136364	      1.000000   -204.213428     99.457138   -158.906589    123.908916    435.798693      0.000000    -86.745705    156.849191   -203.199164   -428.666459   -176.589077      0.000000      0.000000      0.000000     28.649724    152.811113     12.401047		24
W= 89.75367, xmin= -0.00138, parasitic=0.7275, |e|=0.136975	      1.000000    423.297815    -36.209715    -26.359224   -428.763901    142.120442      0.000000     48.171874   -340.166501   -362.083040    322.422908   -205.811639      0.000000      0.000000      0.000000    166.636434   -328.995177    250.832148		25
W= 89.75457, xmin= -0.00142, parasitic=0.7474, |e|=0.152973	      1.000000   -409.823383    305.812424    288.563875     38.376089    -92.372310      0.000000    -91.864401    391.633111   -234.252520   -246.881424    271.948837      0.000000      0.000000      0.000000   -189.743462    427.735709   -228.376029		26
W= 89.75019, xmin= -0.00140, parasitic=0.7366, |e|=0.201046	      1.000000    276.180038   -339.419187   -334.449580   -448.880809   -236.281081      0.000000     29.960097    -67.811298    207.833690   -326.915453   -360.141606      0.000000      0.000000      0.000000    253.413107   -439.262953    351.189204		27
W= 89.77134, xmin= -0.00128, parasitic=0.7390, |e|=0.205865	      1.000000   -259.374129    449.371598   -329.277865    403.184883   -110.579535      0.000000   -167.966249     51.272130     77.919328   -188.503527   -183.463488      0.000000      0.000000      0.000000     57.409102   -224.579562    127.959622		28
W= 89.75241, xmin= -0.00140, parasitic=0.7493, |e|=0.210654	      1.000000   -191.786137    129.130026   -312.829797     19.205950   -285.453443      0.000000   -217.726862    317.660768    -39.989494    355.536127   -298.595266      0.000000      0.000000      0.000000     77.821446   -350.707765    250.186521		29
W= 89.76256, xmin= -0.00134, parasitic=0.7413, |e|=0.494356	      1.000000    213.548364    318.581150     10.934892    -17.614539   -218.143078      0.000000   -125.893359    -54.867132    128.226298    260.461626    449.254358      0.000000      0.000000      0.000000   -167.390018    311.244687   -357.550872		30
W= 89.78134, xmin= -0.00123, parasitic=0.7448, |e|=0.136947	      1.000000    352.898897    329.075832    136.769069   -148.551863    160.126622      0.000000    -27.905167   -392.844772    372.529358   -447.061610    325.215678      0.000000      0.000000      0.000000     16.100104   -107.894580   -112.816334		31
W= 89.75446, xmin= -0.00139, parasitic=0.7435, |e|=0.136364	      1.000000    -15.727516   -187.021297    161.176836   -445.103397    -26.821952      0.000000    160.694198   -349.500503   -294.015474     64.348508    248.604151      0.000000      0.000000      0.000000    -77.851755    337.945794   -376.140783		32
W= 89.76236, xmin= -0.00133, parasitic=0.7380, |e|=0.211262	      1.000000    434.002513    235.079330    -44.575849   -389.433552   -208.107843      0.000000    -82.060360   -222.514668    364.322833     92.446762    401.999523      0.000000      0.000000      0.000000   -109.738777    238.481477   -268.240858		33
W= 89.75488, xmin= -0.00138, parasitic=0.7258, |e|=0.136364	      1.000000     20.928995   -327.392947    269.542790    161.484241    152.504733      0.000000    114.472827    -29.570414    421.567964   -438.124646    124.289900      0.000000      0.000000      0.000000     81.410609   -378.859490    -78.656568		34
W= 89.78756, xmin= -0.00119, parasitic=0.7468, |e|=0.136364	      1.000000     -8.832946    100.294506   -325.339728    -65.811852     62.690415      0.000000   -171.282613    286.107495   -376.086381   -425.466738    128.246495      0.000000      0.000000      0.000000    -23.071592    435.073550    -42.880603		35
W= 89.76263, xmin= -0.00133, parasitic=0.7312, |e|=0.480469	      1.000000   -245.240665    446.470245    349.908989    276.965008   -218.165050      0.000000     56.687945   -280.913379    -30.709237     64.157672    -10.457298      0.000000      0.000000      0.000000     78.832930   -320.458664     82.108958		36
W= 89.76705, xmin= -0.00131, parasitic=0.7423, |e|=0.163441	      1.000000   -203.843000    424.933439   -399.618249    315.005757   -207.471136      0.000000    -48.452572   -189.009794   -176.393002    168.717864   -102.851870      0.000000      0.000000      0.000000    -29.953563    236.853916    204.314353		37
W= 89.75350, xmin= -0.00139, parasitic=0.7415, |e|=0.136364	      1.000000   -149.790619   -104.075913   -138.855563    285.978942    424.769460      0.000000    -10.927132    251.046144   -252.037816   -278.533266    348.818309      0.000000      0.000000      0.000000    -74.116261    341.607228   -396.190807		38
W= 89.77773, xmin= -0.00125, parasitic=0.7417, |e|=0.136364	      1.000000   -178.960794    280.828044    207.133164    442.296637    118.973985      0.000000   -160.294640    266.169366     53.142887    344.490646    168.830815      0.000000      0.000000      0.000000   -106.544732    148.375906   -191.397292		39
W= 89.78756, xmin= -0.00119, parasitic=0.7465, |e|=0.136364	      1.000000   -341.992780    431.334392   -211.921671   -351.458616   -337.483949      0.000000   -260.033163    415.677100    293.517891    221.483085   -211.088126      0.000000      0.000000      0.000000   -138.962109    305.507126    -34.353886		40
W= 89.77169, xmin= -0.00129, parasitic=0.7483, |e|=0.136364	      1.000000    421.025843   -365.825979    448.040214   -211.352210    351.976519      0.000000    317.328312   -425.116573    237.696662    135.727328    277.993672      0.000000      0.000000      0.000000     30.629383   -387.450667   -130.539697		41
W= 89.75328, xmin= -0.00139, parasitic=0.7375, |e|=0.172628	      1.000000   -396.098535    419.808545   -184.677287    344.767852    -76.785761      0.000000    -93.015377    395.041624   -271.886952    182.686214    -56.846711      0.000000      0.000000      0.000000    -25.628668    113.510289    -67.100009		42
W= 89.77301, xmin= -0.00127, parasitic=0.7434, |e|=0.256286	      1.000000   -351.730449    417.553159     20.866873   -295.291437     29.606004      0.000000     14.182971    -64.630154    373.976682     54.223662    428.314058      0.000000      0.000000      0.000000    -37.519438     -7.912151   -202.232815		43
W= 89.75596, xmin= -0.00134, parasitic=0.7435, |e|=0.137342	      1.000000   -127.182246    243.741919   -399.325102    -72.178036    103.014820      0.000000   -102.073710     97.822805    206.013564    409.808908    212.854062      0.000000      0.000000      0.000000     45.853252   -316.643410     95.219448		44
W= 89.76309, xmin= -0.00130, parasitic=0.7382, |e|=0.136364	      1.000000    132.865068   -409.024850    178.845656   -316.580168   -391.798313      0.000000    201.879775   -264.517454   -289.610831    321.498627     55.238804      0.000000      0.000000      0.000000    -86.097366    416.051761   -223.843797		45
W= 89.76927, xmin= -0.00130, parasitic=0.7439, |e|=0.136364	      1.000000   -124.813930   -419.793286   -435.817314    175.944973   -194.533221      0.000000    136.652468     98.648960   -286.232273    370.189534   -186.701739      0.000000      0.000000      0.000000     28.117698     51.313153    200.068635		46
W= 89.76173, xmin= -0.00121, parasitic=0.7452, |e|=0.933924	      1.000000    430.602656     32.670987     87.929955     37.212202   -147.238043      0.000000   -175.191725     83.977770    -24.121277    331.111339     31.891646      0.000000      0.000000      0.000000     79.374536   -343.969791    289.976882		47
W= 89.76116, xmin= -0.00135, parasitic=0.7458, |e|=0.523493	      1.000000    445.891462    182.531786    315.299413    308.194728    202.827527      0.000000   -154.956620    -97.550614     76.331153   -150.881466   -254.617345      0.000000      0.000000      0.000000     76.332965   -250.376896    206.911878		48
W= 89.76277, xmin= -0.00133, parasitic=0.7470, |e|=0.163645	      1.000000    -64.369019     66.759265    428.293163   -297.993564    350.834466      0.000000    266.217011   -377.292410    103.929803    235.066500    -15.013322      0.000000      0.000000      0.000000   -134.120272    420.927133   -110.747602		49
W= 89.76674, xmin= -0.00131, parasitic=0.7451, |e|=0.141357	      1.000000    354.499789    -83.004965     73.826239    115.158505    338.651170      0.000000     62.125852   -410.431316     57.979900    322.380052   -142.543632      0.000000      0.000000      0.000000   -229.127839    447.203106   -401.205395		50
W= 89.75872, xmin= -0.00136, parasitic=0.7406, |e|=0.136364	      1.000000    215.906696    276.570148    336.335373   -138.929824   -130.746345      0.000000   -308.866599    251.171394   -393.345737     49.184195    415.882721      0.000000      0.000000      0.000000    136.822814   -369.464419     27.323412		51
W= 89.76769, xmin= -0.00130, parasitic=0.7339, |e|=0.136364	      1.000000     83.080319   -443.890715    -65.706305    103.698276    106.714828      0.000000    335.769080   -416.979548    -28.984432    -12.240426   -430.006958      0.000000      0.000000      0.000000     89.695269   -274.684735    189.040293		52
W= 89.77492, xmin= -0.00127, parasitic=0.7497, |e|=0.136364	      1.000000    123.438153   -139.648883    220.443532   -176.095605   -201.437351      0.000000     66.773780   -220.621085    -30.145988    -42.643143    228.795513      0.000000      0.000000      0.000000     42.631375    -92.926260     51.730424		53
W= 89.76506, xmin= -0.00117, parasitic=0.7475, |e|=0.136364	      1.000000     71.277364   -239.884499    153.245373   -133.699320   -168.412304      0.000000    201.577629   -382.071237   -257.443917    216.489029   -182.330474      0.000000      0.000000      0.000000    -54.464956    279.293071   -147.847875		54
W= 89.78117, xmin= -0.00123, parasitic=0.7424, |e|=0.136364	      1.000000   -354.554119    446.311372     81.684252   -413.604368    -55.834801      0.000000   -265.624200    385.508744    162.205483    211.822565    -93.401023      0.000000      0.000000      0.000000     94.570135   -397.473411     76.179853		55
W= 89.75013, xmin= -0.00140, parasitic=0.7329, |e|=0.136364	      1.000000     42.210504   -214.509656   -440.573314   -153.568236    370.404283      0.000000    -87.576810    261.800563   -100.940269    243.630479    352.401103      0.000000      0.000000      0.000000    125.133123   -354.631478    -16.636935		56
W= 89.77430, xmin= -0.00127, parasitic=0.7490, |e|=0.221059	      1.000000   -140.318297    274.411305    380.832643   -419.461366    339.893361      0.000000     -4.794404   -152.756636    221.118888     33.947865   -435.866453      0.000000      0.000000      0.000000   -134.924327    393.173609    -52.017944		57
W= 89.77080, xmin= -0.00129, parasitic=0.7448, |e|=0.298215	      1.000000   -234.766427    -15.942354    124.936655   -147.327346    382.481340      0.000000     48.505689     82.515378   -412.353322    -66.418583   -141.911231      0.000000      0.000000      0.000000    -84.344566    429.829116   -310.892319		58
W= 89.75424, xmin= -0.00139, parasitic=0.7446, |e|=0.186595	      1.000000    370.055015    444.510746     46.599669   -279.820392   -156.511270      0.000000   -297.722320    233.248532    213.590631   -425.828765    -17.685181      0.000000      0.000000      0.000000    141.948761   -293.591570    380.073389		59
W= 89.77610, xmin= -0.00126, parasitic=0.7411, |e|=0.136364	      1.000000    225.866903    417.117072     17.827242    -82.600120    -88.816168      0.000000   -257.230519     77.419135    161.928871   -178.408155    -86.069961      0.000000      0.000000      0.000000     49.255387   -230.086650     16.016344		60
W= 89.75719, xmin= -0.00136, parasitic=0.7305, |e|=0.136364	      1.000000   -193.153567    137.664650    230.649879   -224.949056    405.229602      0.000000   -101.109083    261.059260   -157.845227    326.640587   -440.994787      0.000000      0.000000      0.000000   -171.706160    446.557281   -142.064385		61
W= 89.77381, xmin= -0.00127, parasitic=0.7451, |e|=0.136364	      1.000000    -15.409174   -358.357756     95.849758     20.900664    299.911656      0.000000    124.990381    -81.283881   -105.440162   -356.560141   -301.189076      0.000000      0.000000      0.000000    154.475941   -300.944699    312.992857		62
W= 89.75264, xmin= -0.00139, parasitic=0.7258, |e|=0.136364	      1.000000   -224.008368    239.588537   -384.346759    373.256883   -213.866417      0.000000   -247.579827    385.790988   -121.044399   -123.754239    329.228064      0.000000      0.000000      0.000000    -68.641397    342.719265    -27.291667		63
W= 89.75983, xmin= -0.00135, parasitic=0.7365, |e|=0.136364	      1.000000   -149.642476    232.876448    195.447139   -315.372119   -259.799635      0.000000   -116.214152    279.994735     84.064685    230.322790    422.651211      0.000000      0.000000      0.000000     98.962980   -351.615634    166.033683		64
W= 89.77370, xmin= -0.00127, parasitic=0.7416, |e|=0.136364	      1.000000   -119.585281   -410.405049   -341.831290   -398.619320   -289.039836      0.000000    266.499853   -108.715141   -337.009451    -41.325805    -50.915688      0.000000      0.000000      0.000000    -19.588155    411.934521    136.832079		65
W= 89.76759, xmin= -0.00131, parasitic=0.7367, |e|=0.136364	      1.000000   -355.888651    209.885524    288.800991    386.506721    422.224534      0.000000   -136.705168    403.295108   -256.660933   -363.825009    191.296996      0.000000      0.000000      0.000000    168.453619   -446.354337    218.277582		66
W= 89.75469, xmin= -0.00138, parasitic=0.7458, |e|=0.136364	      1.000000   -136.839927    446.053755    219.909726    141.824550    102.534901      0.000000   -228.179359    -10.567296   -270.575852    246.990765   -102.668197      0.000000      0.000000      0.000000    -53.659587    319.309033     84.184524		67
W= 89.77380, xmin= -0.00127, parasitic=0.7399, |e|=0.136364	      1.000000    -15.974678    177.005456    -82.368730   -329.398366   -323.396976      0.000000   -219.981416    318.602933    216.894260   -254.519019   -192.980537      0.000000      0.000000      0.000000    110.816830   -408.620823    201.273262		68
W= 89.75120, xmin= -0.00140, parasitic=0.7291, |e|=0.136364	      1.000000    353.730883   -371.093824   -118.322881    399.338280    -70.767732      0.000000    147.095374   -387.784454   -190.678985    140.142182    -16.355951      0.000000      0.000000      0.000000    -78.070969    257.248501   -146.905876		69
W= 89.78731, xmin= -0.00120, parasitic=0.7472, |e|=0.136364	      1.000000    205.053204   -447.980278     14.744914   -291.852747    -85.349780      0.000000    179.676852   -236.239294   -260.869050    352.106335    166.700136      0.000000      0.000000      0.000000    -95.866478    402.188360   -213.112997		70
W= 89.75389, xmin= -0.00138, parasitic=0.7254, |e|=0.136364	      1.000000    249.778179    277.106497    306.484130   -190.833469   -206.732775      0.000000   -335.932263    375.208305   -267.207101    396.322805    393.191487      0.000000      0.000000      0.000000    154.383015   -442.886902     75.392282		71
W= 89.77341, xmin= -0.00128, parasitic=0.7395, |e|=0.136364	      1.000000   -420.874000    301.711110    185.072523   -212.225958    -52.911867      0.000000   -141.785393    338.736159    -84.673817     51.826361   -304.368429      0.000000      0.000000      0.000000    -82.787400    304.828031    -83.480538		72
W= 89.75252, xmin= -0.00124, parasitic=0.7412, |e|=0.259950	      1.000000   -444.196089      6.104485    357.888467    -83.535750   -287.858455      0.000000    -30.635936    446.981783     14.664904    287.079280    271.872993      0.000000      0.000000      0.000000    -19.322455    -70.772584    -51.677530		73
W= 89.76658, xmin= -0.00132, parasitic=0.7409, |e|=0.136364	      1.000000     61.196787   -101.398146   -299.595644     80.229810   -104.684550      0.000000    156.404339   -401.199109   -360.508825    310.201802    390.342009      0.000000      0.000000      0.000000    -13.818156    150.176936   -103.909879		74
W= 89.78440, xmin= -0.00121, parasitic=0.7465, |e|=0.186271	      1.000000    145.871553   -123.672604   -163.408271   -241.409270     51.011515      0.000000     10.454118    -37.319092   -340.029732   -434.576056    -82.523089      0.000000      0.000000      0.000000    201.565199   -279.494102    289.304566		75
W= 89.78260, xmin= -0.00122, parasitic=0.7442, |e|=0.136364	      1.000000     28.109706   -144.750998    226.329999    396.554580    366.367569      0.000000    179.337366   -287.740688   -438.788134    162.993651    -28.857024      0.000000      0.000000      0.000000    -88.111821    404.176073   -145.697014		76
W= 89.76893, xmin= -0.00130, parasitic=0.7381, |e|=0.136364	      1.000000   -111.003687   -339.033308      7.612326   -409.924594   -438.708482      0.000000    332.640531   -247.251951    307.020835   -382.394822    429.486220      0.000000      0.000000      0.000000     15.876319   -110.743508   -144.467287		77
W= 89.76003, xmin= -0.00123, parasitic=0.7453, |e|=0.266667	      1.000000   -384.948700     76.805853   -373.350736   -322.384302   -170.959585      0.000000     65.483532     44.798017     55.800206    395.976358   -442.311669      0.000000      0.000000      0.000000    -62.385323    230.381951    -19.665090		78
W= 89.76706, xmin= -0.00131, parasitic=0.7424, |e|=0.184317	      1.000000    407.629747    302.728907    193.089297   -168.364858    309.226480      0.000000   -346.083307    355.522422    424.531421   -356.166851   -112.060281      0.000000      0.000000      0.000000    143.442087   -381.223452     37.365952		79
W= 89.75069, xmin= -0.00141, parasitic=0.7337, |e|=0.310915	      1.000000   -403.174283   -307.750817    148.829631    384.901589   -396.761349      0.000000    277.216326   -143.265907    -35.346429    424.243721    -43.232131      0.000000      0.000000      0.000000    -92.175318    185.375119    -58.907914		80
W= 89.77018, xmin= -0.00129, parasitic=0.7481, |e|=0.144633	      1.000000    312.908257   -272.294888   -151.008126   -390.823532      1.674739      0.000000     91.619031   -333.786282    128.037682    234.468681   -270.560644      0.000000      0.000000      0.000000   -160.473835    347.232302   -205.657646		81
W= 89.76490, xmin= -0.00121, parasitic=0.7450, |e|=0.136364	      1.000000    229.479098   -358.442531    268.651730     35.479758    245.771317      0.000000    127.166822   -221.074765   -100.832155     43.142801     47.979357      0.000000      0.000000      0.000000   -109.140615    399.570960   -372.504755		82
W= 89.76061, xmin= -0.00135, parasitic=0.7461, |e|=0.136364	      1.000000   -304.176650    -12.993181   -173.791844   -428.046792   -408.381869      0.000000    -61.559614    133.859081    325.347034    126.142931    300.659052      0.000000      0.000000      0.000000     57.538204   -431.978808    -79.213578		83
W= 89.76388, xmin= -0.00133, parasitic=0.7439, |e|=0.199940	      1.000000    259.186802    385.719823   -105.257597    272.735850    399.004900      0.000000    -69.011327   -305.772107      3.714090    230.245064     56.042764      0.000000      0.000000      0.000000   -151.120740    329.615907   -444.427842		84
W= 89.77866, xmin= -0.00124, parasitic=0.7463, |e|=0.136364	      1.000000   -280.733990   -333.579192   -365.318709    372.448903   -350.623972      0.000000    340.813805   -396.248697    -49.293573    287.493159     34.095824      0.000000      0.000000      0.000000    -94.236589    158.538951     50.012541		85
W= 89.77840, xmin= -0.00125, parasitic=0.7419, |e|=0.136364	      1.000000   -413.228065    142.927180    240.578724   -204.941619    212.041076      0.000000    -80.557835    312.621383   -189.012503    122.274623    165.274025      0.000000      0.000000      0.000000     91.823004   -224.549279     27.974817		86
W= 89.75890, xmin= -0.00126, parasitic=0.7430, |e|=0.142345	      1.000000    292.205456   -224.859041   -278.637209    281.072687   -282.327805      0.000000     89.304719   -376.046226     38.519136    146.023829   -235.102781      0.000000      0.000000      0.000000   -162.680729    423.508013   -351.139000		87
W= 89.75360, xmin= -0.00139, parasitic=0.7446, |e|=0.136364	      1.000000    -56.410911    316.252343    -75.069160     23.892977    413.521413      0.000000   -174.402043    404.359990     14.495427     57.836666   -310.835299      0.000000      0.000000      0.000000    117.861074   -294.408131    373.574866		88
W= 89.75242, xmin= -0.00139, parasitic=0.7264, |e|=0.208108	      1.000000   -285.772452     92.640981   -215.418021    411.108767   -202.913788      0.000000     31.324287    -35.753705    188.187009    211.051199   -173.247960      0.000000      0.000000      0.000000   -136.696170    314.868607     90.329586		89
W= 89.76119, xmin= -0.00134, parasitic=0.7382, |e|=0.136364	      1.000000    231.612470   -386.775976     85.761442   -286.461290   -195.549111      0.000000    116.687393   -214.345387   -243.277639   -328.917492    153.369410      0.000000      0.000000      0.000000    162.447264   -211.995308    185.424464		90
W= 89.76476, xmin= -0.00132, parasitic=0.7364, |e|=0.188662	      1.000000    426.299237     66.023894   -375.390939    174.875895     22.583983      0.000000    -31.247652   -275.243811    242.235729   -302.470260    270.263551      0.000000      0.000000      0.000000     68.910124   -212.376573    106.806749		91
W= 89.75986, xmin= -0.00135, parasitic=0.7319, |e|=0.136364	      1.000000   -130.128012    363.866494    261.528733    225.840632    316.666520      0.000000   -360.739962    408.116598   -143.049748    -43.890326    244.309752      0.000000      0.000000      0.000000   -102.615771    410.758375   -170.956910		92
W= 89.76273, xmin= -0.00133, parasitic=0.7310, |e|=0.136364	      1.000000    420.355995    419.350911   -260.268899     31.048078     72.140835      0.000000    -22.839407   -424.770758    415.407144   -428.321560     30.886585      0.000000      0.000000      0.000000     84.225484   -355.379583     23.524572		93
W= 89.75958, xmin= -0.00135, parasitic=0.7339, |e|=0.979394	      1.000000    427.129767   -418.926298   -267.552524    432.847491   -315.346908      0.000000   -165.129896    378.572487   -307.964325    287.200524    -93.883533      0.000000      0.000000      0.000000     19.336411    -50.803447    215.181848		94
W= 89.77055, xmin= -0.00129, parasitic=0.7377, |e|=0.267511	      1.000000    445.501537   -412.571499   -307.532912     87.951092   -147.918075      0.000000    -45.549323    110.841447    274.682866   -239.682413   -417.590901      0.000000      0.000000      0.000000     71.540856   -301.048598    276.391854		95
W= 89.77527, xmin= -0.00127, parasitic=0.7480, |e|=0.243797	      1.000000   -109.590580    135.799856   -215.969834   -351.431632   -379.536654      0.000000    112.363703   -307.470381   -357.867280    -59.211971    275.507564      0.000000      0.000000      0.000000    -80.190053    439.911820   -278.835825		96
W= 89.75340, xmin= -0.00139, parasitic=0.7337, |e|=0.486307	      1.000000    429.221666   -337.399647   -291.509795    -46.248190   -268.180038      0.000000   -118.873346    198.672196     62.604979   -229.698466     77.258031      0.000000      0.000000      0.000000    173.829432   -375.663286    298.499933		97
W= 89.76637, xmin= -0.00131, parasitic=0.7427, |e|=0.272469	      1.000000   -423.010696    434.441577   -189.071408   -404.876637   -253.695095      0.000000     29.380119    -25.422066    404.414923    149.010199   -142.384760      0.000000      0.000000      0.000000    -15.157480    -85.780170     66.049198		98
W= 89.76019, xmin= -0.00135, parasitic=0.7362, |e|=0.137015	      1.000000   -363.281808   -265.168836    177.348982    316.414599   -287.734144      0.000000      7.548019    442.763001     81.206892    -56.236154    163.345479      0.000000      0.000000      0.000000   -185.648010    416.961270   -359.054702		99
W= 89.77873, xmin= -0.00125, parasitic=0.7498, |e|=0.367139	      1.000000   -235.870971    448.545108    -81.667739     84.903337     33.427918      0.000000     37.411256   -270.780262    -84.706265   -117.357665   -331.745970      0.000000      0.000000      0.000000    -85.124399    441.237897    -56.181037		100
W= 89.77164, xmin= -0.00129, parasitic=0.7451, |e|=0.157950	      1.000000   -295.735575   -275.748632   -212.231373      7.777889   -218.923673      0.000000     32.254322    354.207298     10.076695    266.357128    265.711340      0.000000      0.000000      0.000000   -180.960398    440.522085   -415.194004		101
W= 89.75278, xmin= -0.00139, parasitic=0.7422, |e|=0.678653	      1.000000    329.081000    -56.742899     82.432507     96.421090   -388.422257      0.000000   -211.826225    340.030124    120.006083    429.769736    225.771661      0.000000      0.000000      0.000000   -173.647693    237.307743   -326.519140		102
W= 89.75645, xmin= -0.00135, parasitic=0.7336, |e|=0.136364	      1.000000    -15.244183     87.026038   -408.940011    -84.028017   -221.579858      0.000000    -88.602751    191.158454     82.925835    -18.850975    402.665108      0.000000      0.000000      0.000000    -82.126725    298.273650   -282.730705		103
W= 89.75237, xmin= -0.00139, parasitic=0.7274, |e|=0.176032	      1.000000    364.754310     28.426399    -12.802153   -369.438507    329.834919      0.000000    -16.010740   -213.829237    378.329043   -408.708419   -421.938852      0.000000      0.000000      0.000000    153.040728   -440.103640    185.985458		104
W= 89.76957, xmin= -0.00129, parasitic=0.7393, |e|=0.136364	      1.000000   -217.451693    406.176759    431.848313     44.694273    -86.499853      0.000000   -205.444469    309.784825    312.307361   -219.933484    258.621895      0.000000      0.000000      0.000000     43.321827   -391.308578     72.174605		105
W= 89.78199, xmin= -0.00123, parasitic=0.7467, |e|=0.136364	      1.000000   -118.298052    159.105392   -153.665189    302.733950   -252.846506      0.000000   -187.292237    431.518963    133.616388   -125.061667    -95.057200      0.000000      0.000000      0.000000   -130.358036    300.752142   -117.324471		106
W= 89.75362, xmin= -0.00139, parasitic=0.7442, |e|=0.273776	      1.000000    371.013026    119.327217    333.949223    -24.062264    265.611701      0.000000    -68.936453   -260.520201    125.815644    416.573994   -283.169839      0.000000      0.000000      0.000000   -168.257940    243.566599   -421.527358		107
W= 89.75374, xmin= -0.00138, parasitic=0.7366, |e|=0.149214	      1.000000   -310.943875    205.684651    411.116624   -362.452303    -31.292296      0.000000    -65.009934    273.070172    173.512601   -369.115648    -15.240620      0.000000      0.000000      0.000000    213.126571   -436.536821    144.160285		108
W= 89.76591, xmin= -0.00132, parasitic=0.7386, |e|=0.136364	      1.000000   -222.999230    421.586695   -449.487450    232.579847    -82.689443      0.000000   -101.682928     47.823939    402.415789   -113.106560    148.507306      0.000000      0.000000      0.000000   -146.624663    397.827788   -243.871763		109
W= 89.76546, xmin= -0.00132, parasitic=0.7353, |e|=0.136364	      1.000000    227.495045   -373.383727   -250.955683     41.211178   -402.089163      0.000000    123.382042   -180.282245   -173.803453    -46.041558     42.931989      0.000000      0.000000      0.000000    -76.357537    353.379465    -72.136691		110
W= 89.75651, xmin= -0.00137, parasitic=0.7405, |e|=0.136364	      1.000000     93.349628     25.211927    270.850076    161.758133    183.181988      0.000000   -262.970663    402.065351    163.696718    203.035979    331.671476      0.000000      0.000000      0.000000     10.486731   -285.227680    -86.277192		111
W= 89.76825, xmin= -0.00131, parasitic=0.7382, |e|=0.136364	      1.000000    347.128855   -394.306341    264.327202    378.916403    447.667256      0.000000    210.356575   -367.244867    -40.021993   -154.178402    340.908372      0.000000      0.000000      0.000000     60.729194   -246.019568    -41.577275		112
W= 89.76780, xmin= -0.00131, parasitic=0.7395, |e|=0.151690	      1.000000    344.507053    327.424725     92.642086    279.216773    -13.190469      0.000000   -304.693740    281.828552     72.987957    -78.669020    202.668951      0.000000      0.000000      0.000000    111.136182   -368.220976    157.219205		113
W= 89.78730, xmin= -0.00120, parasitic=0.7474, |e|=0.136364	      1.000000   -208.256464    301.846153    217.550167   -400.504409    409.955377      0.000000   -150.875110    263.706950    -32.945504    127.737464     71.629484      0.000000      0.000000      0.000000    -95.570962    327.250759   -272.623000		114
W= 89.76841, xmin= -0.00130, parasitic=0.7371, |e|=0.136364	      1.000000    106.611009   -419.567005    103.014713     -8.775303    257.098551      0.000000    190.919723   -225.883158   -295.306981    343.676142   -259.716949      0.000000      0.000000      0.000000   -110.922897    379.171585   -140.802109		115
W= 89.77057, xmin= -0.00129, parasitic=0.7376, |e|=0.136364	      1.000000    168.504485    327.061323   -362.351230   -220.061711    167.752940      0.000000   -191.332104     82.544692    218.716966   -435.364931     19.283513      0.000000      0.000000      0.000000     64.495335   -134.465360     47.621563		116
W= 89.76390, xmin= -0.00133, parasitic=0.7335, |e|=0.149233	      1.000000   -432.216478    307.892197    356.482734   -287.245374    -74.537252      0.000000    -76.114688    221.833060    131.874700   -161.463974    328.180286      0.000000      0.000000      0.000000    106.953512   -349.957309      0.501497		117
W= 89.78073, xmin= -0.00123, parasitic=0.7450, |e|=0.136364	      1.000000     42.829119   -255.553560   -181.549940   -383.439701   -319.194171      0.000000   -117.826136    411.664495    447.234713    120.074881    -26.738831      0.000000      0.000000      0.000000   -202.642161    400.423392   -195.305981		118
W= 89.78207, xmin= -0.00855, parasitic=0.7428, |e|=0.188128	      1.000000    347.121405    113.783544   -337.605142     -4.462774    313.500472      0.000000    -43.682736   -162.847469    393.750161   -180.276557   -282.054242      0.000000      0.000000      0.000000     70.279365   -311.631402     82.766489		119
W= 89.75396, xmin= -0.00138, parasitic=0.7276, |e|=0.136364	      1.000000   -174.857950    255.300727     76.214570    -84.358997   -288.657758      0.000000   -235.739137    445.878933    259.553635    -72.696535    267.451606      0.000000      0.000000      0.000000   -178.609360    436.546902   -292.657932		120
W= 89.76757, xmin= -0.00131, parasitic=0.7432, |e|=0.136364	      1.000000    112.568423    435.573302    264.779922   -334.299769   -121.842251      0.000000   -323.424481    125.794074    -95.892173   -255.932726    172.259788      0.000000      0.000000      0.000000    129.317535   -427.154545    -99.164514		121
W= 89.75603, xmin= -0.00137, parasitic=0.7386, |e|=0.143062	      1.000000    291.525885   -265.994597    -19.421128    282.545598   -111.392413      0.000000     55.558974    -25.827119   -209.620802   -318.674594   -271.577079      0.000000      0.000000      0.000000    -49.729131    377.865265     14.659369		122
W= 89.77215, xmin= -0.00121, parasitic=0.7457, |e|=0.365192	      1.000000    334.615140   -364.773726    116.595652    -13.353262     -8.960215      0.000000    -64.453124    177.981603    -98.340270   -290.801937   -193.379488      0.000000      0.000000      0.000000    107.939200   -296.158573    267.684350		123
W= 89.76854, xmin= -0.00130, parasitic=0.7380, |e|=0.136364	      1.000000   -199.112083    207.925313    336.558016   -404.599780    175.496856      0.000000   -200.840493    311.866438     37.075061    -80.871741    263.274308      0.000000      0.000000      0.000000     78.916799   -284.998650    -75.862051		124
W= 89.75165, xmin= -0.00140, parasitic=0.7398, |e|=0.172266	      1.000000   -316.701533    393.186841    173.547020   -431.801212     43.879088      0.000000    -77.682271    246.837348   -242.150106    292.535632    319.695994      0.000000      0.000000      0.000000   -144.894848    418.924138   -442.934586		125
W= 89.76782, xmin= -0.00131, parasitic=0.7425, |e|=0.136364	      1.000000   -257.385130   -415.752285      7.385644   -287.044525    434.557631      0.000000     -7.516007    385.921129   -325.632563   -288.081834    -45.096974      0.000000      0.000000      0.000000    187.301457   -410.683740    131.009642		126
W= 89.77018, xmin= -0.00129, parasitic=0.7392, |e|=0.213797	      1.000000   -288.231063     76.698440   -433.936402    416.347726    -44.335715      0.000000   -115.770037    430.741466   -120.958221    254.374589     56.393401      0.000000      0.000000      0.000000    110.446304   -329.492620    280.619997		127
W= 89.77796, xmin= -0.00125, parasitic=0.7414, |e|=0.137732	      1.000000    347.465531   -408.307245    -51.029004    354.258711   -344.245842      0.000000    110.028862   -163.270804   -356.978178    212.803042     25.122622      0.000000      0.000000      0.000000   -111.357124    397.778921    -24.906169		128
W= 89.78144, xmin= -0.00123, parasitic=0.7490, |e|=0.136364	      1.000000   -296.283558    -97.237173    173.288967    -44.627130    150.407133      0.000000    -34.019241    387.232213   -440.667210   -307.687476   -128.051110      0.000000      0.000000      0.000000    158.973690   -182.940940    234.085694		129
W= 89.77351, xmin= -0.00127, parasitic=0.7441, |e|=0.329990	      1.000000   -325.914060    406.912100   -372.142006   -319.194216   -224.478238      0.000000     44.840282   -149.266356   -279.757087   -377.238414   -309.035727      0.000000      0.000000      0.000000    232.422412   -316.249303    405.072969		130
W= 89.77681, xmin= -0.00125, parasitic=0.7411, |e|=0.136364	      1.000000   -223.970839    180.044900   -348.375679    168.492659    314.647714      0.000000    -95.938385    123.627578   -115.347243    444.983715   -351.422347      0.000000      0.000000      0.000000   -116.176584    426.544772     80.332585		131
W= 89.75300, xmin= -0.00139, parasitic=0.7407, |e|=0.136364	      1.000000   -222.825840    184.646578   -114.463876    229.133049   -292.443841      0.000000   -257.303623    344.038082   -328.640192    274.253864   -213.912873      0.000000      0.000000      0.000000    -43.045770    337.688347    111.624463		132
W= 89.77625, xmin= -0.00126, parasitic=0.7482, |e|=0.136364	      1.000000   -338.394659    236.774008    169.861625    267.520527   -357.323083      0.000000    -69.516857     23.985477    142.721942    383.936130   -268.441155      0.000000      0.000000      0.000000     16.643566   -362.132043    100.007257		133
W= 89.75567, xmin= -0.00137, parasitic=0.7480, |e|=0.143925	      1.000000   -308.120850    205.010571     31.250950    147.287424   -277.553504      0.000000    -80.923701    359.637050    -27.394880     22.216994   -312.049659      0.000000      0.000000      0.000000   -198.831967    341.162731    -86.713002		134
W= 89.75227, xmin= -0.00140, parasitic=0.7403, |e|=0.302978	      1.000000    160.859356   -100.345107    286.756836    282.438222    -13.578683      0.000000    -30.823459     54.604493    306.720706    -20.511186   -418.832644      0.000000      0.000000      0.000000     18.841245   -432.375229    196.519807		135
W= 89.75521, xmin= -0.00131, parasitic=0.7361, |e|=0.138012	      1.000000    408.773195    428.407197   -150.123846   -441.600872    316.137117      0.000000   -367.265000    312.521815    421.735651    313.581872   -323.286644      0.000000      0.000000      0.000000     55.321675   -419.961062    283.315495		136
W= 89.76031, xmin= -0.00135, parasitic=0.7374, |e|=0.136364	      1.000000    -90.172958   -372.688030   -345.571742    -46.168944    -40.909304      0.000000    366.531218   -431.821389    -67.056192    233.302960    441.659605      0.000000      0.000000      0.000000    -54.623439    300.971445   -186.402088		137
W= 89.77519, xmin= -0.00126, parasitic=0.7410, |e|=0.136364	      1.000000   -134.660786    249.784319    293.356588    -54.048469   -427.917653      0.000000   -130.708683     86.143704   -173.751212   -334.190058    237.982723      0.000000      0.000000      0.000000    127.638144   -354.901942      6.941210		138
W= 89.78016, xmin= -0.00123, parasitic=0.7461, |e|=0.245213	      1.000000   -133.149279     39.585457     76.392364   -154.991459   -164.620057      0.000000     22.331612    -22.675409   -353.272594    390.661665   -128.757664      0.000000      0.000000      0.000000    -39.103954    278.566272     97.205214		139
W= 89.76972, xmin= -0.00129, parasitic=0.7452, |e|=0.136364	      1.000000   -341.941288    -91.357603    266.876059    232.247846     10.576752      0.000000    -35.951324    206.247254    101.186753    355.471882   -228.539722      0.000000      0.000000      0.000000   -130.992855    288.492756    -25.282792		140
W= 89.77311, xmin= -0.00128, parasitic=0.7473, |e|=0.136364	      1.000000    125.902204   -382.212797    -75.587370   -420.016814   -153.402830      0.000000    142.895511   -265.940743    364.945957      3.738814    131.240870      0.000000      0.000000      0.000000    118.427412   -395.991189    313.610022		141
W= 89.76028, xmin= -0.00135, parasitic=0.7331, |e|=0.136364	      1.000000    291.543852   -207.019107    390.676939     24.107483    368.396365      0.000000    133.759815   -399.108510    358.155969    386.517591     -6.485179      0.000000      0.000000      0.000000     30.550186   -427.588580     88.033052		142
W= 89.76053, xmin= -0.00134, parasitic=0.7466, |e|=0.156822	      1.000000   -257.943843    115.441697    135.532124   -374.391827   -247.414065      0.000000    -37.848033    239.132263    383.664837    152.136277    254.480502      0.000000      0.000000      0.000000    113.381815   -327.649711     13.477787		143
W= 89.75802, xmin= -0.00136, parasitic=0.7332, |e|=0.156902	      1.000000    207.954974    -48.074555   -321.594793   -413.248370    129.221661      0.000000     15.477675   -145.673938   -359.185124    405.510352   -309.039966      0.000000      0.000000      0.000000    -69.880444    299.620585     64.892890		144
W= 89.75885, xmin= -0.00136, parasitic=0.7350, |e|=0.188230	      1.000000   -365.434539    217.811057    229.165018   -246.556813    151.480088      0.000000    -18.250526    183.236948   -113.345993    328.470489    347.477880      0.000000      0.000000      0.000000   -151.292186    417.906017   -444.677759		145
W= 89.77767, xmin= -0.00125, parasitic=0.7430, |e|=0.136364	      1.000000   -215.151765   -327.131608   -374.644566    -39.962776    416.824380      0.000000    230.240618   -167.564782   -149.518417   -314.267004   -444.761716      0.000000      0.000000      0.000000      3.952825    180.639774     87.026675		146
W= 89.75470, xmin= -0.00115, parasitic=0.7481, |e|=0.302922	      1.000000    169.297111   -207.869209    381.490856     30.936820     -6.601309      0.000000   -151.912454    389.951665   -105.381592    -70.867841    209.542848      0.000000      0.000000      0.000000    -82.794577    310.242009   -344.209028		147
W= 89.76066, xmin= -0.00135, parasitic=0.7375, |e|=0.223155	      1.000000   -420.435570   -232.944866    144.548439    -71.488034   -374.005424      0.000000     75.977458    295.702157    426.617559   -252.782839   -164.784688      0.000000      0.000000      0.000000     89.280576   -388.599968    290.975705		148
W= 89.75940, xmin= -0.00135, parasitic=0.7448, |e|=1.119829	      1.000000    348.844277   -315.636264   -277.924693     -8.223012    105.173631      0.000000   -138.913526    291.675916   -260.518670    352.024729   -159.904598      0.000000      0.000000      0.000000    174.000249   -338.872857    303.061699		149
W= 89.76500, xmin= -0.00132, parasitic=0.7341, |e|=0.136364	      1.000000     93.580791   -319.454214   -186.266560    153.307317   -236.151455      0.000000    105.871907    -77.210557   -168.093192   -307.826516     -9.598594      0.000000      0.000000      0.000000    -42.335016    250.648032     22.985358		150
W= 89.76091, xmin= -0.00134, parasitic=0.7303, |e|=0.136364	      1.000000   -238.818322    212.926449   -140.221467    -25.028225     31.946449      0.000000   -197.932667    288.382654    408.064916    -85.527747   -145.290989      0.000000      0.000000      0.000000   -156.423210    366.085356    -93.546090		151
W= 89.75551, xmin= -0.00137, parasitic=0.7422, |e|=0.162600	      1.000000    352.184764   -346.588579    196.797346   -281.250922     29.737533      0.000000     81.279412   -299.382082     33.102915    -81.043114     16.303676      0.000000      0.000000      0.000000   -138.985949    347.600611   -299.133554		152
W= 89.75860, xmin= -0.00907, parasitic=0.7344, |e|=0.136364	      1.000000    285.953162   -117.847791     62.857122    441.988931   -236.278489      0.000000    295.105908   -336.855251    249.291022   -395.912639   -266.181820      0.000000      0.000000      0.000000     64.814520   -440.701270    -31.772228		153
W= 89.75869, xmin= -0.00136, parasitic=0.7342, |e|=0.136364	      1.000000    -27.359176    -49.880854    282.803009    118.639008    -34.858892      0.000000    214.142259   -397.188307    271.712842    104.888264     76.880036      0.000000      0.000000      0.000000     24.606594   -364.506817     74.316170		154
W= 89.75395, xmin= -0.00138, parasitic=0.7248, |e|=0.136364	      1.000000    -90.123354   -388.506502   -102.972200   -122.688358   -317.880685      0.000000    350.624469   -330.616273   -136.243061    256.096615    345.306468      0.000000      0.000000      0.000000    -53.727447    223.638671    -23.906345		155
W= 89.75320, xmin= -0.00139, parasitic=0.7423, |e|=0.136364	      1.000000   -236.625187     43.864103   -189.912738    257.767877    394.444579      0.000000    276.750962   -399.032871   -367.141566    135.998353    353.441424      0.000000      0.000000      0.000000    -30.416041    412.535297   -122.014125		156
W= 89.75840, xmin= -0.00136, parasitic=0.7304, |e|=0.136364	      1.000000     27.465756   -421.185226    251.504922    378.673788   -271.537856      0.000000    318.323881   -198.614686    254.765085   -427.646613    292.801019      0.000000      0.000000      0.000000    -15.655986   -110.104913   -136.211793		157
W= 89.76867, xmin= -0.00130, parasitic=0.7367, |e|=0.286990	      1.000000    165.119298   -219.404664   -179.571155    273.731009   -348.447582      0.000000   -150.613184    380.850530    309.154665    -57.633443   -345.972866      0.000000      0.000000      0.000000   -207.016289    432.509263    -92.885337		158
W= 89.75904, xmin= -0.00136, parasitic=0.7494, |e|=0.475944	      1.000000    226.001118   -421.631723      5.964671    396.355018   -318.214908      0.000000    -40.804952    177.530018   -409.483253    449.071388    182.246090      0.000000      0.000000      0.000000    -26.781655     29.138467    -15.593038		159
W= 89.75342, xmin= -0.00139, parasitic=0.7489, |e|=0.375455	      1.000000   -445.579902   -270.582537   -283.724821   -155.929519     39.517030      0.000000    134.329789    221.492786   -170.546425   -303.114064    175.797364      0.000000      0.000000      0.000000    176.653274   -204.484940    281.711118		160
W= 89.77187, xmin= -0.00128, parasitic=0.7371, |e|=0.136364	      1.000000     80.659715    425.175447   -190.942982   -392.707016    123.570368      0.000000   -119.474076    -96.263327    449.116452    243.203328     78.968611      0.000000      0.000000      0.000000   -172.819261    385.804264   -199.366967		161
W= 89.76919, xmin= -0.00120, parasitic=0.7471, |e|=0.136364	      1.000000   -146.527441    283.036392    149.815775    257.111988     56.650280      0.000000   -111.383553    158.834776    393.149193   -399.093632    -74.945097      0.000000      0.000000      0.000000     46.796887   -395.751975    207.217875		162
W= 89.76800, xmin= -0.00132, parasitic=0.7335, |e|=0.136364	      1.000000   -220.938166    305.804038   -384.884114    191.723430    -17.173226      0.000000   -259.777560    370.394120    -38.632376   -146.190138    326.693412      0.000000      0.000000      0.000000    122.959769   -311.846224     68.703553		163
W= 89.78610, xmin= -0.00120, parasitic=0.7473, |e|=0.136364	      1.000000   -387.969593    251.538660    417.416760   -370.841643    345.570742      0.000000   -144.972146    447.994722   -350.085631    -87.806145    171.500121      0.000000      0.000000      0.000000    197.332753   -404.094728    182.792938		164
W= 89.76529, xmin= -0.00132, parasitic=0.7348, |e|=0.149037	      1.000000   -158.371924     11.863890   -161.075850    279.450524   -421.530811      0.000000   -137.777007    394.794317    336.645826   -437.973047    130.081755      0.000000      0.000000      0.000000     -8.743175    -73.645048     42.102443		165
W= 89.75642, xmin= -0.00138, parasitic=0.7369, |e|=0.157711	      1.000000   -449.264157    356.707698    105.790707    -10.405382   -137.629401      0.000000    -59.245859    101.922965   -132.459289   -121.714177    -87.410542      0.000000      0.000000      0.000000     92.391640   -290.381830    204.041212		166
W= 89.75494, xmin= -0.00138, parasitic=0.7375, |e|=0.256655	      1.000000    313.305013   -337.162196    123.661630   -153.998883   -365.259106      0.000000    -34.961560    196.643782    246.716209   -449.522267    312.293735      0.000000      0.000000      0.000000     46.258781   -274.928674    -78.210539		167
W= 89.76653, xmin= -0.00131, parasitic=0.7493, |e|=0.185429	      1.000000   -164.053210     94.988411    209.166776     48.286219    224.941279      0.000000    176.457077   -404.534239    -20.407370    194.567952    -19.622878      0.000000      0.000000      0.000000    150.914258   -384.402405    189.869315		168
W= 89.77051, xmin= -0.00129, parasitic=0.7415, |e|=0.136364	      1.000000    313.666012   -373.632633    381.741454    290.045515    -60.816791      0.000000    164.987493   -365.913732    283.526153    182.288667    184.043403      0.000000      0.000000      0.000000     77.494977   -424.757778     20.064660		169
W= 89.75894, xmin= -0.00136, parasitic=0.7316, |e|=0.136364	      1.000000    286.994597    201.958938    138.446153    109.043644    -61.681465      0.000000   -281.614747    324.726028   -256.705775    408.885349   -234.577577      0.000000      0.000000      0.000000   -107.069111    315.501046   -103.038531		170
W= 89.76023, xmin= -0.00123, parasitic=0.7424, |e|=0.158335	      1.000000   -346.583867    387.614467   -410.184483     49.523708   -106.903618      0.000000    -87.536535    239.395486   -350.327430    360.037348    352.231465      0.000000      0.000000      0.000000    -56.098045    378.669618   -312.394406		171
W= 89.75704, xmin= -0.00137, parasitic=0.7477, |e|=0.136364	      1.000000    -61.003469   -186.492752    117.247311     56.406740    -19.174359      0.000000    -29.776746    278.377249     64.203540     95.341041   -191.712620      0.000000      0.000000      0.000000   -118.790386    209.085336   -231.535271		172
W= 89.75788, xmin= -0.00136, parasitic=0.7303, |e|=0.136364	      1.000000    204.356467    124.493353   -120.216287    -96.768581   -383.084243      0.000000     53.421677   -328.447188    -85.394817    414.969381    159.937738      0.000000      0.000000      0.000000   -120.511742    312.654651   -102.548855		173
W= 89.75440, xmin= -0.00138, parasitic=0.7330, |e|=0.136364	      1.000000    -88.963674   -195.360640   -311.426792    183.023826    285.230746      0.000000    220.982405   -359.111473    306.929556    -34.965800    199.772693      0.000000      0.000000      0.000000   -141.629766    285.323146   -290.368134		174
W= 89.75316, xmin= -0.00132, parasitic=0.7373, |e|=0.136364	      1.000000      9.878288    363.213232     16.119068   -126.960146    289.208345      0.000000   -234.668258    411.090302    248.594117   -304.142591    -24.876912      0.000000      0.000000      0.000000     96.143463   -319.057600    294.666081		175
W= 89.77626, xmin= -0.00126, parasitic=0.7492, |e|=0.233130	      1.000000   -389.149506    365.940817    308.654249     34.864795   -287.959949      0.000000      5.728402     38.953009   -173.673417    188.502825   -334.580305      0.000000      0.000000      0.000000    179.212557   -447.730134    327.462904		176
W= 89.75967, xmin= -0.00135, parasitic=0.7373, |e|=0.361050	      1.000000   -258.416856   -384.491820    417.333412    186.668103    -71.206471      0.000000     97.730578    209.053975   -319.183919     -0.991875   -414.029321      0.000000      0.000000      0.000000    182.546756   -440.592139    424.625689		177
W= 89.77609, xmin= -0.00119, parasitic=0.7493, |e|=0.208980	      1.000000    289.196873   -280.465919     17.759807    -50.396895   -107.750942      0.000000      3.221292     15.349839   -249.208272    246.563242     11.214013      0.000000      0.000000      0.000000    -64.566514    347.446338   -158.291391		178
W= 89.75242, xmin= -0.00139, parasitic=0.7242, |e|=0.150790	      1.000000   -351.670101    281.473647    126.789151    190.296862   -333.695986      0.000000    -59.141849    117.455769    433.613204    208.542453    236.158446      0.000000      0.000000      0.000000   -221.494265    355.666301   -236.497962		179
W= 89.75727, xmin= -0.00125, parasitic=0.7433, |e|=0.416404	      1.000000   -328.449705    277.130346    -94.751891    205.171616    191.721245      0.000000     81.064780   -161.288118   -127.609759    -69.117683   -342.334533      0.000000      0.000000      0.000000    -71.994770    373.022681   -167.937737		180
W= 89.75400, xmin= -0.00138, parasitic=0.7349, |e|=0.183387	      1.000000    138.468879   -126.191899    128.920231    -29.847486   -208.604163      0.000000   -154.466249    371.409033   -111.574684     52.623253   -225.363031      0.000000      0.000000      0.000000    140.038444   -338.807616    297.334325		181
W= 89.75957, xmin= -0.00135, parasitic=0.7339, |e|=0.136364	      1.000000     37.664951   -357.007957    -77.055334    118.490467    157.158891      0.000000    149.820737   -142.951496    139.293491    345.752457   -263.453275      0.000000      0.000000      0.000000    113.252181   -438.655710    224.124151		182
W= 89.75163, xmin= -0.00141, parasitic=0.7433, |e|=0.136364	      1.000000    214.662476    134.888918   -331.268845   -344.825372    306.161994      0.000000    279.606189   -295.112300    262.386321    -20.702008    176.390233      0.000000      0.000000      0.000000     55.184004   -302.735302   -242.259544		183
W= 89.77454, xmin= -0.00127, parasitic=0.7460, |e|=0.136364	      1.000000   -314.471775    437.985374   -108.615447    346.682566    299.059324      0.000000   -199.122709    176.188302   -195.833141    285.452839   -405.092806      0.000000      0.000000      0.000000    -42.574205    212.068734     53.103921		184
W= 89.77720, xmin= -0.00125, parasitic=0.7405, |e|=0.136364	      1.000000    -10.787797    224.384293    157.200475   -297.892740      6.581912      0.000000   -241.783096    360.247663    341.539372    367.880308    294.766009      0.000000      0.000000      0.000000   -167.346243    295.478239   -294.715659		185
W= 89.77534, xmin= -0.00126, parasitic=0.7407, |e|=0.136364	      1.000000    317.442740    267.795728    296.343704    283.395556   -307.504252      0.000000    -19.460391   -335.667425    410.772759    288.416933   -444.958279      0.000000      0.000000      0.000000     13.219922   -424.061414    220.911852		186
W= 89.75476, xmin= -0.00138, parasitic=0.7345, |e|=0.139101	      1.000000   -164.137227    121.379342    313.536540   -275.690039    156.518615      0.000000   -208.795998    378.050326   -378.247677    172.520525   -178.916407      0.000000      0.000000      0.000000    102.373766   -223.940738    128.197250		187
W= 89.77675, xmin= -0.00125, parasitic=0.7416, |e|=0.136364	      1.000000    121.127659      3.604070     93.246987     34.260127     50.534985      0.000000   -202.104325    373.547078    -24.860219   -147.843990    339.375583      0.000000      0.000000      0.000000   -100.950692    326.453905   -233.758112		188
W= 89.75629, xmin= -0.00112, parasitic=0.7493, |e|=0.136364	      1.000000    210.233686   -307.666163     51.005930    446.574580    141.949673      0.000000    179.475302   -419.497246   -346.843729   -123.176335    250.348318      0.000000      0.000000      0.000000    126.898718   -290.213422    244.096301		189
W= 89.75949, xmin= -0.00136, parasitic=0.7453, |e|=0.136364	      1.000000    193.713624    315.819364   -133.401217     49.501248    151.940619      0.000000   -271.374500    406.493187   -184.411992    -87.357823   -373.149097      0.000000      0.000000      0.000000   -114.480293    374.461498   -244.907372		190
W= 89.76677, xmin= -0.00131, parasitic=0.7498, |e|=0.136364	      1.000000    153.237425    242.665131    291.206307   -262.636631    116.411701      0.000000   -270.159469    166.579452   -392.589832    120.018252    282.465830      0.000000      0.000000      0.000000    107.038280   -237.879707    -58.253592		191
W= 89.76141, xmin= -0.00134, parasitic=0.7328, |e|=0.136364	      1.000000   -377.818804    392.201609   -145.926644    244.573353     60.684926      0.000000   -103.171236      7.321949    364.055091   -337.619441   -202.827362      0.000000      0.000000      0.000000     51.419552   -346.551232      2.436197		192
W= 89.76231, xmin= -0.00134, parasitic=0.7423, |e|=0.220506	      1.000000   -323.709562    156.077508   -305.451401    129.841519   -309.764092      0.000000     12.261724    128.718615      8.724963   -207.412658    172.939364      0.000000      0.000000      0.000000   -159.311773    422.684450   -208.310740		193
W= 89.75701, xmin= -0.00137, parasitic=0.7461, |e|=0.558046	      1.000000    322.337895     60.760359    440.102858   -343.129455   -436.020922      0.000000   -112.433508    -14.804066   -110.424851    -92.456189    402.945434      0.000000      0.000000      0.000000    245.568701   -447.895517    232.180081		194
W= 89.75086, xmin= -0.00140, parasitic=0.7489, |e|=0.136364	      1.000000     19.197821    185.328462    205.275163   -387.697666    293.460693      0.000000    -53.166561     21.873068    102.423011   -200.161297   -206.267661      0.000000      0.000000      0.000000    200.086879   -378.609662    415.192741		195
W= 89.75550, xmin= -0.00510, parasitic=0.7310, |e|=0.136364	      1.000000    -40.576660    176.148471   -165.073836   -187.362109    278.785640      0.000000   -323.192050    320.262987    314.234450      3.854645     47.920380      0.000000      0.000000      0.000000      7.823137   -157.358560   -115.297503		196
W= 89.75022, xmin= -0.00141, parasitic=0.7424, |e|=0.136364	      1.000000    -18.469147   -138.275221    -21.950634    -93.094685   -374.357774      0.000000     70.105527    -96.400289   -201.783816   -246.700804   -437.038935      0.000000      0.000000      0.000000   -106.317095    365.146260   -107.713322		197
W= 89.75202, xmin= -0.00139, parasitic=0.7428, |e|=0.136364	      1.000000   -158.952109   -374.411954   -224.079312     15.985116     31.510308      0.000000    372.172281   -130.767018     94.681525    357.758728    254.327607      0.000000      0.000000      0.000000   -108.657872    414.284007     86.674978		198
W= 89.77281, xmin= -0.00128, parasitic=0.7492, |e|=0.136364	      1.000000    -18.631456    -47.723641    345.284112   -206.746712     56.772414      0.000000   -245.620996    393.317144   -195.449901    107.439295    143.348968      0.000000      0.000000      0.000000     88.759827   -313.878952    -36.153044		199
W= 89.76349, xmin= -0.00133, parasitic=0.7415, |e|=0.173086	      1.000000    329.535172    176.208727    -98.293159    141.114413    -20.710117      0.000000   -300.146490    393.187837    228.662106     11.240506     10.293191      0.000000      0.000000      0.000000   -202.325190    382.711356   -257.353300		200
W= 89.75711, xmin= -0.00137, parasitic=0.7462, |e|=0.208856	      1.000000   -331.806904    205.224442    -33.452368    -94.005536   -295.810779      0.000000     -7.637166    185.337406   -107.290987    424.607486    279.885214      0.000000      0.000000      0.000000   -230.131881    440.148476   -364.458498		201
W= 89.75079, xmin= -0.00140, parasitic=0.7226, |e|=0.136364	      1.000000    260.593235    420.021273    195.897825    161.212211    272.789655      0.000000   -243.390196     81.154597    321.256747   -111.731026    297.832659      0.000000      0.000000      0.000000      6.934654   -169.325979   -172.011761		202
W= 89.75405, xmin= -0.00141, parasitic=0.7485, |e|=0.233133	      1.000000    380.112660    143.673965   -200.291928    176.603217   -236.103956      0.000000   -317.228242    441.524950   -227.284619   -214.517509    292.041842      0.000000      0.000000      0.000000   -161.282257    352.645443    -70.738779		203
W= 89.76670, xmin= -0.00132, parasitic=0.7370, |e|=0.136364	      1.000000    283.333978   -411.269315   -388.009179   -108.836637    381.265393      0.000000    225.774996   -383.873597    413.131677    141.245510    232.695956      0.000000      0.000000      0.000000   -123.281708    284.623658   -304.637152		204
W= 89.77070, xmin= -0.00129, parasitic=0.7372, |e|=0.136364	      1.000000    100.010836   -165.298010   -318.250636    164.865090     35.102403      0.000000    282.183503   -405.429364   -428.542392    282.366690   -106.344657      0.000000      0.000000      0.000000     53.392644     22.437476    179.768712		205
W= 89.75976, xmin= -0.00135, parasitic=0.7289, |e|=0.136364	      1.000000   -350.067775   -416.999998     55.508991    -15.547026   -238.717192      0.000000    361.040918   -278.169918    259.611620    270.859981    101.158945      0.000000      0.000000      0.000000   -174.447528    325.831772   -161.753432		206
W= 89.77966, xmin= -0.00123, parasitic=0.7495, |e|=0.445937	      1.000000    341.118028    437.886806    343.129513     19.594351    -52.680513      0.000000   -131.149156   -230.965608    186.685889   -337.601516   -280.586053      0.000000      0.000000      0.000000     39.193368   -165.658779    167.545112		207
W= 89.76707, xmin= -0.00131, parasitic=0.7354, |e|=0.136364	      1.000000   -317.099580    274.719327   -193.427937     19.033919   -431.784582      0.000000   -154.442399    340.488898     58.365343    333.024454    193.659994      0.000000      0.000000      0.000000   -113.332913    263.152368   -101.450010		208
W= 89.76601, xmin= -0.01158, parasitic=0.7458, |e|=0.136364	      1.000000     85.631481    175.552095    251.413618    -24.808562   -422.887017      0.000000   -317.086372    425.206010    317.144771     78.603253   -306.210805      0.000000      0.000000      0.000000    -13.484374   -210.442369     57.078197		209
W= 89.76914, xmin= -0.00125, parasitic=0.7460, |e|=0.232160	      1.000000   -444.323949    233.235850    223.609711    448.222956   -378.923694      0.000000     43.275649    -11.306728    161.838633   -181.672334   -380.243128      0.000000      0.000000      0.000000   -108.464272    223.731112    -42.511241		210
W= 89.76209, xmin= -0.00134, parasitic=0.7406, |e|=0.701609	      1.000000   -216.668927    249.074251    410.144968    146.769308     54.520817      0.000000     71.645516   -182.218649   -168.519761     61.170693     84.140606      0.000000      0.000000      0.000000    169.332683   -388.511849    116.997416		211
W= 89.75065, xmin= -0.00141, parasitic=0.7417, |e|=0.136364	      1.000000    242.803456    247.794036    440.210244     18.639068   -342.393775      0.000000   -269.989136    400.633890    -12.958198   -172.900977    377.530184      0.000000      0.000000      0.000000    105.966057   -262.603780    180.901883		212
W= 89.75716, xmin= -0.00136, parasitic=0.7400, |e|=0.136364	      1.000000    259.374549   -269.274685   -348.114745   -373.807217    254.417025      0.000000    141.547331   -398.755006   -322.785861    -62.683711    186.029180      0.000000      0.000000      0.000000   -103.221277    447.507220   -194.768257		213
W= 89.75023, xmin= -0.00141, parasitic=0.7290, |e|=0.136364	      1.000000     99.290929    274.155515   -381.570897     52.588262    297.319062      0.000000   -126.702920     45.877545    341.519157    220.172385    168.704437      0.000000      0.000000      0.000000    -69.516486     84.631545   -173.907305		214
W= 89.75850, xmin= -0.00135, parasitic=0.7307, |e|=0.136364	      1.000000   -415.127786     26.717577      3.037861   -193.061580   -345.588499      0.000000    -24.373320    119.754109    -82.542852    -16.206430   -309.158717      0.000000      0.000000      0.000000    -93.951111    417.254625    129.176402		215
W= 89.77794, xmin= -0.00118, parasitic=0.7497, |e|=0.231052	      1.000000    319.272571   -308.830794    165.454320     58.426323   -117.671834      0.000000      1.800629    -66.102733     37.617319    400.163121   -209.678125      0.000000      0.000000      0.000000     87.213920   -415.950716    345.091338		216
W= 89.76305, xmin= -0.00134, parasitic=0.7385, |e|=0.211252	      1.000000   -252.986243    -71.369416   -109.184195    -59.555999    238.048381      0.000000     30.896928    175.249188     81.468471      8.767238   -267.361851      0.000000      0.000000      0.000000   -140.646059    381.140540   -281.612038		217
W= 89.75393, xmin= -0.00138, parasitic=0.7267, |e|=0.136364	      1.000000    -32.422669    246.373167    190.582259    357.695837    163.899243      0.000000    129.450488   -417.767945   -209.969885    131.356194     69.309319      0.000000      0.000000      0.000000    110.516127   -345.285805    110.036834		218
W= 89.76214, xmin= -0.00134, parasitic=0.7333, |e|=0.136364	      1.000000     99.133169    281.614641   -412.349622    160.480482    385.353952      0.000000   -287.207291    349.786782    -40.911876    145.313875   -325.121186      0.000000      0.000000      0.000000    -93.672284    373.609869    -66.970391		219
W= 89.76207, xmin= -0.00134, parasitic=0.7451, |e|=0.136364	      1.000000   -164.778697    386.666845     -7.868658    401.602835   -178.182767      0.000000   -268.505831    144.192875    249.927657   -333.912792   -301.677368      0.000000      0.000000      0.000000     59.890344   -442.801531     57.717581		220
W= 89.77320, xmin= -0.00127, parasitic=0.7426, |e|=0.136364	      1.000000     48.864511   -325.732933    -96.829026   -372.026615    181.249691      0.000000    244.571568   -404.852760   -232.125335    -53.709005    250.423541      0.000000      0.000000      0.000000    233.860302   -432.760879    214.122360		221
W= 89.75468, xmin= -0.00138, parasitic=0.7386, |e|=0.237534	      1.000000    428.145623    -40.152989   -263.808098   -268.151107    409.713287      0.000000    -49.745120   -199.152350    130.440394   -192.424653   -233.634720      0.000000      0.000000      0.000000    217.653821   -446.407582    358.305925		222
W= 89.75964, xmin= -0.00135, parasitic=0.7439, |e|=0.188110	      1.000000    247.258576     80.406171    412.084649    340.503854    127.500002      0.000000   -228.332053    356.570737    -87.745283     13.528149    251.234877      0.000000      0.000000      0.000000   -146.171276    288.622977   -359.580331		223
W= 89.75161, xmin= -0.00140, parasitic=0.7271, |e|=0.136364	      1.000000    289.975104     69.706326    -19.149322     70.514741   -289.688790      0.000000     66.742575   -318.673152   -241.418238    336.384457    -12.332180      0.000000      0.000000      0.000000   -106.621694    410.345247    -63.230766		224
W= 89.77302, xmin= -0.00128, parasitic=0.7462, |e|=0.136364	      1.000000    -18.176792    -29.341039    332.829785    143.328544    -79.905725      0.000000    121.958312   -301.847098    335.239754    -40.132452   -432.385618      0.000000      0.000000      0.000000     56.164910   -350.499753    288.995461		225
W= 89.78347, xmin= -0.00122, parasitic=0.7478, |e|=0.136364	      1.000000    273.306475    115.334230   -200.846718     -3.838398    275.756717      0.000000   -277.860187    332.236054   -236.954847    336.018809    278.761756      0.000000      0.000000      0.000000     -8.747147    165.761671    -96.772750		226
W= 89.76800, xmin= -0.00130, parasitic=0.7386, |e|=0.136364	      1.000000   -340.148620    431.240077   -138.758834   -115.409449    292.799420      0.000000   -277.923310    219.616670   -393.796651   -414.380391   -125.976497      0.000000      0.000000      0.000000     48.262536    217.165166     64.999656		227
W= 89.78164, xmin= -0.00123, parasitic=0.7442, |e|=0.136364	      1.000000     48.586895    105.089124    -52.171793     43.507906   -162.424857      0.000000   -243.269451    399.332346    -40.367291    307.245818    218.153872      0.000000      0.000000      0.000000   -132.877539    410.475229   -186.383161		228
W= 89.78109, xmin= -0.00123, parasitic=0.7437, |e|=0.136364	      1.000000    -51.819840    285.895604    269.906000    323.790923    -52.965929      0.000000   -256.939891    429.425148    158.379054   -321.710744   -155.672717      0.000000      0.000000      0.000000     59.084729   -306.201799    167.021714		229
W= 89.77291, xmin= -0.00548, parasitic=0.7468, |e|=0.151565	      1.000000    413.430370    327.342378   -356.760376   -117.181086    197.414501      0.000000   -378.248777    414.021617    351.873812    219.418121     59.689455      0.000000      0.000000      0.000000   -111.822422    138.399664   -125.508079		230
W= 89.75926, xmin= -0.00135, parasitic=0.7353, |e|=0.136364	      1.000000     51.249188   -204.922364     46.117908     -7.825441   -398.021122      0.000000   -132.887038    431.043677    -17.155894     49.604045     32.867050      0.000000      0.000000      0.000000    116.570156   -341.637286    266.759069		231
W= 89.75484, xmin= -0.00138, parasitic=0.7297, |e|=0.180147	      1.000000   -326.489162   -185.259035   -314.559372   -312.240131   -330.777686      0.000000     54.254182    133.735299   -380.677734    195.714028    204.464175      0.000000      0.000000      0.000000      6.418630    264.731641    101.114043		232
W= 89.75622, xmin= -0.00137, parasitic=0.7294, |e|=0.243647	      1.000000    287.800084   -241.015165    122.559602    321.116103    -44.357699      0.000000    -21.541550     40.396851     -2.785939   -121.683552    305.431615      0.000000      0.000000      0.000000     75.056918   -276.155125     51.936392		233
W= 89.78881, xmin= -0.00119, parasitic=0.7487, |e|=0.136364	      1.000000    -71.179759    -40.545599   -221.944879    322.338164     44.955404      0.000000    185.662576   -310.448507   -162.671511   -275.485485   -289.441130      0.000000      0.000000      0.000000    -70.546721    400.138442    -21.488670		234
W= 89.75833, xmin= -0.00136, parasitic=0.7378, |e|=0.181298	      1.000000    311.978782    369.053609   -407.082806   -442.099547    258.424300      0.000000   -246.026136    139.127683     13.922433    177.034783    427.372162      0.000000      0.000000      0.000000   -115.478011    350.768712   -278.353862		235
W= 89.75337, xmin= -0.00138, parasitic=0.7261, |e|=0.136364	      1.000000   -217.099057    -45.151606    203.445366    349.224774   -131.234172      0.000000    -70.411111    311.249935    -52.051655    210.211754    340.511993      0.000000      0.000000      0.000000   -110.550513    197.742464   -149.143613		236
W= 89.78487, xmin= -0.00121, parasitic=0.7464, |e|=0.136364	      1.000000    159.642220   -342.281792   -351.969601   -439.685574   -214.588944      0.000000    221.009895   -399.696811    145.800877    -74.010103    288.133529      0.000000      0.000000      0.000000    152.854302   -410.684340    249.662670		237
W= 89.75120, xmin= -0.00140, parasitic=0.7491, |e|=0.224747	      1.000000   -331.191612   -335.391867    400.158991    149.245026     43.713815      0.000000     77.420979    304.696873    -55.220291    174.625138    282.734786      0.000000      0.000000      0.000000    225.289163   -438.918380     71.063100		238
W= 89.76686, xmin= -0.00132, parasitic=0.7367, |e|=0.136364	      1.000000     30.407953    281.324408    -96.567554   -391.207606     23.735788      0.000000     32.705040   -279.499067   -122.593902   -399.316157   -107.737572      0.000000      0.000000      0.000000    166.665996   -356.329932    322.912978		239
W= 89.76008, xmin= -0.00135, parasitic=0.7409, |e|=0.136364	      1.000000    -81.245374    364.788535    111.529837     66.091858    119.922912      0.000000   -177.282357    328.898064    330.269236   -126.170147     62.849154      0.000000      0.000000      0.000000     87.148984   -345.720276    204.488073		240
W= 89.75624, xmin= -0.00137, parasitic=0.7460, |e|=0.136364	      1.000000    317.651694    182.238906    380.876119   -311.872865   -412.886282      0.000000   -381.708735    379.286901    350.006805   -164.582630     16.674040      0.000000      0.000000      0.000000     11.267548   -352.353380    -12.350270		241
W= 89.76266, xmin= -0.00133, parasitic=0.7391, |e|=0.136364	      1.000000     95.340036    320.924518    -24.162617    -39.154630   -162.454558      0.000000   -424.395072    383.859175    254.254790    387.747896    435.439881      0.000000      0.000000      0.000000   -150.311628    367.034719   -127.407390		242
W= 89.75666, xmin= -0.00137, parasitic=0.7276, |e|=0.136364	      1.000000   -180.603120    353.764691   -317.346403   -282.709311     39.770782      0.000000   -149.464337    141.319319    -34.025626      0.260982    322.365002      0.000000      0.000000      0.000000    -64.091951    329.858487   -121.447570		243
W= 89.77910, xmin= -0.00124, parasitic=0.7499, |e|=0.199329	      1.000000    336.556897   -251.811052    -98.449453   -181.927830    415.676603      0.000000     13.314103   -122.344582   -440.694077   -237.975186    137.453071      0.000000      0.000000      0.000000    -60.871638    415.332308   -186.394765		244
W= 89.77456, xmin= -0.00127, parasitic=0.7400, |e|=0.136364	      1.000000    -83.559174    443.647715    441.352327    -79.725261    -35.383197      0.000000   -261.857065    332.720316    344.233346    -59.443643    125.724253      0.000000      0.000000      0.000000     66.393686   -360.627452    -52.689153		245
W= 89.75334, xmin= -0.00139, parasitic=0.7288, |e|=0.136364	      1.000000    -26.197612   -289.517732    222.699941   -423.289446    327.912916      0.000000    186.664914   -120.351840    436.477160    144.658692    -84.205223      0.000000      0.000000      0.000000    -18.962690   -192.741726   -124.983525		246
W= 89.75853, xmin= -0.00135, parasitic=0.7312, |e|=0.136364	      1.000000   -438.991450     64.831172   -406.539901    139.407728    360.465651      0.000000   -117.500049    225.076097    -38.868469    -30.428336   -141.468989      0.000000      0.000000      0.000000    -36.902704    248.664331     73.366277		247
W= 89.75661, xmin= -0.00734, parasitic=0.7337, |e|=0.136364	      1.000000    223.393723    -88.613171   -299.751890    -63.035886     75.660796      0.000000    301.726634   -343.683303    436.506168     72.363059    411.550534      0.000000      0.000000      0.000000   -140.146095    359.621744    -94.087245		248
W= 89.75180, xmin= -0.00140, parasitic=0.7482, |e|=0.136364	      1.000000      6.188321     32.616893    300.543565     24.476737   -131.672305      0.000000    210.683491   -277.991352    368.935602   -178.209967    376.412730      0.000000      0.000000      0.000000    -47.275882   -113.110629   -200.085852		249
W= 89.75191, xmin= -0.00139, parasitic=0.7383, |e|=0.136364	      1.000000     27.888452     98.726506   -326.760224    335.732769    112.062409      0.000000    100.920176   -355.679721    448.520429   -371.161815     55.380755      0.000000      0.000000      0.000000     95.248674   -287.382852    125.371779		250
W= 89.75954, xmin= -0.00135, parasitic=0.7284, |e|=0.136364	      1.000000    300.994607    350.720228   -302.303059   -229.723046    230.323687      0.000000     11.291235   -403.875682   -372.443999   -301.770172    116.508379      0.000000      0.000000      0.000000     51.669707    181.909003     24.518209		251
W= 89.76225, xmin= -0.00133, parasitic=0.7457, |e|=0.136364	      1.000000   -107.215096    -95.120999    333.994852    270.727135    279.228670      0.000000    202.161800   -385.570573   -386.820900   -420.397097   -359.971080      0.000000      0.000000      0.000000    276.073714   -431.206715    350.753298		252
W= 89.76152, xmin= -0.00134, parasitic=0.7373, |e|=1.550083	      1.000000    168.068571   -256.788979   -158.274286    413.396398    244.547414      0.000000    -70.018587    220.252457    331.777778      7.480720   -169.678957      0.000000      0.000000      0.000000     71.564145   -355.820735    171.081411		253
W= 89.76014, xmin= -0.00135, parasitic=0.7465, |e|=0.148431	      1.000000   -290.967974   -256.623630     18.249837   -142.503248    381.679896      0.000000    274.912200   -360.975368   -102.475623   -246.196514     70.985831      0.000000      0.000000      0.000000    -55.727963    262.381868   -276.622528		254
W= 89.76687, xmin= -0.00131, parasitic=0.7362, |e|=0.725394	      1.000000   -140.342516    192.215742    295.351392   -131.762869    341.288149      0.000000     93.650852   -253.079496    -29.855767    279.895579    249.993746      0.000000      0.000000      0.000000    106.333788   -409.931337     98.220465		255
W= 89.76861, xmin= -0.00130, parasitic=0.7367, |e|=0.549894	      1.000000   -409.655164   -174.440812    382.460313   -363.749232    -37.359476      0.000000    153.150087     22.497319    297.744682   -300.082117    133.374231      0.000000      0.000000      0.000000     73.622812   -345.198805     27.512133		256
W= 89.75278, xmin= -0.00139, parasitic=0.7358, |e|=0.136364	      1.000000    155.959035    208.602159   -355.297734     -0.848635    282.535928      0.000000     71.521976   -449.066552    -36.728554   -372.706051   -171.841446      0.000000      0.000000      0.000000    -55.122195    268.269400    -66.122327		257
W= 89.76404, xmin= -0.00126, parasitic=0.7451, |e|=0.447538	      1.000000    377.295640      6.060578    273.127499   -248.861905   -411.267189      0.000000   -265.545072    406.151050    218.537804    222.186893    -95.319280      0.000000      0.000000      0.000000     84.005750   -413.937318    398.208461		258
W= 89.76450, xmin= -0.00132, parasitic=0.7454, |e|=0.143331	      1.000000    406.082615   -382.219216   -169.957489      9.674844    158.008297      0.000000    121.919472   -389.112346   -152.039619    126.441369   -336.980287      0.000000      0.000000      0.000000   -183.222680    424.025265   -104.780647		259
W= 89.75249, xmin= -0.00139, parasitic=0.7376, |e|=0.136364	      1.000000     10.450492     14.364351   -241.327553      7.864045    163.402354      0.000000    -85.233221    208.532181     68.149678    430.992085     63.607500      0.000000      0.000000      0.000000   -171.021500    301.278037   -246.127726		260
W= 89.75965, xmin= -0.00135, parasitic=0.7297, |e|=0.136364	      1.000000    280.751248   -405.602905    375.007161    -50.213007    415.785450      0.000000    109.668752    -49.810832    177.803832   -418.608838   -166.362582      0.000000      0.000000      0.000000     75.862445   -300.481111    -58.897262		261
W= 89.75147, xmin= -0.00140, parasitic=0.7442, |e|=0.252992	      1.000000   -354.306384    292.153491    250.973173    206.410118    210.797505      0.000000   -338.548362    156.194009     27.095598    430.871916   -448.596790      0.000000      0.000000      0.000000    -48.422791      1.870845     88.853140		262
W= 89.75319, xmin= -0.00118, parasitic=0.7451, |e|=0.136364	      1.000000   -170.019839   -179.972026    200.583782   -424.372587    229.460921      0.000000    239.042489   -385.771152    159.871358     78.697992     14.804407      0.000000      0.000000      0.000000   -107.122478    288.527959   -377.249481		263
W= 89.76090, xmin= -0.00134, parasitic=0.7455, |e|=0.136364	      1.000000    -25.756719   -194.402443   -118.119867   -146.666066    -66.475467      0.000000    146.545157   -249.714439   -238.637211    -75.169393    410.481447      0.000000      0.000000      0.000000    247.228666   -420.639445    303.581052		264
W= 89.75994, xmin= -0.00135, parasitic=0.7301, |e|=0.143077	      1.000000   -429.534519    345.686680    218.594507    252.502775   -103.546602      0.000000    -76.302124     76.606219   -343.720945   -155.065998   -295.403125      0.000000      0.000000      0.000000    153.398762   -394.397682    206.485297		265
W= 89.75158, xmin= -0.00139, parasitic=0.7445, |e|=0.136364	      1.000000   -186.285660    220.968459     94.415670    -79.146118    -47.030748      0.000000   -435.166522    227.340011   -147.989756    -13.792757    220.368334      0.000000      0.000000      0.000000    -64.525674    422.549576    108.181364		266
W= 89.75546, xmin= -0.00131, parasitic=0.7367, |e|=0.136364	      1.000000   -366.101035    355.649763    185.216997     75.541851   -213.967292      0.000000   -147.444071    359.627434   -245.704143     30.421360    359.290477      0.000000      0.000000      0.000000    117.707907   -341.571389    217.611773		267
W= 89.76278, xmin= -0.00128, parasitic=0.7410, |e|=0.136364	      1.000000   -443.670360   -434.507488     58.810520   -252.705510    133.360418      0.000000    448.482070   -432.468800   -295.625751     66.167820   -274.997605      0.000000      0.000000      0.000000    -54.676628    405.937420   -165.186877		268
W= 89.76704, xmin= -0.00131, parasitic=0.7432, |e|=0.136364	      1.000000    119.060742    123.500913   -408.762728   -177.574627     28.349272      0.000000    181.897635   -448.147466    315.156986   -326.631424   -221.245024      0.000000      0.000000      0.000000     92.869847   -399.791940    173.581668		269
W= 89.76523, xmin= -0.00132, parasitic=0.7332, |e|=0.136364	      1.000000   -276.424535    -48.568607    137.934748   -187.256688   -169.740852      0.000000   -155.074021    438.349637   -157.080854   -397.588531   -344.855849      0.000000      0.000000      0.000000     86.361798   -127.216415    139.015446		270
W= 89.78057, xmin= -0.00123, parasitic=0.7473, |e|=0.136364	      1.000000    188.339467   -107.617799    404.133011   -259.894456     78.536043      0.000000    232.559250   -372.461015     -1.029126    272.932198   -255.162064      0.000000      0.000000      0.000000   -108.126441    310.258384    -68.440280		271
W= 89.75227, xmin= -0.00139, parasitic=0.7299, |e|=0.136364	      1.000000   -149.492806    300.740064    242.410276    296.899029    408.629288      0.000000   -135.095857    229.882835    -93.262626     37.936384   -281.159023      0.000000      0.000000      0.000000    133.578866   -385.918938    194.401707		272
W= 89.76715, xmin= -0.00125, parasitic=0.7457, |e|=0.136364	      1.000000     18.837653   -370.914598    282.770662    159.298728   -146.064122      0.000000    200.209106   -340.713262   -125.297972   -130.497469    126.494903      0.000000      0.000000      0.000000    102.706485   -273.617591    257.485084		273
W= 89.75774, xmin= -0.00136, parasitic=0.7287, |e|=0.136364	      1.000000    219.932460   -404.785673   -167.343484    -61.793731   -143.628194      0.000000    267.940964   -408.249149    216.303859   -156.493420   -260.657142      0.000000      0.000000      0.000000   -107.784820    285.373028    -39.670860		274
W= 89.75017, xmin= -0.00140, parasitic=0.7346, |e|=0.136364	      1.000000    153.138414    419.015020    445.247329     19.817684    274.385878      0.000000   -123.323046    -82.769071   -412.701466    403.135704    -94.991532      0.000000      0.000000      0.000000    -83.417416    204.427454   -142.337858		275
W= 89.78548, xmin= -0.00121, parasitic=0.7460, |e|=0.147130	      1.000000    432.183100    418.926092    -99.937382    -36.902215    -57.360184      0.000000   -376.618313    280.371578   -389.831063    167.721028    269.941380      0.000000      0.000000      0.000000     -0.549240    194.374653    -49.766945		276
W= 89.76150, xmin= -0.00127, parasitic=0.7458, |e|=0.136364	      1.000000   -168.391124   -178.266663     47.831270    -80.401498   -282.432264      0.000000     -0.588920    210.249536   -137.246887   -375.288561   -384.467532      0.000000      0.000000      0.000000    117.886989   -322.390373    359.923563		277
W= 89.75098, xmin= -0.00140, parasitic=0.7414, |e|=0.136364	      1.000000    100.799060   -298.539402   -368.941558    298.858593    218.359407      0.000000    178.854199   -356.399093    -45.602662   -274.078127   -191.263806      0.000000      0.000000      0.000000    129.091294   -191.223543    206.501332		278
W= 89.75522, xmin= -0.00143, parasitic=0.7494, |e|=0.136364	      1.000000     76.805893   -286.382404     59.587821   -174.196512   -123.256377      0.000000     78.358327    -88.479514   -126.074286    -19.751212     34.214174      0.000000      0.000000      0.000000    223.356151   -325.483238    159.262806		279
W= 89.78211, xmin= -0.00123, parasitic=0.7442, |e|=0.164316	      1.000000   -309.953076    200.252107    181.595344    386.585215     -4.742985      0.000000    -29.793965    104.995062     73.507066    -44.742591    266.621130      0.000000      0.000000      0.000000     68.166642   -339.151024     50.706619		280
W= 89.75045, xmin= -0.00139, parasitic=0.7494, |e|=0.996753	      1.000000    388.320901    276.403630    327.930588   -305.996138    145.697140      0.000000   -164.446226    -89.151521    356.711598    247.708216    324.246707      0.000000      0.000000      0.000000    105.951897   -414.058967    301.471808		281
W= 89.76447, xmin= -0.00133, parasitic=0.7497, |e|=0.136364	      1.000000    199.402795   -248.571586    138.077120    -61.335232    156.165316      0.000000    303.818936   -338.049142   -211.556344    267.140425    -31.386848      0.000000      0.000000      0.000000    -36.436456    239.574497    -24.417157		282
W= 89.77201, xmin= -0.00129, parasitic=0.7390, |e|=0.383470	      1.000000   -385.426662    -58.581715   -220.952942    394.214296   -316.005166      0.000000    271.271914   -331.223513   -368.042774    253.557729    -67.231158      0.000000      0.000000      0.000000    -51.061679    291.331064    -31.915933		283
W= 89.75143, xmin= -0.00140, parasitic=0.7254, |e|=0.136364	      1.000000   -311.316657    248.998450   -330.763573   -370.613981   -418.898803      0.000000    -96.176730    149.667549   -201.375961    360.351528     60.639255      0.000000      0.000000      0.000000    -26.550007    214.893856     78.464089		284
W= 89.76239, xmin= -0.00134, parasitic=0.7380, |e|=0.136364	      1.000000     61.117980   -238.022910    -44.935025   -355.496350    302.262198      0.000000    170.338059   -326.693164   -254.869404    -76.325236      4.431465      0.000000      0.000000      0.000000    135.078785   -171.288717    157.649549		285
W= 89.76914, xmin= -0.00125, parasitic=0.7471, |e|=0.167234	      1.000000   -335.726629   -344.048017    -44.666159    263.963521   -429.279110      0.000000     46.620333    410.977749      6.958463   -259.456868    291.088909      0.000000      0.000000      0.000000    116.277092   -311.119191    339.964665		286
W= 89.78409, xmin= -0.00121, parasitic=0.7456, |e|=0.137925	      1.000000    419.091010   -289.326405    197.251530   -277.988041    392.297788      0.000000     86.259964   -193.729678    198.839967     17.542311    260.258425      0.000000      0.000000      0.000000     66.579070   -318.855666    -68.414752		287
W= 89.76112, xmin= -0.00134, parasitic=0.7364, |e|=0.136364	      1.000000    216.895767    388.946394   -431.458502     -5.920263    422.138312      0.000000   -180.236434     25.305063     76.840574    350.833916   -112.391558      0.000000      0.000000      0.000000   -169.703043    389.001211   -207.846745		288
W= 89.77233, xmin= -0.00128, parasitic=0.7375, |e|=0.136364	      1.000000   -380.824612   -342.785671     79.585524    214.294098    153.158532      0.000000     11.710959    357.089606     77.428164    -34.290099   -389.152957      0.000000      0.000000      0.000000     73.504732   -339.073145    108.203275		289
W= 89.78842, xmin= -0.00119, parasitic=0.7478, |e|=0.152830	      1.000000    364.712155    176.239449    134.281453    281.520061   -195.219203      0.000000    -18.169349   -302.358760   -326.043798   -377.078465   -266.715056      0.000000      0.000000      0.000000    169.352624   -367.146592    351.763092		290
W= 89.77604, xmin= -0.00126, parasitic=0.7463, |e|=0.136364	      1.000000     44.255191    185.312060   -335.223271   -386.135269    -30.046460      0.000000   -189.969235    332.699977    344.515601    436.467605    344.133396      0.000000      0.000000      0.000000     62.123813   -306.700701     93.135697		291
W= 89.75537, xmin= -0.00985, parasitic=0.7428, |e|=0.136364	      1.000000    333.152005   -303.552880    140.871564   -187.519758   -269.648626      0.000000    178.985184     68.067849   -386.482616   -317.275698   -339.179368      0.000000      0.000000      0.000000    162.630215   -420.196750    -43.140368		292
W= 89.75907, xmin= -0.00135, parasitic=0.7459, |e|=0.136364	      1.000000    -99.032933    297.677887    423.384950   -436.243042   -137.966482      0.000000   -203.539156    426.226257    317.448851   -216.890993    -74.958805      0.000000      0.000000      0.000000    217.792213   -432.958887     91.972968		293
W= 89.77679, xmin= -0.00125, parasitic=0.7445, |e|=0.136364	      1.000000     31.418057    219.119628    217.271934    391.384713    -37.838945      0.000000   -266.942674    389.963667    -97.574109   -335.473101      6.940996      0.000000      0.000000      0.000000    125.297941   -443.528743    235.229946		294
W= 89.75225, xmin= -0.00140, parasitic=0.7298, |e|=0.136364	      1.000000   -105.545951   -280.744521    275.555627   -395.437295   -335.155097      0.000000    244.893441   -302.407261   -283.966918   -346.105576    118.996388      0.000000      0.000000      0.000000    152.956643   -318.878527    289.828555		295
W= 89.75380, xmin= -0.00138, parasitic=0.7308, |e|=0.199662	      1.000000    214.924653   -180.880618   -128.903131   -449.377594     31.729011      0.000000      8.546863    -49.484632   -127.664674    -72.181295   -305.690629      0.000000      0.000000      0.000000   -105.122697    415.989905    -89.475815		296
W= 89.75572, xmin= -0.00137, parasitic=0.7356, |e|=0.166693	      1.000000    438.279434   -293.956938   -431.582220   -335.594689    128.482726      0.000000     55.175911   -262.311032   -206.816553    157.798235   -295.879022      0.000000      0.000000      0.000000   -104.626410    344.139053     33.504510		297
W= 89.76766, xmin= -0.00130, parasitic=0.7361, |e|=0.257970	      1.000000    302.133769    -44.687359    362.924339    -12.502132     20.350038      0.000000    -50.470076    -42.979449   -314.638037    339.747964    143.215515      0.000000      0.000000      0.000000    -86.307914    250.634410   -133.085662		298
W= 89.76379, xmin= -0.00133, parasitic=0.7316, |e|=0.136364	      1.000000    346.765726    -91.475960    425.454276    -64.273506    224.873714      0.000000     84.171102   -248.666179    303.086459    340.888657   -413.257612      0.000000      0.000000      0.000000   -172.204510    274.271073   -140.896072		299
W= 89.76947, xmin= -0.00130, parasitic=0.7422, |e|=0.136364	      1.000000    -55.734147    -51.513736   -429.109722   -390.476574   -276.381357      0.000000    165.159788   -337.235505    -43.397671     82.240419    -74.032071      0.000000      0.000000      0.000000    194.900658   -415.574055    398.394062		300
W= 89.75537, xmin= -0.00138, parasitic=0.7404, |e|=0.136364	      1.000000   -298.480303   -339.671196    411.939343    330.609147    381.735470      0.000000    314.929395   -370.707900    149.264071    442.781881    124.449990      0.000000      0.000000      0.000000     55.444778   -345.210473      3.545734		301
W= 89.77834, xmin= -0.00125, parasitic=0.7416, |e|=0.136364	      1.000000   -354.429565    100.479454    188.803065   -292.144567    199.535806      0.000000    -95.796710    342.312030    404.434925    312.921168    370.842132      0.000000      0.000000      0.000000      6.854255   -251.787869   -154.338795		302
W= 89.77644, xmin= -0.00126, parasitic=0.7436, |e|=0.136364	      1.000000    187.617718   -291.731108   -313.315839    211.841525    162.406463      0.000000    118.097023   -234.045549   -108.157474   -401.495955    348.813805      0.000000      0.000000      0.000000    165.512043   -307.394317    201.903027		303
W= 89.77019, xmin= -0.00129, parasitic=0.7354, |e|=0.136364	      1.000000    132.329569   -424.196750    359.910883   -334.730679   -194.012532      0.000000    178.694437    -93.412504     16.517462   -284.597974   -275.890016      0.000000      0.000000      0.000000    101.037694   -309.373315     64.741916		304
W= 89.75226, xmin= -0.00139, parasitic=0.7400, |e|=0.218083	      1.000000    419.781521    -97.565667   -388.093603     30.234508    434.860129      0.000000    -25.192186   -227.219607    311.341914   -337.374368    421.045771      0.000000      0.000000      0.000000    -80.677819    205.645091   -279.786505		305
W= 89.75041, xmin= -0.00141, parasitic=0.7277, |e|=0.254339	      1.000000   -447.597316   -186.535420    195.689177    113.094591   -320.606174      0.000000    350.728267   -399.501353   -331.119465    344.861125    -10.157075      0.000000      0.000000      0.000000    -83.149540    311.688009   -165.188571		306
W= 89.75460, xmin= -0.00138, parasitic=0.7361, |e|=0.328529	      1.000000   -251.186778    408.513866   -383.751227     98.945204    440.423301      0.000000     34.275127   -226.485353    -23.136452    331.634383     48.551143      0.000000      0.000000      0.000000    -77.978107    352.233712   -164.242138		307
W= 89.75889, xmin= -0.00135, parasitic=0.7298, |e|=0.136364	      1.000000    383.899047    105.061965   -230.850821     -0.438428   -396.418144      0.000000     94.317416   -340.165878   -266.590897    -23.998041    419.083954      0.000000      0.000000      0.000000    125.231492   -260.795968     74.211689		308
W= 89.75631, xmin= -0.00137, parasitic=0.7440, |e|=0.136364	      1.000000    -13.565310   -280.371446    266.593256    -59.460094   -222.709190      0.000000    164.331637    -67.122474   -370.815733    -77.498244    336.255200      0.000000      0.000000      0.000000     -6.722430    259.719956    -70.401019		309
W= 89.76323, xmin= -0.00133, parasitic=0.7430, |e|=0.301116	      1.000000   -438.824996    291.158977    110.276087    230.811035    -20.478723      0.000000     64.018874     -8.392851    168.335174    133.499284    -83.614326      0.000000      0.000000      0.000000     72.298256   -299.512984    133.585217		310
W= 89.76688, xmin= -0.00131, parasitic=0.7474, |e|=0.164022	      1.000000   -136.716246    106.464419    321.637428    291.700564    112.367281      0.000000    -24.413881    108.821639   -308.406753    -85.278087     32.311637      0.000000      0.000000      0.000000    -79.275208    238.306898   -166.713676		311
W= 89.75148, xmin= -0.00309, parasitic=0.7271, |e|=0.136364	      1.000000     33.148483   -233.186942   -369.495992   -447.082605    380.917355      0.000000    168.973735   -251.404672     46.018231   -145.856868    -47.884081      0.000000      0.000000      0.000000    -83.101808    338.571927   -111.086864		312
W= 89.76812, xmin= -0.00131, parasitic=0.7457, |e|=0.136364	      1.000000     20.346108   -372.538982   -219.285533   -106.809467    187.802874      0.000000   -110.401492    438.409133    304.298238   -176.970408   -335.323727      0.000000      0.000000      0.000000     36.352158   -255.253453    121.887198		313
W= 89.76816, xmin= -0.00130, parasitic=0.7372, |e|=0.136364	      1.000000    -21.660977    -12.037939   -290.658420   -434.657227    135.478622      0.000000    202.469608   -436.332854    288.377638   -246.686931    -23.160285      0.000000      0.000000      0.000000     -4.672283     53.782666    -49.536367		314
W= 89.77566, xmin= -0.00466, parasitic=0.7490, |e|=0.136364	      1.000000    177.627038     96.539554   -229.555474   -189.950076    357.224306      0.000000    185.559461   -304.761455   -241.064224   -188.031240   -103.532032      0.000000      0.000000      0.000000     -6.307472    342.540981     93.068067		315
W= 89.75283, xmin= -0.00139, parasitic=0.7367, |e|=0.136364	      1.000000    -37.309273    287.519515    -18.150484    210.492546    251.092014      0.000000   -220.351111    423.336870   -241.762644   -280.613853   -192.371744      0.000000      0.000000      0.000000    -30.955759    203.866157    -53.959073		316
W= 89.77126, xmin= -0.00128, parasitic=0.7379, |e|=0.447139	      1.000000    267.950119   -142.659471    148.994601    265.136352   -295.401291      0.000000    -76.464905    102.632390   -314.470653   -318.148437    376.986929      0.000000      0.000000      0.000000    -51.942673    294.943530   -105.467180		317
W= 89.76103, xmin= -0.00134, parasitic=0.7295, |e|=0.136364	      1.000000    213.493507    265.744929   -192.102702    124.518960   -280.489521      0.000000    -10.406354   -240.578092    356.498336   -312.416196   -432.019517      0.000000      0.000000      0.000000     92.499384   -445.889771    163.294324		318
W= 89.75100, xmin= -0.00140, parasitic=0.7351, |e|=0.136364	      1.000000   -303.008126   -383.259135     70.753412    243.803656   -250.926270      0.000000    402.821864   -358.769214   -410.819414   -323.666060   -145.290575      0.000000      0.000000      0.000000    119.088996   -200.996892    226.618290		319
W= 89.75478, xmin= -0.00138, parasitic=0.7286, |e|=0.136364	      1.000000    237.762819   -221.402841    112.258702   -361.601742    161.591314      0.000000    131.331969   -297.672335    -64.025598    392.465952   -381.308151      0.000000      0.000000      0.000000    140.005436   -386.624765    190.016388		320
W= 89.76180, xmin= -0.00134, parasitic=0.7307, |e|=0.136364	      1.000000    163.680091    130.360033    207.297953    -42.566745   -375.064529      0.000000   -164.942298    155.113178    301.564945    291.399330     12.750023      0.000000      0.000000      0.000000   -176.106658    310.724435   -141.302971		321
W= 89.75913, xmin= -0.00136, parasitic=0.7392, |e|=0.136364	      1.000000    -89.942111    398.215213    309.307392     88.201777    -25.174982      0.000000   -228.224011    423.738177    234.762199   -160.190349    382.233057      0.000000      0.000000      0.000000     75.112682   -285.947178     40.200677		322
W= 89.75350, xmin= -0.00139, parasitic=0.7440, |e|=0.136364	      1.000000    -38.079790    293.899890    197.874977     12.642021     34.263527      0.000000   -376.618901    289.188244     51.766141    144.631936     92.049529      0.000000      0.000000      0.000000     32.806766   -274.150215    -65.871003		323
W= 89.77832, xmin= -0.00125, parasitic=0.7496, |e|=0.136364	      1.000000   -173.037535    408.184808    -84.362467   -114.929494   -246.805669      0.000000   -173.043663    318.313388   -434.941969    192.360875    432.757677      0.000000      0.000000      0.000000   -121.151750    447.429045   -264.373023		324
W= 89.75490, xmin= -0.00138, parasitic=0.7308, |e|=0.136364	      1.000000    134.803873   -306.705961    159.663346    113.074616   -107.486898      0.000000    190.814657   -299.741575    165.365608     15.616306   -159.263716      0.000000      0.000000      0.000000     77.602660   -438.425386    260.534238		325
W= 89.75133, xmin= -0.00138, parasitic=0.7360, |e|=0.187170	      1.000000   -317.475288    412.187088   -106.167765   -210.328734   -283.342095      0.000000    -36.010898    -25.751966     75.187535   -135.274301    369.182915      0.000000      0.000000      0.000000   -102.190911    448.317785   -302.264813		326
W= 89.75166, xmin= -0.00140, parasitic=0.7442, |e|=0.136364	      1.000000     54.067360    192.250203     22.512284    131.140745   -315.502442      0.000000   -139.971803    226.732314    435.445468    161.238378   -337.224033      0.000000      0.000000      0.000000   -296.039378    435.912185   -389.568391		327
W= 89.75131, xmin= -0.00144, parasitic=0.7437, |e|=0.136364	      1.000000    209.512907    201.834960    -71.733053    162.150740     59.921706      0.000000   -195.294732     39.502955   -215.817351   -245.714643    379.894309      0.000000      0.000000      0.000000    -39.455752    434.017161    131.464891		328
W= 89.76834, xmin= -0.00130, parasitic=0.7413, |e|=0.217867	      1.000000   -138.745627    262.584466   -244.194212    148.650780   -292.263927      0.000000   -186.547706    152.729909    270.336803    -32.190094    -15.410910      0.000000      0.000000      0.000000      1.030163   -157.514110     46.168116		329
W= 89.75412, xmin= -0.00139, parasitic=0.7401, |e|=0.166285	      1.000000    320.558976     27.898122    210.751838   -398.256522   -141.417109      0.000000    -16.572333   -119.956660    444.066564   -367.362208     61.010762      0.000000      0.000000      0.000000     47.976695   -440.455303     78.540369		330
W= 89.77193, xmin= -0.00128, parasitic=0.7396, |e|=0.136364	      1.000000    198.534233    299.975105    181.390471   -116.754367   -291.379018      0.000000   -416.007863    415.591275   -118.839568   -279.949538     -6.390665      0.000000      0.000000      0.000000     54.377299    -97.525144     34.130868		331
W= 89.75724, xmin= -0.00137, parasitic=0.7442, |e|=0.136364	      1.000000     -8.417460   -138.982338   -309.446350   -392.046577    427.860234      0.000000    229.386900   -231.883919   -423.733479   -235.296426    194.733575      0.000000      0.000000      0.000000     65.410934    246.568781    -12.777033		332
W= 89.75652, xmin= -0.00121, parasitic=0.7437, |e|=0.143259	      1.000000    295.586909    184.858896   -215.525696    133.065819   -142.023460      0.000000   -288.541522    380.867761     35.497305    139.152615     81.678896      0.000000      0.000000      0.000000    -89.064158    286.144863   -247.759213		333
W= 89.77133, xmin= -0.00129, parasitic=0.7449, |e|=0.136364	      1.000000     89.659274   -242.373762    263.876106   -313.952067     76.647160      0.000000    178.881320   -423.834094    163.351602    148.238071   -416.550799      0.000000      0.000000      0.000000    127.999918   -442.891190    419.251661		334
W= 89.75403, xmin= -0.00138, parasitic=0.7334, |e|=0.136364	      1.000000   -287.640347    393.334585   -275.882853   -319.767407      2.833352      0.000000   -122.944341    242.774283   -448.679921    238.085225    -67.243121      0.000000      0.000000      0.000000    -91.513134    366.596959     22.012155		335
W= 89.77447, xmin= -0.00127, parasitic=0.7477, |e|=0.136364	      1.000000   -312.812943    372.565160      0.291918   -428.136287    247.790213      0.000000   -144.379144    401.048048   -161.720094    -33.178810    308.789085      0.000000      0.000000      0.000000   -111.367253    433.374307   -390.368879		336
W= 89.77826, xmin= -0.00123, parasitic=0.7448, |e|=0.136364	      1.000000    -32.101532   -135.372491    -23.313382    273.669102    -54.966584      0.000000    193.876513   -306.683358    -27.969487     32.936126   -349.998664      0.000000      0.000000      0.000000    103.738412   -418.849209    327.771482		337
W= 89.78129, xmin= -0.00123, parasitic=0.7490, |e|=0.462603	      1.000000    419.968798    -95.765805   -287.493543    -46.278348    424.931747      0.000000   -127.290228     73.132065   -424.136272   -360.113414   -390.537495      0.000000      0.000000      0.000000     71.243832    106.935159    153.532431		338
W= 89.78357, xmin= -0.00721, parasitic=0.7460, |e|=0.136364	      1.000000    -32.696300   -322.294682   -373.328196   -420.010719     74.752134      0.000000    -82.330358    418.482860    157.872548    361.445881    228.598644      0.000000      0.000000      0.000000   -164.879137    417.135652   -202.749992		339
W= 89.75513, xmin= -0.00138, parasitic=0.7390, |e|=0.136364	      1.000000    294.773486     -4.505310   -408.630907   -317.018198    354.897350      0.000000    111.806250   -276.883933   -408.822172    378.581464   -158.941316      0.000000      0.000000      0.000000    -16.812859    431.339099     24.206925		340
W= 89.75619, xmin= -0.00137, parasitic=0.7379, |e|=0.136364	      1.000000    105.405645    221.059761   -213.750615    401.588596      4.902214      0.000000     34.798518   -320.661711   -111.021457    282.335888    124.238400      0.000000      0.000000      0.000000   -207.692286    421.657496   -234.887991		341
W= 89.77129, xmin= -0.00129, parasitic=0.7403, |e|=0.461261	      1.000000   -423.466314    225.904473     74.294568   -440.050451     14.383199      0.000000    120.127605   -139.612932     33.808403    -96.847443    371.492458      0.000000      0.000000      0.000000    143.995617   -344.950462    118.668745		342
W= 89.76430, xmin= -0.00133, parasitic=0.7429, |e|=0.136364	      1.000000   -303.273228     57.648619    266.708809    436.772072    136.354927      0.000000   -239.906906    386.019422   -285.201738   -319.789931    265.637115      0.000000      0.000000      0.000000    -61.001196    413.458477    -90.022401		343
W= 89.77421, xmin= -0.00127, parasitic=0.7442, |e|=0.321819	      1.000000   -239.216797     14.698721    199.739618     65.336955    402.400569      0.000000     54.427545     34.489952     25.917706    -68.905666    156.805497      0.000000      0.000000      0.000000   -144.411315    379.364578   -379.038580		344
W= 89.77150, xmin= -0.00128, parasitic=0.7385, |e|=0.136364	      1.000000    327.728037   -159.314481    -50.026617   -311.497587   -132.264895      0.000000     65.100443   -130.614768   -289.118222   -163.544551      8.029048      0.000000      0.000000      0.000000    -23.630213    344.115889     10.484367		345
W= 89.76023, xmin= -0.00135, parasitic=0.7410, |e|=1.785833	      1.000000    -45.078458     64.603343    178.384970    140.877785      4.050881      0.000000     25.407876    -70.863138   -390.060771     24.850810    448.388912      0.000000      0.000000      0.000000    147.670963   -406.113610    104.833795		346
W= 89.75433, xmin= -0.00138, parasitic=0.7390, |e|=0.136364	      1.000000     68.365680    148.755031    346.955675     19.877204   -324.953346      0.000000     93.602197   -415.526097     85.198756   -104.416801   -204.579190      0.000000      0.000000      0.000000     50.774957   -183.814780    168.460118		347
W= 89.76467, xmin= -0.00132, parasitic=0.7420, |e|=0.136364	      1.000000    284.968763    272.856432    269.444685   -197.571723    190.101122      0.000000     -9.652045   -371.157738   -370.524675   -239.324271    -67.031214      0.000000      0.000000      0.000000    162.605489   -172.893157    108.159296		348
W= 89.75921, xmin= -0.00131, parasitic=0.7468, |e|=0.136364	      1.000000     22.483332    248.149832    -11.473125    429.347711   -349.290126      0.000000   -150.445059    275.530951    294.769803   -432.896719   -420.224688      0.000000      0.000000      0.000000   -201.632899    426.273769   -366.992980		349
W= 89.75293, xmin= -0.00139, parasitic=0.7255, |e|=0.136364	      1.000000   -272.461338    390.461714   -370.036873   -429.144810    -57.600727      0.000000   -255.273311    438.746014    410.296535    -68.663048   -108.423629      0.000000      0.000000      0.000000     87.410294   -314.202254    114.760252		350
W= 89.75263, xmin= -0.00139, parasitic=0.7335, |e|=0.136364	      1.000000    -73.680242    305.625863    197.722796   -121.902568   -219.510869      0.000000   -204.113327    400.843760    -19.714961     -5.326346    140.631586      0.000000      0.000000      0.000000     79.995926   -222.064228    153.298746		351
W= 89.79101, xmin= -0.00117, parasitic=0.7499, |e|=0.136364	      1.000000   -260.644375     -0.328477   -134.664375   -151.107067    387.152477      0.000000    -48.676902    295.397003     87.466118   -383.900097   -428.663687      0.000000      0.000000      0.000000    116.277286   -272.540642    258.693059		352
W= 89.76501, xmin= -0.00126, parasitic=0.7417, |e|=0.150013	      1.000000   -192.139750    165.873237     43.386642    251.848599    -42.841346      0.000000    -49.305841    180.113109    173.975225    307.832773   -174.108482      0.000000      0.000000      0.000000   -178.212542    353.515227   -368.448775		353
W= 89.76743, xmin= -0.00131, parasitic=0.7470, |e|=0.136364	      1.000000   -206.562055     77.037315     63.622452    -84.528451   -323.247037      0.000000    -79.017179    384.727720    -36.646705    323.283453   -283.339345      0.000000      0.000000      0.000000   -104.042293    192.560772   -134.882816		354
W= 89.77573, xmin= -0.00126, parasitic=0.7484, |e|=0.331718	      1.000000   -198.560265   -205.149470    284.259132   -229.502244   -100.628202      0.000000    133.631193    -52.556245     41.722490     16.941136   -146.014662      0.000000      0.000000      0.000000   -126.409872    294.367239   -215.448247		355
W= 89.76387, xmin= -0.00133, parasitic=0.7357, |e|=0.170050	      1.000000   -261.821271   -226.182950    -50.484503    346.908268    -96.176235      0.000000     37.591558    249.382889   -337.526431    204.326920   -156.001124      0.000000      0.000000      0.000000    -12.893664    103.428260     35.093147		356
W= 89.76097, xmin= -0.00135, parasitic=0.7482, |e|=0.136364	      1.000000     -2.898807   -282.136937    281.560293    114.126895    242.971705      0.000000    200.828801   -435.357451    143.301003     19.307276   -190.983676      0.000000      0.000000      0.000000   -167.309114    308.649252   -438.940583		357
W= 89.78458, xmin= -0.00121, parasitic=0.7453, |e|=0.144909	      1.000000   -365.122658    426.609555   -388.471848   -187.389456    347.200721      0.000000    -95.746476    101.768408   -108.947045    139.114216   -341.749250      0.000000      0.000000      0.000000    171.885796   -443.623966    286.754872		358
W= 89.75374, xmin= -0.00139, parasitic=0.7305, |e|=0.157679	      1.000000   -405.987264     18.614209     51.125909   -174.426700    369.728368      0.000000    -23.221211    362.658965   -179.015103    225.258373   -290.058128      0.000000      0.000000      0.000000   -111.292228    409.796465   -304.961230		359
W= 89.77105, xmin= -0.00129, parasitic=0.7383, |e|=0.232151	      1.000000    278.153632   -273.006642    -77.269559   -420.499542   -322.884921      0.000000    -10.291279     42.944399   -189.619612   -211.416348    106.008397      0.000000      0.000000      0.000000    157.694576   -318.779076    250.395770		360
W= 89.76156, xmin= -0.00133, parasitic=0.7382, |e|=0.136364	      1.000000   -338.925143    306.470861    353.055982    274.907699   -319.856086      0.000000   -143.785729    285.922639    -37.901851     84.509185     -9.553829      0.000000      0.000000      0.000000     19.007195   -205.036159    108.323842		361
W= 89.78378, xmin= -0.00122, parasitic=0.7497, |e|=0.275369	      1.000000    360.535468    287.566300    394.152927    230.871316   -225.545089      0.000000   -264.817357    212.544975     71.370023    125.695354   -443.448058      0.000000      0.000000      0.000000   -191.979748    369.715375   -263.326191		362
W= 89.75125, xmin= -0.00142, parasitic=0.7496, |e|=0.136364	      1.000000      4.376477     68.560296    115.360369    309.947111     85.160002      0.000000   -143.944947    352.800321    325.576310     74.067781   -364.613172      0.000000      0.000000      0.000000    161.141495   -411.511819    170.207480		363
W= 89.77945, xmin= -0.00124, parasitic=0.7478, |e|=0.136364	      1.000000     51.493194    278.021099     -9.614463    364.874946   -423.222975      0.000000   -142.263690      8.362761   -343.464963   -156.908988     -8.546774      0.000000      0.000000      0.000000    -18.337143    262.780328    143.681708		364
W= 89.76442, xmin= -0.00132, parasitic=0.7457, |e|=0.153312	      1.000000   -319.930805    324.406430   -260.028126   -419.672252   -274.150273      0.000000    -84.335996    263.542297    170.268617    208.241550     88.024639      0.000000      0.000000      0.000000    154.277939   -366.265240    224.538373		365
W= 89.76616, xmin= -0.00132, parasitic=0.7385, |e|=0.234733	      1.000000   -367.105015    412.332972   -363.099267   -290.608124   -391.744954      0.000000      0.372414     -6.668660    266.032569     88.211629   -187.758762      0.000000      0.000000      0.000000   -164.390360    385.183523   -138.198776		366
W= 89.76773, xmin= -0.00131, parasitic=0.7410, |e|=0.136364	      1.000000   -447.714499   -392.446744    410.612809     19.262190   -333.138766      0.000000    417.438541   -346.435573    321.251939     71.981173   -398.004078      0.000000      0.000000      0.000000    -44.157905   -174.327193     91.450281		367
W= 89.75805, xmin= -0.00136, parasitic=0.7464, |e|=0.477030	      1.000000    168.593420   -180.898559    317.468289   -269.217726    117.214575      0.000000    -42.089461     93.083354    314.700784    269.689547   -203.598652      0.000000      0.000000      0.000000    175.343409   -437.125182     48.874550		368
W= 89.77080, xmin= -0.00129, parasitic=0.7489, |e|=0.136364	      1.000000    344.517745     15.555900   -339.784230    167.195209     43.760773      0.000000    170.551336   -275.271668   -265.487406    236.493882   -219.895697      0.000000      0.000000      0.000000    -40.945179    370.581443    205.698739		369
W= 89.75745, xmin= -0.00136, parasitic=0.7343, |e|=0.136364	      1.000000   -126.281849    442.799564      1.619676   -261.154279   -418.559159      0.000000   -263.215472    426.700778    209.741941   -443.086516    148.620659      0.000000      0.000000      0.000000     84.740252   -148.888877     46.730971		370
W= 89.78132, xmin= -0.00123, parasitic=0.7470, |e|=0.136364	      1.000000     36.548303    158.795989   -321.357726    401.749774   -257.776278      0.000000   -190.398957    364.120492     76.097428    304.879824   -253.140615      0.000000      0.000000      0.000000   -119.040881    206.874717    -75.521691		371
W= 89.75910, xmin= -0.00135, parasitic=0.7310, |e|=0.279435	      1.000000   -443.731503    110.839085   -378.102035   -385.347325   -198.945646      0.000000     81.282510     15.679708   -288.238659    131.425085    142.656064      0.000000      0.000000      0.000000    -24.417330    291.340214    -22.680475		372
W= 89.75302, xmin= -0.00139, parasitic=0.7437, |e|=0.136364	      1.000000   -247.579561    338.909967   -301.546274   -444.287462    134.744124      0.000000   -336.584192    388.360223   -428.026678    114.747777    346.262353      0.000000      0.000000      0.000000     11.996568    406.200430    -79.668958		373
W= 89.78496, xmin= -0.00121, parasitic=0.7456, |e|=0.136364	      1.000000   -407.099325    399.478137   -338.048917    135.842594     61.860723      0.000000   -155.672921    262.555678    203.448997   -183.707935   -248.356081      0.000000      0.000000      0.000000   -140.671854    440.141786    -99.907572		374
W= 89.77640, xmin= -0.00509, parasitic=0.7480, |e|=0.166592	      1.000000    355.079757   -111.174969    -74.696412    326.305724   -230.326787      0.000000     22.856243   -241.367427   -181.784292    313.841507   -251.045717      0.000000      0.000000      0.000000     -5.110428    -55.636796    177.617882		375
W= 89.77477, xmin= -0.00127, parasitic=0.7392, |e|=0.160941	      1.000000    369.983405    306.817758   -276.487424    183.396377   -384.857161      0.000000    -51.610845   -299.356408   -379.233164   -417.382423    160.547352      0.000000      0.000000      0.000000    -34.180691    388.582152     17.248996		376
W= 89.75052, xmin= -0.00141, parasitic=0.7313, |e|=0.136364	      1.000000    340.610092   -252.289166    147.589253    128.593470   -384.336766      0.000000    110.876571   -229.616338    152.100558   -433.903064    173.077304      0.000000      0.000000      0.000000     85.935459   -395.630400    178.345754		377
W= 89.77783, xmin= -0.00124, parasitic=0.7478, |e|=0.136364	      1.000000    -48.418159    250.884458   -197.700583     31.236410    449.737603      0.000000   -175.646357    196.381133   -208.030648    235.009453   -186.248008      0.000000      0.000000      0.000000    -29.771505    260.545174    -70.612814		378
W= 89.77652, xmin= -0.00850, parasitic=0.7404, |e|=0.404027	      1.000000   -343.558866    197.122596    254.836361    294.823688   -373.863180      0.000000     89.913094   -127.458922    321.707332   -132.862320    347.982419      0.000000      0.000000      0.000000   -167.764223    284.140645   -243.408157		379
W= 89.75154, xmin= -0.00140, parasitic=0.7459, |e|=0.136364	      1.000000    405.114751   -101.432700    -48.810720     25.785609   -323.281810      0.000000     87.347889   -172.863988   -434.094152    204.444010   -356.610576      0.000000      0.000000      0.000000    -22.277230    376.757226    140.428931		380
W= 89.77550, xmin= -0.00126, parasitic=0.7387, |e|=0.136364	      1.000000   -190.759650   -149.044329    -46.240338    409.561861    410.519679      0.000000    305.759604   -420.236684     89.966261   -152.118003     20.436866      0.000000      0.000000      0.000000     83.518813   -301.510291     21.232912		381
W= 89.75469, xmin= -0.00138, parasitic=0.7329, |e|=0.136364	      1.000000    -16.203489     54.117349   -382.905469   -270.869125    163.398632      0.000000    113.442084   -298.291265   -163.283227    359.561668    436.862745      0.000000      0.000000      0.000000    161.755315   -320.284918    115.200015		382
W= 89.76910, xmin= -0.00130, parasitic=0.7433, |e|=0.189280	      1.000000    309.026485   -363.659273   -376.501664   -408.649453    265.581942      0.000000     40.798969    -94.116185    425.300117   -150.143917    358.415977      0.000000      0.000000      0.000000   -125.633079    298.828528   -313.113588		383
W= 89.78737, xmin= -0.00120, parasitic=0.7476, |e|=0.136364	      1.000000    370.631325    265.132139    264.400655    -31.796187    199.310885      0.000000   -380.103942    441.894119     63.320645    184.448249   -240.535290      0.000000      0.000000      0.000000     58.969380   -278.639113     86.976519		384
W= 89.75247, xmin= -0.00139, parasitic=0.7347, |e|=0.414965	      1.000000    269.197534   -315.313336   -176.998325   -345.920407     47.538859      0.000000    -56.973382    148.933330    218.912950   -139.830508   -254.143124      0.000000      0.000000      0.000000    190.128464   -414.085053    256.653477		385
W= 89.75833, xmin= -0.00126, parasitic=0.7417, |e|=0.136364	      1.000000    291.392506   -359.598075   -180.807655    -48.434701   -272.512766      0.000000    111.843408   -211.126007    -24.085423   -443.892894   -391.093324      0.000000      0.000000      0.000000    -27.474739    249.108641     21.763565		386
W= 89.76217, xmin= -0.00134, parasitic=0.7391, |e|=0.136364	      1.000000    113.987541    427.187551   -182.478568    155.377357   -118.639782      0.000000   -286.376231    346.850479     27.001186   -284.303264     47.829442      0.000000      0.000000      0.000000    -56.731964    183.499661    -51.520830		387
W= 89.77007, xmin= -0.00125, parasitic=0.7428, |e|=0.179764	      1.000000   -314.885849    143.675700    -80.125786    192.231519   -130.270410      0.000000    -18.037671    200.070553   -123.268367     -5.805250    163.442704      0.000000      0.000000      0.000000    -82.466574    310.937587   -250.516860		388
W= 89.77573, xmin= -0.00126, parasitic=0.7411, |e|=0.210055	      1.000000    391.065517     64.430688     19.075279    153.284002    376.121315      0.000000    -51.224262   -170.250370    412.074640   -219.425014   -229.442245      0.000000      0.000000      0.000000     17.036806   -193.847964     -7.322285		389
W= 89.76082, xmin= -0.00135, parasitic=0.7447, |e|=0.136364	      1.000000     64.422539     54.774691   -311.618192     61.442552   -308.234779      0.000000   -125.807635    273.979778   -108.763136    -26.274724   -352.968709      0.000000      0.000000      0.000000    -92.783878    286.716059    -92.478803		390
W= 89.75741, xmin= -0.00137, parasitic=0.7463, |e|=0.193556	      1.000000     56.672848     -5.127936    270.513001    280.967951    361.887597      0.000000    134.249847   -240.465980    219.604195   -428.917815    416.037579      0.000000      0.000000      0.000000    -41.708490     31.640526   -225.597971		391
W= 89.75074, xmin= -0.00140, parasitic=0.7265, |e|=0.136364	      1.000000    161.079636     96.537129   -432.802438    271.976520    224.038052      0.000000     41.241911   -260.578573    207.447898    178.367816   -413.392604      0.000000      0.000000      0.000000    -84.001104    123.355103     31.879306		392
W= 89.76380, xmin= -0.00133, parasitic=0.7432, |e|=0.136364	      1.000000    359.806791    395.538957   -340.968153    311.869347    117.741724      0.000000   -343.385637    336.325184    432.569046      6.549739    185.733786      0.000000      0.000000      0.000000    125.548865   -437.282001    140.924215		393
W= 89.75249, xmin= -0.00133, parasitic=0.7381, |e|=0.287487	      1.000000   -419.469004   -351.015396    -16.958481   -295.949590    273.999193      0.000000    124.261285    210.504411    423.192913     69.506015    246.081958      0.000000      0.000000      0.000000     19.891727   -312.402830     31.117411		394
W= 89.75427, xmin= -0.00138, parasitic=0.7269, |e|=0.136364	      1.000000   -319.095980   -271.183595    -38.129144    310.951806      2.696038      0.000000      2.887591    338.395870   -312.878569   -101.863315   -388.971773      0.000000      0.000000      0.000000    172.174337   -423.209287    326.454557		395
W= 89.77928, xmin= -0.00121, parasitic=0.7477, |e|=0.265997	      1.000000    448.684762    195.628092    431.009096    298.375113   -125.579784      0.000000   -108.332944   -151.994338   -217.553093   -304.919347    -56.931016      0.000000      0.000000      0.000000     82.236054   -245.397384    157.483565		396
W= 89.78827, xmin= -0.00119, parasitic=0.7481, |e|=0.136364	      1.000000    192.798242   -102.000397    299.691064   -314.837360    179.647020      0.000000    124.131767   -259.850576    255.011902    264.978139      3.756232      0.000000      0.000000      0.000000     -0.781645   -202.901942    -76.144610		397
W= 89.77077, xmin= -0.00129, parasitic=0.7436, |e|=0.145992	      1.000000    396.509646    265.366663    262.907289   -284.914767   -109.914958      0.000000    -16.436371   -438.773691    431.004830   -132.180586    123.519878      0.000000      0.000000      0.000000     63.391170   -286.017577     23.555021		398
W= 89.77756, xmin= -0.00125, parasitic=0.7452, |e|=0.286686	      1.000000   -211.897149    445.668545     -2.091476   -368.410102   -319.778584      0.000000      0.405604   -152.191858   -203.241869    361.753515   -111.137581      0.000000      0.000000      0.000000    -86.156836    256.828248    -14.355239		399
W= 89.78990, xmin= -0.00118, parasitic=0.7481, |e|=0.136364	      1.000000   -157.651312    -58.184260    337.244502   -342.781294    246.403983      0.000000    253.631057   -400.687949    412.672812    243.575418    272.597520      0.000000      0.000000      0.000000     24.594039   -320.663193   -154.852739		400
W= 89.75178, xmin= -0.00139, parasitic=0.7332, |e|=0.138666	      1.000000   -188.471310     29.571693   -144.250342    -51.989386    -63.684875      0.000000    -28.855432    196.678810   -267.202593    375.726771    320.673349      0.000000      0.000000      0.000000    -54.210010    166.319227    -93.578921		401
W= 89.78153, xmin= -0.00123, parasitic=0.7436, |e|=0.136364	      1.000000    404.475200   -419.050310     65.570357   -243.878693   -291.888071      0.000000    171.603052   -284.899257    135.979349    285.265517   -146.427921      0.000000      0.000000      0.000000     82.177364   -403.146828    182.377039		402
W= 89.78253, xmin= -0.00122, parasitic=0.7480, |e|=0.136364	      1.000000    203.053699    308.709246   -259.835829    422.982109    -70.567978      0.000000   -326.248049    445.016788    235.463683   -353.448435   -249.113598      0.000000      0.000000      0.000000    100.290068   -328.474421    273.812987		403
W= 89.78374, xmin= -0.00121, parasitic=0.7451, |e|=0.136364	      1.000000    121.258356   -410.022697    233.553207    260.829553     16.316624      0.000000    147.606777    -30.214494     75.737487    407.688604    125.518654      0.000000      0.000000      0.000000     60.778283   -434.346978      0.110580		404
W= 89.76973, xmin= -0.00130, parasitic=0.7397, |e|=0.394711	      1.000000   -312.311567    268.965822   -162.588504    -79.691995    222.149093      0.000000     68.059233   -110.519187    432.325871    -54.116727    144.120733      0.000000      0.000000      0.000000     82.432899   -387.942803    174.371140		405
W= 89.75008, xmin= -0.00140, parasitic=0.7245, |e|=0.297592	      1.000000    226.754069    370.156383   -357.485074   -253.272536    -19.953550      0.000000    -85.270766   -193.937782    384.896257   -209.522148    200.536841      0.000000      0.000000      0.000000    104.634790   -351.286294     78.200606		406
W= 89.76288, xmin= -0.00134, parasitic=0.7339, |e|=0.136364	      1.000000     79.028815    258.968653   -320.484925    431.689461    345.087834      0.000000     46.383097   -327.553668   -168.745193   -320.511004     19.759380      0.000000      0.000000      0.000000    174.664650   -406.658435    293.155915		407
W= 89.75427, xmin= -0.00138, parasitic=0.7324, |e|=0.136364	      1.000000    -12.061203   -120.067071   -409.552180   -178.747216   -161.013912      0.000000   -244.472848    403.808795   -295.141545    413.420833   -303.350514      0.000000      0.000000      0.000000    -45.170584    388.370580    277.844831		408
W= 89.77589, xmin= -0.00126, parasitic=0.7487, |e|=0.164403	      1.000000    161.305445    361.326817   -229.739399    190.681571    159.109244      0.000000   -102.492681   -102.509886    310.692959   -116.540536   -168.277337      0.000000      0.000000      0.000000     89.648504   -317.527346    221.284514		409
W= 89.77373, xmin= -0.00127, parasitic=0.7394, |e|=0.155698	      1.000000   -302.542250    418.493646    387.032252    340.266359    203.156790      0.000000    -80.223186     79.311061     36.335135     48.127264    381.400215      0.000000      0.000000      0.000000     55.255830   -298.311271    -49.725669		410
W= 89.77369, xmin= -0.00127, parasitic=0.7450, |e|=0.136364	      1.000000   -222.319164   -292.495326    294.332578   -371.405463   -429.993218      0.000000    -68.105584    438.796830    188.828942    227.687975     98.492689      0.000000      0.000000      0.000000   -124.327012    287.678974   -193.770210		411
W= 89.77770, xmin= -0.00125, parasitic=0.7401, |e|=0.136364	      1.000000    165.725136   -422.849010     31.238352   -135.456881    310.968828      0.000000    214.148075   -199.715629    417.167543    221.544690    281.388982      0.000000      0.000000      0.000000   -163.697413    304.539500   -284.956391		412
W= 89.78327, xmin= -0.00122, parasitic=0.7454, |e|=0.136364	      1.000000    -50.511191    -84.877554   -417.735522   -111.467512   -176.570889      0.000000   -117.985931    358.076220    321.079428   -403.987575    180.021491      0.000000      0.000000      0.000000   -119.587190    376.390463   -192.735466		413
W= 89.75123, xmin= -0.00140, parasitic=0.7321, |e|=0.136364	      1.000000   -197.770892   -133.016973    114.047938   -232.247751    336.749224      0.000000    -66.806727    283.278306    197.701067    432.175796    -85.224936      0.000000      0.000000      0.000000   -161.868239    432.909893   -218.810964		414
W= 89.78206, xmin= -0.00122, parasitic=0.7447, |e|=0.136364	      1.000000    303.820796    399.131640   -292.913211    -64.493823    116.956583      0.000000      2.111359   -393.444705   -250.337899    443.368990    431.648548      0.000000      0.000000      0.000000    -86.356440    430.256238   -112.564442		415
W= 89.76461, xmin= -0.00132, parasitic=0.7333, |e|=0.136364	      1.000000    139.291905   -149.164006   -130.910098   -410.016647    -85.910006      0.000000     40.812498    -57.424457   -150.376860   -333.746333    244.286546      0.000000      0.000000      0.000000    168.062658   -305.680753    127.597369		416
W= 89.76450, xmin= -0.00132, parasitic=0.7376, |e|=0.136364	      1.000000   -166.736119    416.837645   -205.538637    310.965310    422.729717      0.000000   -317.637008    276.595952    359.991679   -346.177656   -356.051606      0.000000      0.000000      0.000000    -95.871876    234.073740    -43.308071		417
W= 89.75716, xmin= -0.00136, parasitic=0.7415, |e|=1.302788	      1.000000    444.075071    360.914308   -429.166447    398.339833   -382.639910      0.000000   -200.325268    -75.247038   -411.137807    218.262230    239.114361      0.000000      0.000000      0.000000     18.075516     -7.201420    192.795181		418
W= 89.75010, xmin= -0.00141, parasitic=0.7336, |e|=0.140596	      1.000000   -224.408179   -124.024377    -23.605810    369.456001   -186.487334      0.000000    227.017735   -335.265545    -96.618981   -289.747143    -10.902253      0.000000      0.000000      0.000000    -69.200092    225.116987   -100.469878		419
W= 89.75443, xmin= -0.00225, parasitic=0.7434, |e|=0.136364	      1.000000     23.627304     60.299957    408.839584    332.896439    314.406429      0.000000   -160.523053    362.868954   -257.494401    -98.833730     62.509085      0.000000      0.000000      0.000000     62.038697    -76.543960    -49.469231		420
W= 89.78612, xmin= -0.00120, parasitic=0.7470, |e|=0.217068	      1.000000      7.255066   -383.237533    262.833010   -105.286243   -396.448500      0.000000    -55.783502    382.787651    403.311924   -138.430521   -370.010267      0.000000      0.000000      0.000000     16.571229   -268.792510    189.231645		421
W= 89.75963, xmin= -0.00135, parasitic=0.7355, |e|=0.136364	      1.000000    -17.287046    205.170242    -68.064019    238.384897   -208.889740      0.000000    141.552460   -368.958941   -272.314139    289.191247    419.738383      0.000000      0.000000      0.000000    -71.781666    365.439981    -67.319499		422
W= 89.75865, xmin= -0.00136, parasitic=0.7452, |e|=0.217207	      1.000000    343.086316   -445.633301   -446.936920    215.836407    388.265543      0.000000    161.570225     23.567101    267.470709   -351.932660   -298.522664      0.000000      0.000000      0.000000     23.555169   -126.901756     23.758130		423
W= 89.75210, xmin= -0.00139, parasitic=0.7401, |e|=0.215254	      1.000000    -99.432667    355.608939    -31.260814   -165.259186    292.224718      0.000000    -41.726555    -31.071413     12.800365   -173.347763    165.594045      0.000000      0.000000      0.000000   -116.861327    349.627615   -343.456028		424
W= 89.77433, xmin= -0.00127, parasitic=0.7495, |e|=0.136364	      1.000000    312.821101   -149.976585   -130.928315    -16.180328   -132.670310      0.000000    271.053454   -380.852899   -392.683118    275.294098    354.635881      0.000000      0.000000      0.000000     17.114338    175.877863     26.354715		425
W= 89.75297, xmin= -0.00139, parasitic=0.7342, |e|=0.136364	      1.000000   -330.825144    429.862379   -391.786160    385.471809     80.094312      0.000000   -362.741081    239.991533    -81.636393    -38.277467   -284.206404      0.000000      0.000000      0.000000    -39.303069    258.508628    171.733908		426
W= 89.76472, xmin= -0.00133, parasitic=0.7432, |e|=0.136364	      1.000000    326.333681   -304.000653    194.979380    260.650076   -267.496504      0.000000    107.706197   -119.129282    183.186412   -337.172228    109.488520      0.000000      0.000000      0.000000     66.107326   -422.398008    102.571790		427
W= 89.76811, xmin= -0.00130, parasitic=0.7371, |e|=0.136364	      1.000000    375.032024   -423.445352    105.615740    198.760521    197.251214      0.000000    134.671177   -167.688739     67.779261   -393.362004   -384.515640      0.000000      0.000000      0.000000     81.560965   -287.247236    154.670767		428
W= 89.75086, xmin= -0.00140, parasitic=0.7473, |e|=0.315971	      1.000000    313.133093   -403.240573    340.770898    370.457280   -306.686032      0.000000    -23.739672     26.710526    409.525228   -267.385297   -256.909646      0.000000      0.000000      0.000000     96.308875   -367.551493    318.769092		429
W= 89.75059, xmin= -0.00140, parasitic=0.7219, |e|=0.136364	      1.000000    -92.611310   -193.010958    245.624527    435.574180    -48.790018      0.000000    297.066765   -396.597655    369.295906    120.203661   -107.648120      0.000000      0.000000      0.000000   -213.250784    354.114724   -161.767203		430
W= 89.78220, xmin= -0.00122, parasitic=0.7460, |e|=0.136364	      1.000000    234.349719   -275.991642   -353.225307   -185.804307   -439.879926      0.000000    198.635270   -423.190426   -396.192388    343.934173   -338.921684      0.000000      0.000000      0.000000    -76.336784    338.169065    145.313666		431
W= 89.75841, xmin= -0.00136, parasitic=0.7381, |e|=0.136364	      1.000000     -5.487630   -267.988601    158.862854   -117.037775      1.141855      0.000000    152.502648   -237.126108    416.201779     65.068036    166.120068      0.000000      0.000000      0.000000     42.908762   -303.944527    108.481110		432
W= 89.76968, xmin= -0.00130, parasitic=0.7425, |e|=0.136364	      1.000000    -39.398825   -307.654381    -33.227441     16.979756   -348.193341      0.000000    140.287893   -128.767825    164.505193    240.717991   -273.604608      0.000000      0.000000      0.000000    103.454596   -420.740260    372.688407		433
W= 89.77450, xmin= -0.00127, parasitic=0.7420, |e|=0.136364	      1.000000    -24.079029    336.036784   -322.704353    325.571655    -10.126926      0.000000   -244.283778    372.218915   -145.909657    419.749429     70.521776      0.000000      0.000000      0.000000   -108.714846    264.796611    -90.201088		434
W= 89.75880, xmin= -0.00135, parasitic=0.7401, |e|=0.136364	      1.000000    439.306744   -140.805288    147.270432   -423.704250    178.220755      0.000000    187.983110   -230.408100    263.538877   -138.704073   -417.032810      0.000000      0.000000      0.000000     51.188271   -343.861296    -43.908364		435
W= 89.75731, xmin= -0.00136, parasitic=0.7476, |e|=0.379594	      1.000000    214.435177   -438.502139     44.126482   -433.605026    378.858166      0.000000    -23.060189    173.225493   -146.754108    153.470809   -426.678129      0.000000      0.000000      0.000000    252.379548   -391.705322    240.686572		436
W= 89.76900, xmin= -0.00130, parasitic=0.7446, |e|=0.136364	      1.000000    186.073860   -115.579332    246.998452    143.792715    244.547232      0.000000    299.059160   -434.748122    109.649696    -82.033755    315.163916      0.000000      0.000000      0.000000     72.925287   -419.839265   -113.589454		437
W= 89.76239, xmin= -0.00131, parasitic=0.7479, |e|=0.136364	      1.000000    200.508310    198.699646   -347.108295     80.778635   -389.844851      0.000000     20.134978   -257.026171    433.621272    -91.628005   -427.733686      0.000000      0.000000      0.000000   -155.502823    432.812720    -75.691798		438
W= 89.76011, xmin= -0.00135, parasitic=0.7465, |e|=0.267997	      1.000000    199.923863    244.062678    299.314035   -410.899461   -213.249334      0.000000   -412.735066    445.774948   -187.450929   -264.954804    -95.517860      0.000000      0.000000      0.000000    -17.952220    253.140946    -26.478834		439
W= 89.78072, xmin= -0.00123, parasitic=0.7480, |e|=0.136364	      1.000000   -423.007388   -166.449881    -40.784618    252.569496    166.155063      0.000000    -96.236334    392.363616    230.891131    395.884890     12.950760      0.000000      0.000000      0.000000     46.416906   -448.608990      8.933502		440
W= 89.75690, xmin= -0.00137, parasitic=0.7468, |e|=0.136364	      1.000000    225.224863     88.107598    415.569205    -94.132004     45.012610      0.000000    238.599636   -419.962575   -212.131359    -86.847558     29.544769      0.000000      0.000000      0.000000     92.759749   -335.633787    -27.019645		441
W= 89.75383, xmin= -0.00138, parasitic=0.7306, |e|=0.136364	      1.000000   -157.432122     91.774705   -317.877670    372.171058   -379.907037      0.000000    -49.535002    168.182126    173.243517   -315.075041   -200.737831      0.000000      0.000000      0.000000    -80.813918    183.261360     33.751224		442
W= 89.76719, xmin= -0.00131, parasitic=0.7417, |e|=0.136364	      1.000000   -186.393627    449.237260    103.730874   -132.098624    280.518962      0.000000   -145.891851    194.812565    138.811867   -210.437913    210.869716      0.000000      0.000000      0.000000   -129.529958    333.010356   -300.240310		443
W= 89.76700, xmin= -0.00131, parasitic=0.7474, |e|=0.136364	      1.000000    -18.637835    -77.083355   -306.000627     73.617023     20.659120      0.000000   -123.075116    410.938469    313.623177    171.748483   -221.026503      0.000000      0.000000      0.000000   -193.088198    323.433417   -251.189838		444
W= 89.75468, xmin= -0.00133, parasitic=0.7348, |e|=0.229593	      1.000000    150.829057   -437.884948    251.955377     14.201389     27.379693      0.000000     37.835268     69.931753    167.716068    -18.289573    220.916641      0.000000      0.000000      0.000000   -135.730888    317.900086   -417.000215		445
W= 89.77371, xmin= -0.00128, parasitic=0.7440, |e|=0.211770	      1.000000    233.064882     15.797801    179.628045    301.584633   -320.729092      0.000000   -200.662670    269.241447    -82.314045     12.518971   -352.908245      0.000000      0.000000      0.000000   -116.773725    403.346605    -62.247631		446
W= 89.75244, xmin= -0.00139, parasitic=0.7386, |e|=0.222257	      1.000000    223.877126     57.608029    448.340649    419.979028   -304.582489      0.000000   -192.573938    285.049553   -142.285010   -173.606067    322.590726      0.000000      0.000000      0.000000    194.664033   -428.599935    160.605678		447
W= 89.75499, xmin= -0.00138, parasitic=0.7266, |e|=0.145018	      1.000000   -444.654303    269.555675   -217.266672   -224.459481    165.048075      0.000000    -68.100355    175.303451   -419.550239   -352.358602   -104.590830      0.000000      0.000000      0.000000    246.796670   -425.073566    266.768660		448
W= 89.78316, xmin= -0.00122, parasitic=0.7473, |e|=0.136364	      1.000000   -247.560497   -280.387059    326.390312    127.523625    -90.147803      0.000000    232.115448   -115.052773   -280.937839   -286.959726   -344.567599      0.000000      0.000000      0.000000     85.844303   -183.364001    119.508605		449
W= 89.76008, xmin= -0.00135, parasitic=0.7402, |e|=0.136364	      1.000000    149.823357     98.709850   -395.062751    -87.546266    139.618860      0.000000   -169.202628    253.390270    -55.765291    -80.708114    189.104979      0.000000      0.000000      0.000000   -124.932896    388.366266   -207.757703		450
W= 89.75450, xmin= -0.00133, parasitic=0.7468, |e|=0.136364	      1.000000    -84.457123   -176.974058    117.733641    -17.122882    258.557067      0.000000    138.009146   -105.603539   -262.954279    132.884237    279.079845      0.000000      0.000000      0.000000    -34.639666    308.002877   -220.326282		451
W= 89.76551, xmin= -0.00132, parasitic=0.7412, |e|=0.136364	      1.000000    -62.032446    -87.036516   -118.765633   -241.820323     88.880768      0.000000     74.672922    -87.449751   -128.007823    201.374572    439.405900      0.000000      0.000000      0.000000    111.122693   -225.079700     86.732199		452
W= 89.75468, xmin= -0.00138, parasitic=0.7370, |e|=0.327506	      1.000000   -436.256819    313.487111    118.668376    100.063089   -324.676732      0.000000     75.164799    -61.316910   -144.288814   -360.237324    313.535943      0.000000      0.000000      0.000000    217.825739   -394.130836    219.178463		453
W= 89.75917, xmin= -0.00136, parasitic=0.7489, |e|=0.136364	      1.000000     72.000863    -23.815152    354.387267   -141.487723     84.273626      0.000000    107.300839   -377.422865     32.262066    -83.526778      9.228847      0.000000      0.000000      0.000000    195.970960   -443.084657    371.940151		454
W= 89.76310, xmin= -0.00134, parasitic=0.7399, |e|=0.177214	      1.000000   -185.895775     80.193269   -442.077598   -199.983921   -375.315144      0.000000    -88.472132    193.810799   -102.342727    430.100169     53.442358      0.000000      0.000000      0.000000    115.273731   -379.591654    263.868523		455
W= 89.78399, xmin= -0.00121, parasitic=0.7489, |e|=0.136364	      1.000000    252.670095    350.699244   -396.058600    -46.365658    389.656033      0.000000   -266.691764    227.333612     82.308538   -262.675289      8.325537      0.000000      0.000000      0.000000    -63.146496    258.607804   -117.269655		456
W= 89.77256, xmin= -0.00128, parasitic=0.7387, |e|=0.136364	      1.000000   -240.093798    -75.235287   -285.887141     19.687547     25.055777      0.000000    -95.659160    332.705251      6.241654   -431.475405   -161.585607      0.000000      0.000000      0.000000    148.282134   -377.274053    185.222608		457
W= 89.75349, xmin= -0.00138, parasitic=0.7298, |e|=0.136364	      1.000000    368.760050   -158.019991    316.098507    -75.210473    -16.393149      0.000000    160.793149   -221.124340   -113.772043    152.647221   -152.812103      0.000000      0.000000      0.000000     88.720013   -369.757662     21.259629		458
W= 89.75439, xmin= -0.00139, parasitic=0.7412, |e|=0.345218	      1.000000   -433.907143    368.825084    269.606461   -345.093726    423.836785      0.000000    -14.833467    -70.640583     18.764251    136.376148    277.918618      0.000000      0.000000      0.000000    -58.924920    219.465755   -234.002976		459
W= 89.77865, xmin= -0.00124, parasitic=0.7475, |e|=0.136364	      1.000000    353.121429   -276.642553   -390.466056    -26.061260   -378.123249      0.000000    136.719402   -409.572820   -100.975318   -138.168126   -254.565077      0.000000      0.000000      0.000000    -95.794464    334.055001     45.691493		460
W= 89.76412, xmin= -0.00133, parasitic=0.7371, |e|=0.136364	      1.000000    368.556566   -158.080494   -224.387340    -68.587288    258.347004      0.000000     96.991064   -278.768735    376.645475   -375.384479    242.199838      0.000000      0.000000      0.000000     85.406262   -394.942690     72.040298		461
W= 89.77574, xmin= -0.00126, parasitic=0.7387, |e|=0.143726	      1.000000    428.123176    -54.971038    328.816841   -199.119821   -259.197275      0.000000     30.729203   -236.096183   -254.062329   -297.465478     30.452599      0.000000      0.000000      0.000000    194.442568   -441.433146    141.941350		462
W= 89.75443, xmin= -0.00138, parasitic=0.7311, |e|=0.136364	      1.000000     90.676960    424.224680    173.080214   -129.171753   -215.083210      0.000000   -256.103098    279.406008   -336.138663   -212.254901   -344.282816      0.000000      0.000000      0.000000    128.073388   -188.469703    299.030554		463
W= 89.77367, xmin= -0.00126, parasitic=0.7428, |e|=0.136364	      1.000000    351.262487    432.988117    -35.516461    -81.277794    271.484182      0.000000   -361.512526    373.400575   -354.578151   -312.656434   -321.230525      0.000000      0.000000      0.000000    -53.764404    429.339889   -202.028414		464
W= 89.76209, xmin= -0.00134, parasitic=0.7496, |e|=0.194866	      1.000000    -64.291190    259.285889    249.442595     34.868678    326.264503      0.000000    104.234872   -419.019388    379.625541   -373.697935    423.845602      0.000000      0.000000      0.000000    121.241879   -327.695228     86.974032		465
W= 89.78731, xmin= -0.00120, parasitic=0.7484, |e|=0.361376	      1.000000   -240.745694     -0.902991   -281.230784   -283.567158    423.320114      0.000000    171.878861   -216.308193    265.793444   -283.776968   -373.331345      0.000000      0.000000      0.000000    -94.104102    359.329339    -91.299841		466
W= 89.77325, xmin= -0.00127, parasitic=0.7395, |e|=0.222309	      1.000000    131.392240   -375.900536     98.956588    318.705496    186.832012      0.000000     24.705917    140.277417    -49.399216    -80.957222    396.619810      0.000000      0.000000      0.000000    114.911454   -405.515869     20.243172		467
W= 89.77085, xmin= -0.00129, parasitic=0.7417, |e|=0.136364	      1.000000    338.967255     91.045376    182.655442   -225.781713   -149.745487      0.000000     48.952242   -410.096750     46.883627   -276.954185    343.392975      0.000000      0.000000      0.000000    164.144708   -340.535721     40.366330		468
W= 89.76748, xmin= -0.00131, parasitic=0.7436, |e|=0.136364	      1.000000     35.606912   -310.283627    357.738023   -351.434460   -301.261951      0.000000    169.118243   -293.918992   -116.234476    363.934676     16.230317      0.000000      0.000000      0.000000    151.466294   -439.331882    361.052953		469
W= 89.77478, xmin= -0.00126, parasitic=0.7448, |e|=0.136364	      1.000000   -297.045941   -435.793816    325.192974     59.144668   -446.029872      0.000000    390.473034   -441.297625    197.262463   -254.832710    231.280886      0.000000      0.000000      0.000000    115.417007   -350.088724     66.314946		470
W= 89.76467, xmin= -0.00132, parasitic=0.7393, |e|=0.136364	      1.000000    417.206903    -13.580428   -255.265351    286.267293    255.494736      0.000000     60.973385   -441.837178   -308.880932   -137.754432   -222.688309      0.000000      0.000000      0.000000     30.762755     56.489396    121.109988		471
W= 89.78701, xmin= -0.00120, parasitic=0.7486, |e|=0.136364	      1.000000   -342.664759    253.684961   -116.462262     93.301490    334.251791      0.000000   -109.041901    300.169548    -83.692158   -243.956612    109.781562      0.000000      0.000000      0.000000    143.599990   -292.762769    108.258336		472
W= 89.75894, xmin= -0.00135, parasitic=0.7395, |e|=0.136364	      1.000000   -162.229810   -291.356652   -219.985095    141.617544   -289.218948      0.000000    -37.501670    416.613829    245.626778   -296.142885   -376.060898      0.000000      0.000000      0.000000   -129.220351    258.724161    -10.377721		473
W= 89.75172, xmin= -0.00140, parasitic=0.7272, |e|=0.316741	      1.000000    425.099602    101.152060    -55.625475    -13.998044     37.254391      0.000000   -112.968136    -66.904285    260.987521   -162.973884   -286.305352      0.000000      0.000000      0.000000     58.389936   -291.313914    164.260008		474
W= 89.76937, xmin= -0.00130, parasitic=0.7375, |e|=0.136364	      1.000000    -88.803832    337.994693    -35.959558   -120.040231    274.859901      0.000000   -164.144487    203.519704    136.949036    186.793974    -16.981793      0.000000      0.000000      0.000000   -123.324042    335.154502   -273.790642		475
W= 89.78089, xmin= -0.00123, parasitic=0.7487, |e|=0.136364	      1.000000    271.188652   -338.162976    296.135453   -423.219323    310.823755      0.000000    410.951658   -434.526944   -327.803618   -403.913466    128.949015      0.000000      0.000000      0.000000    192.618783   -447.060280    -87.316880		476
W= 89.76807, xmin= -0.00130, parasitic=0.7421, |e|=0.136364	      1.000000     -6.655739    187.029708   -379.139666    250.028732    251.381508      0.000000   -209.112072    391.536567   -326.215402    424.813791    -23.685716      0.000000      0.000000      0.000000    -17.429054     60.196911     90.633866		477
W= 89.75126, xmin= -0.00140, parasitic=0.7244, |e|=0.136364	      1.000000    -39.087767   -302.002888    433.961244    336.032133    -76.602739      0.000000    263.220205   -286.423456     54.868935    329.459415   -320.398126      0.000000      0.000000      0.000000   -141.504595    231.605054    -61.446426		478
W= 89.76741, xmin= -0.00131, parasitic=0.7344, |e|=0.136364	      1.000000   -327.947148    -76.251602     41.771782    179.416601    129.666250      0.000000    -48.826810    280.787672   -164.288258    -19.668266   -129.411445      0.000000      0.000000      0.000000    134.956159   -397.256500    138.316008		479
W= 89.77752, xmin= -0.00125, parasitic=0.7399, |e|=0.136364	      1.000000    347.758771   -361.180757    424.130341    188.894494   -307.470297      0.000000    208.565749   -327.549298    409.855688   -254.088487    130.664074      0.000000      0.000000      0.000000     17.917573   -311.651292    -74.415747		480
W= 89.75358, xmin= -0.00138, parasitic=0.7262, |e|=0.136364	      1.000000    216.141198    414.225247    389.243752   -140.727844     21.227958      0.000000   -253.756292    140.593775    408.872810   -269.131015   -173.068947      0.000000      0.000000      0.000000      8.906005   -191.220915    -50.967133		481
W= 89.76783, xmin= -0.00130, parasitic=0.7371, |e|=0.136364	      1.000000    401.283342    -38.162293    291.854337   -428.454761    163.518608      0.000000    176.661874   -375.637291    314.423906   -151.156086    286.776213      0.000000      0.000000      0.000000     78.939815   -431.023689   -194.623079		482
W= 89.75021, xmin= -0.00140, parasitic=0.7350, |e|=0.801108	      1.000000   -435.289999    255.385560    219.087714    -95.251881    146.013128      0.000000    160.276109   -234.639829    156.978223   -336.683195     45.590286      0.000000      0.000000      0.000000   -146.516489    379.458002   -359.589488		483
W= 89.76092, xmin= -0.00134, parasitic=0.7369, |e|=0.136364	      1.000000   -188.239073   -407.583148     98.394400     88.598527   -237.293913      0.000000    358.209208   -225.110884     49.900944   -142.769260     10.686762      0.000000      0.000000      0.000000     29.733484   -164.909153     14.836457		484
W= 89.75275, xmin= -0.00140, parasitic=0.7290, |e|=0.164301	      1.000000   -284.074618    314.746540   -256.137471   -179.099432    151.091163      0.000000    -61.325908    159.054965    -47.804948   -251.451237    -37.546523      0.000000      0.000000      0.000000    173.270127   -417.973797    420.180198		485
W= 89.75309, xmin= -0.00132, parasitic=0.7368, |e|=0.136364	      1.000000     92.811885    -82.897794   -311.922831   -425.627493    146.998417      0.000000     79.749280   -190.117758   -441.976925    131.023575      7.816603      0.000000      0.000000      0.000000    192.102821   -340.811689    364.264490		486
W= 89.76242, xmin= -0.00134, parasitic=0.7347, |e|=1.111732	      1.000000    294.877992    269.987421    363.401014    154.081253   -221.082393      0.000000   -131.592671    -72.459812   -148.117498     12.017475    399.881045      0.000000      0.000000      0.000000    107.844657   -347.753758    173.407501		487
W= 89.77351, xmin= -0.00127, parasitic=0.7375, |e|=0.162502	      1.000000    305.381492   -418.910211   -136.475711   -379.843584    428.668250      0.000000     64.739575    -10.686312    312.875379    402.182690    310.034313      0.000000      0.000000      0.000000     91.691403   -419.483034    -67.575929		488
W= 89.75844, xmin= -0.00136, parasitic=0.7462, |e|=0.136364	      1.000000   -348.477727     78.491370   -349.216255   -206.281001     48.297761      0.000000   -248.140998    325.018939   -314.322358     41.432998   -309.130596      0.000000      0.000000      0.000000    -15.619037    418.091535    178.148022		489
W= 89.77390, xmin= -0.00127, parasitic=0.7422, |e|=0.171881	      1.000000    357.028328    -19.060175   -302.608632    153.960286    253.223412      0.000000    -20.838667    -65.668431     30.156679    -14.816101    375.477404      0.000000      0.000000      0.000000    -66.887665    301.252999   -113.859146		490
W= 89.76153, xmin= -0.00128, parasitic=0.7391, |e|=0.220400	      1.000000    237.869945    426.625321   -126.705842   -372.668594    202.128550      0.000000    -82.166843   -254.864844    301.684652    206.874364    180.517869      0.000000      0.000000      0.000000     83.691719   -424.855088    211.344823		491
W= 89.76631, xmin= -0.00130, parasitic=0.7371, |e|=0.136364	      1.000000    168.381102     14.002102   -137.731793    271.090616   -179.515932      0.000000    127.826516   -426.603005      5.537829   -341.967113    128.416393      0.000000      0.000000      0.000000   -112.400014    446.575704   -280.541680		492
W= 89.76482, xmin= -0.00132, parasitic=0.7361, |e|=0.136364	      1.000000    249.403451   -305.170194   -418.789073   -255.383764    158.190631      0.000000    135.471816   -275.063802   -214.884955   -135.135168    -85.306927      0.000000      0.000000      0.000000    -62.148643    365.790784    -28.217221		493
W= 89.75229, xmin= -0.00140, parasitic=0.7290, |e|=0.150278	      1.000000    219.186083    355.837434    375.305620    194.877814    304.183645      0.000000    -54.313075   -253.672916     40.237936    174.764589   -343.878529      0.000000      0.000000      0.000000     80.936138   -443.597777    245.523321		494
W= 89.76432, xmin= -0.00132, parasitic=0.7449, |e|=0.371212	      1.000000    393.060359   -105.140703    274.669880    281.116214    198.547601      0.000000    -95.816660      3.979136    -26.074543   -114.636054   -132.743427      0.000000      0.000000      0.000000    178.891847   -413.141215    190.409267		495
W= 89.75349, xmin= -0.00138, parasitic=0.7479, |e|=0.136364	      1.000000    279.431719    110.326190   -302.913108    236.409683   -434.354243      0.000000     40.245559   -443.887259    166.041129    324.203256   -225.965068      0.000000      0.000000      0.000000   -200.910388    231.925700    -47.098300		496
W= 89.76861, xmin= -0.00130, parasitic=0.7391, |e|=0.177260	      1.000000   -413.787338    148.636425   -226.513603   -181.307069    111.927500      0.000000     -1.744695    125.735956    408.756176    324.572404    -56.592300      0.000000      0.000000      0.000000   -174.601867    405.002693   -273.620334		497
W= 89.76084, xmin= -0.00135, parasitic=0.7470, |e|=0.234930	      1.000000    443.935196     93.579158   -128.598102    -16.252486     49.324218      0.000000    -61.214849   -301.587222    275.584114   -262.646735     62.664488      0.000000      0.000000      0.000000    147.550098   -356.755852    282.020116		498
W= 89.76208, xmin= -0.00134, parasitic=0.7348, |e|=0.157227	      1.000000    317.780082    349.479758    259.017018    -88.353924     46.482401      0.000000   -265.845798    177.087457    159.066606    -71.567506   -177.165610      0.000000      0.000000      0.000000    135.687185   -427.636641    159.095500		499
W= 89.76922, xmin= -0.00130, parasitic=0.7357, |e|=0.136364	      1.000000   -257.441020    146.662368    398.726284   -357.270906    195.448507      0.000000   -157.988956    352.886093    204.163579   -357.652846   -295.514133      0.000000      0.000000      0.000000     63.895445   -234.716375      4.902632		500
W= 89.77945, xmin= -0.00124, parasitic=0.7442, |e|=0.136364	      1.000000     18.103995   -418.241661    124.278920     17.154725    316.673158      0.000000    192.885169   -170.072955    281.222740   -300.041085    157.054503      0.000000      0.000000      0.000000    138.630218   -417.192854     -3.149170		501
W= 89.75752, xmin= -0.00121, parasitic=0.7460, |e|=0.136364	      1.000000   -145.690160    -26.707505     17.237984    333.547578    392.932933      0.000000   -141.296579    443.151494    -99.494160   -204.070015    -53.173503      0.000000      0.000000      0.000000    -86.519510    409.224907   -321.525345		502
W= 89.75708, xmin= -0.00137, parasitic=0.7437, |e|=0.175513	      1.000000    317.803968   -412.235775   -232.062596    147.178001    110.690806      0.000000     83.433664   -288.923331    192.857377     19.897304    317.428011      0.000000      0.000000      0.000000   -145.354037    294.165530   -410.256958		503
W= 89.75948, xmin= -0.00135, parasitic=0.7471, |e|=0.136364	      1.000000    403.735885    215.501382    382.370954     93.911853   -395.002657      0.000000     -7.593944   -160.376084    396.661429     75.451062    442.287021      0.000000      0.000000      0.000000    -19.121052   -360.088703   -234.862744		504
W= 89.75236, xmin= -0.00139, parasitic=0.7383, |e|=0.136364	      1.000000    -40.791015    199.541908     61.021866    169.623710    313.741132      0.000000    144.645424   -296.081036   -203.528170    162.315936    137.930703      0.000000      0.000000      0.000000     15.252939     20.648479    -14.822919		505
W= 89.75024, xmin= -0.00140, parasitic=0.7281, |e|=0.136364	      1.000000   -177.256414    311.198768    150.548202    101.522401    262.315772      0.000000   -182.773731    346.046058    424.836501   -435.898668     66.805196      0.000000      0.000000      0.000000    119.097400   -394.323607     27.079631		506
W= 89.75226, xmin= -0.00140, parasitic=0.7423, |e|=0.288878	      1.000000   -287.253002    233.168162    388.223660   -400.923722    254.127516      0.000000   -299.478266    410.715975    340.979508    418.281491    155.513495      0.000000      0.000000      0.000000    -67.889808    -77.066326   -179.009669		507
W= 89.75462, xmin= -0.00138, parasitic=0.7333, |e|=0.136364	      1.000000    -84.244374     50.770727    -12.487682    158.178586    -45.747061      0.000000   -243.973391    325.288394   -224.970603    -39.187779   -424.621251      0.000000      0.000000      0.000000    -58.965774    365.679164    165.956689		508
W= 89.75083, xmin= -0.00141, parasitic=0.7365, |e|=0.136364	      1.000000   -393.691767    296.052113    208.747344   -144.384618   -112.773450      0.000000   -268.726280    439.840753     80.950797    415.642072    134.431466      0.000000      0.000000      0.000000   -139.438668    399.078538   -217.805509		509
W= 89.76253, xmin= -0.00133, parasitic=0.7491, |e|=0.320219	      1.000000   -244.804826    139.711449   -129.105183    266.142187    258.570627      0.000000    203.569007   -436.969127    159.538355    289.398383   -276.276572      0.000000      0.000000      0.000000   -244.636535    357.600967   -220.931388		510
W= 89.77171, xmin= -0.00128, parasitic=0.7439, |e|=0.136364	      1.000000    145.324856     30.293548     -7.596853     94.830419   -353.022324      0.000000   -278.987533    334.389259    434.286326    236.496517    340.226993      0.000000      0.000000      0.000000   -188.253484    403.457405    -81.700322		511
W= 89.75118, xmin= -0.00140, parasitic=0.7225, |e|=0.136364	      1.000000    109.386738    372.510698    -15.499875    280.635978    285.931000      0.000000     31.641421   -360.723892    322.517976    328.998218   -346.135956      0.000000      0.000000      0.000000   -204.982535    368.975007   -105.884353		512
W= 89.76428, xmin= -0.00132, parasitic=0.7363, |e|=0.136364	      1.000000    153.397850     -7.888406    135.329453    265.067947   -164.590369      0.000000    108.121752   -351.068948   -104.486951   -381.247289   -364.238691      0.000000      0.000000      0.000000   -119.922589    372.285138    -43.635425		513
W= 89.75194, xmin= -0.00139, parasitic=0.7460, |e|=0.136364	      1.000000    120.147637   -178.700984    138.444088    406.239819    396.287221      0.000000    320.774245   -149.515277    209.702747    292.793620    -34.267845      0.000000      0.000000      0.000000   -156.024917    435.328944    114.228406		514
W= 89.76468, xmin= -0.00132, parasitic=0.7488, |e|=0.136364	      1.000000   -311.494897    426.718969     11.503355    160.435490    315.892576      0.000000   -354.662650    197.743771    119.346661   -359.944375     98.448606      0.000000      0.000000      0.000000     81.167394   -380.533775   -132.274414		515
W= 89.76138, xmin= -0.00134, parasitic=0.7463, |e|=0.136364	      1.000000    190.689401    189.271472    -19.015043     -5.927707   -353.846709      0.000000   -198.801458    130.035944    -87.686501   -244.451851   -270.597062      0.000000      0.000000      0.000000    124.845127   -446.842090    212.038989		516
W= 89.76023, xmin= -0.00135, parasitic=0.7305, |e|=0.145151	      1.000000    273.017458    408.911161    185.808694    411.723303    -46.642742      0.000000    -60.188080   -301.169485   -374.078473   -160.081546    -53.422967      0.000000      0.000000      0.000000   -104.316817    414.421406    -74.174250		517
W= 89.78979, xmin= -0.00118, parasitic=0.7483, |e|=0.136364	      1.000000   -356.140848    234.182983   -394.035785    241.770321   -328.117268      0.000000   -100.087628    254.614610      4.013041   -250.275406    425.506839      0.000000      0.000000      0.000000   -104.027921    391.132281   -120.285562		518
W= 89.79131, xmin= -0.00117, parasitic=0.7498, |e|=0.136364	      1.000000   -386.235400    250.803013    185.014733   -445.893546   -103.892117      0.000000   -240.300501    440.200518    265.212600    194.559643   -284.604745      0.000000      0.000000      0.000000     62.820390   -394.876214     78.337123		519
W= 89.76564, xmin= -0.00132, parasitic=0.7322, |e|=0.136364	      1.000000   -274.300044    262.714765   -356.562056   -296.158039   -409.248646      0.000000   -195.312737    303.114515     25.025685   -374.822570     70.743415      0.000000      0.000000      0.000000    -63.393285    369.153925      9.835834		520
W= 89.76775, xmin= -0.00130, parasitic=0.7419, |e|=0.136364	      1.000000    -40.271432   -203.053388      8.051801    227.629061    113.618741      0.000000    108.277739   -100.204472   -228.695376   -168.349538    106.857882      0.000000      0.000000      0.000000    -17.368185    131.494459    -39.260413		521
W= 89.76510, xmin= -0.00132, parasitic=0.7442, |e|=0.136364	      1.000000   -399.654193    -81.697516    407.590967    112.408215    434.636857      0.000000   -126.153901    259.510525    231.153638   -305.121569    -45.015953      0.000000      0.000000      0.000000    -12.929991   -132.829105   -192.085594		522
W= 89.76729, xmin= -0.00131, parasitic=0.7395, |e|=0.136364	      1.000000    321.004362    -80.723821    435.266946    362.543926    433.226768      0.000000    214.328496   -294.162540    425.407489     -7.342723   -416.895331      0.000000      0.000000      0.000000    -50.599739   -214.071776   -122.102096		523
W= 89.77235, xmin= -0.00128, parasitic=0.7391, |e|=0.424215	      1.000000   -176.830301    295.781363    128.652291   -146.611870    245.812616      0.000000    141.835177   -406.141762    284.734732    204.602948   -397.131964      0.000000      0.000000      0.000000     94.881864   -448.046236    174.773249		524
W= 89.75076, xmin= -0.00140, parasitic=0.7397, |e|=0.136364	      1.000000   -377.015619    -73.962214   -330.647094   -104.781460    -71.531337      0.000000    -79.429768    242.095193   -356.477015   -354.649891   -325.659832      0.000000      0.000000      0.000000     23.280250    332.692787    164.887996		525
W= 89.77578, xmin= -0.00126, parasitic=0.7411, |e|=0.136364	      1.000000    107.469966   -387.538040     37.408497    -73.801859    129.880695      0.000000    284.735889   -434.091034   -298.461893    -64.126917   -118.798820      0.000000      0.000000      0.000000    -54.180394    379.234980   -145.192345		526
W= 89.76267, xmin= -0.00124, parasitic=0.7421, |e|=0.146892	      1.000000   -152.769256     -6.149963    377.304409    193.050768    393.625608      0.000000    -13.042777    159.917886    132.956832    118.002370    211.458854      0.000000      0.000000      0.000000     73.465121   -418.939981    155.985304		527
W= 89.76824, xmin= -0.00130, parasitic=0.7423, |e|=0.138334	      1.000000   -317.260282     91.690610   -274.168082     56.876462   -391.292122      0.000000    -57.539865    324.469102   -348.086428   -375.873711   -208.772258      0.000000      0.000000      0.000000    -82.157407    422.675481     14.068934		528
W= 89.75361, xmin= -0.00138, parasitic=0.7424, |e|=0.136364	      1.000000    396.148262    220.751027    278.455101    314.531222    170.962126      0.000000    303.851004   -436.227511    394.634068   -171.978886    127.788836      0.000000      0.000000      0.000000    -10.571176   -325.719509   -268.719120		529
W= 89.76227, xmin= -0.00132, parasitic=0.7362, |e|=0.136364	      1.000000    415.561051    389.899906   -252.828353   -302.189680   -251.646774      0.000000   -417.214447    437.122888     45.862699   -292.024255    363.237734      0.000000      0.000000      0.000000    -63.409438    358.733573   -241.376987		530
W= 89.77400, xmin= -0.00127, parasitic=0.7473, |e|=0.161103	      1.000000    307.291420   -406.865887   -242.052540     -4.278910   -147.253568      0.000000     57.682530     38.452115   -409.522719     99.999111    435.445252      0.000000      0.000000      0.000000    -19.312638    403.185182   -119.134414		531
W= 89.78349, xmin= -0.00122, parasitic=0.7488, |e|=0.144247	      1.000000    339.644823    -76.879047   -227.368958     44.430166    251.387450      0.000000     44.314246   -297.262568   -443.239258   -422.614118   -307.472140      0.000000      0.000000      0.000000    262.281880   -396.073818    418.735103		532
W= 89.75142, xmin= -0.00131, parasitic=0.7370, |e|=0.136364	      1.000000     95.429396     66.974378    139.231238    260.189009    305.593314      0.000000   -140.283936    222.979155    449.794660    185.002579    301.263717      0.000000      0.000000      0.000000     -9.385498   -336.647195     10.281183		533
W= 89.77761, xmin= -0.00125, parasitic=0.7450, |e|=0.136364	      1.000000    -81.372608   -350.925581    318.513134   -406.945324    402.412111      0.000000    300.864560   -326.627913   -421.258859    202.632408    285.372137      0.000000      0.000000      0.000000    -36.019518    377.692586   -269.902275		534
W= 89.76425, xmin= -0.00132, parasitic=0.7395, |e|=0.353961	      1.000000   -267.021498   -289.275136    316.578829    385.263399   -132.532161      0.000000     92.458520    160.459398   -156.420689   -166.635848      1.611095      0.000000      0.000000      0.000000   -159.712954    393.275468   -198.411581		535
W= 89.75142, xmin= -0.00140, parasitic=0.7369, |e|=0.136364	      1.000000    285.203468   -326.045116    113.147850   -210.157358    302.607907      0.000000    300.769214   -151.737324   -227.925641   -250.101865   -412.354375      0.000000      0.000000      0.000000    147.171410   -414.972871    -20.333771		536
W= 89.75705, xmin= -0.00136, parasitic=0.7364, |e|=0.136364	      1.000000   -341.715280     20.745397   -267.155835   -137.753041   -354.150584      0.000000    -53.029385    373.977608    149.585863    183.094601    -21.746849      0.000000      0.000000      0.000000   -212.669148    432.092580   -156.042985		537
W= 89.76094, xmin= -0.00135, parasitic=0.7355, |e|=0.141937	      1.000000   -395.928837   -434.569384    361.650132    283.093418   -186.999406      0.000000    349.364964   -285.473650    385.223312    350.119804   -278.247453      0.000000      0.000000      0.000000    -55.805001   -193.938165     39.543406		538
W= 89.75270, xmin= -0.00134, parasitic=0.7334, |e|=0.136364	      1.000000      7.791942    407.438526   -432.451488    340.561318   -213.888565      0.000000   -155.290636    125.439551   -215.194402   -273.162124   -283.686134      0.000000      0.000000      0.000000      8.450797    166.357127     79.160235		539
W= 89.76531, xmin= -0.00132, parasitic=0.7397, |e|=0.136364	      1.000000    179.891294    147.243102     90.589956   -386.532307    -22.901533      0.000000   -271.179423    351.574137    373.870377   -289.506617   -370.590858      0.000000      0.000000      0.000000     12.900292   -201.535467    113.761473		540
W= 89.75985, xmin= -0.00135, parasitic=0.7328, |e|=0.136364	      1.000000    148.932235    248.693809    333.895927    215.205989    146.430311      0.000000   -275.752733    327.708493   -232.328900    231.162056    222.233706      0.000000      0.000000      0.000000     93.040748   -334.121374     73.489378		541
W= 89.75285, xmin= -0.00139, parasitic=0.7485, |e|=0.136364	      1.000000     72.870090    328.000041    184.988729     -0.446773     20.747981      0.000000   -254.651187    424.538566   -319.168423    394.013987     64.166444      0.000000      0.000000      0.000000   -162.572079    272.134456   -142.325792		542
W= 89.75383, xmin= -0.00123, parasitic=0.7458, |e|=0.136364	      1.000000    223.089153   -432.953152   -367.894970   -378.743446   -124.158278      0.000000    144.728218   -176.536305     25.613056   -191.755822   -312.644436      0.000000      0.000000      0.000000    111.519395   -288.187183    373.610734		543
W= 89.77890, xmin= -0.00124, parasitic=0.7483, |e|=0.136364	      1.000000    -90.161253     48.472121    314.369909    -50.227392    -93.954176      0.000000   -150.626830    411.633733   -313.029669     22.518211    397.297001      0.000000      0.000000      0.000000    119.148293   -205.453776     47.000016		544
W= 89.77415, xmin= -0.00127, parasitic=0.7405, |e|=0.136364	      1.000000     11.432499    347.455702   -320.821988   -206.732695   -340.554918      0.000000   -206.244322    108.036383    -13.794458     78.178388    -42.084160      0.000000      0.000000      0.000000    -95.161917    418.970429     55.716209		545
W= 89.77915, xmin= -0.00124, parasitic=0.7464, |e|=0.253755	      1.000000    354.636204    324.156389     49.385005   -431.645382   -286.065495      0.000000    -93.568164   -250.831282    293.295235   -313.953087   -388.229975      0.000000      0.000000      0.000000    153.338379   -441.756421    394.780411		546
W= 89.75051, xmin= -0.00141, parasitic=0.7453, |e|=0.136364	      1.000000   -427.188870    -37.404808    427.866993   -128.039328   -150.008959      0.000000   -112.962170    274.561471   -437.771902   -395.943491     64.562994      0.000000      0.000000      0.000000    -24.478566    442.105159    -33.600041		547
W= 89.76472, xmin= -0.00132, parasitic=0.7315, |e|=0.136364	      1.000000     51.623695   -385.180234   -395.634350    -61.125858    313.760390      0.000000    286.596220   -283.500766   -153.495791    239.124117    -75.145041      0.000000      0.000000      0.000000    -90.162753    412.994999      9.032304		548
W= 89.77287, xmin= -0.00128, parasitic=0.7486, |e|=0.136364	      1.000000     19.679845    393.189681   -101.812131    262.781766     77.506220      0.000000   -110.060624     15.628064    117.950300   -154.117377    128.323444      0.000000      0.000000      0.000000    -93.158722    194.131166   -179.295282		549
W= 89.76007, xmin= -0.00135, parasitic=0.7328, |e|=0.313395	      1.000000    274.352820    169.479529   -337.277991    365.593165     29.011039      0.000000    -79.276365   -110.729931   -333.355255   -324.523763   -149.683045      0.000000      0.000000      0.000000    -24.821660    356.789283    -71.950836		550
W= 89.78545, xmin= -0.00121, parasitic=0.7482, |e|=0.136364	      1.000000    -41.952385    190.207908    -46.008575    323.152383    -14.741683      0.000000   -194.237881    216.245998    128.053574    385.145005    226.753025      0.000000      0.000000      0.000000   -146.551393    346.607489   -109.171959		551
W= 89.75593, xmin= -0.00137, parasitic=0.7488, |e|=0.136364	      1.000000   -331.263747    -10.212464    144.379121   -395.514817    275.439336      0.000000    -49.636522     90.148893    207.715120    409.093282     34.383518      0.000000      0.000000      0.000000     32.168991   -376.152035   -139.440760		552
W= 89.78898, xmin= -0.00119, parasitic=0.7483, |e|=0.401834	      1.000000   -424.241786    -87.355142   -285.039797    324.990135    388.752179      0.000000    134.228976      3.565068   -445.217469   -435.658593    352.580644      0.000000      0.000000      0.000000    207.201977   -337.830364    153.187109		553
W= 89.79106, xmin= -0.00118, parasitic=0.7491, |e|=0.151212	      1.000000    367.143414   -263.842892   -275.607125    275.287569   -100.678488      0.000000     63.906510   -198.041545     76.180183    -81.031013    -14.016608      0.000000      0.000000      0.000000   -114.967910    359.830889   -154.252368		554
W= 89.75721, xmin= -0.00136, parasitic=0.7393, |e|=0.342850	      1.000000    357.246284   -420.852830    320.505459   -218.436449    152.231621      0.000000    -52.846126    136.629908    389.104845    357.508955     49.025291      0.000000      0.000000      0.000000     48.591676   -297.328005    -58.603495		555
W= 89.75968, xmin= -0.00135, parasitic=0.7338, |e|=0.136364	      1.000000    251.555870    173.266292    203.595766    356.810910   -155.854614      0.000000     -5.290513   -276.677402   -402.821799    358.271205    376.282324      0.000000      0.000000      0.000000    160.569573   -423.212035    195.219703		556
W= 89.76365, xmin= -0.00129, parasitic=0.7383, |e|=0.136364	      1.000000   -264.264382     43.044117    394.397092   -150.836212    -97.581685      0.000000    -84.383058    394.691635    322.973495   -322.903146    441.928107      0.000000      0.000000      0.000000    -41.447348     -2.589792   -176.131603		557
W= 89.76185, xmin= -0.00113, parasitic=0.7495, |e|=0.615753	      1.000000   -366.304317    287.589837    379.235702   -139.708903   -170.422364      0.000000    117.208028   -200.630609   -399.959479     73.298731     33.065202      0.000000      0.000000      0.000000    -83.046484    438.425586   -378.027236		558
W= 89.76338, xmin= -0.00133, parasitic=0.7421, |e|=0.136364	      1.000000      1.546352    403.665493    -79.457835    -87.656820   -339.991786      0.000000   -209.935645    275.336244    445.934340    320.530466   -225.355619      0.000000      0.000000      0.000000   -234.293043    327.078904   -214.271948		559
W= 89.77195, xmin= -0.00128, parasitic=0.7443, |e|=0.136364	      1.000000    167.481048    225.931706    233.212638    -30.884519   -417.291116      0.000000    123.026616   -400.418171   -183.988486    279.067489   -283.632209      0.000000      0.000000      0.000000    104.648292   -439.989899    199.473007		560
W= 89.75551, xmin= -0.00137, parasitic=0.7333, |e|=0.136364	      1.000000   -317.156976   -210.076251   -310.186580     74.241612    306.540303      0.000000    327.883450   -427.041065    170.301103   -334.747156   -262.947967      0.000000      0.000000      0.000000    149.306143   -315.067146    190.071562		561
W= 89.75427, xmin= -0.00138, parasitic=0.7250, |e|=0.136364	      1.000000     76.387991   -171.150314    -31.142209    127.274550   -103.991631      0.000000   -208.193191    449.464940   -260.345061    421.207048    398.613279      0.000000      0.000000      0.000000    -69.246749    269.153953    -38.851647		562
W= 89.77346, xmin= -0.00127, parasitic=0.7385, |e|=0.136364	      1.000000   -276.836644    210.572239   -332.878909   -182.262874    403.281206      0.000000   -201.944581    291.693721    164.780292   -307.372455   -320.755599      0.000000      0.000000      0.000000    105.387817   -300.667457     57.441741		563
W= 89.78803, xmin= -0.00119, parasitic=0.7497, |e|=0.136364	      1.000000    183.763353    -88.112227   -305.799442    306.049027    379.904921      0.000000    190.025592   -364.121818   -247.974448    393.238662   -254.004466      0.000000      0.000000      0.000000    -24.614602    177.662138     65.563353		564
W= 89.75645, xmin= -0.00137, parasitic=0.7287, |e|=0.136364	      1.000000    -20.426851    336.487390    240.366931   -209.338177    209.320596      0.000000   -235.668631    303.637471    292.621627   -422.175267   -157.238187      0.000000      0.000000      0.000000     95.077326   -307.822879     34.499198		565
W= 89.75647, xmin= -0.00137, parasitic=0.7442, |e|=0.136364	      1.000000    -24.513355    392.029551   -236.669963   -239.016809    -35.212536      0.000000   -166.952738    -32.694536   -225.028497   -229.326827    255.319993      0.000000      0.000000      0.000000    -11.580002    378.434934     -0.811947		566
W= 89.75972, xmin= -0.00135, parasitic=0.7374, |e|=0.536655	      1.000000    248.979184    210.751344    330.166163      0.595391    320.234901      0.000000    -96.031508    -86.640895    343.358135     95.792320   -156.055188      0.000000      0.000000      0.000000    109.833221   -424.791444     56.156432		567
W= 89.76596, xmin= -0.00429, parasitic=0.7446, |e|=0.213831	      1.000000   -314.533118   -163.421549    199.488294    -60.436899    129.339482      0.000000     52.574459    216.020959    -37.511481    280.873832     50.312471      0.000000      0.000000      0.000000    183.468363   -442.040004    120.488780		568
W= 89.76187, xmin= -0.00134, parasitic=0.7322, |e|=0.176273	      1.000000    445.721728   -390.354099   -416.594849   -321.778012   -330.780250      0.000000     36.343181    -43.559122   -152.150657    259.414776     27.415826      0.000000      0.000000      0.000000     19.852051     59.276122    112.340491		569
W= 89.75881, xmin= -0.00135, parasitic=0.7374, |e|=0.281795	      1.000000    388.096485    161.036652    -63.199824    349.418605    -39.070691      0.000000    -93.045391   -161.628684   -391.839002     89.396073    -81.945949      0.000000      0.000000      0.000000    -99.534606    277.899831     24.897147		570
W= 89.75456, xmin= -0.00138, parasitic=0.7433, |e|=0.172395	      1.000000    428.861151   -102.576610   -432.833449   -183.963671    262.529623      0.000000    -27.923258     71.586326     16.514674    376.092503   -298.180811      0.000000      0.000000      0.000000    -58.900272    316.681015    167.844530		571
W= 89.76186, xmin= -0.00134, parasitic=0.7434, |e|=0.136364	      1.000000    202.177363    338.504894    442.208533    200.130616    341.465259      0.000000     23.132328   -324.101934   -120.044311    290.199400   -440.519301      0.000000      0.000000      0.000000   -124.230558    412.529389    -63.941152		572
W= 89.76686, xmin= -0.00131, parasitic=0.7392, |e|=0.137759	      1.000000    -95.826985    190.545728     59.983869   -339.791249    291.680917      0.000000    145.439719   -409.326306   -331.727559   -374.997944    -58.144825      0.000000      0.000000      0.000000    -62.776956    429.095921   -160.905308		573
W= 89.77762, xmin= -0.00125, parasitic=0.7446, |e|=0.136364	      1.000000    139.383887    110.422326   -409.208465    186.762038     27.792715      0.000000    120.897624   -286.875894   -285.405967   -347.475730    397.916111      0.000000      0.000000      0.000000     33.417402    200.850510     21.543864		574
W= 89.76372, xmin= -0.00120, parasitic=0.7497, |e|=0.136364	      1.000000    163.599159   -362.945701    277.715977   -339.703611   -129.587513      0.000000    164.839909   -210.080978   -170.970102    221.902995   -273.257738      0.000000      0.000000      0.000000   -100.677072    442.126280   -219.777776		575
W= 89.76425, xmin= -0.00132, parasitic=0.7338, |e|=0.136364	      1.000000    -81.646227    115.613293    204.280406    -92.130056   -393.121680      0.000000   -106.512374    206.594332   -382.447903    216.851970    -14.152067      0.000000      0.000000      0.000000   -112.411288    437.060690    -98.772056		576
W= 89.75001, xmin= -0.00141, parasitic=0.7401, |e|=0.344798	      1.000000   -119.299329    433.608375    236.009313    103.403527    -39.148874      0.000000    -13.941449   -118.057010   -217.208658   -208.604944    137.837800      0.000000      0.000000      0.000000    -56.059273    237.579177   -276.913023		577
W= 89.77188, xmin= -0.00128, parasitic=0.7491, |e|=0.136364	      1.000000   -138.448405   -184.070312   -316.032148    -48.907492   -295.974576      0.000000    248.954898   -422.024030     99.269056    -22.004144     17.212972      0.000000      0.000000      0.000000   -179.401324    404.237243   -177.063026		578
W= 89.77162, xmin= -0.00129, parasitic=0.7469, |e|=0.136364	      1.000000    159.654241   -332.867985    431.325736    227.333114   -323.638351      0.000000    253.286045   -251.988549    186.823550    382.232142    139.103091      0.000000      0.000000      0.000000   -140.510727    216.694738   -138.053299		579
W= 89.78201, xmin= -0.00122, parasitic=0.7461, |e|=0.355347	      1.000000   -396.076403    -53.666875     78.068149    329.356146    280.660465      0.000000    286.532626   -367.575829   -166.435730   -126.793548    -83.411124      0.000000      0.000000      0.000000    168.351574   -413.457146    208.090907		580
W= 89.75104, xmin= -0.00140, parasitic=0.7382, |e|=0.136364	      1.000000     27.307469   -185.349535    439.411196    412.251146    425.730894      0.000000   -219.947224    396.725795    339.659194    432.243238   -419.250164      0.000000      0.000000      0.000000   -190.975982    328.290781    -21.898550		581
W= 89.75616, xmin= -0.00137, parasitic=0.7267, |e|=0.136364	      1.000000   -268.733066   -365.941015   -276.508008   -220.615259   -420.100008      0.000000    348.950415   -278.675580    426.180436   -336.098377    412.316708      0.000000      0.000000      0.000000   -112.295297    298.853904   -154.556713		582
W= 89.77395, xmin= -0.00127, parasitic=0.7393, |e|=0.180403	      1.000000   -421.729713   -162.640505      2.092880   -266.718362   -323.639289      0.000000    373.648104   -440.368295    277.205523    137.844592    441.048244      0.000000      0.000000      0.000000   -132.224329    295.218623   -249.597466		583
W= 89.76483, xmin= -0.00132, parasitic=0.7336, |e|=0.136364	      1.000000    291.790567   -441.131353   -120.064226    -38.142371      3.897124      0.000000    189.272460   -274.755475    380.225890   -355.724510     59.017015      0.000000      0.000000      0.000000     35.064424   -189.761782     11.804662		584
W= 89.79004, xmin= -0.00118, parasitic=0.7482, |e|=0.141548	      1.000000   -375.274193    233.507165   -342.505964     85.189474    410.796089      0.000000    -67.803291    184.809568   -282.213479   -104.230241    331.343922      0.000000      0.000000      0.000000    200.818657   -401.857411    131.033685		585
W= 89.77433, xmin= -0.00127, parasitic=0.7418, |e|=0.136364	      1.000000    321.545448   -382.892822    140.631692    265.862184    382.817811      0.000000    185.586884   -418.865753    125.386456    -62.948166   -366.127383      0.000000      0.000000      0.000000   -155.481154    357.591917   -237.895416		586
W= 89.75180, xmin= -0.00140, parasitic=0.7285, |e|=0.314664	      1.000000   -181.960661    442.866829    -28.366636     21.027211   -177.240668      0.000000      2.710539   -174.349405    172.643733   -198.838390   -320.883993      0.000000      0.000000      0.000000     96.441636   -380.691995    362.114202		587
W= 89.75922, xmin= -0.00136, parasitic=0.7411, |e|=0.175158	      1.000000    340.796598    181.637596    119.752183   -119.272477    429.044755      0.000000   -292.641685    268.008762     30.267043    434.154523   -146.507230      0.000000      0.000000      0.000000    -74.816160    197.090858   -127.902902		588
W= 89.76308, xmin= -0.00133, parasitic=0.7420, |e|=0.179878	      1.000000   -217.380790    270.530552   -343.713667    318.329614   -393.949931      0.000000   -106.720052    263.606511   -337.124152     89.900068   -274.104793      0.000000      0.000000      0.000000    147.794312   -288.318132    435.784049		589
W= 89.78046, xmin= -0.00123, parasitic=0.7484, |e|=0.177238	      1.000000    257.984795     63.572535   -130.344492   -274.560602   -271.338113      0.000000    -15.386414   -192.095303     89.516424    447.552372    371.762452      0.000000      0.000000      0.000000   -137.926937    260.989257   -203.903390		590
W= 89.75593, xmin= -0.00133, parasitic=0.7372, |e|=0.136364	      1.000000      4.656574    100.381657     61.294512   -307.707687   -376.863738      0.000000   -198.883164    367.820956    385.925782    -66.387657    224.335309      0.000000      0.000000      0.000000   -170.324086    447.057571   -367.956757		591
W= 89.77524, xmin= -0.00127, parasitic=0.7482, |e|=0.315982	      1.000000   -233.950500    275.093578    -36.767660    -58.658774    223.294450      0.000000    194.330699   -429.703451    232.188871    418.486046   -114.144833      0.000000      0.000000      0.000000   -118.332752    258.089484   -105.560522		592
W= 89.76517, xmin= -0.00132, parasitic=0.7381, |e|=0.136364	      1.000000   -206.492990   -140.314595    -61.655691    158.739394    116.809266      0.000000    -71.666668    265.282634    194.948245    275.685087    317.818180      0.000000      0.000000      0.000000   -143.631464    375.577486   -145.409589		593
W= 89.76248, xmin= -0.00133, parasitic=0.7402, |e|=0.136364	      1.000000   -197.517686    210.819585    195.505180    -84.174721   -141.245422      0.000000   -146.470039    379.552000   -385.098780   -133.763387    200.426367      0.000000      0.000000      0.000000    209.736791   -335.372662    215.891457		594
W= 89.75028, xmin= -0.01239, parasitic=0.7491, |e|=0.136364	      1.000000     12.407466    307.479655   -271.511301   -155.984988    339.410198      0.000000   -352.446488    282.533864   -333.376488   -204.685331    142.457739      0.000000      0.000000      0.000000     26.748291    264.103519     29.167612		595
W= 89.77365, xmin= -0.00127, parasitic=0.7396, |e|=0.136364	      1.000000   -172.898782    192.782158    272.175543    108.588114   -393.577784      0.000000   -141.063066    293.854624    245.413226    285.913925    363.317427      0.000000      0.000000      0.000000     29.349117   -355.650299     43.999759		596
W= 89.75333, xmin= -0.00139, parasitic=0.7301, |e|=0.712429	      1.000000   -167.463621    289.186958   -228.926299    307.641499   -177.090240      0.000000    114.923643   -351.272183   -154.637741     32.920796    418.916911      0.000000      0.000000      0.000000   -120.004228    374.203761   -215.004087		597
W= 89.78903, xmin= -0.00119, parasitic=0.7491, |e|=0.136364	      1.000000     94.870730   -202.698952    -91.187574    201.407927   -334.729573      0.000000   -171.371265    400.805928   -266.302093    334.156247   -130.267570      0.000000      0.000000      0.000000   -106.134269    431.262898     79.335101		598
W= 89.76360, xmin= -0.00133, parasitic=0.7307, |e|=0.136364	      1.000000   -384.850270   -412.797548    425.919203    415.737899     70.583791      0.000000     41.902091    357.392959     -7.714748     93.674824   -131.967348      0.000000      0.000000      0.000000     67.594948   -373.142273     29.580955		599
W= 89.77494, xmin= -0.00126, parasitic=0.7408, |e|=0.196869	      1.000000   -361.331724   -287.010202    377.024806     99.614297    438.367662      0.000000     70.006225    258.120028   -182.477380    442.228791     62.710309      0.000000      0.000000      0.000000   -151.604856    351.375811   -252.914465		600
W= 89.76679, xmin= -0.00131, parasitic=0.7345, |e|=0.136364	      1.000000   -231.779246   -394.427438    420.499908     81.525757   -115.714407      0.000000    415.302572   -373.284697     23.670924    162.084378     60.087842      0.000000      0.000000      0.000000     85.609093   -447.491290      2.368871		601
W= 89.75280, xmin= -0.00139, parasitic=0.7303, |e|=0.152949	      1.000000    342.682321    -66.702423      6.834681    177.977060    267.398866      0.000000     30.172480   -270.536819   -334.640908    274.292160   -168.291116      0.000000      0.000000      0.000000   -130.146888    402.934786   -163.824896		602
W= 89.75878, xmin= -0.00136, parasitic=0.7442, |e|=0.136364	      1.000000    310.125920   -430.967118    341.058522    250.635136     76.275658      0.000000    386.135099   -245.145550   -267.034506     37.876896      0.402046      0.000000      0.000000      0.000000    -24.898799    177.108023     16.312064		603
W= 89.78417, xmin= -0.00121, parasitic=0.7499, |e|=0.136364	      1.000000    136.948651   -103.423833    405.139395    -88.078664    -81.169859      0.000000    242.655939   -323.372926    360.948754   -438.163970     38.060393      0.000000      0.000000      0.000000     24.744409   -306.694880   -161.985490		604
W= 89.75208, xmin= -0.00139, parasitic=0.7325, |e|=0.136364	      1.000000   -122.109033    372.673699   -151.745044    445.214000   -326.725725      0.000000    -95.555840     74.344532   -427.676379    355.225032   -113.640216      0.000000      0.000000      0.000000   -115.622283    254.383174     98.100516		605
W= 89.77211, xmin= -0.00128, parasitic=0.7437, |e|=0.136364	      1.000000    169.482127    287.157094    441.954043    449.085513     45.768406      0.000000   -243.429376    322.602613   -131.894963    157.170504    -71.802825      0.000000      0.000000      0.000000     87.132745   -341.606485    220.497407		606
W= 89.75465, xmin= -0.00138, parasitic=0.7287, |e|=0.136364	      1.000000   -319.849859    323.655991    141.168260    176.180113   -246.436095      0.000000   -100.066051     72.883289    168.258770    229.194196    175.497722      0.000000      0.000000      0.000000   -166.971489    396.015618   -132.302630		607
W= 89.75170, xmin= -0.00139, parasitic=0.7229, |e|=0.136364	      1.000000     14.399152    -43.964635    249.726634   -309.480199   -310.254797      0.000000   -141.936137    269.260899    179.172722    -79.160895    338.140888      0.000000      0.000000      0.000000    -18.246818    -17.060068   -133.781399		608
W= 89.76284, xmin= -0.00133, parasitic=0.7495, |e|=0.136364	      1.000000     -1.247004      2.618149    134.377924   -248.282418    -46.916455      0.000000     92.227257   -266.537708    272.608280     97.327977    -53.964631      0.000000      0.000000      0.000000    117.334233   -352.694404    232.635241		609
W= 89.75385, xmin= -0.00138, parasitic=0.7265, |e|=0.136364	      1.000000   -119.242093    431.748310   -436.319754    390.082042     -1.757453      0.000000   -198.480117    162.284043    202.591173   -110.309551   -424.093951      0.000000      0.000000      0.000000   -150.488469    419.056511      2.206657		610
W= 89.76017, xmin= -0.00135, parasitic=0.7464, |e|=0.136364	      1.000000    370.796580    360.858555     10.406118    337.405013     97.314732      0.000000    -32.155914   -237.394566    -50.883732    383.287344   -433.014238      0.000000      0.000000      0.000000    -61.353768    164.270387    162.254886		611
W= 89.76973, xmin= -0.00129, parasitic=0.7383, |e|=0.136364	      1.000000   -182.801992   -385.630008    -84.276887     99.594868   -333.070228      0.000000    321.613429   -362.718282    281.456719   -403.777627   -432.450261      0.000000      0.000000      0.000000    111.914097   -369.783040    293.146939		612
W= 89.75496, xmin= -0.00119, parasitic=0.7496, |e|=0.136364	      1.000000     60.205609   -107.348312    379.349365    323.393219    -83.678133      0.000000     92.789035   -173.794020    155.610773      7.434186    -17.470683      0.000000      0.000000      0.000000   -161.779242    406.159420   -371.879560		613
W= 89.75885, xmin= -0.00135, parasitic=0.7298, |e|=0.647910	      1.000000   -421.414523   -392.932111     83.623410    405.667719   -312.656882      0.000000    177.343559    105.144453   -241.005494   -313.634170   -202.983269      0.000000      0.000000      0.000000    -89.507102    445.112953     98.941399		614
W= 89.76513, xmin= -0.00132, parasitic=0.7330, |e|=0.136364	      1.000000   -162.280263    205.839392   -315.433678     41.936465    218.501214      0.000000   -191.346038    251.346932   -443.485038    115.481870    -19.393556      0.000000      0.000000      0.000000    -47.258010    449.690265     66.906728		615
W= 89.75310, xmin= -0.00139, parasitic=0.7337, |e|=0.145943	      1.000000   -317.111353    246.170660   -139.602972   -157.302945    339.398476      0.000000    -77.724456    278.787257   -365.854667    161.654743    442.264940      0.000000      0.000000      0.000000    -26.274691    228.622780   -198.378767		616
W= 89.78732, xmin= -0.00120, parasitic=0.7473, |e|=0.136364	      1.000000     72.856680    274.755039     73.044308    426.168872   -131.455162      0.000000    -70.741434    -66.411114    269.829682     60.493872    415.594609      0.000000      0.000000      0.000000     57.450725   -406.478664     91.242314		617
W= 89.75745, xmin= -0.00137, parasitic=0.7314, |e|=0.136364	      1.000000    314.835891   -258.234974    196.624302    169.354746    271.469147      0.000000    112.964907   -251.659976   -382.954055    197.241715   -431.380095      0.000000      0.000000      0.000000     -9.628907    146.627560     21.666502		618
W= 89.76197, xmin= -0.00128, parasitic=0.7398, |e|=0.136364	      1.000000    406.875003   -120.342796   -138.251860   -428.363354    180.342181      0.000000     71.390072   -346.600938    -64.384554    436.059032   -120.227099      0.000000      0.000000      0.000000    -89.992513    369.606116   -247.441369		619
W= 89.76265, xmin= -0.00133, parasitic=0.7393, |e|=0.136364	      1.000000    -76.977874   -162.868969   -145.102308     34.706802    206.673592      0.000000    -75.167907    357.750263    364.257499   -279.596734    384.149386      0.000000      0.000000      0.000000    100.277411   -299.151648     20.472601		620
W= 89.76168, xmin= -0.00129, parasitic=0.7409, |e|=0.292185	      1.000000    281.386819   -155.909556    293.679943    186.382670    345.209087      0.000000   -233.679216    449.060031     88.077484   -141.219499   -390.893930      0.000000      0.000000      0.000000     31.677717   -232.786433    140.313409		621
W= 89.76643, xmin= -0.00131, parasitic=0.7378, |e|=0.247962	      1.000000   -376.993615    324.694964   -220.676608   -294.031529   -271.999098      0.000000     40.481860   -149.929577   -333.654824     -8.506687    -52.542138      0.000000      0.000000      0.000000     45.406597    112.625967    125.082699		622
W= 89.76041, xmin= -0.00131, parasitic=0.7467, |e|=0.285432	      1.000000    367.479075   -406.046333    280.515183   -385.281059   -397.647638      0.000000    -16.152041    -61.305511    375.761123   -227.015623    398.380647      0.000000      0.000000      0.000000     26.718551   -157.987731     82.926902		623
W= 89.76246, xmin= -0.00133, parasitic=0.7393, |e|=0.278188	      1.000000   -287.097504    341.605141     -5.101938    -47.586135   -256.364097      0.000000     20.013758    -62.502581    244.033440    167.140322    301.128261      0.000000      0.000000      0.000000    134.867321   -449.410110    144.100763		624
W= 89.75079, xmin= -0.00140, parasitic=0.7240, |e|=0.136364	      1.000000    -56.019871   -221.365391   -407.427659   -354.487463   -381.736844      0.000000    -13.570021    189.264596    307.882720    358.159523   -318.604706      0.000000      0.000000      0.000000   -101.972036    204.814761    106.349377		625
W= 89.75205, xmin= -0.00142, parasitic=0.7491, |e|=0.210550	      1.000000    379.508143     37.141555     10.948034    257.800091   -204.100726      0.000000    -32.996935   -269.484549   -121.042255    169.502756    179.965300      0.000000      0.000000      0.000000   -210.364389    302.213283   -124.955538		626
W= 89.75011, xmin= -0.00141, parasitic=0.7428, |e|=0.198871	      1.000000    254.842922    199.013041   -266.311224    178.686744   -272.272967      0.000000    -40.331191   -257.067973   -367.211892   -207.952451   -254.088440      0.000000      0.000000      0.000000   -118.803714    411.857143   -107.165280		627
W= 89.77532, xmin= -0.00127, parasitic=0.7447, |e|=0.136364	      1.000000    371.364033   -430.921460    408.779159     77.240623    436.575998      0.000000    261.709282   -371.967190    -65.158239    215.133571   -447.492471      0.000000      0.000000      0.000000     71.462319   -381.374397    137.478276		628
W= 89.77155, xmin= -0.00128, parasitic=0.7430, |e|=0.802657	      1.000000   -427.447436   -193.936364   -423.709294   -308.558391   -332.182200      0.000000    252.225256   -179.278320   -420.194453     53.251525   -178.532817      0.000000      0.000000      0.000000     63.352834     59.428827    237.218493		629
W= 89.75533, xmin= -0.00137, parasitic=0.7299, |e|=0.136364	      1.000000   -394.546255     11.635419   -332.238895   -189.214782   -398.739093      0.000000   -103.544903    228.691681     37.265471    148.881938    -28.415037      0.000000      0.000000      0.000000   -108.852561    442.669177    119.074824		630
W= 89.76982, xmin= -0.00130, parasitic=0.7457, |e|=0.243143	      1.000000   -176.159342     37.552521    431.955722    320.798413    215.837599      0.000000     18.071579     82.290149   -241.022430    -56.876199    230.049994      0.000000      0.000000      0.000000    180.296550   -440.944235    279.103253		631
W= 89.75299, xmin= -0.00139, parasitic=0.7466, |e|=0.169841	      1.000000   -333.817836    202.039876    420.723802      6.965972   -229.154383      0.000000   -126.845296    148.785761   -241.297332    205.936962   -206.812374      0.000000      0.000000      0.000000     44.450219   -200.623603    108.268000		632
W= 89.76206, xmin= -0.00134, parasitic=0.7466, |e|=0.136364	      1.000000    -94.458781   -329.282089   -404.194965   -112.729041    146.472473      0.000000    216.448669   -291.355935   -426.794726   -137.325956    -96.476700      0.000000      0.000000      0.000000    -23.721980    270.491848      7.855003		633
W= 89.76663, xmin= -0.00131, parasitic=0.7438, |e|=0.261602	      1.000000   -284.321923    381.701317    -19.672773    374.352804    -69.083473      0.000000      4.599477    -36.890439    -50.739769    142.774433    334.108667      0.000000      0.000000      0.000000   -205.385164    435.560882   -357.581915		634
W= 89.75289, xmin= -0.00139, parasitic=0.7262, |e|=0.212258	      1.000000   -427.944189    392.808247    175.585338   -160.675399   -160.991115      0.000000      1.105589    -18.468465   -149.896520    405.362123    428.794963      0.000000      0.000000      0.000000   -149.378792    427.026128   -263.836030		635
W= 89.76609, xmin= -0.00131, parasitic=0.7333, |e|=0.136364	      1.000000    192.465134    312.646680    210.859251    -41.269986    422.667332      0.000000   -350.511244    358.487155    296.467661    231.236345   -350.117121      0.000000      0.000000      0.000000     57.139173   -425.057844     17.174545		636
W= 89.78545, xmin= -0.00120, parasitic=0.7466, |e|=0.136364	      1.000000    172.415542    446.353660   -153.468215    324.003492    400.488220      0.000000   -343.182905    354.407915    277.847981    218.190232    289.763967      0.000000      0.000000      0.000000     57.259330   -342.085459    -29.311972		637
W= 89.76127, xmin= -0.00134, parasitic=0.7314, |e|=0.136364	      1.000000   -189.172624   -302.981073   -134.241882   -342.186598    -70.573538      0.000000    -26.406643    296.532728    160.111936    237.101832    -41.758242      0.000000      0.000000      0.000000   -105.459021    312.686606     -8.866065		638
W= 89.76579, xmin= -0.00132, parasitic=0.7497, |e|=0.220030	      1.000000   -295.389868     65.040017    432.679717   -204.448819     69.585404      0.000000     19.235587    158.923282   -132.716425   -155.001253     45.153578      0.000000      0.000000      0.000000    198.875823   -339.624977    153.374349		639
W= 89.75562, xmin= -0.00137, parasitic=0.7483, |e|=0.159213	      1.000000    445.667050   -425.620042   -278.580966   -247.375698    -65.005175      0.000000    112.735260   -444.681707    344.723381    295.862669    354.801288      0.000000      0.000000      0.000000   -173.690115    237.667537   -296.353157		640
W= 89.75964, xmin= -0.00133, parasitic=0.7351, |e|=0.136364	      1.000000    183.160092    245.580302   -160.097746     95.837041     93.684244      0.000000   -195.379988    171.434433   -158.054610    230.296742    -73.147286      0.000000      0.000000      0.000000   -103.360723    430.506497   -274.612025		641
W= 89.76404, xmin= -0.00133, parasitic=0.7345, |e|=0.143614	      1.000000   -239.873648     38.278768   -290.875579    270.345208    -22.261335      0.000000    -25.417509    186.271195     52.129267    229.859729   -121.614317      0.000000      0.000000      0.000000   -113.264534    274.189982    -97.269060		642
W= 89.75764, xmin= -0.00136, parasitic=0.7484, |e|=0.136364	      1.000000    -29.426450   -246.831559   -394.844405     73.859489    444.767862      0.000000    124.994642   -160.313319     -2.506460    369.053486   -238.038739      0.000000      0.000000      0.000000    -90.466197    124.056972    -44.386510		643
W= 89.76169, xmin= -0.00127, parasitic=0.7409, |e|=0.137590	      1.000000    166.257511   -128.647293   -205.037536   -155.207406    125.948519      0.000000     42.920665   -121.507017   -368.818792     64.385914    -63.625596      0.000000      0.000000      0.000000     11.530391    240.379874    -68.165475		644
W= 89.75895, xmin= -0.00135, parasitic=0.7313, |e|=0.136364	      1.000000    -93.527581   -267.944103     76.218077    204.768753    -20.996349      0.000000   -149.358720    429.812624    126.402339   -191.469946    138.538266      0.000000      0.000000      0.000000     38.946003   -224.931620    -64.563517		645
W= 89.77343, xmin= -0.00127, parasitic=0.7426, |e|=0.136364	      1.000000    218.941853    402.773089   -280.000361   -247.070140    -96.870533      0.000000   -196.457521     48.132737    101.650033   -175.171974    322.675066      0.000000      0.000000      0.000000     70.113875   -114.203068     28.495309		646
W= 89.78991, xmin= -0.00118, parasitic=0.7491, |e|=0.136364	      1.000000   -395.438772    -73.526213    193.505266    414.339155    139.064568      0.000000    -37.964340    368.288918   -286.908652    273.403315     55.833457      0.000000      0.000000      0.000000   -141.342185    398.673339   -161.704170		647
W= 89.76314, xmin= -0.00119, parasitic=0.7470, |e|=0.166983	      1.000000   -153.946273    273.526281    -97.057953   -415.988782   -113.834778      0.000000    -55.033240    106.758301     -8.705575     62.247801    411.882603      0.000000      0.000000      0.000000    163.791799   -446.441866    396.735172		648
W= 89.78398, xmin= -0.00122, parasitic=0.7463, |e|=0.623821	      1.000000   -339.392546   -352.670644    424.710021   -162.285567    366.396750      0.000000    141.690531    120.994842     59.290684   -425.030603    102.528718      0.000000      0.000000      0.000000    124.039848   -421.547479     20.331138		649
W= 89.76808, xmin= -0.00131, parasitic=0.7400, |e|=0.136364	      1.000000    226.342891    231.861585     41.710886    443.879486      4.653549      0.000000   -279.675438    302.020801     97.562797   -188.519352    376.307705      0.000000      0.000000      0.000000   -121.990440    387.616023   -315.996507		650
W= 89.75454, xmin= -0.00138, parasitic=0.7448, |e|=0.260985	      1.000000    202.466238   -131.536756    -18.657305     60.074839   -191.712419      0.000000    -17.317510    -38.484148    -73.557083    246.949094    -99.384100      0.000000      0.000000      0.000000   -170.682731    278.687789    -91.066312		651
W= 89.76332, xmin= -0.00133, parasitic=0.7346, |e|=0.159422	      1.000000    347.348051   -411.376080    -86.179119    -10.203355   -201.280893      0.000000     82.897595   -170.702930   -181.144731    360.750492   -284.134853      0.000000      0.000000      0.000000    -62.697244    214.327415    -35.297805		652
W= 89.75173, xmin= -0.00139, parasitic=0.7297, |e|=0.136364	      1.000000     70.660467     67.049621    170.279808   -118.579935    252.300522      0.000000     50.354423   -215.979328   -335.870279     53.893408   -171.065724      0.000000      0.000000      0.000000    -70.216276    316.929739   -128.527939		653
W= 89.77238, xmin= -0.00128, parasitic=0.7419, |e|=0.136364	      1.000000    -86.713729   -163.444520    348.208296    -46.372834   -337.400667      0.000000    215.103709   -359.985565   -391.144902   -304.263249     41.777417      0.000000      0.000000      0.000000     -9.214768    216.577760    -54.754739		654
W= 89.76290, xmin= -0.00133, parasitic=0.7326, |e|=0.136364	      1.000000    187.247929    363.650995     61.388806   -439.958528   -224.831886      0.000000   -365.112784    280.016207    449.859324   -350.956388   -108.594167      0.000000      0.000000      0.000000     12.202320   -187.625363    -76.555130		655
W= 89.77952, xmin= -0.00124, parasitic=0.7495, |e|=0.157452	      1.000000    269.526176   -371.726834    -11.984543    124.614129    303.689800      0.000000     86.977725   -215.881510    -52.153989   -334.910459   -234.927910      0.000000      0.000000      0.000000    177.397313   -378.748694    364.247133		656
W= 89.75823, xmin= -0.00136, parasitic=0.7344, |e|=1.055616	      1.000000    389.254957    -96.534735   -366.893480    184.222009   -101.366335      0.000000   -160.764138    176.404294    -28.835945   -325.867392   -389.611707      0.000000      0.000000      0.000000    199.447113   -430.387664    439.055091		657
W= 89.76341, xmin= -0.00133, parasitic=0.7381, |e|=0.883720	      1.000000    420.194166   -386.465510   -103.315767    426.483521   -258.777315      0.000000   -156.384475    330.763319    -64.175928    300.819115    -48.617244      0.000000      0.000000      0.000000   -138.015144    273.874369   -145.203910		658
W= 89.77365, xmin= -0.00118, parasitic=0.7477, |e|=0.144297	      1.000000   -327.415988   -266.667225    416.944479   -417.805861   -417.651878      0.000000     25.802576    336.767120   -135.614712   -205.441929    225.063146      0.000000      0.000000      0.000000    118.278583   -331.054847    230.649838		659
W= 89.76181, xmin= -0.00134, parasitic=0.7372, |e|=0.136364	      1.000000   -361.517345    423.911558   -415.195180    449.173345   -439.219547      0.000000   -318.120016    187.321018    215.389376   -104.897646    257.109752      0.000000      0.000000      0.000000   -113.311069    353.396789     76.860966		660
W= 89.76311, xmin= -0.00133, parasitic=0.7345, |e|=0.136364	      1.000000   -447.315810     34.409155    273.114335   -128.801591    -17.855743      0.000000   -192.616311    359.205556   -388.582350    296.788190    143.856424      0.000000      0.000000      0.000000    -41.579240    301.751644     22.705304		661
W= 89.75780, xmin= -0.00136, parasitic=0.7338, |e|=0.136364	      1.000000    380.078162   -351.441817    344.509293    -67.532926    331.857690      0.000000    126.307804   -332.402422    205.404241    -47.346431      1.838930      0.000000      0.000000      0.000000     51.153309   -197.849326    -77.735162		662
W= 89.76817, xmin= -0.00130, parasitic=0.7398, |e|=0.224561	      1.000000    443.656814    257.681769   -342.708286    282.163297    449.678407      0.000000    -85.776662   -287.140171     -3.101913    -20.565923   -435.881855      0.000000      0.000000      0.000000    161.473799   -429.160648    375.852961		663
W= 89.77720, xmin= -0.00125, parasitic=0.7412, |e|=0.203532	      1.000000    375.378090    138.820662    233.639127    133.623292   -127.420874      0.000000   -318.643191    377.941537    117.389631    288.452710   -192.676344      0.000000      0.000000      0.000000   -168.820555    345.249974   -171.179459		664
W= 89.75963, xmin= -0.00135, parasitic=0.7414, |e|=0.136364	      1.000000     -7.795391    378.275793   -141.631681    303.383332   -252.405942      0.000000   -152.726995    151.842782   -380.672945   -305.375714   -272.345766      0.000000      0.000000      0.000000    -62.639550    286.619177     74.674765		665
W= 89.76945, xmin= -0.00129, parasitic=0.7499, |e|=0.136364	      1.000000    447.890368   -312.729237    328.620996     18.696363    410.960454      0.000000     90.881147   -127.340184   -313.801236    424.627091    163.499305      0.000000      0.000000      0.000000    -38.180220    232.092777   -176.660159		666
W= 89.75613, xmin= -0.00137, parasitic=0.7484, |e|=0.136364	      1.000000   -223.328242    -70.458976   -392.046771    334.693210   -281.329151      0.000000    -41.998770    355.648520     41.417222   -140.500619    -39.542470      0.000000      0.000000      0.000000   -113.169868    182.191954     48.043322		667
W= 89.77453, xmin= -0.00123, parasitic=0.7495, |e|=0.183529	      1.000000     40.007316   -361.038244    384.925849    142.313143     17.889196      0.000000    173.905138   -291.738662    116.628710    431.646696    362.077664      0.000000      0.000000      0.000000    -32.426978   -123.357767   -126.782667		668
W= 89.77572, xmin= -0.00126, parasitic=0.7475, |e|=0.136364	      1.000000      9.396537    370.959766    227.848272   -118.524517   -397.860857      0.000000   -183.905482    232.987360      0.314176    341.286695   -400.282769      0.000000      0.000000      0.000000   -183.772193    366.359362   -195.309564		669
W= 89.77071, xmin= -0.00129, parasitic=0.7383, |e|=0.210357	      1.000000    327.246940    331.790841    239.857709   -373.898059   -277.534864      0.000000    -77.451684   -260.710887    256.452741     -5.928524     -4.388309      0.000000      0.000000      0.000000   -148.110794    350.173092   -278.038685		670
W= 89.77081, xmin= -0.00129, parasitic=0.7450, |e|=0.136364	      1.000000    180.380529    296.428171    189.240009    127.881699   -369.532851      0.000000   -368.282908    339.722312    159.010293   -321.877345   -102.253720      0.000000      0.000000      0.000000     70.191102   -404.338998     79.683670		671
W= 89.78538, xmin= -0.00121, parasitic=0.7488, |e|=0.136364	      1.000000   -292.519071    145.636467   -335.099056    185.709267    -17.120166      0.000000   -157.242682    245.575063    398.697089   -206.197937   -352.239893      0.000000      0.000000      0.000000   -158.772112    439.089965     10.683126		672
W= 89.75298, xmin= -0.00139, parasitic=0.7301, |e|=0.136364	      1.000000     78.790860    326.395950     98.524231   -313.419640   -276.105701      0.000000   -205.770802    218.441465   -299.426792    110.578577   -404.363696      0.000000      0.000000      0.000000   -101.408209    374.414837     -9.236796		673
W= 89.75076, xmin= -0.00140, parasitic=0.7463, |e|=0.686709	      1.000000   -302.880525    365.799489    448.487041    414.833218    -99.884489      0.000000     95.879412   -241.610632    422.789625    350.774279    -91.713615      0.000000      0.000000      0.000000     96.113394   -437.776147     52.621893		674
W= 89.75120, xmin= -0.00140, parasitic=0.7251, |e|=0.136364	      1.000000    407.141000   -286.360947   -191.297000    252.580628    -13.005171      0.000000    175.276035   -414.334716   -104.093036    250.478273   -316.185765      0.000000      0.000000      0.000000    123.087842   -400.111177    293.973883		675
W= 89.77766, xmin= -0.00125, parasitic=0.7448, |e|=0.223065	      1.000000   -309.303865    353.647759    224.083174    154.128177   -398.081832      0.000000     -7.580973      3.986282     92.050881   -425.301588   -149.398662      0.000000      0.000000      0.000000    102.648581   -290.967566    223.174741		676
W= 89.76993, xmin= -0.00129, parasitic=0.7368, |e|=0.136364	      1.000000   -422.504395    395.710836    -78.076030    -91.081760    418.066601      0.000000   -247.975057    329.253925    438.299904   -272.649694    366.829267      0.000000      0.000000      0.000000     61.510969   -350.836303   -173.002360		677
W= 89.78573, xmin= -0.00120, parasitic=0.7471, |e|=0.298723	      1.000000    410.444077   -351.481429    -98.574911   -372.020635   -359.476296      0.000000    -59.945397    112.003582    322.337174    190.704908    154.293157      0.000000      0.000000      0.000000   -189.941392    417.327943   -240.876065		678
W= 89.77192, xmin= -0.00128, parasitic=0.7477, |e|=0.950598	      1.000000    401.260921   -380.180191    433.305059   -433.503217     96.403887      0.000000   -151.589278    323.120869    331.632649    331.597251    302.178421      0.000000      0.000000      0.000000    -38.239791    -72.672288   -215.940623		679
W= 89.75431, xmin= -0.00137, parasitic=0.7333, |e|=0.136364	      1.000000     94.980743    271.986332     46.065381    132.339279   -431.321217      0.000000     44.007283   -386.433900    413.246080   -320.108912   -196.253872      0.000000      0.000000      0.000000   -200.316736    430.791419   -371.245634		680
W= 89.75764, xmin= -0.00136, parasitic=0.7324, |e|=0.244133	      1.000000   -286.103064    -11.607982   -278.467945   -274.310078    230.287446      0.000000     45.979864     95.584602   -356.303655    -95.217095   -358.583869      0.000000      0.000000      0.000000    221.274475   -358.971384    387.873237		681
W= 89.76675, xmin= -0.00131, parasitic=0.7367, |e|=0.244550	      1.000000   -344.734328    342.194764   -448.716008    434.241873    200.002787      0.000000   -115.079885    255.026919   -135.994230   -394.944952    443.550799      0.000000      0.000000      0.000000     40.585901     38.661050    -13.405428		682
W= 89.77445, xmin= -0.00127, parasitic=0.7470, |e|=0.136364	      1.000000    129.741428   -277.658512    221.442537    402.805620    227.306000      0.000000     94.030929   -143.294156   -223.647925    355.484505    246.142484      0.000000      0.000000      0.000000   -179.396212    348.159550   -252.180607		683
W= 89.76763, xmin= -0.00130, parasitic=0.7359, |e|=0.136364	      1.000000    341.015542   -364.165872    121.965839    288.367763    113.150549      0.000000    321.823302   -427.169389   -340.394378     65.945399     50.709418      0.000000      0.000000      0.000000     -7.455901    150.906691     12.723612		684
W= 89.75102, xmin= -0.00140, parasitic=0.7486, |e|=0.136364	      1.000000     73.026999    133.196485   -261.985409   -319.571932     22.071841      0.000000    294.529533   -399.086025      8.257081    -39.672221   -432.866154      0.000000      0.000000      0.000000    -60.627912    412.631693    188.776247		685
W= 89.76528, xmin= -0.00132, parasitic=0.7489, |e|=0.198057	      1.000000    316.207731   -442.742240    441.119244   -311.091940    421.158132      0.000000    320.138717    -91.095444     81.873766   -241.327315      8.607279      0.000000      0.000000      0.000000      0.864669    -51.937042   -190.335415		686
W= 89.75855, xmin= -0.00136, parasitic=0.7343, |e|=0.416675	      1.000000    104.927363   -364.942705    192.407378    202.480903    447.277344      0.000000     -6.134243    181.564318    346.521469    334.989484    214.618750      0.000000      0.000000      0.000000     21.517359   -310.760502    -61.039891		687
W= 89.76029, xmin= -0.00135, parasitic=0.7333, |e|=0.153851	      1.000000   -376.076875   -272.835981    137.795558   -119.678901   -449.572798      0.000000     49.808212    219.124753   -421.955490     39.354215     39.573348      0.000000      0.000000      0.000000    -25.535779    318.002383     76.344291		688
W= 89.76277, xmin= -0.00133, parasitic=0.7487, |e|=0.136364	      1.000000    160.475710   -279.435101    365.566531    173.348769   -104.330134      0.000000    198.687583     -4.800615   -354.488985     99.325818    224.603511      0.000000      0.000000      0.000000     87.535035   -284.086162    -82.778242		689
W= 89.77064, xmin= -0.00129, parasitic=0.7395, |e|=0.136364	      1.000000   -129.049302    240.921326   -190.716501    412.745041    235.280913      0.000000   -156.052513    309.259761     17.871562    177.911598   -351.910332      0.000000      0.000000      0.000000     85.994021   -335.212619    277.035061		690
W= 89.75628, xmin= -0.00137, parasitic=0.7288, |e|=0.148252	      1.000000    287.622206    295.987109    -27.008538   -332.983824   -268.541264      0.000000    -41.351200   -270.053204    173.483281    200.578193   -409.055391      0.000000      0.000000      0.000000   -104.047292    231.113428     -6.602276		691
W= 89.77024, xmin= -0.00129, parasitic=0.7412, |e|=0.136364	      1.000000    -54.844620    362.349991   -363.915752   -371.849331   -264.408296      0.000000   -244.378758    384.720759    409.960801   -179.074884   -264.397279      0.000000      0.000000      0.000000    151.463338   -431.997455    297.444864		692
W= 89.76701, xmin= -0.00131, parasitic=0.7480, |e|=0.136364	      1.000000   -256.711857    -97.937873   -186.490014    276.572314   -172.886715      0.000000    311.607107   -347.864897    -70.178136     -3.044939   -314.230056      0.000000      0.000000      0.000000    -57.533870    292.426375     92.279827		693
W= 89.75211, xmin= -0.00139, parasitic=0.7312, |e|=0.136364	      1.000000    202.212474   -424.074629    393.027872    391.479975   -418.703489      0.000000    167.703658    -37.059325    367.876001    -27.694598    257.107661      0.000000      0.000000      0.000000    -33.605941   -258.562827   -102.015303		694
W= 89.75164, xmin= -0.00137, parasitic=0.7350, |e|=0.196876	      1.000000   -195.409419    373.254293     91.270457   -219.624318   -421.716340      0.000000    -50.680140     77.743222   -251.412468   -316.871091   -394.082847      0.000000      0.000000      0.000000    -19.390408    242.882411     -3.276070		695
W= 89.76937, xmin= -0.00130, parasitic=0.7400, |e|=0.136364	      1.000000     96.423625   -410.355443    176.057127    -29.779841   -220.640010      0.000000    198.537966   -316.839254    412.727348      7.758455   -234.513008      0.000000      0.000000      0.000000     37.912191   -338.299341    233.507043		696
W= 89.76332, xmin= -0.00133, parasitic=0.7429, |e|=0.136364	      1.000000   -373.550704     -7.758518   -108.295875    341.425313     30.942897      0.000000    -89.070720    243.900120    324.668947    294.566404    217.045508      0.000000      0.000000      0.000000   -147.611017    306.834572   -130.763961		697
W= 89.75113, xmin= -0.00140, parasitic=0.7431, |e|=0.142071	      1.000000   -438.938087    165.825730    294.372090   -289.076956   -263.725258      0.000000    -17.536452    -94.291796    -40.091183     -6.257777   -142.604130      0.000000      0.000000      0.000000    -85.362853    383.933908    111.995474		698
W= 89.75763, xmin= -0.00136, parasitic=0.7299, |e|=0.136364	      1.000000    -75.050127   -258.291702    161.979666   -336.024409   -254.365452      0.000000    154.833016   -126.733557    427.073882    362.262597    239.173463      0.000000      0.000000      0.000000     26.908362   -321.073604    -27.948854		699
W= 89.76064, xmin= -0.00135, parasitic=0.7312, |e|=0.163446	      1.000000   -410.343984   -132.268631   -362.404314   -236.257265    124.642829      0.000000     28.672473    233.420338   -289.728074   -407.844445     36.283501      0.000000      0.000000      0.000000     -8.098038    382.116830    -31.167763		700
W= 89.75795, xmin= -0.00137, parasitic=0.7478, |e|=0.651902	      1.000000    217.949828    120.200771     54.881538   -133.535397   -134.431747      0.000000    -82.893922    -52.066762    286.959054   -332.945949    226.346878      0.000000      0.000000      0.000000     43.926931   -119.061248     91.644770		701
W= 89.77814, xmin= -0.00119, parasitic=0.7475, |e|=0.199054	      1.000000    423.634139    288.768681   -236.496183    419.485449   -129.078024      0.000000    -72.397746   -320.187437    409.864047     82.043767   -228.992453      0.000000      0.000000      0.000000   -199.747968    396.182403   -290.009517		702
W= 89.75952, xmin= -0.00135, parasitic=0.7321, |e|=0.136364	      1.000000   -264.760539    -20.394829    173.033443   -416.912455    212.207040      0.000000   -110.181053    440.639190    383.487819    336.485003   -321.807455      0.000000      0.000000      0.000000     28.830055   -302.948088     78.579751		703
W= 89.75791, xmin= -0.00136, parasitic=0.7467, |e|=0.136364	      1.000000    248.784220   -411.548948     -8.502816   -270.252074   -161.305571      0.000000    382.355230   -256.027093     64.224587      6.307740    201.471133      0.000000      0.000000      0.000000    -90.730376    405.351813    -40.936732		704
W= 89.76014, xmin= -0.00135, parasitic=0.7334, |e|=0.136364	      1.000000    287.892481   -444.694017     60.577023   -208.540969    -84.413254      0.000000    151.505379   -257.564142    267.977653   -325.706077    180.722845      0.000000      0.000000      0.000000    145.092680   -429.090180    153.483680		705
W= 89.75038, xmin= -0.00140, parasitic=0.7240, |e|=0.163022	      1.000000   -184.215603   -193.255938   -184.530025   -373.945705    156.426765      0.000000    148.842159    -68.630704    370.815041    328.524521    436.882596      0.000000      0.000000      0.000000     37.802093   -302.413860   -107.067191		706
W= 89.77926, xmin= -0.00124, parasitic=0.7436, |e|=0.136364	      1.000000    288.482055    194.750599   -150.149565    208.316810     61.584624      0.000000     15.620203   -344.252310    390.547213    -78.303960    370.312684      0.000000      0.000000      0.000000     40.868234   -259.423689    -55.133045		707
W= 89.75917, xmin= -0.00136, parasitic=0.7391, |e|=0.136364	      1.000000     24.160045   -427.256528     59.531070    309.067941     54.013391      0.000000    111.749855    -59.633328    301.126314   -207.790000    310.691567      0.000000      0.000000      0.000000    113.057100   -432.131238    295.201896		708
W= 89.75070, xmin= -0.00124, parasitic=0.7412, |e|=0.136364	      1.000000   -169.799505    174.631805   -230.205879     67.544698   -261.264431      0.000000    -84.970827    266.084122    -94.370674    239.221545    100.043159      0.000000      0.000000      0.000000   -110.216136    386.743356   -366.313575		709
W= 89.77581, xmin= -0.00126, parasitic=0.7411, |e|=0.136364	      1.000000    -54.608339     81.843867    -40.106716   -369.063390   -293.269978      0.000000   -168.026913    309.759751   -255.323356   -257.288848   -377.312343      0.000000      0.000000      0.000000    131.399211   -214.641656    280.246015		710
W= 89.75779, xmin= -0.00136, parasitic=0.7427, |e|=0.136364	      1.000000   -145.662163    244.832533    350.230680    204.077583   -175.696707      0.000000   -110.002604    263.444197   -135.953021   -155.056471   -308.246485      0.000000      0.000000      0.000000   -103.960082    248.685531   -110.003297		711
W= 89.78063, xmin= -0.00123, parasitic=0.7433, |e|=0.136364	      1.000000   -193.683556   -351.346150    445.960286   -175.044954    286.239599      0.000000    199.114791    -84.514456    229.803022    -52.818562    177.056371      0.000000      0.000000      0.000000     37.783338   -212.583342   -147.057095		712
W= 89.75574, xmin= -0.00137, parasitic=0.7330, |e|=0.491041	      1.000000    435.595183   -194.046800     90.352178   -311.186135   -152.537528      0.000000   -131.518174    137.571445    316.027017    119.346336   -434.261394      0.000000      0.000000      0.000000    119.391845   -427.963126    250.010478		713
W= 89.75199, xmin= -0.00139, parasitic=0.7342, |e|=0.136364	      1.000000     15.524436     92.239240    369.652538   -438.216718    148.282157      0.000000    -61.634377     81.793951    342.033154     58.440728   -375.043817      0.000000      0.000000      0.000000     91.405027   -300.535880     55.604749		714
W= 89.76172, xmin= -0.00134, parasitic=0.7459, |e|=0.165225	      1.000000   -406.682838    252.902169    -89.350028   -231.188830   -188.325068      0.000000    -67.949581    403.011784   -262.903929   -224.714555    320.670737      0.000000      0.000000      0.000000    -42.039921    285.642190   -190.927636		715
W= 89.76090, xmin= -0.00134, parasitic=0.7309, |e|=0.307586	      1.000000     81.069927   -243.732727   -216.214864    -23.031145    -46.047495      0.000000      0.880275    121.747922     83.982494    349.606314   -379.227677      0.000000      0.000000      0.000000   -150.545480    405.353813    -19.217653		716
W= 89.75208, xmin= -0.00139, parasitic=0.7476, |e|=0.136364	      1.000000    307.136509   -168.527676   -409.505544   -118.425004    398.603401      0.000000    245.698312   -182.760416   -290.021654   -338.066933   -171.903241      0.000000      0.000000      0.000000     27.632730    330.510755    115.526078		717
W= 89.78229, xmin= -0.00122, parasitic=0.7445, |e|=0.136364	      1.000000    262.864369   -182.558590   -188.618209    -76.937129   -144.317310      0.000000     92.866499   -199.486635    222.007067   -400.891470     84.742667      0.000000      0.000000      0.000000     85.922178   -286.663696    106.030948		718
W= 89.76166, xmin= -0.00134, parasitic=0.7456, |e|=0.136364	      1.000000   -441.893426   -334.922516   -198.277584   -411.192247    -12.620095      0.000000   -119.764536    340.254999   -170.646721   -145.948818   -295.808042      0.000000      0.000000      0.000000      7.087482    240.831982    161.761343		719
W= 89.77272, xmin= -0.00128, parasitic=0.7452, |e|=0.136364	      1.000000    294.964645    -52.749883    208.860268    334.426460      9.476475      0.000000    134.443486   -319.049221   -339.277436      3.447672    -79.740836      0.000000      0.000000      0.000000    136.669714   -427.096248    192.276208		720
W= 89.76359, xmin= -0.00133, parasitic=0.7315, |e|=0.136364	      1.000000   -292.873659   -429.076524    -37.350383    435.586330    -16.711864      0.000000    293.347727   -114.657734   -292.207393    293.640447      4.863721      0.000000      0.000000      0.000000   -107.208538    406.517010     39.468795		721
W= 89.75789, xmin= -0.00136, parasitic=0.7402, |e|=0.300534	      1.000000   -219.941498    329.282362    253.838798    214.199317    -53.398708      0.000000     12.089380    -62.341278    430.840161   -371.232594     20.141115      0.000000      0.000000      0.000000    -64.886839     25.936977   -131.731940		722
W= 89.75913, xmin= -0.00135, parasitic=0.7468, |e|=0.136364	      1.000000   -105.030999    -81.653045   -368.960630   -127.983411    145.531019      0.000000    198.792497   -409.439476    201.927853   -280.890195   -284.485989      0.000000      0.000000      0.000000    176.574792   -340.544271    365.672288		723
W= 89.76064, xmin= -0.00134, parasitic=0.7402, |e|=0.136364	      1.000000    377.972694    297.774587   -270.313773   -224.846683     81.250741      0.000000     88.576298   -380.194291   -393.610084   -221.406743   -147.701853      0.000000      0.000000      0.000000      7.740964    394.897146    140.734257		724
W= 89.76339, xmin= -0.00133, parasitic=0.7331, |e|=0.136364	      1.000000   -202.898434    262.019843    -84.463924   -182.314916    -45.198044      0.000000   -161.013106    299.810787    -64.045324    116.157766   -443.989636      0.000000      0.000000      0.000000    -72.765536    248.210406     26.939400		725
W= 89.76535, xmin= -0.00132, parasitic=0.7375, |e|=0.136364	      1.000000   -124.381865    -24.396905   -245.122903   -413.598698    259.262928      0.000000   -150.527605    258.816012    418.363403   -435.677062   -379.653377      0.000000      0.000000      0.000000     41.282079   -210.525741    -44.641224		726
W= 89.75805, xmin= -0.00136, parasitic=0.7309, |e|=0.136364	      1.000000   -250.248765   -125.468434   -179.497061    -93.118178    116.452410      0.000000    275.237556   -381.525142   -189.019262   -271.887895   -147.443915      0.000000      0.000000      0.000000    165.348559   -261.705737    204.899425		727
W= 89.75503, xmin= -0.00138, parasitic=0.7331, |e|=0.136364	      1.000000    -18.552285   -371.633257    -49.350721   -321.344906     80.417745      0.000000    194.419503   -226.725781   -184.146419    211.469678   -176.157557      0.000000      0.000000      0.000000   -110.970190    379.368411   -181.399745		728
W= 89.76197, xmin= -0.00134, parasitic=0.7359, |e|=0.136364	      1.000000    -74.043210    357.035668   -287.813409   -423.636769    214.209240      0.000000   -146.345281    160.110246   -328.715332   -312.730673   -428.549806      0.000000      0.000000      0.000000    293.041908   -445.424088    410.056575		729
W= 89.78339, xmin= -0.00122, parasitic=0.7475, |e|=0.388565	      1.000000   -419.400417    165.014638    139.788280   -116.480867   -128.501110      0.000000    108.240093    -84.667282   -128.571388    207.496607    350.339429      0.000000      0.000000      0.000000    161.639471   -421.623857    113.803153		730
W= 89.75083, xmin= -0.00140, parasitic=0.7410, |e|=0.136364	      1.000000   -107.022674    228.039818     23.363241   -216.661036     74.738288      0.000000    -97.109802    237.738815   -269.015399    306.918863   -229.955555      0.000000      0.000000      0.000000   -119.208159    342.282523   -272.349749		731
W= 89.75776, xmin= -0.00136, parasitic=0.7338, |e|=0.235627	      1.000000   -295.703272   -101.884623    391.224386    309.129764    266.377615      0.000000    -36.478643    369.129480    272.021818    401.502962   -367.789263      0.000000      0.000000      0.000000    -69.698609   -103.153147    -52.721154		732
W= 89.77296, xmin= -0.00128, parasitic=0.7438, |e|=0.136364	      1.000000      4.403067    338.390679    -92.045263    379.828638   -393.117279      0.000000   -280.507735    264.111869    388.174059   -419.618938    405.050681      0.000000      0.000000      0.000000     16.272981   -264.076406    -29.399954		733
W= 89.75064, xmin= -0.00140, parasitic=0.7386, |e|=0.136364	      1.000000    316.198987   -357.624935   -165.302862   -121.948725   -364.680975      0.000000    197.663438   -131.051538   -361.202561    238.138952     74.581443      0.000000      0.000000      0.000000    -37.050055    411.200758     82.193328		734
W= 89.78072, xmin= -0.00123, parasitic=0.7433, |e|=1.083868	      1.000000    260.404816     91.074309   -275.287007    211.477253   -282.713606      0.000000   -112.953802     31.870824     68.871740   -174.073359   -340.917592      0.000000      0.000000      0.000000    123.120411   -377.205210    324.532313		735
W= 89.77541, xmin= -0.00126, parasitic=0.7451, |e|=0.136364	      1.000000   -134.399176   -338.669271    197.554981   -102.420615   -414.858425      0.000000    260.160043   -303.671747     77.897109   -158.068400    268.822232      0.000000      0.000000      0.000000    134.175596   -332.545480     83.434115		736
W= 89.76872, xmin= -0.00130, parasitic=0.7403, |e|=0.136364	      1.000000   -225.538508    -20.349024   -284.901401    383.000400     71.459584      0.000000    -65.129838    374.837828    163.721778    152.979059    -97.490128      0.000000      0.000000      0.000000    -72.155649     83.904577    -77.520355		737
W= 89.78641, xmin= -0.00120, parasitic=0.7456, |e|=0.136364	      1.000000    309.305767   -349.849496    263.894986    267.326416   -374.420306      0.000000    179.151613   -281.004289   -196.105870    260.467966   -244.562841      0.000000      0.000000      0.000000     94.461708   -363.117175    219.774309		738
W= 89.78872, xmin= -0.00713, parasitic=0.7491, |e|=0.136364	      1.000000    262.879560   -444.930444    -22.030741   -297.850561    385.916389      0.000000    344.680432   -354.149372    102.627350   -384.261326   -211.105152      0.000000      0.000000      0.000000     60.434187   -131.093867    -34.977461		739
W= 89.76060, xmin= -0.00134, parasitic=0.7325, |e|=0.162835	      1.000000    -23.184337    373.567543    449.153656    379.843307   -364.104163      0.000000    -63.279566    -90.253972    272.372687    398.359379   -317.076365      0.000000      0.000000      0.000000   -271.121329    410.785296   -215.360438		740
W= 89.76181, xmin= -0.00124, parasitic=0.7432, |e|=0.136364	      1.000000     76.447316    270.802797    439.396471    130.633675   -243.449281      0.000000   -285.660252    437.001878   -138.636296     34.282402    -85.424772      0.000000      0.000000      0.000000    -62.896709    186.181358   -131.619229		741
W= 89.75797, xmin= -0.00136, parasitic=0.7379, |e|=0.148052	      1.000000   -261.308224    -74.451273   -338.351870    178.774811    322.781608      0.000000     -8.433355    279.365370   -437.734614    225.746285    -86.104411      0.000000      0.000000      0.000000    -96.361119    367.236233   -120.484103		742
W= 89.77554, xmin= -0.00126, parasitic=0.7478, |e|=0.136364	      1.000000   -140.524826   -249.050687    -53.880412     -6.177174    236.115443      0.000000    150.590520   -124.344422   -335.055100    319.051213   -273.112581      0.000000      0.000000      0.000000   -103.553536    346.136938   -212.847179		743
W= 89.77726, xmin= -0.00294, parasitic=0.7410, |e|=0.136364	      1.000000    -81.498716    -29.662463   -321.743169     -2.151788     21.326606      0.000000    -65.676818    208.248910   -258.887774    288.841161   -199.545372      0.000000      0.000000      0.000000      1.988597     77.773929    137.601598		744
W= 89.76187, xmin= -0.00134, parasitic=0.7348, |e|=0.136364	      1.000000   -164.057135   -339.732013     48.532961    391.151285   -261.508120      0.000000    343.366058   -362.951410    333.971790    -97.254154    -45.719448      0.000000      0.000000      0.000000      9.457418   -295.032568     88.475483		745
W= 89.75634, xmin= -0.00137, parasitic=0.7291, |e|=0.136364	      1.000000    211.999686     -0.135061     57.899352   -389.889558   -314.355697      0.000000    157.366929   -327.187072    389.108968   -225.397163    284.341686      0.000000      0.000000      0.000000   -151.202561    418.812464   -187.416731		746
W= 89.75144, xmin= -0.00139, parasitic=0.7337, |e|=0.136364	      1.000000    422.693323   -220.379625   -176.434478   -338.548749    117.154196      0.000000    112.018218    -49.901381     69.248014    226.142535   -425.343578      0.000000      0.000000      0.000000     88.558242   -388.782057     54.050930		747
W= 89.75374, xmin= -0.00138, parasitic=0.7435, |e|=0.136364	      1.000000   -241.974139   -438.532310   -315.066758   -254.183149   -154.938681      0.000000    341.312053   -412.513487     76.014540   -352.386904    195.603241      0.000000      0.000000      0.000000    -88.971134    273.621685    -89.536982		748
W= 89.77673, xmin= -0.00125, parasitic=0.7456, |e|=0.136364	      1.000000    287.902783   -220.602082   -211.422440    323.656555    139.916386      0.000000    273.505472   -350.841595   -227.244963    375.784322    154.747200      0.000000      0.000000      0.000000    -48.620532    258.911968     34.356095		749
W= 89.78533, xmin= -0.00121, parasitic=0.7464, |e|=0.136364	      1.000000    183.444819    172.514256    346.133421    132.368879     55.016972      0.000000     49.933403   -268.953397    239.749381    297.134603    -21.642987      0.000000      0.000000      0.000000     38.710858   -429.833604    -35.858832		750
W= 89.78517, xmin= -0.00121, parasitic=0.7456, |e|=0.136364	      1.000000   -256.411143    389.331895     42.264582   -398.219893    360.082044      0.000000   -228.027064    370.581762    436.338464   -410.632437   -124.748685      0.000000      0.000000      0.000000     33.928819   -158.763166    -58.599004		751
W= 89.76768, xmin= -0.00130, parasitic=0.7393, |e|=0.136364	      1.000000     17.355021     91.951803   -247.395072    167.368793    129.739225      0.000000   -126.386842    227.628539      5.391999    362.207379   -365.875819      0.000000      0.000000      0.000000    124.626664   -406.153993    297.251875		752
W= 89.76044, xmin= -0.00135, parasitic=0.7408, |e|=0.136364	      1.000000    -92.605729    243.466748    132.378135   -396.067535   -269.049843      0.000000   -138.557346     74.413064    -49.383324     51.563649    212.478051      0.000000      0.000000      0.000000     47.795007   -157.142241    -14.535724		753
W= 89.75945, xmin= -0.00135, parasitic=0.7324, |e|=0.332829	      1.000000   -344.946671     55.548226     12.364997   -133.258907    -44.980551      0.000000     85.897273    -34.058444   -246.951652      3.461500    -92.132698      0.000000      0.000000      0.000000    -65.957842    388.676231    -91.145792		754
W= 89.77558, xmin= -0.00607, parasitic=0.7403, |e|=0.136364	      1.000000   -294.177684    197.620152   -314.927058     23.012805    376.466134      0.000000   -289.097653    435.947321   -397.983655    342.894347   -221.318676      0.000000      0.000000      0.000000    -42.662885    376.080277    123.067771		755
W= 89.79095, xmin= -0.00118, parasitic=0.7491, |e|=0.136364	      1.000000   -146.841052   -325.686986   -356.203622    426.921467   -213.895552      0.000000    131.988454     18.681239    250.170797    429.562434   -381.273197      0.000000      0.000000      0.000000   -178.988896    343.256573    -49.703397		756
W= 89.77411, xmin= -0.00127, parasitic=0.7404, |e|=0.252057	      1.000000   -444.097251    278.884554   -288.675967    -76.552846   -168.267831      0.000000     48.330172    -25.668842    324.993504    160.627050    119.840234      0.000000      0.000000      0.000000    -67.579317     76.886062    -81.414440		757
W= 89.76626, xmin= -0.00131, parasitic=0.7450, |e|=0.136364	      1.000000   -224.265733   -350.510916    212.655188    255.252797     58.060588      0.000000    262.212964    -94.206819     11.045825     95.949358   -359.736224      0.000000      0.000000      0.000000   -130.706117    430.430544     31.991550		758
W= 89.76943, xmin= -0.00130, parasitic=0.7453, |e|=0.136364	      1.000000    182.848488     41.386996    334.230796    213.625548   -193.377527      0.000000   -262.048084    362.661095   -148.039948     55.037294    -50.334056      0.000000      0.000000      0.000000     57.308138   -272.099564    103.490579		759
W= 89.75500, xmin= -0.00138, parasitic=0.7458, |e|=0.136364	      1.000000     58.297092    444.835996    367.309840    378.186224   -418.245777      0.000000   -243.550317    -17.267267   -148.776660     37.651276    191.593856      0.000000      0.000000      0.000000     45.484706   -280.686990    -24.319918		760
W= 89.76138, xmin= -0.00134, parasitic=0.7481, |e|=0.228468	      1.000000    285.497710   -283.818858   -328.655580   -288.739139    356.046260      0.000000      7.573915    -88.876021    260.628328    -26.478246   -341.371945      0.000000      0.000000      0.000000   -131.520852    280.349021   -170.466516		761
W= 89.75614, xmin= -0.00137, parasitic=0.7273, |e|=0.205322	      1.000000   -439.727513   -149.610536     67.169633   -283.630777    396.090485      0.000000    373.184936   -448.421535   -197.927866   -318.313716   -252.676731      0.000000      0.000000      0.000000    225.963655   -423.386869    169.394210		762
W= 89.77826, xmin= -0.00122, parasitic=0.7472, |e|=0.209674	      1.000000     43.458708   -387.813564    292.875600   -280.238746    172.953621      0.000000     50.677891     88.779432    -11.729383   -351.280801    442.255893      0.000000      0.000000      0.000000    134.376960   -301.823111    132.451472		763
W= 89.75694, xmin= -0.00137, parasitic=0.7485, |e|=0.148969	      1.000000    383.605861   -277.583029    399.459687    -61.813416    -76.947948      0.000000     91.632496   -387.009071    170.622234   -403.042550    218.460721      0.000000      0.000000      0.000000    264.283389   -413.613173     -2.141385		764
W= 89.76508, xmin= -0.00132, parasitic=0.7372, |e|=0.190757	      1.000000   -258.281669     33.473531    197.550393    446.240951   -355.214627      0.000000      8.467066    147.922026   -393.272931   -211.492719    202.771785      0.000000      0.000000      0.000000     20.599456     65.597086     18.292715		765
W= 89.76783, xmin= -0.00130, parasitic=0.7388, |e|=0.136364	      1.000000   -248.133010    317.493378    238.702848    276.405699    -65.112228      0.000000    -87.093669      5.264791    188.914359   -244.335718   -132.749758      0.000000      0.000000      0.000000   -135.226846    361.978746    -81.764968		766
W= 89.78811, xmin= -0.00119, parasitic=0.7492, |e|=0.136364	      1.000000    236.288449    443.715491    -70.813390   -382.646706   -167.234934      0.000000   -441.770522    441.156364   -181.952311   -250.001157    174.177936      0.000000      0.000000      0.000000    154.822182   -334.174225    148.114503		767
W= 89.77594, xmin= -0.00126, parasitic=0.7431, |e|=0.157497	      1.000000   -290.381011   -134.426916   -269.646305    266.823723   -117.497505      0.000000    276.429128   -369.618177     65.982568   -399.800563    393.070944      0.000000      0.000000      0.000000    107.044812   -238.493517    114.253527		768
W= 89.76768, xmin= -0.00130, parasitic=0.7365, |e|=0.136364	      1.000000    296.325414    239.823122    193.512459    231.374730   -272.598446      0.000000   -285.733928    299.556682   -185.018972     17.334224   -445.937927      0.000000      0.000000      0.000000    112.561145   -321.370801    299.479451		769
W= 89.76340, xmin= -0.00133, parasitic=0.7365, |e|=0.514930	      1.000000    406.742171   -298.297527    308.325966    231.294966    409.186977      0.000000   -120.223889    200.841204    -78.332963   -244.757406     89.059604      0.000000      0.000000      0.000000     81.040665   -183.341230      0.387363		770
W= 89.75156, xmin= -0.00140, parasitic=0.7357, |e|=0.689123	      1.000000   -311.329440    313.141613    385.900666    -27.331318    449.512436      0.000000    109.399440   -280.504057   -428.826271   -157.946948    274.659767      0.000000      0.000000      0.000000    162.050313   -399.161773     55.561693		771
W= 89.77674, xmin= -0.00125, parasitic=0.7491, |e|=0.136364	      1.000000   -330.131116    263.584309     19.736767     21.951823   -186.188501      0.000000   -298.813243    251.811408   -155.402070     -1.439201     52.966519      0.000000      0.000000      0.000000    -32.741326    231.362690     68.672508		772
W= 89.75649, xmin= -0.00137, parasitic=0.7486, |e|=0.585896	      1.000000   -295.678761    113.138743     98.082600   -379.146839    -89.817087      0.000000    106.146111   -160.335658    349.949819    445.953514   -299.917154      0.000000      0.000000      0.000000     -0.217678   -357.068888     64.123177		773
W= 89.78910, xmin= -0.00119, parasitic=0.7481, |e|=0.136364	      1.000000   -193.237807   -427.415805    186.963834    -58.081942    341.379183      0.000000     -8.212768    416.540388    -85.431571    -11.318645   -242.199303      0.000000      0.000000      0.000000   -119.438024    429.025213   -216.581805		774
W= 89.75390, xmin= -0.00138, parasitic=0.7305, |e|=0.316256	      1.000000    -37.301194    282.795915   -252.418980    304.480492    411.099824      0.000000    -16.359672   -123.435132   -273.595536    -29.082206     29.290195      0.000000      0.000000      0.000000    209.655130   -447.544924    293.856583		775
W= 89.75747, xmin= -0.00136, parasitic=0.7380, |e|=0.238615	      1.000000   -287.580061    -87.751151   -446.730045    136.286854   -137.109082      0.000000    312.166042   -303.165529    305.448055   -383.681423    188.941637      0.000000      0.000000      0.000000    -55.324158    195.192236    -21.359857		776
W= 89.75337, xmin= -0.00138, parasitic=0.7257, |e|=0.136364	      1.000000    171.328351    368.594836   -266.008988    104.839832    -44.613387      0.000000   -298.784755    213.373771    345.083135    323.684524    -36.947555      0.000000      0.000000      0.000000   -134.043540    227.392386    -43.373040		777
W= 89.75913, xmin= -0.00135, parasitic=0.7344, |e|=0.202321	      1.000000   -249.043764     49.050895     42.785568   -356.636929     55.764513      0.000000    234.667621   -419.230361    444.920099     88.259160     43.648240      0.000000      0.000000      0.000000     68.974137   -299.770207    -12.424571		778
W= 89.77303, xmin= -0.00128, parasitic=0.7474, |e|=0.796886	      1.000000   -244.517345    416.042172    -32.380687   -280.454562   -125.604399      0.000000     80.415900   -291.364893   -170.811054    -29.484296     63.218969      0.000000      0.000000      0.000000    -28.634377    177.089105    -56.069835		779
W= 89.77320, xmin= -0.00128, parasitic=0.7480, |e|=0.136364	      1.000000   -258.737405   -259.912509    353.899078   -264.541155    -11.806221      0.000000    291.756590   -404.411222    175.722783    -93.344643    -66.425474      0.000000      0.000000      0.000000    120.279560   -355.166889    231.681436		780
W= 89.77702, xmin= -0.00125, parasitic=0.7416, |e|=0.136364	      1.000000    325.564968   -276.104645    377.921059    381.539092    101.353610      0.000000    168.168109   -293.131762   -446.069616   -416.273886   -314.465928      0.000000      0.000000      0.000000    191.310467   -449.918545    251.663913		781
W= 89.75143, xmin= -0.00139, parasitic=0.7254, |e|=0.136364	      1.000000    -35.055826     39.580668    262.130576    346.075515    167.216379      0.000000    174.586778   -389.459070    314.252506     73.869635   -346.690787      0.000000      0.000000      0.000000     44.805859   -352.741705     70.350763		782
W= 89.77239, xmin= -0.00128, parasitic=0.7437, |e|=0.262684	      1.000000    -93.924244    264.582336   -280.365078   -374.859092   -342.088399      0.000000    -12.727640    -72.584133    115.428587    436.549114    176.457499      0.000000      0.000000      0.000000    -94.883785    177.993941   -108.188922		783
W= 89.75262, xmin= -0.00139, parasitic=0.7290, |e|=0.136364	      1.000000    418.519469     73.213411    128.461541    189.160164    275.627244      0.000000    122.928001   -441.233969     -0.392914   -360.802006   -273.337618      0.000000      0.000000      0.000000     84.087341   -273.750877     85.630547		784
W= 89.76404, xmin= -0.00133, parasitic=0.7455, |e|=0.136364	      1.000000    172.490309   -201.607982   -237.190485    281.115823    266.760313      0.000000    157.711408   -191.745003    218.319190   -123.915163   -269.996469      0.000000      0.000000      0.000000     57.932180   -354.539474    126.374407		785
W= 89.75184, xmin= -0.00139, parasitic=0.7284, |e|=0.154354	      1.000000   -175.568598    124.121470     23.271263   -379.906417     51.992899      0.000000    -29.445634    103.639173   -322.039535   -340.291935   -363.157853      0.000000      0.000000      0.000000    191.391560   -249.991801    279.928983		786
W= 89.76371, xmin= -0.00133, parasitic=0.7422, |e|=0.145185	      1.000000    140.144710    -27.876125   -316.134270   -139.699515     66.254727      0.000000   -160.277048    325.720263    308.764701    208.918865    -95.119653      0.000000      0.000000      0.000000   -202.754829    383.543623   -274.400390		787
W= 89.75325, xmin= -0.00138, parasitic=0.7246, |e|=0.136364	      1.000000    122.530921   -139.505682    258.057262    240.736671     72.855261      0.000000     77.476362    -99.194011   -424.350241   -136.319036    428.250505      0.000000      0.000000      0.000000    -14.928437    242.072594   -106.683727		788
W= 89.76823, xmin= -0.00131, parasitic=0.7377, |e|=0.136364	      1.000000     98.509771    176.682542   -274.033475   -193.959436     19.599611      0.000000     53.057238   -292.043366    -84.871635    -94.071083     23.712742      0.000000      0.000000      0.000000     81.338855   -136.770806    142.016384		789
W= 89.78236, xmin= -0.00122, parasitic=0.7434, |e|=0.136364	      1.000000     41.937837    406.090292    307.651766    411.148206    273.550944      0.000000   -295.655234    288.802940      1.239738    126.263182   -377.607730      0.000000      0.000000      0.000000     53.219570   -313.045824     95.824696		790
W= 89.77353, xmin= -0.00127, parasitic=0.7377, |e|=0.136364	      1.000000    -90.294576    116.695245   -411.145390   -298.410986    -54.206991      0.000000    131.142415   -291.509584      6.976346     47.914727     10.940155      0.000000      0.000000      0.000000    -87.568982    373.894630    -33.179315		791
W= 89.75592, xmin= -0.00137, parasitic=0.7283, |e|=0.621705	      1.000000    383.869780    -74.842999    397.258501    336.338755   -364.479046      0.000000   -138.295557    123.623199   -413.448730   -243.433835   -263.659410      0.000000      0.000000      0.000000    179.888302   -382.045932    291.557236		792
W= 89.76530, xmin= -0.00132, parasitic=0.7452, |e|=0.282703	      1.000000    203.505172   -356.122728    359.438306    303.568933    356.945661      0.000000      3.828350     29.205742     21.845372    139.725538     37.749311      0.000000      0.000000      0.000000     88.467064   -338.103014    182.264910		793
W= 89.76154, xmin= -0.00134, parasitic=0.7490, |e|=1.090698	      1.000000   -201.864444    279.982024   -296.645802    148.437602   -161.962659      0.000000    124.824675   -351.368210   -192.649441     78.570871    250.683259      0.000000      0.000000      0.000000   -185.032592    367.043035    -86.018351		794
W= 89.75364, xmin= -0.00139, parasitic=0.7337, |e|=0.136364	      1.000000   -205.006965   -431.818599    370.656448    317.552135    180.846414      0.000000    289.331022   -160.906958    -72.473682   -296.508417    116.320750      0.000000      0.000000      0.000000     68.521391   -273.869311     15.855889		795
W= 89.76412, xmin= -0.00133, parasitic=0.7342, |e|=0.136364	      1.000000     -6.337569     53.111586    284.313668    283.019688    193.933366      0.000000    160.235551   -349.506991    418.774093   -435.728738   -312.460509      0.000000      0.000000      0.000000    -55.661393    -32.628808    -66.609963		796
W= 89.76737, xmin= -0.00131, parasitic=0.7421, |e|=0.174464	      1.000000    -16.621553    390.464557    349.759234    303.160264   -261.878855      0.000000     79.896733   -444.521339    438.348964    320.914184    -75.664607      0.000000      0.000000      0.000000   -157.715005     59.209210   -157.019972		797
W= 89.77078, xmin= -0.00129, parasitic=0.7449, |e|=0.240904	      1.000000    438.607847    -24.086094   -284.905793   -236.665294    388.021455      0.000000    -58.086174   -181.117026     66.563146    110.808464    212.539006      0.000000      0.000000      0.000000   -123.783189    341.541444   -296.947806		798
W= 89.75948, xmin= -0.00135, parasitic=0.7366, |e|=0.136364	      1.000000     83.835564    189.859323     -1.099862    278.055741   -347.930736      0.000000     88.985567   -417.347578    380.164221    285.319655    118.213352      0.000000      0.000000      0.000000   -227.837454    326.620596   -307.597122		799
W= 89.77605, xmin= -0.00126, parasitic=0.7394, |e|=0.183238	      1.000000    234.696650   -121.485638   -321.735778   -149.738950    -34.603640      0.000000   -235.898203    435.342312   -228.813807    197.259406    358.033865      0.000000      0.000000      0.000000    -33.327388    253.572395    -51.181353		800
W= 89.76339, xmin= -0.00133, parasitic=0.7382, |e|=0.136364	      1.000000    257.282889     11.001071   -220.628192    419.419168   -272.413724      0.000000     78.873281   -409.079014     26.052026   -358.557134    149.248307      0.000000      0.000000      0.000000    -98.855841    298.217564   -151.211554		801
W= 89.77172, xmin= -0.00126, parasitic=0.7435, |e|=0.136364	      1.000000     75.592068    320.484138   -395.941432   -380.995001    239.123932      0.000000   -285.754416    349.705368    248.463748    420.054638   -400.314015      0.000000      0.000000      0.000000     45.331405   -283.067492    211.583595		802
W= 89.78097, xmin= -0.00123, parasitic=0.7449, |e|=0.206917	      1.000000     64.693446   -269.513434     15.647324    275.694968   -330.437411      0.000000    -94.247830    354.451765    100.868385    225.239878   -420.192223      0.000000      0.000000      0.000000     87.157097   -411.288791    314.703322		803
W= 89.75984, xmin= -0.00135, parasitic=0.7497, |e|=0.136364	      1.000000   -107.473393    123.589846   -116.725214    125.574486    -55.275300      0.000000   -106.468557    340.393477     41.921439    442.821438     67.259222      0.000000      0.000000      0.000000   -126.022822    156.367327   -210.472915		804
W= 89.75436, xmin= -0.00126, parasitic=0.7413, |e|=0.136364	      1.000000     -3.667279   -426.186755    -63.672968     95.856509    -92.508369      0.000000    289.556087   -397.414019    291.977260   -329.272314   -437.188756      0.000000      0.000000      0.000000     52.221358   -319.105865    342.618932		805
W= 89.75959, xmin= -0.00135, parasitic=0.7368, |e|=0.136364	      1.000000     28.184344   -246.776540   -105.564047   -106.376340   -332.878214      0.000000    110.277531   -124.951028   -306.068511    101.359433    388.235152      0.000000      0.000000      0.000000    161.549993   -277.147891    173.874364		806
W= 89.75515, xmin= -0.00137, parasitic=0.7494, |e|=0.136364	      1.000000    285.485283   -319.104550    293.436939   -171.807401   -369.521815      0.000000    146.420995   -439.513479   -302.705831    269.737580    386.308371      0.000000      0.000000      0.000000   -213.677254    391.839412   -225.040376		807
W= 89.75298, xmin= -0.00139, parasitic=0.7344, |e|=0.136364	      1.000000    223.364725    253.108627    -27.644801   -107.275617    -79.073090      0.000000    171.402472   -401.557918   -115.139274    324.066665    190.464959      0.000000      0.000000      0.000000    -97.848887    445.638210     79.455356		808
W= 89.76534, xmin= -0.00132, parasitic=0.7451, |e|=0.136364	      1.000000   -296.138278   -385.397069    -78.830344   -144.319418     17.950505      0.000000    329.665865   -380.589476    437.622020    -54.189904    -63.162323      0.000000      0.000000      0.000000    118.679671   -398.497805    221.892751		809
W= 89.76599, xmin= -0.00132, parasitic=0.7445, |e|=0.166255	      1.000000    397.618215   -119.217152    -86.141935   -184.323318    319.143194      0.000000     32.245207   -331.847581    169.582009   -305.677069   -388.712435      0.000000      0.000000      0.000000    154.127552   -316.895781    260.572989		810
W= 89.77864, xmin= -0.00124, parasitic=0.7424, |e|=0.407400	      1.000000    419.199372   -265.169798    -99.733195   -329.716418   -185.204626      0.000000   -107.794765    160.967572   -203.040561    269.230867   -108.547015      0.000000      0.000000      0.000000    -96.906475    370.783171    -57.618301		811
W= 89.75159, xmin= -0.00140, parasitic=0.7267, |e|=0.136364	      1.000000    290.754123   -268.030915    417.539949    -75.281865   -168.921915      0.000000    193.385931   -439.938020   -185.587380     53.237528    374.622058      0.000000      0.000000      0.000000    145.447865   -384.696426     75.754115		812
W= 89.76759, xmin= -0.00130, parasitic=0.7414, |e|=0.136364	      1.000000   -156.519609    228.771820   -246.578526   -204.233451     92.767612      0.000000    -99.298290    202.297956   -199.848913     67.530792   -373.908778      0.000000      0.000000      0.000000    -43.988965    206.802214     75.318391		813
W= 89.76149, xmin= -0.00134, parasitic=0.7434, |e|=0.261701	      1.000000    261.956695   -391.799949   -372.065390     50.806303   -167.618795      0.000000     -0.785940     57.251525    300.196099      9.245955     60.576697      0.000000      0.000000      0.000000   -242.687209    425.736288   -186.969020		814
W= 89.77905, xmin= -0.00124, parasitic=0.7427, |e|=0.136364	      1.000000   -228.325724   -249.878769    427.240606   -301.979868    433.098444      0.000000    301.284265   -359.093026     45.614790   -303.103850   -420.238912      0.000000      0.000000      0.000000     55.885549   -169.272077     72.853036		815
W= 89.77391, xmin= -0.00127, parasitic=0.7399, |e|=0.136364	      1.000000    -49.456031   -360.973193   -144.015128    227.525878   -220.405120      0.000000    266.277522   -331.827344    246.824230    420.975849   -131.197910      0.000000      0.000000      0.000000   -145.627148    215.111157   -111.421849		816
W= 89.76023, xmin= -0.00395, parasitic=0.7304, |e|=0.136364	      1.000000   -322.721817    445.550037    391.633995    118.565094    348.518991      0.000000   -163.486170    245.860232    371.784665   -111.580043    330.679380      0.000000      0.000000      0.000000     79.818193   -387.154286   -163.328940		817
W= 89.75696, xmin= -0.00137, parasitic=0.7449, |e|=0.136364	      1.000000    -48.878332    -18.384609     45.294040   -232.389727   -409.974876      0.000000    164.442449   -400.853324    -28.749032    330.171149    306.202761      0.000000      0.000000      0.000000   -153.178427    285.814302   -250.001715		818
W= 89.75294, xmin= -0.00139, parasitic=0.7267, |e|=0.136364	      1.000000    -27.404344    379.594498   -157.635501    377.611251    167.690564      0.000000   -297.026812    419.564886    210.633977    255.350770   -361.371984      0.000000      0.000000      0.000000   -186.712113    336.166980    -93.636008		819
W= 89.75836, xmin= -0.00136, parasitic=0.7438, |e|=0.136364	      1.000000   -236.154741    304.375579    -68.015443    138.812315    110.836907      0.000000   -138.513194    432.780527    323.549771      6.634596   -191.615555      0.000000      0.000000      0.000000   -157.446732    251.670135   -289.357076		820
W= 89.75066, xmin= -0.00140, parasitic=0.7370, |e|=0.366413	      1.000000   -437.359112     73.367562    437.398007   -283.668993    423.379892      0.000000    109.206961     14.497052   -363.838888   -259.230239    -97.311137      0.000000      0.000000      0.000000    168.274446   -148.238488     30.179466		821
W= 89.77248, xmin= -0.00128, parasitic=0.7491, |e|=0.136364	      1.000000    206.482845     -0.033721    -34.865483   -391.108350    -17.567455      0.000000     30.813590   -239.589134    143.503906   -352.950549   -391.527088      0.000000      0.000000      0.000000   -126.152008    361.043894    -99.929644		822
W= 89.76434, xmin= -0.00132, parasitic=0.7379, |e|=0.645493	      1.000000   -299.413858    327.320843   -276.227399    435.065830     47.238450      0.000000     95.961071   -236.479788   -380.928297    256.292660    280.584549      0.000000      0.000000      0.000000    -58.470658    221.703566    -73.937645		823
W= 89.78279, xmin= -0.00122, parasitic=0.7479, |e|=0.175265	      1.000000   -317.365258   -140.150810      4.199666    406.720207    394.203920      0.000000    288.578516   -375.600692     92.485567     37.840538   -241.130904      0.000000      0.000000      0.000000   -185.093814    398.321100   -225.805489		824
W= 89.75984, xmin= -0.00136, parasitic=0.7326, |e|=0.717228	      1.000000   -401.665806    143.334719    -79.369597   -290.232770    -29.673719      0.000000    254.233542   -428.074699   -301.870724   -110.481411   -185.688658      0.000000      0.000000      0.000000     -7.816072    265.543233    -61.801193		825
W= 89.77828, xmin= -0.00124, parasitic=0.7411, |e|=0.493324	      1.000000   -442.826932    -65.146964    108.759418    132.047977    227.724836      0.000000    156.167155    -61.072913    181.581799    -40.098559   -237.299167      0.000000      0.000000      0.000000     56.693180   -321.654455     27.111407		826
W= 89.75577, xmin= -0.00137, parasitic=0.7406, |e|=0.284537	      1.000000    443.269865    192.144046    -39.763139   -344.258687    382.401506      0.000000   -126.908906    -29.460816    254.183811   -380.141988   -100.289931      0.000000      0.000000      0.000000     37.492965   -178.296834   -120.736714		827
W= 89.76674, xmin= -0.00131, parasitic=0.7365, |e|=0.143763	      1.000000   -287.399530    439.540221    270.223725    415.076405     75.587116      0.000000   -106.386162    138.200227     82.987808    163.870955    140.871998      0.000000      0.000000      0.000000   -200.531007    402.904852   -315.074463		828
W= 89.75859, xmin= -0.00136, parasitic=0.7432, |e|=0.136364	      1.000000   -384.989668    414.869098    -28.295453   -265.107465   -148.319807      0.000000   -281.335806    295.128872   -428.798594    119.597492    -28.988406      0.000000      0.000000      0.000000    -12.798711    378.542945     24.553430		829
W= 89.77883, xmin= -0.00124, parasitic=0.7434, |e|=0.136364	      1.000000    324.732138     16.469402    -73.824030   -350.112028   -378.050665      0.000000    181.318028   -394.596460    -73.150510   -209.826133    341.768102      0.000000      0.000000      0.000000    139.906322   -372.161087      1.731285		830
W= 89.78195, xmin= -0.00123, parasitic=0.7440, |e|=0.136364	      1.000000    -49.560696   -128.557182   -245.717863   -163.328964    -60.085084      0.000000    199.478898   -315.230427     54.025184   -200.963216   -145.696781      0.000000      0.000000      0.000000    117.296824   -307.939138    227.740958		831
W= 89.76900, xmin= -0.00130, parasitic=0.7391, |e|=0.574343	      1.000000   -400.696753   -111.037552    320.681999    -70.957785   -195.000762      0.000000    254.104851   -257.685285   -392.501057    162.797903     40.220352      0.000000      0.000000      0.000000    189.403783   -445.509623    324.172402		832
W= 89.75071, xmin= -0.00140, parasitic=0.7418, |e|=0.136364	      1.000000   -128.657878    277.162024   -392.175252    397.304704   -272.628336      0.000000   -324.691057    203.657913   -104.915353   -336.016762    273.138445      0.000000      0.000000      0.000000    -53.572108    440.581625    104.917984		833
W= 89.77502, xmin= -0.00127, parasitic=0.7401, |e|=0.453999	      1.000000   -343.581276    308.963864   -328.803288   -206.729976    -42.000925      0.000000     92.036030   -204.962687    -39.399438    150.073688    -99.329533      0.000000      0.000000      0.000000    -82.483063    332.824231    -70.842156		834
W= 89.76605, xmin= -0.00122, parasitic=0.7438, |e|=0.433066	      1.000000   -384.951161    367.825335   -372.397758    -75.707503    147.070970      0.000000     90.455330   -173.530690    -14.962162    -75.433153     79.873322      0.000000      0.000000      0.000000    168.277365   -444.425281    423.888544		835
W= 89.76576, xmin= -0.00132, parasitic=0.7464, |e|=0.136364	      1.000000   -219.751876    273.664520    289.611298    -40.146721   -280.565645      0.000000   -244.687158    167.709927    439.166933   -218.557117    446.180027      0.000000      0.000000      0.000000      5.406027   -360.248966   -234.717659		836
W= 89.76349, xmin= -0.00133, parasitic=0.7403, |e|=0.136364	      1.000000   -362.029061    394.869189   -326.439613    340.141648    442.097332      0.000000   -300.884135    367.833240     30.899321    393.148383    -88.167519      0.000000      0.000000      0.000000     77.732495   -386.768732    104.627404		837
W= 89.77608, xmin= -0.00126, parasitic=0.7423, |e|=0.393270	      1.000000    238.527904   -379.177479   -157.317412   -316.016309     44.414065      0.000000    -40.175108    176.931966    242.694841   -446.624570   -405.684738      0.000000      0.000000      0.000000    144.427624   -388.890117    382.761595		838
W= 89.76337, xmin= -0.00133, parasitic=0.7379, |e|=0.136364	      1.000000    236.290544   -348.589717   -182.947681    376.996507   -239.341694      0.000000    204.460969    -95.050401   -267.847059    -94.700801   -275.878339      0.000000      0.000000      0.000000    -53.301321    379.553148    214.824805		839
W= 89.77633, xmin= -0.00126, parasitic=0.7430, |e|=0.136364	      1.000000     91.640898   -170.433195    117.412749   -179.328171    155.171517      0.000000    123.882202   -242.948956    -51.680622    232.021944   -146.333999      0.000000      0.000000      0.000000    116.477171   -343.268285    178.759475		840
W= 89.75840, xmin= -0.00136, parasitic=0.7375, |e|=0.136364	      1.000000   -250.278285    169.956263   -162.196152    235.768754   -198.021205      0.000000   -138.289387    429.165352    390.585258   -275.776681    247.512956      0.000000      0.000000      0.000000    132.320193   -421.535700    170.965243		841
W= 89.75304, xmin= -0.00139, parasitic=0.7308, |e|=0.136364	      1.000000    -90.707320    385.663080   -270.906627    279.645064    265.293447      0.000000   -236.539059    269.465911    142.601303   -435.290718    203.107536      0.000000      0.000000      0.000000    113.343520   -378.049107    129.425463		842
W= 89.78530, xmin= -0.00121, parasitic=0.7467, |e|=0.182973	      1.000000    384.215071     31.687593   -240.784991    -63.173341     17.058034      0.000000    -24.141744   -207.674191    209.023526   -129.881291   -106.312473      0.000000      0.000000      0.000000    -89.931298    240.870189    -90.959211		843
W= 89.75508, xmin= -0.00138, parasitic=0.7338, |e|=0.226784	      1.000000    328.984943   -389.856903    254.786616   -363.524161      3.825250      0.000000    183.706177   -235.526106   -443.927810    289.766340    224.739756      0.000000      0.000000      0.000000     92.468251   -138.447858     43.263378		844
W= 89.75507, xmin= -0.00138, parasitic=0.7317, |e|=0.136364	      1.000000    -85.654556   -442.630392   -126.436622    437.649660    160.246197      0.000000    182.714786   -122.110411   -413.301971    -40.324615    103.738426      0.000000      0.000000      0.000000    -48.665898    328.506996   -253.035245		845
W= 89.77363, xmin= -0.00128, parasitic=0.7397, |e|=0.136364	      1.000000   -371.821425    257.747621     82.766619    111.175067    432.183121      0.000000   -131.833715    348.602059    443.363545    220.043086    219.245071      0.000000      0.000000      0.000000   -192.447270    350.481513   -433.848658		846
W= 89.77423, xmin= -0.00127, parasitic=0.7409, |e|=0.136364	      1.000000    175.439005    278.021173   -231.297272     23.984453    283.093981      0.000000   -290.774485    362.932555   -262.941282   -438.654489    -19.283335      0.000000      0.000000      0.000000    255.676114   -449.354971    267.771548		847
W= 89.77295, xmin= -0.00548, parasitic=0.7403, |e|=0.145037	      1.000000    449.685679    447.598991   -260.812361    -97.389688     99.847634      0.000000   -395.633212    313.802330    179.843808   -349.867959    291.285136      0.000000      0.000000      0.000000    -97.060902    317.174411   -193.610157		848
W= 89.76360, xmin= -0.00133, parasitic=0.7389, |e|=0.136364	      1.000000   -449.631412     72.074069   -101.901764   -279.976529    302.002115      0.000000    -98.724315    326.295050    419.716252   -251.099161    -32.177212      0.000000      0.000000      0.000000     48.921048   -330.440302     20.871813		849
W= 89.77673, xmin= -0.00126, parasitic=0.7422, |e|=0.270855	      1.000000    324.428643     62.811829   -199.941674    171.908440    -93.133311      0.000000    -67.613868   -107.750639   -254.212827    176.137606   -365.329479      0.000000      0.000000      0.000000    -89.068953    352.017845    -61.016233		850
W= 89.75245, xmin= -0.00139, parasitic=0.7289, |e|=0.136364	      1.000000   -356.184108    358.968673   -338.461695     -5.432900    327.182654      0.000000   -149.157520    353.638732    161.494237   -236.676777    348.316637      0.000000      0.000000      0.000000    159.432346   -397.769575    125.250528		851
W= 89.77778, xmin= -0.00125, parasitic=0.7465, |e|=0.199008	      1.000000    448.846044    -89.402733   -410.802022    370.471482    362.515053      0.000000    -20.100072   -216.085076    155.006270    273.173658    197.286366      0.000000      0.000000      0.000000     65.522034   -284.517447     83.599234		852
W= 89.78717, xmin= -0.00120, parasitic=0.7492, |e|=0.140954	      1.000000    370.536308   -351.142790     52.431313    402.777371    440.482806      0.000000     85.300673   -105.788811   -119.759096     18.745954    276.202127      0.000000      0.000000      0.000000    -76.535215    310.874584   -227.613317		853
W= 89.77773, xmin= -0.00125, parasitic=0.7468, |e|=0.136364	      1.000000    180.651231    352.721494    393.097049     82.937500     -7.290543      0.000000   -315.303749    448.274186   -262.590332    128.223240    297.744665      0.000000      0.000000      0.000000    113.265406   -281.314656    121.917290		854
W= 89.75019, xmin= -0.00141, parasitic=0.7417, |e|=0.136364	      1.000000     71.198885   -316.960761   -121.422688   -165.642317     -9.614555      0.000000    162.850142    -55.098186    363.508012     44.435837    142.261526      0.000000      0.000000      0.000000     27.036709   -343.066199    -28.361750		855
W= 89.75873, xmin= -0.00132, parasitic=0.7483, |e|=0.136364	      1.000000    161.701438   -343.756764   -336.949343    -91.675844    129.887661      0.000000    203.544537   -214.350901   -408.184151     62.161599    298.741355      0.000000      0.000000      0.000000     30.033941    277.844574    -86.895457		856
W= 89.75199, xmin= -0.00139, parasitic=0.7466, |e|=0.167750	      1.000000    171.059736    130.719336   -109.675951   -254.696279   -130.401751      0.000000    -33.232926    -57.434878     56.994624   -165.466436    -74.459790      0.000000      0.000000      0.000000     93.044041   -386.609008    -61.194658		857
W= 89.75292, xmin= -0.00139, parasitic=0.7296, |e|=0.136364	      1.000000    225.438365   -170.290606   -253.345252    274.559250   -160.788576      0.000000     65.095442   -191.295147    132.204662    -64.056050   -103.891781      0.000000      0.000000      0.000000   -196.356353    435.038772   -118.851260		858
W= 89.75535, xmin= -0.00138, parasitic=0.7390, |e|=0.183299	      1.000000   -263.368850     -0.447842    397.539434   -437.090304   -422.461145      0.000000      2.307126    228.750825    -61.692965   -148.712134    287.200983      0.000000      0.000000      0.000000   -100.694334    322.431766   -314.262643		859
W= 89.77035, xmin= -0.00128, parasitic=0.7462, |e|=0.136364	      1.000000      2.633330   -155.515412    324.841080   -308.372512     78.480529      0.000000    129.871651   -148.888961    241.999836   -116.238282   -395.193371      0.000000      0.000000      0.000000    -11.448473   -130.533449     53.330247		860
W= 89.76003, xmin= -0.00135, parasitic=0.7496, |e|=0.242656	      1.000000    391.791539   -361.360804     83.662924    274.428618    122.685245      0.000000      6.733423   -196.278951    347.476943     70.317181    401.583743      0.000000      0.000000      0.000000     98.636374   -407.598838    232.579486		861
W= 89.78285, xmin= -0.00122, parasitic=0.7451, |e|=0.136364	      1.000000    383.372890    -57.534364   -366.461070    235.232174    111.459555      0.000000    108.253920   -431.891890    146.297058    445.772530   -311.723819      0.000000      0.000000      0.000000   -185.771270    369.958048    -56.736909		862
W= 89.76721, xmin= -0.00131, parasitic=0.7389, |e|=0.136364	      1.000000   -290.577197    210.896263    382.632371   -136.502812   -432.159744      0.000000   -122.342339    402.492408     35.104450   -439.115862     36.700224      0.000000      0.000000      0.000000     83.292835   -207.243245    185.456441		863
W= 89.78336, xmin= -0.00122, parasitic=0.7489, |e|=0.140482	      1.000000   -247.030309   -282.426456   -140.034382   -172.831428   -180.441799      0.000000    -90.000159    391.367084   -352.867650     63.843243    -87.641137      0.000000      0.000000      0.000000     67.489944     -8.313694    140.183147		864
W= 89.75308, xmin= -0.00139, parasitic=0.7238, |e|=0.136364	      1.000000    206.332543    -54.499389   -133.493155     -7.819373     52.337029      0.000000   -235.030542    383.569448     21.025142     56.001328   -115.285655      0.000000      0.000000      0.000000     93.848093   -308.288248    101.720875		865
W= 89.75779, xmin= -0.00136, parasitic=0.7454, |e|=0.144758	      1.000000    200.306607    255.590504    381.347723    141.413410   -304.720775      0.000000    -29.614554   -260.469303    251.801238    385.007402   -242.457290      0.000000      0.000000      0.000000     80.652433   -381.678931    160.673078		866
W= 89.76242, xmin= -0.00134, parasitic=0.7371, |e|=0.136364	      1.000000     77.722711    -86.971602    193.311825     74.706530    234.319617      0.000000    139.912103   -351.750781    372.731787    -19.339272    420.377912      0.000000      0.000000      0.000000     81.650052   -390.498080      5.668409		867
W= 89.76507, xmin= -0.00132, parasitic=0.7347, |e|=0.136364	      1.000000    189.576071    157.230012   -155.325038    344.448370    124.196619      0.000000   -361.278829    414.107221   -352.829893    284.543529    369.465417      0.000000      0.000000      0.000000    -20.790484    215.156854      8.632508		868
W= 89.76240, xmin= -0.00133, parasitic=0.7321, |e|=0.136364	      1.000000     89.676350    315.839326    355.012108    216.340528     33.327831      0.000000   -268.989728    322.409452     -7.192716   -419.758319    350.486459      0.000000      0.000000      0.000000     66.799182   -156.212655    -84.392037		869
W= 89.77238, xmin= -0.00128, parasitic=0.7390, |e|=0.136364	      1.000000    380.984166   -413.105168    338.139896    312.253035    344.507284      0.000000    216.156208   -447.911937   -159.984103   -340.167040      5.746014      0.000000      0.000000      0.000000    -74.874497    296.542624   -202.321353		870
W= 89.76201, xmin= -0.00134, parasitic=0.7341, |e|=0.136364	      1.000000   -294.766232     69.858495   -218.464765    402.192573   -264.953826      0.000000    -84.124925    338.158033    268.947302     83.683095     12.069716      0.000000      0.000000      0.000000     98.887551   -427.877585    192.986271		871
W= 89.75007, xmin= -0.00141, parasitic=0.7474, |e|=0.136364	      1.000000    103.773049   -331.072807    341.075531   -441.403545    317.594263      0.000000    169.270639   -376.025425    305.659000    398.892402   -356.443990      0.000000      0.000000      0.000000    101.274225   -336.429679    149.570248		872
W= 89.76394, xmin= -0.00132, parasitic=0.7374, |e|=0.136364	      1.000000    225.318346   -436.765438     49.019898    265.934791   -380.003422      0.000000    434.812981   -360.690896    435.519562    -19.125308    -76.589391      0.000000      0.000000      0.000000    -46.781517   -165.606394    -24.984901		873
W= 89.76656, xmin= -0.00131, parasitic=0.7434, |e|=0.141344	      1.000000    160.398453   -405.919586   -428.977782     98.062246   -318.922999      0.000000    103.330732   -132.560081    139.853406   -186.256079   -254.254544      0.000000      0.000000      0.000000    108.060942   -269.000817    359.340445		874

It seems there is wall at around 89.75°. Searching with just a single set, here Base3, but cycle length 4, we can crack the wall at 89.8° easily.

$ stabregion3 -b Base3 -I4:-30:30:9009100 -W89.8 -E2
W= 89.86788, xmin= -0.00041, parasitic=0.7091, |e|=0.225159           1.000000    -21.550950     22.150443    -23.234922     27.109141     14.784590    -26.720576     25.644275     16.936565     -0.174068            1
W= 89.81867, xmin= -0.00025, parasitic=0.7160, |e|=0.300979           1.000000     -9.290347     15.266158     28.133391      3.132758    -28.169615    -29.262208     22.480675     29.274416     -0.468860            2
W= 89.82651, xmin= -0.00091, parasitic=0.6358, |e|=0.310630           1.000000    -16.680274     28.516994     17.517194      2.270809    -15.411877    -12.730612      9.872798     10.848545     -0.086465            3
W= 89.81599, xmin= -0.00044, parasitic=0.6265, |e|=0.295830           1.000000     10.955115    -17.603220    -27.258943      7.150417      5.663092    -14.730837      6.980663     24.991932     -0.271138            4
W= 89.85637, xmin= -0.00046, parasitic=0.6959, |e|=0.256590           1.000000    -26.482132      2.962826     24.030938     -2.445292    -26.511650      7.746223    -18.396153     -7.833505      0.085050            5
W= 89.80763, xmin= -0.00068, parasitic=0.6620, |e|=0.301646           1.000000     19.824763    -29.680256    -15.473830     23.823445     -2.306383    -26.688272      7.929274     29.098648     -0.283880            6
W= 89.80714, xmin= -0.00092, parasitic=0.6739, |e|=0.299392           1.000000    -12.331869     20.126704    -23.111860     11.302939     20.010315    -25.786546     17.178563     15.762367     -0.070204            7
W= 89.84960, xmin= -0.00063, parasitic=0.7461, |e|=0.268872           1.000000     -7.603626     10.679853    -29.301832     12.954437     20.152366    -23.915235     29.865162     11.602482     -0.001469            8
W= 89.84422, xmin= -0.00065, parasitic=0.7307, |e|=0.303937           1.000000    -13.885144     14.911464    -14.700504     22.743812     -2.363734     -8.051823      7.005574     10.530004     -0.027663            9
W= 89.82078, xmin= -0.00132, parasitic=0.5882, |e|=0.305680           1.000000     15.158868    -25.404061     28.971863     21.569701    -18.690964     18.349051    -22.030124    -26.690513      0.207021            10
W= 89.82334, xmin= -0.00049, parasitic=0.7184, |e|=0.427376           1.000000     -6.954953     16.433828     15.029121    -13.704276      6.515383    -26.274199     24.754386     12.097359     -0.173291            11
W= 89.88137, xmin= -0.00024, parasitic=0.7432, |e|=0.295437           1.000000      7.262741    -11.649749     22.341400    -14.928997     -9.574326     13.426792     -7.244463    -15.623951      0.120618            12
W= 89.86857, xmin= -0.00032, parasitic=0.7175, |e|=0.276197           1.000000    -13.620631     19.907782     26.923662    -20.557744     -3.543270     21.066008    -18.940960    -23.482241      0.200029            13
W= 89.80625, xmin= -0.00079, parasitic=0.6863, |e|=0.369989           1.000000    -20.947224     22.497142     11.759144     -8.378217     -6.313245     15.155436    -29.777962      4.734468      0.071660            14

Searching with two sets, Base3 and Bas4 with a cycle length of 4.

$ echo 1  1 1  1 1 1  1 1 1 1 : 0 1 1  1 1 1  1 1 1 1 | stabregion3 -l- -bBase3:Base4 -I4:-30:30:420900 -W89.7 -E2
W= 89.80806, xmin= -0.00030, parasitic=0.7245, |e|=0.242804           1.000000    -23.653150      4.087419     -2.624899      9.239985    -22.223554     22.035516     17.850371     -0.790646      0.853570      0.000000      0.928318     24.753337    -16.354284     25.818837      9.891058     22.367822    -11.503872    -10.902172    -11.759164               1

Also

$ echo 1  1 1  1 1 1  1 1 1 1 : 0 1 1  1 1 1  1 1 1 1 | stabregion3 -l- -bBase3:Base4 -I4:-30:30:420900 -W89.7 -E2
W= 89.75227, xmin= -0.00045, parasitic=0.6927, |e|=0.470887	      1.000000    -24.203684     -2.223885      4.450252     -8.735210     26.407632    -16.467015     11.523721     21.325258     -0.892416      0.000000      5.257301     21.505604     25.831487     -1.041146      2.642392    -18.692215     15.856381     25.846774     -8.535905		1
W= 89.71337, xmin= -0.00040, parasitic=0.6416, |e|=0.196966	      1.000000    -24.756296      6.673275    -19.010308      8.257182     19.495150     26.081215    -17.066142    -26.258851      2.549254      0.000000     -0.593324     22.777924     -7.901680     -2.005563      3.981381     29.795214    -18.536152    -13.411063    -17.416523		2
W= 89.70671, xmin= -0.00250, parasitic=0.4225, |e|=0.136364	      1.000000     -5.797825     -9.446068     18.981858    -26.157092    -19.257872    -13.368129     15.727922     10.140176     -1.491513      0.000000     18.601010    -24.158919     18.397668    -29.228242      5.283137    -23.811120     14.101358     11.379494     14.737032		3

2. Order 4

Again, we search with random numbers. We hit the wall at around 88°

$ echo 1  1 1  1 1 1 : 0 1 1  1 1 1 : 0 0 0  1 1 1 | stabregion3 -l- -bBase4:Base5:Base6 -I3:-450:450:98290900 -W87 -E2
W= 87.02497, xmin= -0.03086, parasitic=0.5956, |e|=0.096000           1.000000   -114.590943   -404.577252     64.446221    432.796994     57.298391      0.000000     91.151311   -278.400452   -105.765726   -164.922269    232.357446      0.000000      0.000000      0.000000    128.709172   -102.964931    313.083632           1
W= 87.95308, xmin= -0.01636, parasitic=0.6153, |e|=0.243670           1.000000   -430.107706   -132.409325     37.962518    -20.297211     23.266032      0.000000     23.355583    336.661612    125.839022     28.249176     51.319785      0.000000      0.000000      0.000000    -78.834317   -171.318204    232.405028           2
W= 87.70257, xmin= -0.01896, parasitic=0.5607, |e|=0.326332           1.000000    310.143995     77.886355    312.540670    -75.018509   -145.879872      0.000000    -93.906028    228.343434     83.827317     58.500440    384.027834      0.000000      0.000000      0.000000    -42.515411   -348.361320    285.685820           3
W= 87.00292, xmin= -0.02878, parasitic=0.5257, |e|=0.096000           1.000000     87.740956   -319.231960   -208.480216     69.858811   -117.328398      0.000000     49.414046   -203.947947    427.953810   -399.753992    412.969963      0.000000      0.000000      0.000000   -238.365823   -184.778797    327.981547           4
W= 87.37720, xmin= -0.02087, parasitic=0.6011, |e|=0.096000           1.000000    -43.961199   -449.402795   -220.031253      9.509749   -211.738746      0.000000    -43.631705    415.911482   -344.421746    292.154537    100.844814      0.000000      0.000000      0.000000    269.532709    -49.043916   -197.173147           5
W= 87.85598, xmin= -0.01251, parasitic=0.6832, |e|=0.101562           1.000000     38.135065    203.927798   -357.980991    191.303382   -423.071089      0.000000    -21.718704     52.723947   -345.448541    213.001028   -219.788660      0.000000      0.000000      0.000000    285.528700    -47.813726    343.377014           6
W= 87.36880, xmin= -0.02678, parasitic=0.7163, |e|=0.202413           1.000000   -168.608297    178.031717   -394.844510    112.488236    252.997175      0.000000     -1.694270    115.526579   -265.842165    -85.436619   -129.736937      0.000000      0.000000      0.000000    208.578935    401.438515   -381.618837           7
W= 87.30025, xmin= -0.01820, parasitic=0.6588, |e|=0.211438           1.000000   -305.168482    -48.325254    257.192638    173.890032     34.090692      0.000000    147.036289   -399.105121   -291.345665   -215.759231   -441.799206      0.000000      0.000000      0.000000    193.455181    388.923690    278.435964           8
W= 87.23174, xmin= -0.01669, parasitic=0.6884, |e|=0.096000           1.000000    123.627673    296.033191   -318.812480    -95.711062     32.129532      0.000000   -102.771095    419.480581   -297.009436    413.277002   -352.446202      0.000000      0.000000      0.000000    243.264156   -145.727395    249.597598           9
W= 87.87304, xmin= -0.01604, parasitic=0.6344, |e|=0.096000           1.000000    -11.013322     31.185389   -336.294116   -310.798710    314.046656      0.000000    -55.563597    323.654788   -404.712997    -23.654273   -270.597575      0.000000      0.000000      0.000000    343.612914    397.624063    -61.451902           10
W= 87.53237, xmin= -0.01708, parasitic=0.6607, |e|=0.486064           1.000000   -362.996490     99.821165    167.274612    441.369297   -313.355799      0.000000     99.500323   -245.044654    348.986267   -143.366182    -50.459047      0.000000      0.000000      0.000000   -300.457715   -149.183124    193.491998           11
W= 87.04096, xmin= -0.01705, parasitic=0.7099, |e|=0.330738           1.000000   -360.222337   -404.389761   -362.051992    342.880140    -32.510596      0.000000     44.444163    187.461489   -385.698106    312.944436   -300.864895      0.000000      0.000000      0.000000    316.702836    -54.047596    153.661125           12
W= 87.01146, xmin= -0.02917, parasitic=0.5176, |e|=0.110568           1.000000   -217.036342    191.335541    -45.464371    242.873167    311.196330      0.000000    -41.199570    395.578602    208.745302     88.490299    437.215348      0.000000      0.000000      0.000000   -120.412958   -353.279456   -127.516959           13
W= 88.29304, xmin= -0.00985, parasitic=0.6908, |e|=0.206958           1.000000    353.669849     36.079797   -379.695870    395.713335   -307.398248      0.000000     30.645848   -439.060802   -350.837514    179.379452    164.867612      0.000000      0.000000      0.000000    330.508207    -32.186452      1.354752           14
W= 88.11264, xmin= -0.01484, parasitic=0.7296, |e|=0.186259           1.000000    304.338184   -278.933275    -49.451348    263.536612     -6.856192      0.000000   -123.177834    440.307300    -48.628642    112.335578    -33.598908      0.000000      0.000000      0.000000      2.811282     53.829433   -373.023752           15
W= 87.56666, xmin= -0.03925, parasitic=0.7279, |e|=1.224292           1.000000    219.569573     85.473978    -54.288654    159.228388   -310.294896      0.000000    -36.687660    -27.576232   -280.963738     18.919862   -223.192952      0.000000      0.000000      0.000000    178.330981    203.668635   -155.946166           16
W= 87.95462, xmin= -0.01741, parasitic=0.7284, |e|=0.096000           1.000000    -74.812870   -189.105171    -78.514263    306.795270    227.953784      0.000000    109.982597   -412.607919   -411.942930    269.403811   -262.203126      0.000000      0.000000      0.000000    335.719196   -119.784374    371.283272           17
W= 88.34664, xmin= -0.00959, parasitic=0.7236, |e|=0.168361           1.000000    343.926449    -26.242825    108.747566   -405.392335    237.502064      0.000000     -2.322370   -267.088211    388.958158   -191.911239    353.511959      0.000000      0.000000      0.000000   -285.004787   -124.113377    -54.519959           18
W= 87.54635, xmin= -0.01318, parasitic=0.7429, |e|=1.956541           1.000000    238.329503   -194.142708    358.948733   -304.639241    243.445271      0.000000    -54.406210    143.829735    364.619612    -34.809808    -72.599188      0.000000      0.000000      0.000000   -310.835552   -103.283768     49.501838           19
W= 87.01402, xmin= -0.03016, parasitic=0.5009, |e|=1.962797           1.000000    345.573078   -322.602419    254.476725   -371.532854   -237.534107      0.000000    -75.780780    182.440371    307.379341   -286.386388    115.730953      0.000000      0.000000      0.000000   -283.705612    269.823468   -418.764757           20
W= 87.64194, xmin= -0.01795, parasitic=0.6324, |e|=0.107281           1.000000   -376.641351   -184.044101   -377.274217     43.360736    437.292294      0.000000    163.065811   -414.605717   -411.228216     60.806356   -299.994282      0.000000      0.000000      0.000000    354.738529    406.007524   -158.640439           21
W= 87.28055, xmin= -0.02170, parasitic=0.5908, |e|=0.096000           1.000000   -165.064078   -378.627308   -347.246219    120.798576     99.912737      0.000000     84.054188   -261.821683   -436.341298     -2.092037    219.771447      0.000000      0.000000      0.000000    364.424565    238.657253   -401.461130           22
W= 87.81284, xmin= -0.02119, parasitic=0.7352, |e|=0.096000           1.000000    176.380864     -9.366615   -447.698079   -140.981870    194.982641      0.000000    -99.334960    357.904343   -444.314159    100.080760    -86.682067      0.000000      0.000000      0.000000    362.865347    415.096475   -431.505639           23
W= 87.72475, xmin= -0.01417, parasitic=0.7336, |e|=0.328705           1.000000    332.347434    261.841565    378.915178   -349.785088    434.537395      0.000000   -103.630921    262.881869    104.256847   -424.707866    386.950239      0.000000      0.000000      0.000000    -11.779782    100.554016    437.575901           24
W= 87.50210, xmin= -0.02541, parasitic=0.6171, |e|=0.096000           1.000000    -32.845987    228.877931   -292.570987     94.052168   -266.201101      0.000000    -90.719448    410.193567   -175.747129    325.178630   -348.116930      0.000000      0.000000      0.000000    113.217735     14.502198     -4.832868           25
W= 87.36613, xmin= -0.01884, parasitic=0.6551, |e|=0.132574           1.000000    -92.952699   -288.791478    285.004683   -259.611077     41.215386      0.000000     -4.234806    190.338739   -379.269562     96.724473    -43.868487      0.000000      0.000000      0.000000    240.981317    187.191166   -303.818360           26
W= 88.34658, xmin= -0.01307, parasitic=0.7270, |e|=0.172788           1.000000    330.405472   -119.741366    -24.340001   -153.700236    240.250619      0.000000     -1.164474   -228.024401    394.643924   -445.692944   -237.520452      0.000000      0.000000      0.000000   -289.264161    195.509360    298.139095           27
W= 87.45863, xmin= -0.02048, parasitic=0.6093, |e|=0.096000           1.000000    -86.971968   -218.546128   -101.093375   -398.688293   -264.998217      0.000000    -82.388984    447.532940   -259.801417    412.061023   -339.841191      0.000000      0.000000      0.000000    165.896466    181.276529   -189.858524           28
W= 87.12272, xmin= -0.01743, parasitic=0.6911, |e|=0.111601           1.000000    -95.457505   -313.781713   -428.904292    169.928655   -287.114838      0.000000     33.137762    -18.450344   -404.620994     -1.882487   -140.190659      0.000000      0.000000      0.000000    336.860343    382.074606   -227.634487           29
W= 87.21945, xmin= -0.02362, parasitic=0.5677, |e|=0.096000           1.000000     42.020558    268.809539    340.105003    -32.869936     49.832376      0.000000    -34.247755     93.230069   -372.979142    340.076578   -222.842733      0.000000      0.000000      0.000000    180.328398     29.570714   -445.871204           30
W= 87.93827, xmin= -0.01776, parasitic=0.7181, |e|=0.102101           1.000000   -315.955872   -199.530268    -40.123096   -186.679094   -431.649175      0.000000    141.990568   -391.737542   -420.399879    314.348690    209.975675      0.000000      0.000000      0.000000    334.350027    -38.195598   -105.986768           31
W= 87.06166, xmin= -0.03069, parasitic=0.6774, |e|=0.156184           1.000000    180.632193    -86.812693    -92.564502    418.373853   -175.049328      0.000000     82.897783   -400.920264    294.764614   -188.869329    193.274887      0.000000      0.000000      0.000000   -217.853214   -125.782776    -53.821131           32
W= 87.52805, xmin= -0.02395, parasitic=0.6402, |e|=0.156462           1.000000   -125.532851   -423.442497    336.980213     19.694606   -389.187708      0.000000     49.201810    -26.532678     83.722609    -76.208481      8.123086      0.000000      0.000000      0.000000    -90.713114   -136.194899    304.306747           33
W= 87.29400, xmin= -0.02670, parasitic=0.6268, |e|=0.470928           1.000000   -365.657541    211.579306    -11.810740    375.640536    -59.949785      0.000000    107.194203   -337.152460    273.888288   -316.670865    319.325641      0.000000      0.000000      0.000000   -184.024620     69.260357   -187.040952           34
W= 87.95866, xmin= -0.01623, parasitic=0.6182, |e|=0.188704           1.000000   -433.022710   -379.344866   -304.361366    -30.946236   -363.204602      0.000000     27.115621    328.966446   -277.744731    188.722757   -186.502114      0.000000      0.000000      0.000000    247.591271      5.731050    312.084085           35
W= 87.13339, xmin= -0.02920, parasitic=0.6058, |e|=0.249591           1.000000   -240.452128     70.229819   -439.403461     24.922522    394.249472      0.000000    -15.837123    221.058250   -149.218402    239.439473     14.779255      0.000000      0.000000      0.000000    186.546618   -185.102849    153.019429           36
W= 87.10912, xmin= -0.02936, parasitic=0.5829, |e|=0.133741           1.000000    427.836749    -82.187102    291.025529   -143.535710   -433.079483      0.000000     18.401583   -410.340076    391.573970   -155.258755    177.254616      0.000000      0.000000      0.000000   -350.252636     17.994911   -317.082854           37
W= 88.06039, xmin= -0.01130, parasitic=0.7443, |e|=0.185811           1.000000    216.099762    320.108636    441.102704   -449.061260   -262.822127      0.000000     14.686784   -315.892856    218.338192   -222.578973    403.471462      0.000000      0.000000      0.000000   -196.283422    -59.798121    -29.589634           38
W= 88.22693, xmin= -0.01021, parasitic=0.6923, |e|=0.096000           1.000000     35.828451   -328.699191    318.186213   -332.600977    271.827775      0.000000     86.456715   -436.046603    439.140267   -420.323900    425.783043      0.000000      0.000000      0.000000   -323.381427     -2.664708     -4.367368           39
W= 87.35088, xmin= -0.02624, parasitic=0.5890, |e|=0.096000           1.000000    -92.808749   -324.959106   -162.348503   -393.439757   -153.567075      0.000000    -10.731619    235.574304   -159.694717     37.951120   -375.138366      0.000000      0.000000      0.000000     88.586873    321.665311   -151.959701           40
W= 87.47055, xmin= -0.02304, parasitic=0.6644, |e|=0.096325           1.000000    -48.066121   -420.449548    287.266721    117.699116     30.518090      0.000000     68.878938   -285.840229   -133.058192   -136.642237    443.632242      0.000000      0.000000      0.000000    149.950375   -119.094235    302.690368           41
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3. Order 5

Searching for formulas with cycle length of 3.

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W= 80.02766, xmin= -0.25877, parasitic=0.7416, |e|=0.445657	      1.000000   -380.904376     -0.687232    342.291258     60.743717     47.430314      0.000000    287.748911    134.910979    387.633817   -295.205331   -123.131662      0.000000      0.000000      0.000000    -34.560399   -177.277024    443.987839		6
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W= 79.04300, xmin= -0.33789, parasitic=0.5912, |e|=0.146490	      1.000000    257.921873    439.053524    291.363941   -375.153419   -181.787430      0.000000   -372.632730    256.056206   -196.984985   -286.614743   -164.718486      0.000000      0.000000      0.000000     33.791527    -92.564196    409.121108		14
W= 79.70536, xmin= -0.31670, parasitic=0.6625, |e|=0.588671	      1.000000    366.456237    342.700668    103.743653    392.490748   -430.349413      0.000000   -425.028282    310.142358    -56.255682    -93.921849   -133.445875      0.000000      0.000000      0.000000    -47.833884    113.617828   -401.219799		15
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W= 79.09743, xmin= -0.30363, parasitic=0.6633, |e|=0.251923	      1.000000   -194.191684    -79.245403    223.122969   -425.556219   -346.899054      0.000000    264.518601   -424.977279    -36.481242   -197.146656   -187.795491      0.000000      0.000000      0.000000     12.725739    -58.726349    357.083620		22
W= 80.86688, xmin= -0.24329, parasitic=0.7239, |e|=0.442601	      1.000000   -410.996499   -264.722432     -6.298539   -268.407297     -9.430052      0.000000    324.414189    370.457992   -362.371321     30.969562   -288.076091      0.000000      0.000000      0.000000     26.275405    133.900895   -170.630447		23
W= 79.31355, xmin= -0.28529, parasitic=0.6924, |e|=0.265648	      1.000000    357.837760   -348.500043    375.788624   -319.057845   -122.136410      0.000000   -197.169293     23.624199    176.596795    -44.294925   -133.468716      0.000000      0.000000      0.000000    -42.491669    -38.077520    105.083512		24
W= 80.57411, xmin= -0.26896, parasitic=0.6712, |e|=0.431450	      1.000000   -449.729511    134.667202   -369.245937    -35.901665    419.224338      0.000000    332.329101      9.662988   -409.660407    340.268237     99.029304      0.000000      0.000000      0.000000     62.151009     90.076514   -237.658501		25
W= 79.45852, xmin= -0.33286, parasitic=0.5870, |e|=0.316735	      1.000000   -306.160940    348.795025    173.137965    380.405940    416.832258      0.000000    189.182149   -191.987513     -3.326351   -144.403510    -16.465552      0.000000      0.000000      0.000000    -34.912302     50.072046   -288.807982		26
parasitic roots: zggev_.info=3
W= 80.30011, xmin= -0.28023, parasitic=0.6807, |e|=0.100862	      1.000000     22.676035   -428.219025    438.733596     60.269008     92.015755      0.000000     96.623684   -143.222366     62.968757    108.128332    102.556169      0.000000      0.000000      0.000000     -2.833522   -236.138597    444.633353		27
parasitic roots: zggev_.info=3
W= 80.57009, xmin= -0.31202, parasitic=0.6774, |e|=0.179548	      1.000000    -51.352390    -98.901551     38.645505   -156.285748    -77.808970      0.000000     68.938134    -15.338660    353.608655    444.727275    -27.128682      0.000000      0.000000      0.000000    -10.946021   -249.054818    428.453558		28
W= 79.62192, xmin= -0.30020, parasitic=0.6649, |e|=0.134359	      1.000000    204.724581   -170.609283   -173.639381    334.774005   -173.661147      0.000000    -30.613598   -372.301263   -440.648179   -248.176168   -437.501246      0.000000      0.000000      0.000000     16.724015    288.565556   -444.174526		29
W= 79.20402, xmin= -0.35740, parasitic=0.6262, |e|=0.555386	      1.000000    362.003551    259.792702   -174.766640   -351.167168   -228.617455      0.000000   -426.917897    446.242153    -58.628979    263.786209    198.282066      0.000000      0.000000      0.000000     -0.905920    116.084583   -259.633191		30

Seaching for formulas with cycle length 4. It is surprising that a longer cycle does not lead to improved Widlund-wedge angles.

$ echo 1  1 1  1 1 1  1 1 1 1 : 0  1 1  1 1 1  1 1 1 1 : 0  0 0  1 1 1  1 1 1 1 : 0  0 0  0 0 0  1 1 1 1  | stabregion3 -l- -bBase5:Base6:Base7:Base8 -I4:-450:450:98290900 -W77 -E2
W= 77.31719, xmin= -1.58872, parasitic=0.4190, |e|=0.072993	      1.000000    -63.924296    152.539202    424.205447   -410.820169   -145.792159   -407.503903   -277.272573    204.114089    158.411847      0.000000    -36.214016   -162.429546    283.391163    224.822392   -142.651706    175.248847   -333.014347     88.390353    422.769862      0.000000      0.000000      0.000000     98.880458   -337.704966     63.578783   -382.528328    375.325672   -208.622533   -164.974065      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000    121.325728     86.732212    254.913995    -92.187154		1
W= 77.20246, xmin= -0.37196, parasitic=0.3781, |e|=0.406271	      1.000000   -285.526494    427.665732    291.215838    259.317771    173.824345     92.171472     -9.226708    -86.358821   -111.008877      0.000000    185.274427   -238.350042    387.999858   -306.502369   -103.017717    300.403762    155.238714   -203.694067    342.023893      0.000000      0.000000      0.000000    447.774144   -332.849594    283.371959      9.765481    166.945248   -192.564883    305.047450      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      7.275023   -254.466570    109.461156    169.910623		2
W= 77.10681, xmin= -0.57845, parasitic=0.1705, |e|=0.072993	      1.000000    179.910409   -334.620999   -219.230988   -311.902170    384.102029    112.703322   -416.872625   -148.338774     33.002927      0.000000    229.014548    122.725626   -214.829251     42.215568    229.679057    302.728418   -293.290557    370.942303   -404.945747      0.000000      0.000000      0.000000   -429.316246    218.538704    -70.648424   -213.324293    124.328236   -152.056481    169.424938      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000     36.909394    355.382835    447.544476   -340.615542		3
W= 79.29190, xmin= -0.35630, parasitic=0.5932, |e|=0.101100	      1.000000     29.151573   -426.475828    380.236499    409.719518     83.672757    -35.858514    -49.178717     46.092619    301.861739      0.000000     79.095769     81.704871    431.742466   -176.098282    197.579945     42.110111   -257.711818      4.098061    242.809096      0.000000      0.000000      0.000000    -40.402949   -314.743122    434.842590    177.510954   -445.579152    233.658990   -362.022222      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000     10.170908     83.667380   -135.656405     53.915414		4
W= 78.61266, xmin= -0.69100, parasitic=0.3558, |e|=0.126151	      1.000000   -328.228455    270.569043   -329.988766     37.364591    142.529328    -57.268126    199.236313    148.464087    391.465929      0.000000      4.228012    319.544972     38.447395    -76.956625    373.528552    293.325512   -364.671017    367.855910   -384.242251      0.000000      0.000000      0.000000     68.530274   -103.567677    174.203225   -237.088913    421.867210     95.077975   -316.410512      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000     35.616055    162.868664    202.043071   -112.378387		5
W= 78.99183, xmin= -0.40697, parasitic=0.4630, |e|=0.115730	      1.000000   -334.324097    155.040778     16.706641    185.888614    438.802954    -87.808420     17.266244   -154.106284   -198.491885      0.000000     65.796247    270.236214   -339.792580   -340.069098    221.942368   -371.835416   -172.488944    191.116807    292.337093      0.000000      0.000000      0.000000    139.710922   -174.228512    327.437187    288.291307     43.998365    325.998249     42.870573      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000    -30.276824   -445.194034   -295.997424    119.873296		6
W= 77.31936, xmin= -1.47741, parasitic=0.5479, |e|=0.132698	      1.000000    319.636069   -144.432344   -349.371663   -274.314439   -142.020690    325.855856     97.646001    441.450086    388.275594      0.000000    -80.157793   -400.947518    151.124766     97.921274   -157.990122   -316.359580    124.948827   -328.465316    392.574147      0.000000      0.000000      0.000000   -304.526137    428.252229   -445.188868    258.702345    101.068597   -445.736594    179.425044      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000   -252.910390    440.330462    -84.339279   -352.229022		7
W= 78.00905, xmin= -0.83881, parasitic=0.2412, |e|=0.072993	      1.000000   -176.658666    150.280819     54.128123     11.636740    236.294418    283.636341    327.569188   -419.484678     -0.985935      0.000000   -144.299850    180.255781    348.107799    357.379398     36.221719    279.626936    322.856582    -85.116952    104.105401      0.000000      0.000000      0.000000   -256.932053    361.561346   -445.113206   -155.660064   -428.696268   -190.206847    397.582672      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000    115.754553   -256.257658    193.755723   -242.478796		8
W= 78.85299, xmin= -0.34165, parasitic=0.3297, |e|=0.094782	      1.000000   -362.636670     37.786527   -265.858167    -19.235420   -255.964383   -204.511248   -412.658701    113.081129     15.888196      0.000000     61.143571    118.217327    266.787118   -385.421989   -118.769542     24.388521   -133.294349    198.567273    315.901163      0.000000      0.000000      0.000000    291.723018   -361.697232    313.618674    440.918832    420.207339    284.166900    -37.502109      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000   -259.289665    407.758801   -278.186784   -192.695916		9
W= 78.27667, xmin= -0.41052, parasitic=0.3536, |e|=0.072993	      1.000000    138.514446   -304.002694    293.754684    -65.842456   -104.797112   -125.124889    303.650734    291.452368    -65.337142      0.000000    411.253083   -433.963021    359.150171   -104.434920    400.850482    269.685234   -139.222550     96.742392    151.585729      0.000000      0.000000      0.000000   -202.629516    292.543674   -317.402620   -368.108779    264.153937   -260.626503     -7.950191      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000    120.869480    140.669206    370.578601   -391.796153		10
W= 79.30261, xmin= -0.97956, parasitic=0.4181, |e|=0.377625	      1.000000    288.415644    -60.385272    363.316879   -160.913042    -86.620748   -345.438266   -361.762462     60.578439    182.482755      0.000000   -226.828255    251.287592   -222.892779    310.432141   -439.755957   -127.785025   -322.467281    -10.103914    224.143191      0.000000      0.000000      0.000000   -162.051394    427.414041   -357.965355    395.602958   -418.357863     20.229181    182.773551      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000     -7.187575   -391.828028    158.561389   -202.400992		11
W= 77.05618, xmin= -1.01316, parasitic=0.1606, |e|=0.127435	      1.000000    420.373711   -227.609119     34.024709   -355.589513    184.095576   -246.081046   -449.263646    331.590620   -443.225290      0.000000   -137.596333    192.621709   -418.363255   -118.998229    272.886541    137.916373    213.521180    221.161223    367.105370      0.000000      0.000000      0.000000    297.409339   -421.187251    431.997785    352.292129    266.607562    166.214182     38.287842      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000   -195.855301    133.909037   -382.367176    222.713749		12
W= 77.73044, xmin= -0.64037, parasitic=0.2537, |e|=0.072993	      1.000000    -54.967334    334.996278    200.602898    296.189408    428.021657    136.164960   -234.728094   -248.513248   -277.940379      0.000000   -232.741016    191.718736     63.760677    109.670042    -45.428155    -14.912225    -76.720101    420.185842     -7.035680      0.000000      0.000000      0.000000    116.022371   -366.948509    353.208766    113.889835    402.127564   -365.702000     21.207546      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000   -159.249015    290.467002   -109.821345    387.762707		13
phi=0.000000, zggev_.info=5
W= 77.05318, xmin= -0.50578, parasitic=0.3761, |e|=0.194028	      1.000000   -347.689184    158.531118   -289.152396    320.738257   -141.605443    365.935184   -124.792686   -150.990308   -193.835198      0.000000    202.644629   -361.137536     45.880824    -64.307293    -36.308832   -316.585252   -253.083249    246.359534   -281.861590      0.000000      0.000000      0.000000    394.875965   -375.605815     71.239399   -216.269292    441.452825    133.702702    -10.628158      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000     54.648118    192.011528    336.432696   -403.676652		14
W= 77.68526, xmin= -1.54629, parasitic=0.4787, |e|=0.072993	      1.000000   -126.632810    -93.289364   -287.974428   -342.964537   -281.998157   -219.832764     95.516479   -424.750372   -252.725317      0.000000      7.150524    241.469775   -383.511770     -7.212056    -77.062952    -25.994521   -356.660567    330.795160   -327.152484      0.000000      0.000000      0.000000    -12.224174    422.226943   -271.746573   -371.084436    -74.219439     41.992470   -141.858443      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000   -126.077268    314.488675    213.089728    412.607801		15
W= 79.18787, xmin= -1.08965, parasitic=0.4015, |e|=0.193338	      1.000000   -291.067029    322.507595   -248.748945     -2.936432    441.777017    132.055434    408.351302    -34.598729    322.257911      0.000000    145.068681   -371.004680    170.738342   -105.582013   -406.044464    290.640341    217.440750   -366.124352   -339.776274      0.000000      0.000000      0.000000    -68.450828    294.208750   -293.357849   -399.553978   -435.483020   -395.273949      4.077777      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000     14.736441    376.242012    138.418629     98.033262		16
W= 77.06706, xmin= -1.01822, parasitic=0.5289, |e|=0.072993	      1.000000   -372.905134    248.377337     42.775531   -270.641771    407.830042    385.543661   -305.748619    428.664930    193.733039      0.000000   -106.370715    317.629509    335.049076   -296.994306   -370.847366    151.025192   -283.469710    -63.677609   -230.117693      0.000000      0.000000      0.000000     40.137599   -315.199383    318.747537   -242.175742     69.975815    275.644496    429.747779      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000   -423.935710   -110.495395     25.826323    133.053558		17
W= 77.92628, xmin= -0.43734, parasitic=0.3108, |e|=0.212744	      1.000000   -161.136442    -50.274775    363.621797   -174.665952    399.798435   -299.287399    357.777690    204.540057    277.869615      0.000000    226.038075   -344.705501    443.435519   -315.053963   -138.555138   -198.372516   -446.081537    -65.825802   -373.600249      0.000000      0.000000      0.000000     84.723742   -443.002627    136.465786   -295.082707    -55.871021   -239.964214   -169.396325      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000     68.130756    374.139665   -372.969490   -346.692878		18
W= 77.56906, xmin= -0.60422, parasitic=0.5022, |e|=0.072993	      1.000000   -121.641334   -191.893768   -254.903473   -136.620752    147.643156   -171.054076   -215.730425     70.279630    405.319363      0.000000    240.844837   -123.803566   -421.348785    351.012947    191.495863     57.349386    266.584944   -366.322913   -434.544756      0.000000      0.000000      0.000000     35.175866     39.602046    -58.668139   -440.615152   -178.069547    -87.855795   -255.434649      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000    144.808592    292.999237    164.478211    -86.122942		19
W= 78.17350, xmin= -0.96823, parasitic=0.4927, |e|=0.113969	      1.000000   -424.592315     84.243289    295.299677   -254.588241   -283.233980   -427.099435   -378.096727    246.854222    317.339340      0.000000    104.703049    303.335952   -273.910548   -438.294334    -73.352098    228.030955   -124.589917   -380.404609   -422.116358      0.000000      0.000000      0.000000     99.025064   -128.313235    300.878670   -242.307276    145.786312    -40.844037    -75.051552      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000     29.420834    448.055714   -174.897669   -207.682502		20
W= 79.78668, xmin= -0.60338, parasitic=0.4011, |e|=0.197512	      1.000000    417.109894     93.931877   -148.393258     14.323390     -5.085572   -347.403310   -439.803875   -297.855865   -429.483307      0.000000   -242.917177   -239.536420   -132.436580    171.601732    261.841782   -212.561514      7.138393    399.630049   -230.683467      0.000000      0.000000      0.000000    -85.737097    145.242619   -389.851701    218.281904   -449.000573    -97.281570    362.615262      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000     24.411381   -393.360917   -196.093837    109.629459		21
W= 77.59583, xmin= -0.95061, parasitic=0.3826, |e|=0.115024	      1.000000    302.401160   -154.608949     35.951479   -391.356070     44.375212    292.217522   -205.035071   -218.702593    266.670171      0.000000    -73.366796     18.993399    439.180323    -49.192072    256.450208   -344.133297    -77.501292    299.663203   -312.993107      0.000000      0.000000      0.000000    402.497512    -76.579869     29.198805   -356.706573   -344.286858    228.518827    312.342324      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000    233.413091   -377.008035   -413.497815    298.092688		22
W= 80.14187, xmin= -0.76930, parasitic=0.3247, |e|=0.276322	      1.000000   -180.190122    144.594609    402.234304    -99.030824   -352.917793   -355.507754    438.358503      8.909233   -213.339643      0.000000    113.978605   -137.152383   -413.580181     45.760240     -6.902753    -28.812879     -5.637229   -217.013303    -64.073091      0.000000      0.000000      0.000000     58.739842   -152.660537    343.217355   -231.168959    213.733713    246.015160     39.214811      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000    -96.688417    201.732814    298.967074     88.255778		23
W= 78.29271, xmin= -0.60303, parasitic=0.5917, |e|=0.293978	      1.000000    175.984424    329.143187    407.751804   -111.995979     16.683731    -67.201787     32.277279   -243.931858   -142.505293      0.000000   -143.546702   -321.114033     -6.149868      1.496219    419.868815    -48.610453    -56.840906   -392.348912    -73.188336      0.000000      0.000000      0.000000     40.536811   -253.524556    347.591519    331.377898   -435.096852    -17.782399   -284.004906      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000     25.204845   -411.168623    297.100744   -449.741731		24
W= 78.39938, xmin= -0.77866, parasitic=0.1702, |e|=0.126722	      1.000000   -316.230641    231.757052    431.218282    233.835434    200.543620   -206.046564    201.345743    -62.799664   -161.637647      0.000000     78.689535     36.279981    132.865287     89.457871   -229.438496   -159.166432   -228.626990    342.793651     42.196692      0.000000      0.000000      0.000000     22.959916   -255.710304    253.437252     66.513918   -102.735657   -132.269324    438.256353      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000   -114.352614    393.111577   -253.463290    257.072565		25
W= 78.21180, xmin= -0.67503, parasitic=0.2042, |e|=0.072993	      1.000000    441.777742   -393.738741   -191.036815   -372.464607    206.541888    324.787111    255.280146   -370.837965   -429.101713      0.000000    238.615279   -162.341385    169.287281   -247.976993   -105.464546   -277.297865   -196.392479    108.434406   -147.067242      0.000000      0.000000      0.000000    432.505488   -310.896941    368.148980     30.241632    379.311593    343.478140    -19.090153      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000    -88.567619    392.714472    131.112974   -179.049305		26
W= 77.81978, xmin= -0.41211, parasitic=0.4821, |e|=0.216859	      1.000000   -340.348698     66.224890    170.001924     11.366284    321.263009    415.790229    218.988825    -87.779508    440.750157      0.000000    186.801558    206.800623    228.236041    325.427747    306.355539   -183.151793    113.448869    134.828379      7.191701      0.000000      0.000000      0.000000     -6.548407   -150.728405    104.650381    269.911890    -16.648468    -90.065335   -188.558131      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000    -63.023664   -302.199103    -19.670416    146.245089		27
W= 78.03550, xmin= -0.41152, parasitic=0.4444, |e|=0.105478	      1.000000    206.066040   -301.352820   -389.470887    -12.068919      0.903988    114.415850    372.397510   -266.384967    236.034206      0.000000     29.938618    -56.086163    -84.796671     70.019522    157.328628     60.182484     36.585734   -250.923683    370.432035      0.000000      0.000000      0.000000     20.547555     91.919437   -100.615499    181.763173    -53.808712   -270.486267   -271.810946      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000    -29.363968    -52.748025    121.210329    100.380842		28
W= 77.57594, xmin= -1.01125, parasitic=0.5698, |e|=0.072993	      1.000000   -307.227646     -4.851863      9.644946   -163.656339   -407.876370    261.372548    419.383742   -407.299206    360.028937      0.000000    -49.880451    170.384492   -430.348013   -338.261508    117.216186     63.082469     45.446565     41.460353     51.567640      0.000000      0.000000      0.000000    284.917360   -429.613170    316.458291    273.089097   -348.792419    445.367627    169.275394      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000    -85.248735   -194.430252   -353.371271    165.409308		29
W= 77.33097, xmin= -1.05204, parasitic=0.1957, |e|=0.259934	      1.000000   -208.585849    174.541782    310.893955    -18.481602    -30.789398     23.813802    337.557709     48.877536   -366.400182      0.000000    137.894973   -315.634055   -354.829738   -412.870149    252.349018   -183.166358   -343.273189    311.617510   -409.876078      0.000000      0.000000      0.000000    184.786635   -378.055610    169.146393     47.623399    124.192397     28.570206    357.050760      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000    -90.157245    377.037175   -384.557507   -190.976840		30
W= 79.03226, xmin= -0.30832, parasitic=0.2638, |e|=0.815434	      1.000000    429.920178    -92.752839   -205.835975    398.268616    405.821311     84.726572    -67.761897   -315.005987    289.853661      0.000000   -384.183627    418.874593    347.292988    139.861484   -229.521648     99.934211     60.773520   -367.830520    -21.139895      0.000000      0.000000      0.000000     44.425342   -311.261912    322.972103   -319.342236    225.916961   -431.472258    -71.028716      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000      0.000000     86.921880     -9.219812    366.596872   -166.628741		31

4. Order 6

Surprisingly, adding more parameters does not necessarily lead to a higher Widlund-wedge angle α. Here we allow three sets of formulas: Base6, Base7, and Base8 formulas. However, this is in line with the observation that longer cycle lengths do not necessarily lead to better properties.

$ echo 1  1 1  1 1 1  1 1 1 1 : 0  1 1  1 1 1  1 1 1 1 : 0  0 0  1 1 1  1 1 1 1 |  stabregion3 -l- -bBase6:Base7:Base8 -I4:-450:450:98290900 -W64 -E2
W= 67.54653, xmin= -2.46612, parasitic=0.5638, |e|=0.058309	      1.000000    -88.446555    435.464456   -117.740537   -431.402050    214.618546     16.907333    162.333594    -21.472930   -418.266138      0.000000    171.876731   -338.514381    384.374933     59.087540   -162.330710    379.222400   -445.975632   -442.151579    312.069446      0.000000      0.000000      0.000000   -271.713762    380.919014   -329.856794    -60.590089   -412.918937    136.027252    152.041751		1
W= 64.83814, xmin= -3.16497, parasitic=0.4425, |e|=0.058309	      1.000000    -13.214485    134.980326     90.737944   -375.298865    304.552085    123.264925    110.473508    336.647326     50.727389      0.000000   -172.458823    399.626777   -400.442084    392.803025   -252.210321   -420.514298    -29.092094   -115.726488    297.995724      0.000000      0.000000      0.000000     96.084777    196.109788    -79.952175   -145.005340    147.510215     45.013689   -202.934025		2
W= 64.34274, xmin= -2.88622, parasitic=0.5019, |e|=0.058309	      1.000000    -43.778041    293.301196   -178.688029    182.343683    133.998989   -149.736899   -249.880365   -295.396109   -144.262864      0.000000    -83.988942     84.303367    161.245495    195.085171    249.182814   -424.079367    -50.096532      6.542937    433.178927      0.000000      0.000000      0.000000     81.942716   -279.026223    -18.440319    172.155883    213.959567    386.042922   -352.993916		3
W= 64.41311, xmin= -2.76947, parasitic=0.4988, |e|=0.058309	      1.000000    429.891274    332.262385   -336.350680   -280.434834     52.900637   -375.322783   -152.921586   -282.340165     63.225542      0.000000     80.491203   -352.851801    421.938873    216.833885    114.150522   -359.946617   -258.391128    256.745631   -126.615594      0.000000      0.000000      0.000000   -115.497855   -344.470656     37.223312   -114.557889    -59.885618    326.384695     14.538543		4
W= 64.33665, xmin= -3.07332, parasitic=0.6488, |e|=0.058309	      1.000000    134.092175    217.318859   -397.365587    370.105018    339.303002   -163.806734    330.121826   -332.689028     70.507036      0.000000     25.076819   -254.050534   -196.659641    -10.214147   -170.207937    105.575008    335.891065    -67.777670     16.093379      0.000000      0.000000      0.000000    -32.438014    286.067394    -93.826440    -13.404610   -301.722669    178.827710    171.832816		5
W= 64.78222, xmin= -3.35909, parasitic=0.4329, |e|=0.073306	      1.000000    403.394188    339.048191     90.094300   -140.819297    201.065155   -216.978836   -345.711095     39.509429    -98.524046      0.000000   -100.969837    111.776871     43.854476     92.511310    219.967596    -30.397284   -397.974992    189.923862     97.330512      0.000000      0.000000      0.000000     26.016899   -295.834138    147.260237    370.015930    -43.325532    237.149530   -423.817540		6
W= 66.93177, xmin= -1.88617, parasitic=0.4516, |e|=0.058309	      1.000000   -126.638516   -430.330631     -4.022733    283.138826   -393.089286   -435.958863    259.790162   -255.971412    308.804232      0.000000    131.006051   -145.692822   -136.717338    206.596022    240.530382   -395.592709    423.667941   -154.599125   -311.748053      0.000000      0.000000      0.000000    -39.719514    387.562166   -366.080407     84.543102    -43.267088     80.700395     29.356299		7
W= 64.11569, xmin= -2.93310, parasitic=0.4706, |e|=0.058309	      1.000000    150.749641   -435.186016    409.294732   -309.629994   -220.377965     -8.450577    301.074725   -372.794881     75.852452      0.000000   -138.089433    405.094666    152.478191   -418.003449    427.487475   -422.217037   -263.380139   -334.268276    339.059255      0.000000      0.000000      0.000000     38.992905   -387.255739    370.576963   -230.431679    372.031602     72.687390    137.678510		8
W= 64.06113, xmin= -3.30911, parasitic=0.5571, |e|=0.058309	      1.000000    335.002214    337.462483    120.588306    136.646226    -87.265866   -262.413750   -324.082102   -333.662698    277.402512      0.000000   -123.313017    159.569623    202.317900   -250.285578     23.196461   -333.387305    402.691354    -73.760062    -44.498508      0.000000      0.000000      0.000000      7.354448   -433.740933    293.521574   -259.613431   -295.945493    167.420198      8.751970		9
W= 66.51670, xmin= -3.01107, parasitic=0.4875, |e|=0.058309	      1.000000   -415.664580     82.204130   -120.182512     16.838608   -363.882405   -180.515630    -78.752113    224.649560   -357.884440      0.000000   -265.887790    206.933135    215.678197    162.319712   -300.128481   -232.539084    287.222433   -241.351815   -313.365902      0.000000      0.000000      0.000000   -160.390832    296.869658    113.018304     15.350409    102.678938   -145.161457     30.809011		10
W= 65.89447, xmin= -2.98383, parasitic=0.4138, |e|=0.058309	      1.000000    203.396305   -413.254224    245.371353    366.189841     45.955277   -147.202473    301.044792   -172.354110    163.230809      0.000000   -106.331614    322.640172   -432.138897   -175.940468   -305.607161    391.562160     23.691439    302.459051   -385.139379      0.000000      0.000000      0.000000    161.334155    121.074317    272.109080    342.539619   -192.304676   -374.611287   -171.117058		11
W= 64.76285, xmin= -2.94010, parasitic=0.6380, |e|=0.163260	      1.000000   -404.831074    185.848990     95.118830    315.634302    378.790824   -395.555921    421.589437   -294.825022    434.856462      0.000000     33.276794    -24.454388    295.128530   -375.693477    397.949591   -160.864320     12.132652    183.811852   -149.175939      0.000000      0.000000      0.000000    -38.148219   -332.125160    203.162050   -342.316718     37.675720    146.036335    151.888261		12
W= 64.25880, xmin= -1.40200, parasitic=0.4539, |e|=0.058309	      1.000000    392.972182    266.236598   -160.169463    135.205784   -211.214239   -361.915868    337.536101    114.105764     45.197783      0.000000    157.074879   -333.426847    332.735634   -190.196537   -213.019678   -444.927237    318.854045    398.794849    254.154167      0.000000      0.000000      0.000000    -25.674031   -392.890963    337.152707    105.922023     51.281352   -198.924836   -166.488368		13
W= 64.27878, xmin= -1.99496, parasitic=0.4347, |e|=0.058309	      1.000000    203.138291    324.292492    171.861769     82.162456   -391.201476   -194.809987   -440.096251    288.850666    310.671838      0.000000     90.783224   -335.441740   -210.825214   -197.878059    390.624001    432.223491   -155.461488   -167.681818    271.870019      0.000000      0.000000      0.000000    149.818852   -259.238452    321.361956    381.174450    221.561588   -415.386801   -315.450742		14
W= 67.10243, xmin= -2.87977, parasitic=0.5954, |e|=0.058309	      1.000000      2.058993   -110.707419     99.685895    322.733715    328.137822     40.996517   -180.101085    -29.076454    410.091143      0.000000     49.462312   -106.104590    133.283993   -172.886439    154.391392   -374.940887    -38.477206    214.364572   -306.195361      0.000000      0.000000      0.000000     53.725682   -367.444496    402.697528     66.984107    295.427300    -48.492721    134.265987		15

Compare this with the random search when only a single set of base formulas is employed.

$ stabregion3 -bBase6 -W70 -E2 -I4:-450:450:9819300
W= 71.55973, xmin= -0.93024, parasitic=0.3410, |e|=0.105361           1.000000     80.333367   -223.849863   -187.222768    247.089215    191.256628    267.993183   -435.182929    299.708939    390.863079            1
W= 71.15494, xmin= -1.02473, parasitic=0.4990, |e|=0.101590           1.000000    210.589744   -411.930721   -220.038817    444.698526   -403.951154    138.556920   -291.358926    -46.288660     93.732936            2
W= 71.16650, xmin= -1.94530, parasitic=0.5221, |e|=0.112169           1.000000   -153.999303    379.227582    110.422649   -255.016495    281.367423     49.043405   -132.769636     -6.089447     34.969255            3
W= 70.09362, xmin= -1.95606, parasitic=0.6986, |e|=0.100219           1.000000   -189.417638    359.033506   -165.808125    428.535094     26.131632    274.475489   -336.763730    406.544973    166.990216            4
W= 70.72116, xmin= -1.59629, parasitic=0.4165, |e|=0.096505           1.000000     90.976584   -213.406825    196.209245   -371.900940   -206.481614   -313.687606    433.190526   -413.337332   -299.204072            5
W= 70.85822, xmin= -0.52520, parasitic=0.6547, |e|=0.115250           1.000000     66.688945   -216.271079    206.978871   -365.336381   -161.258932    165.992101   -312.604055    317.891180    251.262966            6
W= 71.38589, xmin= -2.16498, parasitic=0.4507, |e|=0.090024           1.000000    415.505456   -304.680505     84.169731   -223.688647   -219.251824     71.296090   -120.618622    143.244295    108.274770            7
W= 71.02675, xmin= -2.35557, parasitic=0.5733, |e|=0.087825           1.000000    294.314160   -294.805531   -141.418955    230.704906   -108.969227   -146.551054    316.051677     89.910843    -91.319845            8
W= 71.35918, xmin= -0.98587, parasitic=0.6184, |e|=0.102140           1.000000     78.002401   -205.136731   -176.462764    340.751218     80.395471    160.343502   -302.565109    336.936158    103.006787            9
W= 71.49847, xmin= -1.11109, parasitic=0.5081, |e|=0.115140           1.000000   -109.401653    187.732547   -355.067729    300.840724   -135.494023    -75.913527    337.052275    110.343754   -270.237408            10
W= 70.67949, xmin= -1.29558, parasitic=0.4727, |e|=0.106940           1.000000    123.975438   -354.795782    171.012361   -240.362262   -169.758584    237.172610   -277.685793    195.966308    269.977209            11
W= 70.48881, xmin= -0.93909, parasitic=0.5908, |e|=0.090745           1.000000    219.955592   -392.118534   -179.887955    283.192780   -260.540073   -141.310752    302.365929    114.696990   -138.459134            12

5. Order 7

Formulas of order 7 constructed of three sets, Base7, Base8, and Base9, with meaningful Widlund-wedge angle α seem to be rare.

$ echo 1  1 1  1 1 1  1 1 1 1 : 0  1 1  1 1 1  1 1 1 1 : 0  0 0  1 1 1  1 1 1 1 |  stabregion3 -l- -bBase7:Base8:Base9 -I4:-50:50:290900 -W25 -E2
W= 34.51907, xmin= -9.52724, parasitic=0.7439, |e|=0.083714	      1.000000    -49.787006    -38.645505      6.246160     25.600818     43.250677      1.454365     25.173615     28.372818     13.979240      0.000000     10.626254     43.010267     40.567520    -20.218042     23.147959     -8.195217    -27.450269     19.901167    -27.594202      0.000000      0.000000      0.000000     -3.554666    -45.485097     38.440671     37.130445     39.256199    -34.162766    -18.724106		1
W= 31.26502, xmin=-12.43616, parasitic=0.5880, |e|=0.048209	      1.000000     17.492427     -4.576355      7.145668    -41.462552     -2.399962     49.740036     41.387687    -28.571193     35.850322      0.000000     10.418379    -49.184722     21.956006     41.467788     45.013661     31.890658    -17.710307     -6.767474    -42.963648      0.000000      0.000000      0.000000      1.433361    -40.024482     33.779467     28.591296    -42.366184      6.906117    -25.016493		2
W= 25.60398, xmin=-14.09364, parasitic=0.5808, |e|=0.048209	      1.000000    -33.900978     43.902329     22.952382    -10.148130    -41.708624      9.594444     18.687829     -1.742980     40.167387      0.000000    -26.121574    -39.982315     39.145232    -31.388292     18.670346    -19.611664    -19.833483     -7.050386     33.771190      0.000000      0.000000      0.000000     14.574235    -44.883959    -40.277183     -1.257618     41.553367     -9.948569    -24.297351		3
W= 29.25813, xmin=-36.49355, parasitic=0.7186, |e|=0.082148	      1.000000     36.079242     23.167975     24.316283    -23.288978     14.013669    -31.278675      5.780114    -47.703691     42.807861      0.000000     -8.448900     -4.274475    -45.690980    -20.973436    -44.588346     -5.167747     47.139403     25.063867     18.470264      0.000000      0.000000      0.000000     26.801371    -22.842860     13.478604     -1.270296     37.630920     -0.845685    -45.203890		4

More restrictive search for higher Widlund-wedge angle again with three sets.

$ echo 1  1 1  1 1 1  1 1 1 1 : 0  1 1  1 1 1  1 1 1 1 : 0  0 0  1 1 1  1 1 1 1 |  stabregion3 -l- -bBase7:Base8:Base9 -I4:-50:50:1290900 -W30 -E2
W= 34.37689, xmin= -8.91417, parasitic=0.6743, |e|=0.048209	      1.000000      4.249818     35.109286    -13.834333     -9.386971    -12.563943      5.293010     11.906956    -41.455168     -6.141531      0.000000    -17.869535     32.883018    -27.801967      9.501506    -49.219814     13.569190     28.023432     29.688017    -33.649409      0.000000      0.000000      0.000000     -2.709722     32.841005    -24.335179    -22.061307     20.227585    -39.047157     39.559018		1
W= 31.71833, xmin=-11.43678, parasitic=0.5273, |e|=0.095614	      1.000000     31.535698    -46.766962    -41.439363     16.826135     -1.883355     39.081585    -29.911468      3.617866    -14.884831      0.000000     11.742047    -40.615529     43.308705     34.206682     36.249833     19.661236     -7.762999     46.453214    -41.924208      0.000000      0.000000      0.000000     -3.375058    -32.868536     12.457608     37.780089     -8.923751     18.559303      1.650041		2

Formulas based on two sets: Base7 and Base8. It seems that more sets make things worse.

$ echo 1  1 1  1 1 1  1 1 1 1 : 0  1 1  1 1 1  1 1 1 1 |  stabregion3 -l- -bBase7:Base8 -I4:-30:30:290900 -W39 -E2
W= 42.59231, xmin= -7.48266, parasitic=0.6977, |e|=0.089804	      1.000000     17.353636    -11.548404    -28.141561     11.698022      4.360216     22.844265    -23.504424     26.919319     -1.901065      0.000000    -14.062553     26.571709      4.320092     19.015367      3.690662      8.649977    -19.878004     21.482587      8.437867		1
W= 41.60076, xmin= -7.82422, parasitic=0.6617, |e|=0.060017	      1.000000      3.145439     22.492435    -15.171445     -4.284414     -6.983982    -22.997626     26.260758    -10.810490     10.135423      0.000000      4.330308    -28.335417      0.748223     17.922552     -6.132793    -22.534954     24.360752      3.006023    -11.082475		2
W= 42.41626, xmin= -7.50200, parasitic=0.6505, |e|=0.053776	      1.000000     13.188587     20.933224      6.926805     -3.639143    -20.359008     13.523800    -17.103283    -22.397818     -2.044400      0.000000    -11.735713     11.600722    -10.072907     26.319121    -19.862325     14.900879    -10.864651      6.660344    -10.787078		3
W= 46.08985, xmin= -6.57422, parasitic=0.7483, |e|=0.068898	      1.000000     13.158079     -4.290486    -23.471374     23.895990    -15.207723     13.820788     -7.758338    -23.925579     10.814226      0.000000      4.707507    -29.957935      0.000253     25.095827    -20.052777    -26.569959      7.896756      0.189629     14.705573		4
W= 40.47451, xmin= -6.45688, parasitic=0.6382, |e|=0.048209	      1.000000      9.059824     19.596926      2.229319     17.123296     12.158903    -10.941999     15.963138     29.162798      5.274658      0.000000    -12.264743     19.840437     -7.380504     12.375592    -27.204160    -12.223831     -5.544771    -18.323775     -0.110944		5
W= 40.92196, xmin= -6.07759, parasitic=0.6805, |e|=0.071077	      1.000000     24.284169    -21.359598    -29.922803     -2.615604      5.097248     -8.682417      9.780683    -25.064353     21.999485      0.000000     -2.320804      3.100529      2.624634     29.746889     -2.060858    -13.200658     29.521064    -25.590068     -6.071131		6
W= 42.50927, xmin= -6.62509, parasitic=0.7239, |e|=0.303188	      1.000000     27.651065      3.209499     21.345156    -18.378918     -3.153724     -2.164946    -21.005093     14.060494     26.611348      0.000000    -16.291830     20.771447     -3.531222     -7.414161     12.147053     26.107446     21.742979    -29.490991    -13.648093		7

Formulas based on the single set Base7 are quite easy to find and yield higher Widlund-wedge angle α.

$ stabregion3 -bBase7 -I4:-30:30:8290900 -W50 -E2 | tee /tmp/b741
W= 51.52616, xmin= -5.63113, parasitic=0.7324, |e|=0.082610           1.000000    -23.043095     14.603635     -6.724500     18.411629     -6.544309     10.354891    -25.605345     12.613725    -14.756356            1
W= 51.22919, xmin= -4.21733, parasitic=0.4866, |e|=0.093339           1.000000      6.458356    -24.228481    -20.055308     27.980043      7.571668    -17.165491     27.787403    -18.338537    -19.534220            2
W= 50.82603, xmin= -4.28453, parasitic=0.7409, |e|=0.079234           1.000000      6.185805    -17.055178    -10.293223     24.685373    -11.871361     26.058411    -19.780656     19.733129    -23.102061            3
W= 50.58450, xmin= -5.04173, parasitic=0.6872, |e|=0.079152           1.000000     -5.300128     14.277660      6.093794    -14.875046      7.028983    -24.942679     15.584798    -13.243981     19.633189            4
W= 50.04870, xmin= -6.57940, parasitic=0.7176, |e|=0.083041           1.000000     22.186644    -16.293885     -2.443787      7.916797      1.838857     -3.999582      6.475088     -6.550578      1.474010            5
W= 50.05823, xmin= -5.96069, parasitic=0.5732, |e|=0.094170           1.000000     11.913590    -22.673872      8.138947    -26.473259     17.210068    -19.775009     13.629897      3.041401      5.238668            6

So it seems that more base sets are detrimental for a larger Widlund-wedge angle.

6. Order 8

Searching with just two base sets: Base8 and Base9.

$ echo 1  1 1  1 1 1  1 1 1 1 : 0  1 1  1 1 1  1 1 1 1 | stabregion3 -l- -bBase8:Base9 -I4:-50:50:290900 -E4
W=  0.00000, xmin=-82.34054, parasitic=0.6835, |e|=0.067029	      1.000000     28.262869    -45.382614    -30.043501     33.285890     37.319181    -47.862164     34.379160     35.083759     37.933542      0.000000     48.422083    -37.469406    -16.634632     -4.907783     25.117292      5.620534    -18.126027     16.960134    -23.056917		1
W=  0.00000, xmin=-67.96211, parasitic=0.7484, |e|=0.368496	      1.000000      9.109440     31.656182     21.059681     47.629395     36.524408    -37.273181     40.656923    -25.979917    -42.338647      0.000000     35.448946    -47.846292    -42.903295     29.320589    -41.043557     14.631502    -43.518774     18.575699     -5.353672		2
W=  7.49330, xmin=-23.29545, parasitic=0.7281, |e|=0.045709	      1.000000     35.247213     17.449506    -18.164306     42.648299     21.328397    -34.784101     16.772620     -2.106495    -18.434175      0.000000     -1.089800    -25.052049     16.678354    -44.842543     13.810216    -24.851581     34.773218    -21.779917    -44.543455		3
W=  0.00000, xmin=-20.28801, parasitic=0.7465, |e|=0.079296	      1.000000     42.317278     46.772628     23.461713    -18.673073     34.490594      4.594882     10.750445    -14.390383     -3.416139      0.000000     -6.985513    -31.409845      8.367073    -46.166143     49.626392     26.598195     -4.547412     14.649090    -10.585631		4
W=  0.00000, xmin=-42.03990, parasitic=0.7352, |e|=0.071334	      1.000000    -38.627712     34.874651    -15.645782     14.061970    -14.536010    -25.001801     23.026256    -24.286294    -38.205960      0.000000     21.196157    -36.920536    -21.732125     41.064098     34.347675     -2.904305     14.780983     16.815697    -24.001789		5
W=  0.00000, xmin=-262.86237, parasitic=0.7211, |e|=0.107967	      1.000000    -32.418975     -7.524365    -48.244494     -4.091966     37.416440    -33.873666     31.127046     -5.515854      2.292268      0.000000     -3.337246     28.373696    -47.552983     -3.446929     13.253201      7.637490    -44.533423     24.230598     -1.100640		6
W=  0.00000, xmin=-24.61936, parasitic=0.7446, |e|=0.040882	      1.000000     -8.390462    -47.294168     21.252309     34.358762     -3.890763    -48.322150    -37.091336     -0.541233    -30.198073      0.000000     21.229063    -38.353983    -21.322983     37.655067    -32.371136    -46.034396     48.130404    -38.993196    -35.067601		7

The third method in detail.

l=4, offset=0, il=10, name=Base8
           1.00000000
          35.24721300     17.44950600
         -18.16430600     42.64829900     21.32839700
         -34.78410100     16.77262000     -2.10649500    -18.43417500
l=4, offset=10, il=10, name=Base9
           0.00000000
          -1.08980000    -25.05204900
          16.67835400    -44.84254300     13.81021600
         -24.85158100     34.77321800    -21.77991700    -44.54345500
linearComb(): l[0..2] = 4 4
lncOffset[0..3] = 0 10 20
fm based on LinearCombination, l=4, colLen=24
LinearCombination, p=8, k=8, l=4
               105.0000      -571.6777         0.0000         0.0000
              -960.0000      9368.3694     -6377.5303         0.0000
              3920.0000    -59358.0280     62436.1871      8170.5872
             -9408.0000    207305.4599   -276062.5564    -86713.2852
             14700.0000   -457707.4191    727850.3529    414734.8316
            -15680.0000    683486.5136  -1273616.5687  -1179014.5269
             11760.0000   -719090.5604   1563070.2849   2210062.2659
             -6720.0000    566297.0032  -1411006.4238  -2844601.8572
              2283.0000   -297247.4885    924598.1289   2812602.9819
                 0.0000     67517.8275   -379441.6256  -2053666.4415
                 0.0000         0.0000     68549.7509    963250.5525
                 0.0000         0.0000         0.0000   -244825.1083
                 0.0000         0.0000         0.0000         0.0000
                 0.0000         0.0000         0.0000         0.0000
                 0.0000         0.0000         0.0000         0.0000
                 0.0000         0.0000         0.0000         0.0000
                 0.0000         0.0000         0.0000         0.0000
                 0.0000         0.0000         0.0000         0.0000
                 0.0000         0.0000         0.0000         0.0000
                 0.0000         0.0000         0.0000         0.0000
               840.0000    -48473.5784     52717.5978   -127734.2136
                 0.0000     26861.3629    -77178.6372    -56654.8466
                 0.0000         0.0000     26771.4350    101717.5102
                 0.0000         0.0000         0.0000    -91844.6290
rho_0              0.000000000           0.000000000           0.000000000          -0.000000000        <-----
rho_1               0.000000000            0.000000000            0.000000000            0.000000000    <-----
rho_2               0.000000000            0.000000000            0.000000000            0.000000000    <-----
rho_3               0.000000000            0.000000000            0.000000000            0.000000000    <-----
rho_4               0.000000000            0.000000000            0.000000000            0.000000000    <-----
rho_5               0.000000000            0.000000000            0.000000000           -0.000000000    <-----
rho_6               0.000000000            0.000000000           -0.000000000           -0.000000000    <-----
rho_7               0.000000000            0.000000000            0.000000000           -0.000000000    <-----
rho_8               0.000000000            0.000000000           -0.000000000           -0.000000000    <-----
rho_9              -0.040881881           -0.045708851            0.030952761           -0.013963007    <-----
Parasitic roots of LinearCombination
        nr      real                    imag                    abs                     4-th root
            0      1.00000000         0.00000000              1.00000000                1.00000000
            1      0.72805888         0.00000000              0.72805888                0.92372272
            2     -0.05091917        -0.45717498              0.46000188                0.82354987
            3     -0.05091917         0.45717498              0.46000188                0.82354987
            4      0.44835329         0.00000000              0.44835329                0.81828594
            5     -0.08928272         0.00000000              0.08928272                0.54662797
            6     -0.04769271         0.00000000              0.04769271                0.46731853
            7      0.02637447         0.00000000              0.02637447                0.40299154
. . .
        10199        73.76601347              0.04215602,       -23.47581         0.02492
        10199        -2.22940150             -0.00096956,       -23.47581         0.02492
        10199         0.00000000             -0.00015400,       -23.47581         0.02492
        10199        -0.24830238              0.00063072,       -23.47581         0.02492

7. Order 9

We haven't yet created a Base10 set, so we couldn't test with two sets of base formulas.

In continuation of Searching for Tendler-like formulas here we search for further Tendler-like formulas. This time we particularly watch for low error constants.

For reference, below are Widlund-wedge angle α and Widlund-distance δ for the original Tendler formulas and for Tischer's formulas. See Tendler-like Formulas for Stiff ODEs.

The new eTendler formulas have below characteristics.

We will see that when we prescribe the error constant we loose on Widlund-wedge angle, Widlund-distance, and parasitic root.

1. Order 3

We employ the program stabregion2.c for the search using random numbers.

$ stabregion2 -b Base3 -I3:-10:10:59000 -r600 -W89.5 -E0.14
W= 89.56934, xmin= -0.00360, parasitic=0.6994, |e|=0.136364           1.000000      3.335559      2.623882      1.477945     -6.120679     -7.546915            1
W= 89.52794, xmin= -0.00397, parasitic=0.5910, |e|=0.136364           1.000000     -9.687612     -2.527196      3.336938     -7.423275     -9.724498            2

2. Order 4

Again, we search with random numbers.

$ stabregion2 -b Base4 -I3:-10:10:2000 -r100 -W78 -E0.096
W= 78.52669, xmin= -0.93122, parasitic=0.6049, |e|=0.096000           1.000000      6.174723      9.151434      1.293058     -4.412818     -8.263781     1
W= 78.52125, xmin= -0.62438, parasitic=0.2035, |e|=0.096000           1.000000      4.588593      0.467625      9.696157     -0.059481     -9.838954     2
W= 80.46735, xmin= -0.29149, parasitic=0.3093, |e|=0.096000           1.000000      4.642505      1.606047      6.561387     -5.370817     -9.787012     3
W= 78.66516, xmin= -0.52590, parasitic=0.2016, |e|=0.096000           1.000000     -8.725426     -2.189642      8.017470     -2.111142     -8.335239     4
W= 80.08353, xmin= -0.49374, parasitic=0.2710, |e|=0.096000           1.000000     -9.096624     -2.132855      3.516639     -1.567879     -4.539268     5
W= 78.00667, xmin= -0.46577, parasitic=0.1835, |e|=0.096000           1.000000     -8.004718     -2.377983     -7.135334      2.866952      6.301039     6
W= 78.59052, xmin= -0.73024, parasitic=0.2260, |e|=0.096000           1.000000      3.683475      2.871425     -4.932404      3.618247      7.881263     7

$ stabregion2 -b Base4 -I3:-10:10:9000 -r600 -W80 -E0.096
W= 80.59363, xmin= -0.61309, parasitic=0.3071, |e|=0.096000           1.000000     -9.325420     -0.012520     -5.553564      1.195361      7.319080            1
W= 80.28302, xmin= -0.37801, parasitic=0.2860, |e|=0.096000           1.000000     -4.825342     -1.320631      4.961141     -3.047921     -6.726809            2

3. Order 5

$ stabregion2 -b Base5 -I4:-1900:1900:899000 -r900 -W74.1 -E0.08
W= 74.31418, xmin= -1.68403, parasitic=0.2051, |e|=0.078685           1.000000  -1491.817515    395.126127  -1792.630306   1110.243650   1534.486280    784.959397   -966.016786   -701.824850   1226.864835            1

$ stabregion2 -b Base5 -I4:-1900:1900:899000 -r900 -W74.1 -E0.089
W= 75.20646, xmin= -1.53885, parasitic=0.2110, |e|=0.087748           1.000000  -1252.368581    660.602768  -1231.700621   1033.954073    527.803206   -933.216358   1661.927947   1245.672615  -1554.875177            1
W= 74.33716, xmin= -1.37348, parasitic=0.1823, |e|=0.087133           1.000000    490.519477     66.562261   1860.739731  -1874.446795  -1668.188156   1420.240414  -1410.230961  -1001.645470    666.853183            2
W= 74.89894, xmin= -1.59237, parasitic=0.3850, |e|=0.081935           1.000000  -1624.672483    609.769408    755.177769   -180.897365   -346.208473    579.514095  -1030.370337   -951.801300   1012.218738            3
W= 74.74018, xmin= -0.61120, parasitic=0.3961, |e|=0.088743           1.000000   1736.941219  -1017.092362   1149.179193  -1528.840154  -1742.299332  -1839.828567    666.834218   -614.143367  -1453.277644            4
W= 75.53897, xmin= -1.36863, parasitic=0.2055, |e|=0.088627           1.000000   1712.818112  -1197.567020  -1443.226169   1087.898172    510.183732  -1455.596397   1304.210881   1870.252325  -1838.881617            5
W= 74.65602, xmin= -1.40860, parasitic=0.2517, |e|=0.085185           1.000000  -1096.204252    144.280540    757.228488   -848.965002  -1310.688236  -1108.842315   1295.166221    -46.098896  -1811.457701            6
W= 74.45184, xmin= -0.92923, parasitic=0.2351, |e|=0.087047           1.000000  -1581.852536    387.822554    872.573450  -1302.307854  -1811.708139  -1562.666218   1068.728308   -619.933340   -938.558801            7
W= 74.59584, xmin= -1.23390, parasitic=0.1926, |e|=0.088355           1.000000  -1767.163161   1215.328023   1345.966971  -1337.707137  -1173.589445   1710.693208  -1082.658330   -807.728682   1214.264965            8
W= 74.19220, xmin= -1.41392, parasitic=0.1600, |e|=0.080024           1.000000   1584.538390   -438.669678  -1498.637018    867.319895    954.161418  -1353.140573   1510.461700   1404.023283  -1230.044727            9
W= 74.26498, xmin= -1.25002, parasitic=0.1660, |e|=0.085538           1.000000   1808.097183  -1026.827791  -1160.187592   1094.737163   1242.728791  -1874.076961    918.040804    636.847498  -1332.949513            10
W= 75.25440, xmin= -1.14900, parasitic=0.1374, |e|=0.083791           1.000000   -872.499296    313.303682    940.672074   -649.843634   -448.661418    840.303013  -1015.153151   -853.675570    636.374128            11

4. Order 6

$ stabregion2 -b Base6 -I4:-1900:1900:1099500 -r900 -W66.1 -E0.09
W= 67.55345, xmin= -1.45207, parasitic=0.3118, |e|=0.083147           1.000000    331.108370   -484.790354   -943.081133   1775.798064    772.642075   1475.012880  -1579.506075   1323.542728    887.719731            1
W= 66.63496, xmin= -1.52131, parasitic=0.3734, |e|=0.087649           1.000000  -1426.017726   1774.952404    756.547810  -1549.081344   -412.092170   -885.455680    699.925019   -488.372693   -132.457100            2
W= 70.34158, xmin= -2.21298, parasitic=0.4175, |e|=0.089965           1.000000   -516.363044   1032.062293    878.714645  -1423.809312  -1183.216422  -1320.767055   1409.360907  -1121.281874  -1043.276621            3

Below formulas don't really get any better.

$ stabregion2 -b Base6 -I4:-1900:1900:1099500 -r900 -W66.1 -E0.09
W= 66.10921, xmin= -2.89189, parasitic=0.4068, |e|=0.088087           1.000000    777.743818   -463.908836   1003.734617  -1881.742311     64.067672   1261.830874  -1314.519519   -851.818241    636.247183              1
W= 66.41275, xmin= -2.83390, parasitic=0.2920, |e|=0.087356           1.000000    417.267233   -351.655661    623.341664  -1559.465815  -1244.346654   1345.875578  -1854.407306   1893.154591   1674.290334              2
W= 66.49257, xmin= -2.81394, parasitic=0.5255, |e|=0.086813           1.000000   1093.920090   -476.591234   -545.775038   1456.897303   1421.628310   1309.632896  -1637.645096   1675.884867   1092.694957              3
W= 67.04915, xmin= -2.64442, parasitic=0.5746, |e|=0.083940           1.000000   -684.650596   1034.047474    191.755691   -406.904827   -271.014904   1716.142605  -1815.428518   1537.632044    647.282132              4
W= 66.40144, xmin= -2.46850, parasitic=0.4717, |e|=0.085470           1.000000   -772.258784   1167.280541   -445.968061    920.404948    432.282382   1450.420341  -1351.899530    937.758821    296.142070              5
W= 68.12433, xmin= -2.09311, parasitic=0.3225, |e|=0.087345           1.000000  -1455.559408   1189.915637    790.086088  -1864.395957  -1232.425752   1142.640999  -1454.911389   1346.054102    787.678130              6
$ stabregion2 -b Base6 -I4:-1900:1900:1099500 -r900 -W66.1 -E0.09
W= 69.39934, xmin= -2.35118, parasitic=0.3066, |e|=0.084166           1.000000   -366.768582    584.012171   -886.816493   1758.921374    841.323012  -1323.201066   1507.692545  -1225.693841  -1304.468235            1
W= 67.07043, xmin= -1.98584, parasitic=0.3019, |e|=0.085861           1.000000   -698.288224   1236.536907   1472.042742  -1685.730268   1204.284695   -900.003534   1743.047495    957.758375   -950.733943            2
$ stabregion2 -b Base6 -I4:-1900:1900:1099500 -r900 -W66.1 -E0.09
W= 66.22433, xmin= -1.93776, parasitic=0.4520, |e|=0.085693           1.000000  -1109.366295   1773.528426   -913.259153   1853.229863    752.930646  -1569.830832   1868.024515  -1476.688091   -468.598571            1
W= 68.08989, xmin= -2.51212, parasitic=0.4128, |e|=0.085143           1.000000   1280.640873  -1672.090745   -719.755459   1466.828140    681.221052  -1863.334099   1112.660300   -663.115698   -189.352203            2
W= 67.28186, xmin= -2.26165, parasitic=0.5384, |e|=0.083420           1.000000   -942.888268   1326.322755   -789.139652   1775.537325   1496.273632   -872.459389   1174.793850  -1361.756217   -879.110473            3
W= 66.32962, xmin= -1.86160, parasitic=0.4837, |e|=0.088438           1.000000    489.025963   -346.624518    710.923641  -1739.665606  -1169.415134  -1123.536735   1660.239406  -1584.703722   -566.135225            4
$ stabregion2 -b Base6 -I4:-1900:1900:1099500 -r900 -W66.1 -E0.09
W= 66.91742, xmin= -2.75146, parasitic=0.2836, |e|=0.087787           1.000000   -569.033533   1069.068050    724.051144  -1466.872054   -733.236224  -1368.895444   1704.712395  -1458.867723  -1621.567683            1
W= 67.45387, xmin= -1.76458, parasitic=0.3361, |e|=0.082292           1.000000  -1063.991192   1666.038072    362.224662   -450.969250    316.529548   1007.603421  -1712.275173   -941.703188    627.306638            2
W= 66.48618, xmin= -1.94415, parasitic=0.3932, |e|=0.088613           1.000000  -1026.274656   1882.488117    628.441346  -1313.531895   -321.774302   1778.007676  -1528.261739   1162.372964    398.534392            3
W= 68.06953, xmin= -2.65866, parasitic=0.2529, |e|=0.085302           1.000000   -305.201445    451.856199   1280.149981  -1866.213196   1107.241556   -979.668034   1485.078793   1313.071549  -1158.804508            4
W= 66.11887, xmin= -2.10597, parasitic=0.2568, |e|=0.078862           1.000000   -492.632733    650.274411   1592.767962  -1546.770437    725.816435   -869.915017   1839.103659   1133.129678  -1228.089256            5
W= 67.75929, xmin= -2.00557, parasitic=0.2927, |e|=0.084694           1.000000   1082.418891  -1314.032462   -898.452311   1349.638973   -558.393120   1036.462825  -1899.741000   -646.812846    974.382845            6

5. Order 7

$ stabregion2 -b Base7 -I4:-1900:1900:1099500 -r900 -W40.1 -E0.07
W= 41.94816, xmin= -6.82533, parasitic=0.5064, |e|=0.069498           1.000000    604.400265   -929.052367    520.837200  -1100.667375   -241.026895   1607.804974  -1778.079749   1469.747897    875.458526            1
W= 43.20235, xmin= -7.50878, parasitic=0.5408, |e|=0.067023           1.000000   -776.178510   1380.220808   -605.393131   1130.614447    290.072447  -1660.672501   1717.192304  -1093.818981  -1398.643812            2
W= 40.55719, xmin= -7.21602, parasitic=0.5691, |e|=0.068968           1.000000    462.612438   -710.638771    705.156252  -1195.468181    635.804851  -1838.033046   1601.028736   1552.644522   -791.168046            3
W= 40.83142, xmin= -7.97041, parasitic=0.5265, |e|=0.069279           1.000000  -1058.519862   1074.530646  -1353.715455   1678.393659    -56.256967    542.307884  -1282.895924   -291.082958    890.164289            4
W= 40.48440, xmin= -6.45767, parasitic=0.6742, |e|=0.067784           1.000000    640.563826  -1180.497876    936.083292  -1448.093006    525.906850  -1501.635942   1089.553202    410.402179   -438.353162            5
W= 40.18680, xmin= -7.65083, parasitic=0.6002, |e|=0.066508           1.000000  -1465.482996   1674.200029   -884.223738   1673.487634    508.354938   1725.926060  -1793.674594    747.162553   1254.954011            6
$ stabregion2 -b Base7 -I4:-1900:1900:1099500 -r900 -W40.1 -E0.07
W= 41.42166, xmin= -9.82521, parasitic=0.4210, |e|=0.066272           1.000000   1236.188284  -1808.160341   1126.292246  -1679.801885    909.605818  -1191.758587   1887.441802   1295.949128  -1612.483830            1
W= 40.36240, xmin= -9.58647, parasitic=0.5251, |e|=0.065729           1.000000   -968.693470   1188.004256    610.692301  -1216.555984   -719.153902  -1784.007621   1864.718312  -1357.790974  -1577.915290            2
W= 40.45280, xmin= -7.13364, parasitic=0.6838, |e|=0.067193           1.000000   -780.795789    506.937029    671.842933  -1257.171471   -191.646258    644.053859  -1137.012644    246.705772    498.893610            3
W= 46.81597, xmin= -6.51908, parasitic=0.4308, |e|=0.068767           1.000000    681.091183  -1233.682610   -890.294075   1855.390968    514.351326   -953.372885   1424.568886  -1322.828240   -647.160123            4

6. Order 8

$ stabregion2 -b Base8 -I4:-1900:1900:1099500 -r1400  -E0.05
W=  0.00000, xmin=-23.85777, parasitic=0.6766, |e|=0.048399           1.000000   1887.256462  -1035.917921  -1007.169342   1231.223647    822.188747   1682.595870  -1709.029070   -474.801023   1536.391356            1
W=  0.00000, xmin=-513.58927, parasitic=0.6778, |e|=0.044933          1.000000   1475.503275   -832.927478     93.207109   1278.271777  -1129.167000   -720.790624  -1547.021667  -1111.843338   1404.176119            2
W=  0.00000, xmin=-176.02952, parasitic=0.7454, |e|=0.040882          1.000000   -585.347260   -721.840790   -249.374842     20.963422   1171.825122  -1048.687503  -1505.200219   1128.745873  -1843.950602            3
W=  0.00000, xmin=-111.39488, parasitic=0.7305, |e|=0.040882          1.000000   1180.692065      9.269570   -238.044717    -87.989443    730.150525   -848.945749   -583.824082   1490.722406  -1510.606463            4
W=  0.00000, xmin=-42.44942, parasitic=0.7074, |e|=0.048062           1.000000   1884.500963   -231.040531  -1116.089647   1442.308622   1433.176484   -763.342553   1087.766794    755.733718  -1812.126287            5
W=  0.00000, xmin=-31.13149, parasitic=0.7322, |e|=0.048026           1.000000   1464.863516  -1305.078037   1317.524158  -1419.509962   -549.927224    978.144408  -1274.578366  -1040.095413   1859.378833            6
W=  0.00000, xmin=-122.87497, parasitic=0.6960, |e|=0.049351          1.000000   -396.471382    454.988598  -1226.771985   -265.654099   1435.930816   -356.245894   -615.321618   1655.269703  -1133.700838            7
W=  0.00000, xmin=-187.37440, parasitic=0.6242, |e|=0.040882          1.000000    936.734284    829.835423    685.155070   1005.491085  -1306.343359   -305.727304     43.252381   1877.639396  -1025.981211            8
W=  0.00000, xmin=-41.74583, parasitic=0.7208, |e|=0.049830           1.000000   1475.927015  -1557.606702   -465.305102    645.924265    345.597859   -878.147686   -116.514129    997.536019  -1570.976615            9
W=  0.00000, xmin=-48.46757, parasitic=0.6751, |e|=0.048326           1.000000   -639.841356    649.520124   1591.607647  -1858.621137  -1325.482235   -785.060208     68.735301   1313.552262  -1836.762112            10
W=  0.02785, xmin=-23.54848, parasitic=0.6394, |e|=0.048973           1.000000  -1149.074731   1262.745407   1614.956209  -1762.078435   -268.729817   1205.705699  -1187.735828  -1074.378044   1251.230795            11
W=  0.14471, xmin=-23.69321, parasitic=0.6383, |e|=0.049722           1.000000   1755.807518  -1772.726701  -1255.350352   1814.943391   1303.016747  -1289.925655   1196.057832   -266.187408  -1428.783815            12
W=  0.00000, xmin=-179.25813, parasitic=0.7192, |e|=0.040882          1.000000    707.567714   1291.548005    493.649594   -172.511800  -1352.259319    479.847960    488.736186  -1738.382843    886.413860            13
W=  0.00000, xmin=-74.92529, parasitic=0.7264, |e|=0.045020           1.000000  -1520.719189    876.351998  -1129.515740    832.168443   1507.417644    175.605164     72.244941   -446.362741    529.810811            14
W=  0.00000, xmin=-45.04340, parasitic=0.6982, |e|=0.049245           1.000000   1054.501705  -1195.716079   -328.786365    387.184316    287.952548   -738.145733    271.656352   1087.269981  -1820.330214            15
W=  0.00000, xmin=-257.95909, parasitic=0.6958, |e|=0.040882          1.000000   1774.058735   1050.777827  -1885.341121   -808.716280   1599.936578   -237.165686   -964.458272   1866.747880   -761.720810            16
W=  0.00000, xmin=-245.11378, parasitic=0.6810, |e|=0.047281          1.000000   -890.338809    782.113738    982.470328    391.431984  -1694.916969     96.729519    878.703770   -409.121653   -194.516133            17
W=  0.00000, xmin=-188.19747, parasitic=0.7437, |e|=0.040882          1.000000   1613.225604    572.352618   -314.824608   -705.546246   1818.295876   1684.336705   1586.817791   -732.380468   1169.107483            18
W=  0.00000, xmin=-35.54136, parasitic=0.6592, |e|=0.049764           1.000000    200.262601   -163.361730  -1441.139532   1757.722424    185.357370   -250.035159    441.624109    325.011823   -555.213909            19
W=  0.00000, xmin=-194.26458, parasitic=0.7466, |e|=0.045204          1.000000   1412.355014   -849.032482   -345.758821  -1384.854380   1793.222670   -975.180725  -1587.901451    381.241703    124.431518            20
W=  0.00000, xmin=-190.15261, parasitic=0.6549, |e|=0.040882          1.000000   1650.638868    120.878463    340.728352    944.620954  -1826.707751    801.091257    723.157884   -894.558731   1355.555690            21
W=  0.00000, xmin=-52.97417, parasitic=0.7485, |e|=0.047320           1.000000   1851.725143    723.872535   -371.232556    457.549074   1072.883990    350.161394   -461.711870    -79.557471   1162.292805            22
W=  0.00000, xmin=-51.22602, parasitic=0.7270, |e|=0.048297           1.000000   1684.304709  -1703.525632    526.510580    -36.263800  -1181.625893   -362.550077    418.453136    559.019841  -1254.580573            23
W=  0.00000, xmin=-85.44861, parasitic=0.7042, |e|=0.047948           1.000000    678.890110   -655.756404   1251.044723    134.716159  -1679.169324   -412.232047   -137.371602   1392.412048  -1211.229781            24
W=  0.00000, xmin=-45.20671, parasitic=0.7251, |e|=0.047838           1.000000  -1733.036218    718.344552    892.946576  -1160.408085  -1280.002521   -623.396178    638.184774    533.721161  -1804.260148            25
W=  0.00000, xmin=-121.39983, parasitic=0.7379, |e|=0.044937          1.000000  -1877.143577   1060.523019   -370.771386    -10.185957    533.260376    334.704346    720.977849  -1319.530974    873.569898            26
W=  0.00000, xmin=-48.43030, parasitic=0.7110, |e|=0.047750           1.000000   -862.094807    810.401745    579.690995   -395.415089   -470.515753    427.136262   -497.433835   -891.840080   1277.174692            27
W=  0.00000, xmin=-190.44704, parasitic=0.5666, |e|=0.040882          1.000000    313.952344     61.170909    213.642056    204.374189   -865.133420    751.703233   1415.395593  -1165.514410    659.051952            28
W=  0.00000, xmin=-37.26504, parasitic=0.7364, |e|=0.046796           1.000000   1128.694962   -919.091451  -1086.702152    485.713689   1313.404502    991.436045  -1098.628630  -1364.271296   1893.178776            29

Checking on solution #12.

$ echo 1 1755.807518  -1772.726701  -1255.350352   1814.943391   1303.016747  -1289.925655   1196.057832   -266.187408  -1428.783815 | stabregion2 -b Base8 -l- -r64000 -d
Base8, p=8, k=8, l=9, cpLen=18
        -2283.00000000  -105.00000000     15.00000000     -5.00000000      3.00000000     -3.00000000      5.00000000    -15.00000000    105.00000000
        6720.00000000   -1338.00000000  -240.00000000     60.00000000    -32.00000000     30.00000000    -48.00000000    140.00000000   -960.00000000
        -11760.00000000 2940.00000000   -798.00000000   -420.00000000    168.00000000   -140.00000000    210.00000000   -588.00000000   3920.00000000
        15680.00000000  -2940.00000000  1680.00000000   -378.00000000   -672.00000000    420.00000000   -560.00000000   1470.00000000   -9408.00000000
        -14700.00000000 2450.00000000   -1050.00000000  1050.00000000      0.00000000   -1050.00000000  1050.00000000   -2450.00000000  14700.00000000
        9408.00000000   -1470.00000000   560.00000000   -420.00000000    672.00000000    378.00000000   -1680.00000000  2940.00000000   -15680.00000000
        -3920.00000000   588.00000000   -210.00000000    140.00000000   -168.00000000    420.00000000    798.00000000   -2940.00000000  11760.00000000
         960.00000000   -140.00000000     48.00000000    -30.00000000     32.00000000    -60.00000000    240.00000000   1338.00000000   -6720.00000000
        -105.00000000     15.00000000     -5.00000000      3.00000000     -3.00000000      5.00000000    -15.00000000    105.00000000   2283.00000000
         840.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000
           0.00000000    840.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000
           0.00000000      0.00000000    840.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000
           0.00000000      0.00000000      0.00000000    840.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000
           0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000    840.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000
           0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000    840.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000
           0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000    840.00000000      0.00000000      0.00000000
           0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000    840.00000000      0.00000000
           0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000      0.00000000    840.00000000
fname=-, l=4, il=10
           1.00000000
        1755.80751800   -1772.72670100
        -1255.35035200  1814.94339100   1303.01674700
        -1289.92565500  1196.05783200   -266.18740800   -1428.78381500
fm based on LinearCombination, l=4, colLen=24
LinearCombination, p=8, k=8, l=4
               105.0000         0.0000         0.0000         0.0000
              -960.0000    210950.6899         0.0000         0.0000
              3920.0000  -1933756.9554   -152520.8541         0.0000
             -9408.0000   7925128.7707   1396683.6088   -150427.6468
             14700.0000 -19124545.3798  -5714526.5769   1375690.2064
            -15680.0000  30153550.9321  13748613.5181  -5615660.1944
             11760.0000 -32742878.3832 -21532093.8980  13442801.3215
             -6720.0000  25860112.9126  22830758.9539 -20671522.5895
              2283.0000 -14170934.8469 -19059046.3450  23649558.8599
                 0.0000   3822372.2600  11177072.6419 -19498442.4828
                 0.0000         0.0000  -2694941.0488  10290467.8318
                 0.0000         0.0000         0.0000  -2822465.3060
                 0.0000         0.0000         0.0000         0.0000
                 0.0000         0.0000         0.0000         0.0000
                 0.0000         0.0000         0.0000         0.0000
                 0.0000         0.0000         0.0000         0.0000
                 0.0000         0.0000         0.0000         0.0000
                 0.0000         0.0000         0.0000         0.0000
                 0.0000         0.0000         0.0000         0.0000
                 0.0000         0.0000         0.0000         0.0000
               840.0000  -1489090.4288   1094534.0675  -1200178.4046
                 0.0000   1474878.3151   1524552.4484   -223597.4227
                 0.0000         0.0000  -1054494.2957   1004688.5789
                 0.0000         0.0000         0.0000  -1083537.5502
rho_0              0.000000000          -0.000000001           0.000000004           0.000000001        <-----
rho_1               0.000000000           -0.000000000           -0.000000000            0.000000000    <-----
rho_2               0.000000000           -0.000000000           -0.000000000            0.000000000    <-----
rho_3               0.000000000           -0.000000000           -0.000000000            0.000000000    <-----
rho_4               0.000000000            0.000000000           -0.000000000            0.000000000    <-----
rho_5               0.000000000           -0.000000000           -0.000000000            0.000000000    <-----
rho_6               0.000000000           -0.000000000           -0.000000000            0.000000000    <-----
rho_7               0.000000000           -0.000000000           -0.000000000            0.000000000    <-----
rho_8               0.000000000           -0.000000000           -0.000000000            0.000000000    <-----
rho_9              -0.040881881           -0.048283413           -0.049721675           -0.047069863    <-----
. . .
        63999        -0.00000000             -0.00002454,       -23.69333         0.00317
        63999        -0.26987232              0.00009273,       -23.69333         0.00317

7. Order 9

Surprisingly, there is a 4-stage cyclic formula of order 9. However, its Widlund-δ-distance is enormous.

$ stabregion2 -b Base9 -I4:-1900:1900:1099500 -r19500  -E0.05
W=  0.00232, xmin=-376.86583, parasitic=0.6895, |e|=0.035349          1.000000   1285.147501    630.706237    258.664447   -133.593623  -1256.384007   -794.490164  -1351.699759   1475.827104  -1330.879604            1

Searching for 5-stage cyclic formulas.

$ stabregion2 -b Base9 -I5:-1900:1900:2099500 -r19500  -E0.05
W=  0.00000, xmin=-77.99213, parasitic=0.6481, |e|=0.046158           1.000000   -635.929995   1197.438115  -1705.402704   1736.138997   1799.824913  -1885.217062   -364.365106  -1868.833292    332.614681   1836.415456   -906.179706   -372.683443  -1753.289873   1211.838718              1
W=  0.00000, xmin=-95.71107, parasitic=0.7170, |e|=0.043922           1.000000    653.266267   -695.552005    742.248596   -399.821459  -1568.054703   -475.082850    803.267298   -299.222882  -1712.011932   -686.161477   -393.089533    855.504204   -383.521770    715.098937              2
W=  0.00000, xmin=-87.09916, parasitic=0.6843, |e|=0.041257           1.000000   1641.882781   -219.270218   1728.848482  -1441.475710    221.042597  -1587.316427    336.948242  -1017.479202    965.230519   -873.485619   1476.915671   1711.232141  -1769.201903    514.970838              3
W=  0.00000, xmin=-93.20954, parasitic=0.7077, |e|=0.042560           1.000000  -1169.995357    924.058730   1330.388072  -1361.477472   1654.715396   1147.463239   -590.188946  -1684.961322    648.748375   1250.070060   -212.286528   1149.045875   1747.626462  -1779.754762              4
$ stabregion2 -b Base9 -I5:-1900:1900:3099500 -r19500  -E0.05
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W=  0.00000, xmin=-135.67292, parasitic=0.7267, |e|=0.046149          1.000000   -513.538976    966.289438   1752.519109  -1480.794223   -544.351124   -563.548812     52.359850    340.471937  -1183.335764  -1607.926942  -1864.386294    985.420325    862.198047     51.540752              2
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W=  0.00634, xmin=-126.43438, parasitic=0.6879, |e|=0.044570          1.000000   1544.033244    -17.007798    877.011835    774.025823   -706.931386   1472.441772  -1471.650435   -929.256095   -965.274164   -556.778211   1034.080630    535.852385   -501.857101   -476.703132              4
W=  0.00000, xmin=-132.67919, parasitic=0.7149, |e|=0.042009          1.000000    514.659729   -469.198973   1547.803775    510.306623    573.495462   1629.600035   -793.678072   -263.161259  -1013.882639    824.641169  -1551.997124  -1830.889100   1781.564551   -432.675743              5
W=  0.00000, xmin=-96.34673, parasitic=0.6749, |e|=0.047176           1.000000  -1799.701667   -880.734083   1851.738765   -828.255398  -1699.556379  -1860.835088    665.213522    716.054189    643.126991    802.133831  -1887.182379   -634.294542   1459.233782    187.714336              6

Details on the surprising 4-stage formula.

$ echo 1 1285.147501    630.706237    258.664447   -133.593623  -1256.384007   -794.490164  -1351.699759   1475.827104  -1330.879604 | stabregion2 -b Base9 -l- -r360100 -d
Base9, p=9, k=9, l=10, cpLen=20
        -7129.00000000  -280.00000000     35.00000000    -10.00000000      5.00000000     -4.00000000      5.00000000    -10.00000000     35.00000000   -280.00000000
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LinearCombination, p=9, k=9, l=4
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rho_2               0.000000000            0.000000000           -0.000000000           -0.000000000    <-----
rho_3               0.000000000            0.000000000           -0.000000000           -0.000000000    <-----
rho_4               0.000000000            0.000000000           -0.000000000           -0.000000000    <-----
rho_5               0.000000000            0.000000000           -0.000000000           -0.000000000    <-----
rho_6               0.000000000            0.000000000           -0.000000000           -0.000000000    <-----
rho_7               0.000000000            0.000000000           -0.000000000           -0.000000000    <-----
rho_8               0.000000000            0.000000000           -0.000000000           -0.000000000    <-----
rho_9               0.000000000            0.000000000           -0.000000000            0.000000000    <-----
rho_10             -0.035348576           -0.032789014           -0.032492071           -0.024239692    <-----
. . .
        360099        1.58070137              0.00004958,       -376.86584        0.00077
        360099       -0.00000000             -0.00000436,       -376.86584        0.00077
        360099        0.15016818             -0.00000836,       -376.86584        0.00077

This is in continuation of:

1. Stability Regions for BDF and Tendler's Formulas
2. Stability Regions for Tischer's Formulas

We analyze below method from Rubin, see his Fig. 4.2. Also see Weitere zyklische und blockimplizite lineare Mehrschritt-Verfahren.

The error constant is

The stability polynomial has roots at 1 and 3.5, and therefore by definition is not D-stable. By a continuity argument it can hence not be A-stable. I.e., in the vicinity of zero its roots are less than one in magnitude, by definition of A-stability. But at exactly zero the zero jumps to 3.5. That cannot be.

Rubin1, p=4, k=2, l=2
            0.0000        56.0000
           24.0000       -72.0000
          -24.0000         0.0000
            0.0000        16.0000
            1.0000       -21.0000
          -13.0000       -39.0000
          -13.0000        33.0000
            1.0000         3.0000
rho_0       0.000000000           0.000000000
rho_1      -0.000000000           0.000000000
rho_2      -0.000000000           0.000000000
rho_3      -0.000000000           0.000000000
rho_4      -0.000000000           0.000000000
rho_5       0.015277778           0.081250000  <-----

1. Stability region.

Below is the output of:

stabregion2 -f Rubin1 -oj -r600

Just looking at this stability region one could assume that the method is A-stable.

Truth is, it is not.

2. Stability mountain.

Below is the output of:

stabregion2 -f Rubin1 -o3 -r600 -L29

Rubin1 stability mountain.

Subject Classification: Mathematics Subject Classification 65L04 65L06; CR: G.1.7.

• 1. Introduction
• 2. Consistency and stability
• 3. Convergence result
• 4. New cyclic linear multistep formulas
• 5. Numerical results
• 6. Summary and conclusions
• 7. References

1. Introduction

We consider the numerical solution of the ordinary differential equation, the initial value problem

Assume that $f:[t_0,t_\text{end}]\times\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ is Lipschitz-continuous in $y$ for all $t$, and continuous in $t$. We will use cyclic linear multistep methods for this, i.e., we will employ a fixed set of linear multistep methods and cycle through them.

Cyclic linear multistep methods are attractive for a number of reasons:

1. They are not subject to Dahlquist's first and second barriers.
2. They share the same low overhead per step as linear multistep methods.
3. They offer more parameters to attain desirable stability or accuracy properties than linear multistep methods.

Below is an example of an order-four cyclic composite method, which we call eTendler4 (enhanced Tendler4). It cycles through three different linear multistep methods for some fixed step size $h\in\mathbb{R}$, $m=1,2,\ldots$:

The first stage of eTendler4 is the standard BDF4 (the classic backward differentiation formula of order 4). Each stage is a 4-step linear multistep formula.

In addition to the initial value $y_0$, the above difference method needs three starting values $y_1$, $y_2$, and $y_3$ and will then produce discrete values $y_k$ for $k=4,5,\ldots$, as approximations of order ${\mathcal O}(h^4)$ to the desired function $y$, $\dot y_k = f(t_k,y_k)$, $t_k=t_0+kh$. These starting values can be generated using lower-order methods with fewer required starting values and a smaller step size $|h|$.

In a later chapter it will be shown that the above method converges for sufficiently small $|h|$ for a wide range of functions $f$.

The difference equation above can be expressed in matrix-vector form:

with

and

and

Stability of this cyclic method is now governed by the two matrix polynomials

All stages in eTendler4 are implicit and must therefore be solved iteratively (fixed-point or Newton).

The stages of a composite method might be explicit or implicit. They might have different orders, and might require a different number of starting values.

2. Consistency and stability

1. Consider the multistep method

and

The consistency conditions are:

The consistency matrix $C_{p,k}$ for a linear $k$-step method of consistency order $p$ is given by the following equation

2. Theorem: The following eight propositions are equivalent. Therefore any of these statements can be used as a definition for consistency of order $p$.

(1) $C_{p,k} \binom{\alpha}{\beta}= {\bf0}$, so $(\alpha,\beta)^\top\in\ker C_{p,k}$.

(2) $\sum_{i=0}^k \alpha_i i^q = q\sum_{i=0}^k \beta_i i^{q-1}$, for $q=0,1,\ldots,p$.

(3) $\rho(e^h)-h\sigma(e^h)={\mathcal O}(h^{p+1})$, for $h\to 0$.

(4) $\zeta=1$ is a zero of multiplicity at least $p$ of the function

so $\rho(\zeta)/\ln\zeta=\sigma(\zeta)+{\mathcal O}\bigl((\zeta-1)^p\bigr)$, for $\zeta\to 1$.

(5) $L(f,t,h)={\mathcal O}(h^{p+1}),\quad\forall f\in C^{p+2}(G,\mathbb{C}{})$.

(6) The monomials up to the degree $p$ lie in the kernel of the $h=1$ cut of $L$; therefore $L(t^i,t_0,1)=0$, for $i=0,1,\ldots,p$.

(7) $L(f,t_0,h)={\mathcal O}(h^{p+1})$, for the special function $t\mapsto f(t)=e^t$.

(8) $L(y,t_0,h)=c_{p+1}h^{p+1}y^{(p+1)}(t_0)+{\mathcal O}(h^{p+2})$ with

The factor $c_{p+1}$ is called the unscaled error constant.

Proof: Mostly trivial reformulations. See Hairer/Wanner/Norsett (2008), Thm. III.2.4.     ☐

3. Our composite method is

$\varphi(\cdot)$ also depends on $h$, $t_{n+i}$, and $f$, but for brevity we omit that. This general method is called general linear method in Butcher (2016) and Hairer/Wanner/Norsett (2008). The characteristic polynomial is

The stability region of a method is the area

This set is not necessarily connected, i.e., it might contain holes. See, for example, the two block-implicit methods of order 8 and 10 from Bickart/Picel (1973).

The stability mountain is the set

This mountain is interesting for observing how fast $|\mu|$ decays, i.e., the gradient.

4. Definition. Slightly deviating and expanding from Tendler/Bickart/Picel (1978). For real values $\alpha\ge0$, $\delta\ge0$, $r\ge0$, let

1. A method is $D$-stable if the Jordan triple for the matrix polynomial $Q(\mu,0)$ has all its eigenvalues in the closed unit disc with all eigenvalues of magnitude 1 lying in $1\times1$ blocks, see Butcher (2016), Thm 142C.
2. The eigenvalues not equal to 1 for $Q(\mu,0)$ with the greatest magnitude are called the parasitic roots.
3. A method is $A[\alpha]$-stable if ${\mathcal A}[\alpha]$ is a subset of the stability region.
4. The largest $\alpha$ for which a method is $A[\alpha]$-stable is called the Widlund-wedge angle $\alpha$.
5. A method is $S[\delta]$-stable if ${\mathcal S}[\delta]$ is a subset of the stability region.
6. The smallest $\delta$ for which a method is $S[\delta]$-stable is called the Widlund-distance $\delta$.
7. If $\alpha=90^\circ$ or $\delta=0$ then the method is called $A$-stable.
8. An $A[\alpha]$-stable method with the additional property that for $\mathop{\rm Re}\nolimits H\to-\infty$ all $|\mu|<r$ is called $A_\infty^r[\alpha]$-stable. The smallest $r$ is of interest.
9. An $S[\delta]$-stable method with the additional property that for $\mathop{\rm Re}\nolimits H\to-\infty$ all $|\mu|<r$ is called $S_\infty^r[\delta]$-stable.
10. For $r<1$ we abbreviate with $A_\infty[\alpha]$- and $S_\infty[\delta]$-stable. For $r=0$ the limit $r\to 0$ is meant. An $A_\infty^0[90^\circ]$-stable method is called $L$-stable, see Hairer/Wanner (2010), definition 3.7.

5. Examples. The above stability characteristics manifest in all shapes and forms.

1. The explicit Euler method, $y_{n+1} = y_n + h f(t_n,y_n)$, is $D$-stable but not $A$-stable, nor $A[\alpha]$-stable.
2. The implicit Euler method (=BDF1), $y_{n+1} = y_n + h f(t_{n+1},y_{n+1})$, and the BDF2 are $D$-stable and $A$-stable.
3. The BDF$i$ are $D$-stable for $i=1,\ldots,6$, and are unstable for all $i\ge7$, see Hairer/Wanner/Nørsett (2008), III.3, Thm 3.4.
4. The BDF$i$ ($i=1,\ldots,6$) are $A_\infty^0[\alpha]$-stable with $\alpha$ being 90°, 90°, 86.03°, 73.35°, 51.84°, 17.84°, respectively, see Akrivis/Katsoprinakis (2020).
5. All Tischer cyclic composite formulas, see Tischer (1983) and Tischer/Sacks-Davis (1983), are $A_\infty^0[\alpha]$-stable and $S_\infty^0[\delta]$-stable and have equal to zero parasitic roots. These properties are highly desirable for the integration of stiff systems.
6. The 5-step cyclic linear multistep method with 5 stages of order seven from Mihelcic/Wingerath (1981) is $A[44.8^\circ]$- and $S[6]$-stable. The $\alpha$ given in Mihelcic/Wingerath (1981) is slightly smaller.
7. The linear multistep formula of order nine from Gupta (1985) used in DSTIFF is $S_\infty^{0.989}[2.086]$-stable.
8. The DSTIFF formula of order 10 from Gupta (1985) is $A_\infty^{0.878}[63.74^\circ]$-stable.
9. The new formulas eTendler8 and eTendler9 are $S_\infty^0[\delta]$-stable but not $A[\alpha]$-stable.

3. Convergence result

The proof of the convergence result is conducted in the setting of matrix polynomials, see Gohberg/Lancaster/Rodman (1978) or Gohberg/Lancaster/Rodman (2009).

For the differential equation we can confine ourselves to the scalar case $n=1$, i.e., $\mathbb{C}$ instead of $\mathbb{C}^n$. Otherwise we would have to add $A_i\otimes I_{n\times n}$, and $B_i\otimes I_{n\times n}$, etc. everywhere.

6. Notation. Let $(P_1,C_1,R_1)$ be the first companion triple for the matrix polynomial

of degree $\ell\ge1$.

Let $\mathopen|t_\text{end} - t_0\mathclose|\ne0$. The step size $h$ is such that $\mathopen|t_\text{end}-t_0\mathclose| / \mathopen|h\mathclose|$ is an integer. $N$ is defined by $N\mathopen|h\mathclose| = \mathopen|t_\text{end} - t_0\mathclose|$.

Let

Let $I=I_{k\times k}$. The first companion matrix is

Further

and

Let

7. Definition. Let $T$ be an arbitrary square matrix of size $k\times k$. The bidiagonal operator $[T]$ for the matrix $T$ of size $(N+1)k\times(N+1)k$, is defined as follows:

See Skeel (1976).

For the product we have: $[C_1]^{-1} \boro \in \mathbb{C}^{(N+1)k\ell \times (N+\ell)k}$.

Let $(X,T,Y)$ be an arbitrary standard triple. Due to biorthogonality we have

with the block-Hankel-matrix $B$

See Gohberg/Lancaster/Rodman (2009), Prop. 2.1.

Further

and

The special handling of the block matrix for $\boro$ and $\ovbf Y$ in the first “diagonal element” has its root in the solution representation of the difference equation for matrix polynomials of the form

For the case $\ell=1$ we have $\rho(\mu)=I\mu-A$ and the two matrices $P_1$ and $R_1$ reduce to the identity matrices of size $n\times n$. The biorthogonality relation reduces to $X=Y^{-1}$ or $X^{-1}=Y$.

8. Theorem: (Discrete Lemma of Gronwall) Let $0\le\eta_0\le\eta_1\le\ldots\le\eta_m$ be $(m+1)$ positive numbers. Furthermore $\delta\ge0$, $h_j\ge0$ and $x_{j+1}=x_j+h_j$. Assume

Then

Proof: See Werner/Arndt (1986). The case $\delta=0$ is simple, due to $e^0=1$. Hence, let $\delta>0$. Starting the induction with $j=0$ is obvious, again due to $e^0=1$. We perform induction from $j$ to $j+1$, assuming $\delta>0$. We have

This is so because for the sum in parentheses we can estimate (the sum of a strictly monotonically increasing function)

    ☐

9. Theorem: (Properties of $\dcol$, $\drow$, $\diag$, $[\cdot]$) We have

1. $\dcol A_\nu B_\nu = \diag A_\nu{\mskip 5mu}\dcol B_\nu$.
2. $\dcol A_\nu B = \left(\dcol A_\nu\right) B$;   right distributivity of $\dcol$-operator.
3. $\drow A_\nu B_\nu = \drow A_\nu{\mskip 5mu}\diag B_\nu$.
4. $\drow AB_\nu = A{\mskip 3mu} \drow B_\nu$;   left distributivity of $\drow$-operator.
5. $\diag A_\nu B_\nu = \diag A_\nu{\mskip 5mu}\diag B_\nu$.
6. $\left[S^{-1}TS\right] = \diag S^{-1}{\mskip 3mu} \left[T\right]{\mskip 3mu} \diag S$.
7. $\left[S^{-1}TS\right]^{-1} = \diag S^{-1}{\mskip 5mu}\left[T\right]^{-1} \diag S$.

Proof: Trivial computations.     ☐

10. Theorem: (Solution of difference equation) The general solution of the difference equation

is

Proof: See Gohberg/Lancaster/Rodman (2009), Thm. 1.6.     ☐

11. Theorem: (Representation theorem) Prerequisites: $\hat u_n$ and $u_n$ are the solutions of the two difference equations

The “disturbances” $r_{n+\ell}$ correspond to $\hat u_{n+\ell}$. We will use

The difference equation for $\hat u_n$ has the starting values $\hat u_i := u_i + r_i$, for $i=0,\ldots,\ell-1$. Let $\delta_i := r_i$, for $i=0,\ldots,\ell-1$, and $r_\nu := \delta_\nu := \hat\delta_\nu := 0$, for $\nu>N$.

Proposition:

Proof: Follows immediately from the previous theorem.     ☐

12. Theorem: Prerequisite: Let $C_1^i := {\bf0} \in \mathbb{C}^{k\ell\times k\ell}$, when $i<0$.

Proposition: The reduced stability functional is norm-equivalent to the original stability functional, i.e.,

Proof: In two parts. We estimate each against the other.

(1) The estimation $\left|\bopo [C_1]^{-1} \boro \bfR\right| \le \left|\bopo\right| \left|[C_1]^{-1} \boro \bfR\right|$ is obvious. The row-norm of $\bopo$ is independent of $N$.

(2) We use

due to

We can "extract" $C_1^{\ell-1}$ because the $\sup$-norm for $\left| \bopo [C_1]^{-1} \boro \bfR \right|$ still goes over all rows. Finally

due to $r_\nu := 0$, for $\nu>N$.     ☐

13. Theorem: (Estimation theorem) Prerequisite: Let $\varphi(\cdot)$ be Lipschitz-continuous in each component with Lipschitz constant $K_i$. The values $\delta_{\nu+\ell}$ and $\hat\delta_{\nu+\ell}$ are as above.

Proposition:

Proof: For $\nu=0,\ldots,n-1$ we have

For ease of notation $\delta_\nu \gets \mathopen|\delta_\nu\mathclose|$ and $\hat\delta_\nu \gets \mathopen|\hat\delta_\nu\mathclose|$. Hence,

Summation and estimate shows the first claim. The second estimate follows from the first.     ☐

14. Main theorem: Prerequisites: The function $\varphi$ is Lipschitz-continuous in each component with Lipschitz constants $K_i$, i.e.,

The powers of the matrix $C_1$ are bounded by $D$, $\left|C_1^\nu\right|\le D$, $\forall\nu\in\mathbb{N}$. Let $\xi$ and $\hat\xi$ be

The value $\hat\xi$ is a multivariate function: $\hat\xi=\hat\xi(P_1,D,R_1,K_0,\ldots,K_\ell)$.

Assume

Proposition: (1) The two difference equations

have a unique solution $u_{n+\ell}$ for each $n$ , and $\hat u_{n+\ell}$.

(2) For the maximal norm deviation $\left|\hat u_n-u_n\right|$ we have the two-sided estimation with respect to the error terms $r_n$,

We use $U=(u_1,\ldots,u_N)$, and $\hat U=(\hat u_1,\ldots,\hat u_N)$.

(3) The positive constants $c_i$, for $i=1,2,3$, are given by

(4) The estimate by (2) is independent from the choice of standard triple, i.e.,

for two arbitrary standard triples $(X_1,T_1,Y_1)$ and $(X_2,T_2,Y_2)$ for the matrix polynomial $\rho$.

(5) The reduced functional $\left|[C_1]^{-1} \boro \bfR \right|$ is also a stability functional and equivalent to the unreduced functional, independent of $N$, i.e.,

(6) Reduced stability functionals are each equivalent when changing standard triples. They are not necessarily equal. We have

Proof: For abbreviation, we use

For (1): For each $n$ both difference equations can be written as

These are contractive if $\mathopen|h\mathclose| K_\ell < 1$. Therefore, we have uniqueness due to $\mathopen|h\mathclose|\xi<1$.

For (2): a) According to the representation theorem

Here we used

of the above estimation theorem. We employed $N\mathopen|h\mathclose| = \mathopen|t_\text{end}-t_0\mathclose|$ and finally $\sum_{\nu=0}^n \mathopen|\delta_\nu\mathclose| \le N\sup_{\nu=0}^{n-1} \mathopen|\delta_\nu\mathclose|$. Multiplying by

then this gives the first inequality from (2), and also gives $c_1$.

b) Again using the representation theorem and using norms

We make use of the estimation theorem once more

As $\mathopen|h\mathclose|<1/\xi$, we have $1-\mathopen|h\mathclose|\xi>0$. Using the discrete lemma of Gronwall and using

we get the estimate

This shows the constant $c_2$. The constant $c_3$ results from a typical estimation.

For (4): The standard triple $(X_1,T_1,Y_1)$ is similar to the standard triple $(X_2,T_2,Y_2)$ iff

or

Now we have

For (5): This was already proved.

For (6): As in (4)

Multiplying from the left with $\diag_{\nu=0}^N S^{-1}$ then this gives

Therefore, both stability functionals are equivalent.     ☐

Similar results can be found in Albrecht (1978) and Albrecht (1985), who also analyzes the left eigenvectors, which under some circumstances allow a higher convergence rate.

With the main theorem we now have the promised convergence result for a consistent method, i.e., we have the classical result:

• Consistency + $D$-Stability $\Rightarrow$ Convergence.

4. New cyclic linear multistep formulas

We now stick to cyclic linear multistep methods of the form

Building on the work of Tendler (1973) we combine the base formulas given in his chapter 4.2 and use the same restrictions R1-R4. Linear combinations of elements in the kernel of $C_{p,k}$ are also in the kernel.

15. Restrictions. Now for $i=1,\ldots,\ell$:

• R1. $\alpha_{ij} = \beta_{ij} = 0,$ for $i<j$
• R2. $\beta_{ij} = 0$ for $j\le0$ and $\beta_{ii}\ne0$
• R3. $\alpha_{ij} = 0$ for $j < -k + i$
• R4. $p_i \ge k$, where $p_i$ is the consistency order of the $i$-th stage

By design of R1-R4 all Tendler-like cycles start with the BDF of the same order. Further, if the Tendler-like formula is $A[\alpha]$-stable, it is also automatically $A_\infty^0[\alpha]$-stable.

Restriction R3 has its origin in an implementation detail of STINT, where the predictor for $y_{m\ell+i}$ for each stage $i$ in the cycle is built only from the backward differences of $y_{m\ell+i-1}$, see Tendler/Bickart/Picel (1976). In principal, however, at each stage $i>1$, all the previous values are available. In contrast, the Tischer formulas are not subject to the restriction R3.

16. Characteristics. The new cyclic linear multistep formulas are called eTendler3–9 (enhanced Tendler3–9). These kind of formulas are a natural extension of the BDF to cyclic form. From an implementation viewpoint, they are advantageous because each cycle requires no derivatives from the previous cycle. Therefore, no interpolation and storage for $f(t_n,y_n)$-values is required. In contrast, Tischer's formulas need storage and interpolation for both, $y_n$ and $f(t_n,y_n)$.

It is worth noting that although the new formulas all start with BDF$i$ and the BDF$i$ are not $D$-stable for $i\ge7$, the new cyclic formulas are all $D$-stable. In a cyclic method one or all constituent multistep methods might be unstable, nevertheless the cycle itself can be $D$-stable.

For Tischer's formulas see Tischer (1983), Tischer/Sacks-Davis (1983), and Tischer/Gupta (1985). All Tischer formulas have a cycle length of two.

While Tendler apparently searched in an entirely manual way, we searched in an incremental and random machine-assisted way. I.e., we searched in a hypercube of the parameter space by either providing a starting point, or letting those starting points be chosen by a random number generator. Our search criteria were Widlund-wedge $\alpha$, Widlund-distance $\delta$, and parasitic root modulus.

The formulas from Tendler from 1973 were our baseline. Clearly, we wanted to improve them, or at least find possible limits. So in table 1 we summarize their characteristics:

• $p$ is the convergence order
• $\ell$ is the cycle length of the Tendler formulas
• abs(root) is the magnitude of the parasitic root
• $\alpha$ is the Widlund-wedge angle
• $\delta$ is the Widlund-distance

The new cyclic linear multistep formulas have better stability characteristics order by order than the original Tendler formulas. They in turn have better stability characteristics than the BDF.

17. Higher order. While a formula not being $A[\alpha]$-stable is of limited value for a pure stiff ODE solver, it is nevertheless of interest for a type-insensitive code, see Shampine (1982) and Norsett/Thomsen (1986), switching between fixed point and Newton iteration. The type-insensitive code LSODA from Petzold (1983) has been found useful and competitive in Städter et al (2021). Higher order methods are required for orbit calculations with higher precision, see Montenbruck/Gill (2000) chapter 4.1.6.

The stability mountain of the new order 3 method eTendler3 is shown in the first figure.

Our search results based on restrictions R1-R4 are as follows:

1. We didn't find any formula of order 8 and higher with an $\alpha$ of any significance, even when allowing for a huge number of stages. It is therefore conjectured that there aren't any methods of this kind.
2. We didn't find any formula of order 3 and 4 which actually is $A$-stable, in contrast to Tischer's results. We conjecture that there isn't any.

18. The formulas. $c_{i,p+1}$ is the unscaled error constant of the $i$-th stage. $\eta_{i,p+1}$ is the scaled error constant for the eTendler formulas. Likewise, $\eta^o_{i,p+1}$ are the scaled error constants for the original Tendler formulas, and $\eta^T_{i,p+1}$ are the scaled error constants for the Tischer formulas.

The minus-sign is only there as most formulas in this manuscript have negative values.

For linear multistep methods and cyclic methods the $\alpha_{ii}$ cannot be zero. However, for a block-implicit method the $\alpha_{ii}$ can be zero, see the order 2, 4, 6, 8 and 10 methods in Bickart/Picel (1973). More on the scaled error constant in Tischer (1983), appendix B, and Albrecht (1985), chapter 6.

The error constants are rounded to five digits after the decimal point. The coefficients of the formulas are exact.

Order 3 and 4.

Order 5 and 6. $\eta^o_{4,p+1} = 0.10320$ for $p=5$ where Tendler's formula needs four stages.

Order 7.

Order 8.

Order 9.

5. Numerical results

We will now use various formulas and conduct more than 5000 numerical tests. Before implementing new formulas in a variable step size and variable order computer code with convergence tests, nonlinear equation solver, interpolation, dozens of heuristics, type-insensitive switching logic, etc., we want to ascertain that the formulas work as intended. Creating such a computer code is a substantial software development effort.

The first parameterized differential equation tests the resilience against stiffness. The second differential equations tests for accuracy in the presence of large modulus of the higher derivatives.

19. Dahlquist's equation. We tested the BDF, Tendler's formulas, new Tendler-like formulas, and Tischer's formulas on the classical test equation

We used

The radius is fixed to $r=100$, and $\varphi$ varies from 5° to 90° in steps of 5°. $\varphi$ directly tests the Widlund-wedge angle of the formula.

The step size $h$ for each formula is chosen as $h=-0.1$, then $h=-0.01$, finally $h=-0.001$.

The above differential equation is now solved with the following formulas:

1. BDF of order 1–6
2. Original Tendler formulas of order 3–7. Note: Tendler's formulas of order 1 and 2 are just the BDF1 and BDF2.
3. New Tendler-like formulas of order 3–9
4. Tischer's formulas of order 2–8 using $s=0$, see Tischer/Sacks-Davis (1983) for the meaning of $s$

This creates 1350 data points. Multiplying by two hardware architectures and two precisions yields 5400 records.

20. Global error. We report the summed global error computed as

Computations were done in double precision (double complex in the C programming language).

Results are here.

As the global error $|y(t_i) - y_i|$ per step varies wildly between $10^{-324}$ and $10^{+304}$, we computed

Less is better. That is what is shown in the second figure.

One can clearly see that the higher-order methods quickly lose precision when a higher Widlund-wedge angle is required. This is the reason why none of the computer codes GEAR, EPISODE, LSODE and CVODE use BDF6. However, in reality, this is mainly a problem for the step size and order control segment to properly switch order.

The second figure also demonstrates that the Tischer formulas produce larger global errors. This is to be attributed to the error constants being an order of magnitude larger than the error constants of the Tendler formulas. That explains why the program ODIOUS, which uses the Tischer formulas, needs a smaller step size, and therefore needs more steps. This is reflected in the results in Tischer/Gupta (1985).

Since Gaffney (1984) noted a sensitivity regarding the chosen precision, especially in STINT, which implements Tendler's formulas, we repeated the above tests in single precision (float complex in the C language) and on two CPU architectures (AMD Ryzen 5700 and ARM Cortex A77). The qualitative results did not differ in any way. We henceforth conclude that the discontinuity and sensitivity of the step size and order control segment are the reason for the observed behavior in line with the remarks in Gaffney (1984).

21. Runge's equation. The test equation is

It has the exact solution $y(t) = 1/(1+t^2)$.

This is a numerical quadrature problem and not really a differential equation. This is Runge's function showcasing Runge's phenomenon.

For the numerical solution we used the step sizes $h=0.1$, $h=0.01$, and $h=0.001$.

Running the same formulas from above creates 75 data points. Multiplying by two precisions gives 150 records.

All formulas produce accurate results and the error is always considerably smaller than one. We therefore show

Higher is better. The third image shows the results for quadruple precision (long double).

From an accuracy point of view the formulas eTendler6-9 are outperformed by BDF6 and Tendler7 for the step size $h=0.001$. For $h=0.01$ eTendler8 shows the best accuracy.

The Tischer formulas again fall short of expectations and produce larger errors than all the other methods. This is to be explained by their larger error constants multiplied by the large magnitude of the higher derivatives of the Runge function. This is in line with the results reported in Tischer/Gupta (1985) where the ODIOUS program on average needs 50%-100% more steps and function evaluations than LSODE (based on BDF) excluding problem B5.

6. Summary and conclusions

We have given a convergence proof for general linear methods in the setting of matrix polynomials. Matrix polynomials are a versatile medium to analyze cyclic linear multistep methods.

We have extended the work of Tendler and found new cyclic linear multistep formulas with enhanced Widlund-wedge angle and Widlund-distance. It is conjectured that by lifting restriction R3 we might find even more enhanced formulas.

By comparing the error constants we explain why the Tischer formulas produce larger global errors.

Conflict of interest: There is no conflict of interest.

7. References

1. Akrivis, G., Katsoprinakis, E.: Maximum angles of $A(\vartheta)$-stability of backward difference formulae. BIT Numer. Math. 60, 93–99 (2020), https://doi.org/10.1007/s10543-019-00768-1
2. Albrecht, P.: Explicit, optimal stability functionals and their application to cyclic discretization methods. Computing 19, 233–249 (1978), https://doi.org/10.1007/BF02252202
3. Albrecht, P.: Numerical treatment of O.D.Es.: The theory of A-methods. Numer. Math. 47, 59–87 (1985), https://doi.org/10.1007/BF01389876
4. Bickart, T.A., Picel, Z.: High order stiffly stable composite multistep methods for numerical integration of stiff differential equations. BIT Numer. Math. 13, 272–286 (1973), https://doi.org/10.1007/BF01951938
5. Butcher, J.C.: Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons, Chichester (2016), https://doi.org/10.1002/9781119121534
6. Gaffney, P.: A Performance Evaluation of Some FORTRAN Subroutines for the Solution of Stiff Oscillatory Ordinary Differential Equations. ACM Trans. Math. Softw. 10(1), 58–72 (1984), https://doi.org/10.1145/356068.356073
7. Gohberg, I., Lancaster, P., Rodman, L.: Spectral Analysis of Matrix Polynomials — I. Canonical Forms and Divisors. Linear Algebra Its Appl. 20, 1–44 (1978), https://doi.org/10.1016/0024-3795%2878%2990026-5
8. Gohberg, I., Lancaster, P., Rodman, L.: Matrix Polynomials. Society for Industrial and Applied Mathematics (2009), https://doi.org/10.1137/1.9780898719024
9. Gupta, G.: Description and Evaluation of a Stiff ODE Code DSTIFF. SIAM J. Sci. Comput 6(4), 939–950 (1985), https://doi.org/10.1137/0906063
10. Hairer, E., Wanner, G., Nørsett, S.: Solving Ordinary Differential Equations I – Nonstiff Problems. Springer Berlin, Heidelberg (2008), https://doi.org/10.1007/978-3-540-78862-1
11. Hairer, E., Wanner, G.: Solving Ordinary Differential Equations II – Stiff and Differential-Algebraic Problems. Springer Berlin, Heidelberg (2010), https://doi.org/10.1007/978-3-642-05221-7
12. Mihelcic, M., Wingerath, K.: $A(\alpha)$-Stable Cyclic Composite Multistep Methods of Orders 6 and 7 for Numerical Integration of Stiff Ordinary Differential Equations. ZAMM 61, 261–264 (1981), https://doi.org/10.1002/zamm.19810610609
13. Montenbruck, O., Gill, E.: Satellite Orbits. Springer Berlin, Heidelberg (2000), https://doi.org/10.1007/978-3-642-58351-3
14. Nørsett, S., Thomsen, P.G.: Switching between modified Newton and fix-point iteration for implicit ode-solvers. BIT Numer. Math. 26, 339–348 (1986), https://doi.org/10.1007/BF01933714
15. Petzold, L.: Automatic Selection of Methods for Solving Stiff and Nonstiff Systems of Ordinary Differential Equations. SIAM J. Sci. Comput. 4(1), 136–148 (1983), https://doi.org/10.1137/0904010
16. Shampine, L.F.: Type-sensitive ODE codes based on implicit $A(\alpha)$-stable formulas. Math. Comput. 39(159), 109–123 (1982), https://doi.org/10.2307/2007622
17. Skeel, R.: Analysis of Fixed-Stepsize Methods. SIAM J. Numer. Anal. 13(5), 664–685 (1976), https://doi.org/10.1137/0713055
18. Städter, P., Schälte, Y., Schmiester, L., Hasenauer, J., Stapor, P.L.: Benchmarking of numerical integration methods for ODE models of biological systems. Scientific Reports 11, 2696 (2021), https://doi.org/10.1038/s41598-021-82196-2
19. Tendler, J.M.: A Stiffly Stable Integration Process Using Cyclic Composite Methods. Ph.D. thesis, Syracuse University, Syracuse, New York (1973)
20. Tendler, J.M., Bickart, T.A., Picel, Z.: STINT: STiff ordinary differential equations INTegrator. Program and User Manual. Electrical and Computer Engineering Department, Syracuse University, Syracuse, New York 13210, USA, and Department of Electrical Engineering, Delft University of Technology, Delft, The Netherlands, Technical Report TR-76-12 (1976)
21. Tendler, J.M., Bickart, T.A., Picel, Z.: A Stiffly Stable Integration Process Using Cyclic Composite Methods. ACM Trans. Math. Softw. 4(4), 339–368 (1978), https://doi.org/10.1145/356502.356495
22. Tischer, P.: The Cyclic Use of Linear Multistep Formulas for the Solution of Stiff Differential Equations. Ph.D. thesis, Department of Computer Science, Monash University, Clayton, Victoria, Australia (1983)
23. Tischer, P., Sacks-Davis, R.: A New Class of Cyclic Multistep Formulae for Stiff Systems. SIAM J. Sci. Comput. 4(4), 733–747 (1983), https://doi.org/10.1137/0904051
24. Tischer, P., Gupta, G.: An evaluation of some new cyclic linear multistep formulas for stiff ODEs. ACM Trans. Math. Softw. 11(3), 263–270 (1985), https://doi.org/10.1145/214408.214417
25. Werner, H., Arndt, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer Berlin, Heidelberg (1986), https://doi.org/10.1007/978-3-642-70338-6

When testing these formulas numerically, we are particularly interested in the unscaled error constant

The scaled error constant is

Unfortunately, for the new formulas eTendler8 and eTendler9 of order 8 and 9 the computation in double precision (double in the C programming language) gives downright wrong answers. Integer computation must be done in long, not just in int.

However, the standard Unix tool bc allows computation with arbitrary precision and is usually installed anyways.

Order 8.

To compute the unscaled and the scaled error constant we used below bc script:

a1[0]=105
a1[1]=-960
a1[2]=3920
a1[3]=-9408
a1[4]=14700
a1[5]=-15680
a1[6]=11760
a1[7]=-6720
a1[8]=2283
b1[0]=0
b1[1]=0
b1[2]=0
b1[3]=0
b1[4]=0
b1[5]=0
b1[6]=0
b1[7]=0
b1[8]=840

a4[0]=11580
a4[1]=-106094
a4[2]=434406
a4[3]=-1046346
a4[4]=1640450
a4[5]=-1801730
a4[6]=1438794
a4[7]=-782406
a4[8]=211346
b4[0]=0
b4[1]=0
b4[2]=0
b4[3]=0
b4[4]=0
b4[5]=21000
b4[6]=2520
b4[7]=-81480
b4[8]=81480

With these constants in place we then ran below for-loop for the various columns:

scale=10
f=1
for (q=1; q<=9; ++q) {
    f *= q + 1;
    r=0
    for (k=0; k<=8; ++k)
        r += k^q * a4[k] - q * k^(q-1) * b4[k]
    r
    r / f / a4[8]
}

Order 9.

Setting the constants in bc:

a1[0]=-280
a1[1]=2835
a1[2]=-12960
a1[3]=35280
a1[4]=-63504
a1[5]=79380
a1[6]=-70560
a1[7]=45360
a1[8]=-22680
a1[9]=7129
b1[0]=0
b1[1]=0
b1[2]=0
b1[3]=0
b1[4]=0
b1[5]=0
b1[6]=0
b1[7]=0
b1[8]=0
b1[9]=2520

a2[0]=-5285
a2[1]=53730
a2[2]=-246960
a2[3]=677376
a2[4]=-1233036
a2[5]=1569960
a2[6]=-1446480
a2[7]=1028160
a2[8]=-486351
a2[9]=88886
b2[0]=0
b2[1]=0
b2[2]=0
b2[3]=0
b2[4]=0
b2[5]=0
b2[6]=0
b2[7]=0
b2[8]=-98280
b2[9]=35280

a3[0]=-13715
a3[1]=138885
a3[2]=-634992
a3[3]=1728720
a3[4]=-3111108
a3[5]=3883740
a3[6]=-3422160
a3[7]=2295792
a3[8]=-1194345
a3[9]=329183
b3[0]=0
b3[1]=0
b3[2]=0
b3[3]=0
b3[4]=0
b3[5]=0
b3[6]=0
b3[7]=-80640
b3[8]=-63000
b3[9]=118440

a4[0]=-24780
a4[1]=250764
a4[2]=-1145544
a4[3]=3115434
a4[4]=-5600364
a4[5]=6991530
a4[6]=-6110664
a4[7]=3889494
a4[8]=-2019384
a4[9]=653514
b4[0]=0
b4[1]=0
b4[2]=0
b4[3]=0
b4[4]=0
b4[5]=0
b4[6]=-40320
b4[7]=-73080
b4[8]=35280
b4[9]=229320

a5[0]=-22331
a5[1]=225768
a5[2]=-1029642
a5[3]=2789808
a5[4]=-4946214
a5[5]=6531756
a5[6]=-5933718
a5[7]=3364992
a5[8]=-1609983
a5[9]=629564
b5[0]=0
b5[1]=0
b5[2]=0
b5[3]=0
b5[4]=0
b5[5]=-241920
b5[6]=-168840
b5[7]=171360
b5[8]=171360
b5[9]=216720

Now run below for-loop for the five columns.

scale=30
f=1
for (q=1; q<=10; ++q) {
    f *= q;
    r=0
    for (k=0; k<=9; ++k)
        r += k^q * a5[k] - q * k^(q-1) * b5[k]
    r
    r / f / a5[9]
}

These are the scaled error constants given in Tendler-like Formulas for Stiff ODEs.

The solution is to use a small Perl script blog2springer to automatically convert the Markdown from the blog to the LaTeX required for the journal.

I had done the reverse thing here: Converting Journal Article from LaTeX to Markdown, i.e., take LaTeX as input and produce a blog post in Markdown format.

1. Perl script blog2springer

Here we run down the Perl script called blog2springer.

Bibliographic references in a blog post are done using [reftext](hyperlink), while the journal LaTeX format is still very oldstyle and uses numbers. I use a hash to convert reftext to numbers.

#!/bin/perl -W
# Reformat Markdown with MathJax to Springer Nature LaTeX format
# Elmar Klausmeier, 31-Dec-2025

use strict;
my ($skip,$summary,$ref,$refcnt,$sec,$eq,$ineq,$cnt,$enum,$itemize) = (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0);
my %L = (
    'Akrivis/Katsoprinakis (2020)' => 1,
    'Albrecht (1978)' => 2,
    'Albrecht (1985)' => 3,
    'Bickart/Picel (1973)' => 4,
    'Butcher (2016)' => 5,
    'Gaffney (1984)' => 6,
    'Gohberg/Lancaster/Rodman (1978)' => 7,
    'Gohberg/Lancaster/Rodman (2009)' => 8,
    'Gupta (1985)' => 9,
    'Hairer/Wanner/Nørsett (2008)' => 10,
    'Hairer/Wanner (2010)' => 11,
    'Mihelcic/Wingerath (1981)' => 12,
    'Montenbruck/Gill (2000)' => 13,
    'Norsett/Thomsen (1986)' => 14,
    'Petzold (1983)' => 15,
    'Rubin (1973)' => 99,
    'Shampine (1982)' => 16,
    'Skeel (1976)' => 17,
    'St\"adter et al (2021)' => 18,
    'Tendler (1973)' => 19,
    'Tendler/Bickart/Picel (1976)' => 20,
    'Tendler/Bickart/Picel (1978)' => 21,
    'Tischer (1983)' => 22,
    'Tischer/Sacks-Davis (1983)' => 23,
    'Tischer/Gupta (1985)' => 24,
    'Werner/Arndt (1986)' => 25,
);

Springer Nature preloads a number of LaTeX packages. It seems that it has difficulties with \usepackage{algorithmicx}, although I didn't follow through this. The script has some values hardcoded, which are specific to the article, like author, etc.

print << "EOF";
\\documentclass[pdflatex,sn-mathphys-num]{sn-jnl}% Math and Physical Sciences Numbered Reference Style

\\usepackage{graphicx}%
\\usepackage{multirow}%
\\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts}%
\\usepackage{amsthm}%
\\usepackage{mathdots}%
\\usepackage{mathrsfs}%
\\usepackage[title]{appendix}%
\\usepackage{xcolor}%
\\usepackage{textcomp}%
\\usepackage{manyfoot}%
\\usepackage{booktabs}%
\\usepackage{algorithm}%
\\usepackage{algpseudocode}%
\\usepackage{listings}%


\\theoremstyle{thmstylethree}%
\\newtheorem{definition}{Definition}%

\\raggedbottom
\\graphicspath{ {./} }
\\setcounter{MaxMatrixCols}{15}
\\renewcommand{\\thesection}{\\arabic{section}.}


\\newcommand{\\dcol}{\\operatorname*{col}}
\\newcommand{\\drow}{\\operatorname*{row}}
\\newcommand{\\diag}{\\operatorname*{diag}}
\\newcommand{\\bov}[2]{\\overline{\\mathbf #1}_{#2}} % boldface and overlined
\\newcommand{\\bopo}{\\bov P1}
\\newcommand{\\boro}{\\bov R1}
\\newcommand{\\bfR}{{\\mathbf{R}}}
\\newcommand{\\bovy}[1]{\\bov Y{\\!#1}}
\\newcommand{\\ovbf}[1]{\\overline{\\mathbf{#1}}}

\\author{\\fnm{Elmar} \\sur{Klausmeier}}
\\email{Elmar.Klausmeier\@gmail.com}

\\date{\\today}

\\begin{document}

\\keywords{cyclic linear multistep methods, matrix polynomials, stiff differential equations, convergence analysis, Widlund-wedge}
\\pacs[Mathematics Subject Classification]{65L04 65L06}
\\pacs[CR]{G.1.7}

EOF

The loop reads each line of the blog post and reformats it.

1. The journal wants German Umlaute to be escaped with LaTeX codes
2. HTML codes are converted to LaTeX codes
3. Numbering of paragraphs and theorems is converted from PHP to fixed numbers.
4. Enumerations are converted to the respective format in LaTeX

The Markdown contains some PHP code like so:

__<?=++$c?>.__ Consider the multistep method

That is converted using the $cnt variable.

For tables I entered them two times: once for Markdown, and once for LaTeX and used an if-statement:

<?php if ($c === 0) { ?>
\begin{table}[htbp]
\caption{Widlund-wedge angle for Tendler and Tischer formulas}
\begin{tabular}{@{}lllll|ll@{}}
\toprule
$p$ & $\ell$ & abs(root)   & $\alpha$(Tendler) & $\delta$(Tendler) & $\alpha$(Tischer) & $\delta$(Tischer) \\
\midrule
. . . 
\end{table}
<?php } else { ?>
$p$ | $\ell$ | abs(root)   | $\alpha$(Tendler)| $\delta$(Tendler) | | $\alpha$(Tischer) | $\delta$(Tischer)
----|-----|-------------|----------------|-------------------|-|------------------|------------------
1   | 3   | 0           | 90&deg;        | 0                 | | 90&deg;          | 0
. . .
<?php } ?>

The script is.

while (<>) {
    s/_Proof:_/\\begin{proof}/;
    s/&nbsp; &nbsp; &#9744;/\\end{proof}/;

    s/&deg;/\\textdegree{}/g;
    s/&ldquo;/``/g;
    s/&rdquo;/''/g;
    s/&ndash;/--/g;
    s/&mdash;/---/g;
    s/&nbsp;/~/g;
    s/&amp;/\\&/g;
    s/\\unicode\{x22F0\}/\\iddots/g;
    s/Ä/\\"A/g;
    s/Ö/\\"O/g;
    s/Ü/\\"U/g;
    s/ä/\\"a/g;
    s/ö/\\"o/g;
    s/ü/\\"u/g;
    s/ß/\\ss{}/g;

    if (/<\?php if \(false\) \{ \?>/) { $skip = 1; next; }
    if (/<\?php \} \?>/) { $skip = 0; next; }
    if (/<\?php if \(\$c === 0\) \{ \?>/) { $skip = 0; next; }
    if (/<\?php \} else \{ \?>/) { $skip = 1; next; }
    next if ($skip == 1);
    next if (/<\?php \$c=0; \?>/);

    print "\\title[$1]{$1}\n\n" if (/^title: "([^"]+)"/);

    if (/^__Abstract.__/) { $summary = 1; print "\\abstract{"; next; }
    if ($summary == 1) {
        if (length($_) < 2) { $summary = 2; print "}\n\\maketitle\n\n"; next; }
        print;
        next;
    }
    next if ($summary != 2);
    next if (/^\\def\\/);

    if (/^## \d\. References<a id/) { $ref=1; print "\n\n\\begin{thebibliography}{90}\n\n"; next; }
    if ($ref == 1) {
        if ( $refcnt > 1 && length($_) < 2) { $ref = 0; print "\n\\end{thebibliography}\n\n"; next; }
        s/\[([^\]]+?)\]\([^\)]+?\)/$1/g;
        if (/^1\. /) {
            s/^1\. //;
            printf("\n\\bibitem{b%d}\n",++$refcnt);
        }
    }

    if (/^## (\d)\. ([^<]+)<a id/) { $sec=1; print "\n\n\\section{$2}\\label{sec$1}\n\n"; next; }
    next if ($sec != 1);

    if (/^\$\$/) {
        if ($eq % 2 == 0) { $ineq = 1; print "\\begin{align*}\n"; }
        else { $ineq = 0; print "\\end{align*}\n"; }
        ++$eq;
        next;
    }
    s/__(\d+)__/\\textbf{$1}/;
    s/__(\w+ \w+ \w+:)__/\\textbf{$1}/;
    s/__\((\d+)\)__/\\textbf{($1)}/;
    s/`(\w+ \w+)`/\\texttt{$1}/g;
    if ($ineq == 0) {
        s/ _(\w+)_( |\+)/ \\emph{$1}$2/g;
        s/ _(\w+ \w+)_( |\.)/ \\emph{$1}$2/g;
        s/ _(\w+ \w+ \w+)_( |\.)/ \\emph{$1}$2/g;
    }

    if (/!\[\]\(\*<\?=\$rbase\?>\*\/img\/([-\w]+)\.jpg "([^"]+?)"\)/) {
        print "\\begin{figure}[H]\n\\begin{center}\n\\includegraphics[scale=0.4]{$1}\n\\caption{$2}\n\\end{center}\\end{figure}\n";
        next;
    }

    foreach my $l (keys %L) {
        s/\[\Q$l\E\]\([^\)]*?\)/\[$L{$l}]/g;
    }
    s/\[([^\]]+?)\]\(\*<\?=\$rbase\?>[^\)]+?\)/$1/g;
    s/\[([^\]]+?)\]\([^\)]+?\)/$1/g;

    if (/__<\?=\+\+\$c\?>\.__/) { my $t = sprintf("\\textbf{%d.}",++$cnt); s/__<\?=\+\+\$c\?>\.__/${t}/; }
    if (/__<\?=\+\+\$c\?>\. (\w+|['\w]+ \w+)(\.|:)__/) {
        my $t = sprintf("\\textbf{%d. %s%s}",++$cnt,$1,$2);
        s/__<\?=\+\+\$c\?>\. (\w+|['\w]+ \w+)(\.|:)__/${t}/;
    }

    if (/^1\. /) {
        if ($enum == 0) { $enum = 1; print "\\begin{enumerate}\n"; }
        s/^1\. /\\item /;
    } elsif ($enum == 1 && length($_) < 2) { $enum = 0; print "\\end{enumerate}\n\n"; }
    if (/^\* /) {
        if ($itemize == 0) { $itemize = 1; print "\\begin{itemize}\n"; }
        s/^\* /\\item /;
    } elsif ($itemize == 1 && length($_) < 2) { $itemize = 0; print "\\end{itemize}\n\n"; }

    print;
}

Finally we add the footer.

print "\\end{document}\n\n";

2. Usage

I downloaded the journal article template. That zip-file contains the following:

$ unzip -l "Download+the+journal+article+template+package+(December+2024+version).zip"
Archive:  Download+the+journal+article+template+package+(December+2024+version).zip
  Length      Date    Time    Name
---------  ---------- -----   ----
        0  2024-12-13 05:44   sn-article-template/
        0  2024-12-13 05:01   sn-article-template/bst/
   151345  2024-12-13 05:01   sn-article-template/bst/sn-apacite.bst
    29828  2024-12-13 05:01   sn-article-template/bst/sn-aps.bst
    35515  2024-12-13 05:19   sn-article-template/bst/sn-basic.bst
    33968  2024-12-13 05:01   sn-article-template/bst/sn-chicago.bst
    64023  2024-12-13 05:01   sn-article-template/bst/sn-mathphys-ay.bst
    64164  2024-12-13 05:01   sn-article-template/bst/sn-mathphys-num.bst
    39056  2024-12-13 05:01   sn-article-template/bst/sn-nature.bst
    39951  2024-12-13 05:01   sn-article-template/bst/sn-vancouver-ay.bst
    40758  2024-12-13 05:01   sn-article-template/bst/sn-vancouver-num.bst
     2890  2024-12-13 05:01   sn-article-template/empty.eps
    91593  2024-12-13 05:01   sn-article-template/fig.eps
   421391  2024-12-13 05:20   sn-article-template/sn-article.pdf
    34686  2024-12-13 05:45   sn-article-template/sn-article.tex
     5123  2024-12-13 05:01   sn-article-template/sn-bibliography.bib
    55857  2024-12-13 05:01   sn-article-template/sn-jnl.cls
   418495  2024-12-13 05:01   sn-article-template/user-manual.pdf
---------                     -------
  1528643                     18 files

For my article I only needed sn-jnl.cls. I did not use BibTeX as the blog post points to external references via HTML links, while the journal just uses numbers for citations.

Converting the blog post goes like this:

blog2springer ~/php/sndsaaze/content/blog/2026/01-20-tendler-like-formulas-for-stiff-odes.md > tendler-like-formulas-for-stiff-odes.tex

Copy the three images:

cp -p /srv/http/img/BDFvsTendlervsTischer.jpg .
cp -p /srv/http/img/BDFvsTendlervsTischerRunge.jpg .
cp -p /srv/http/img/eTendler3-StabilityMountain.jpg .

Then compile with LaTeX:

pdflatex tendler-like-formulas-for-stiff-odes.tex

Then view the result:

mupdf tendler-like-formulas-for-stiff-odes.pdf

I use mupdf for viewing PDFs.

The final result is here: tendler-like-formulas-for-stiff-odes-submitted.pdf.

In Comparing BDF vs. Tendler vs. Tischer formulas we already compared BDF, Tendler's formulas and Tischer's formulas. There we used the classical Dahlquist test equation $y'=\lambda y$.

We repeat the test but with another differential equation.

1. Runge's function

The test equation is

It has the exact solution $y(t) = 1/(1+t^2)$.

This is a numerical quadrature problem and not really a differential equation. This is Runge's function showcasing Runge's phenomenon.

For the numerical solution we used the step sizes $h=0.1$, $h=0.01$, and $h=0.001$.

Above differential equation is now solved with the following formulas:

1. BDF order 1–6
2. Tendler's formulas order 3–7
3. new Tendler-like formulas order 3–9
4. Tischer's formulas of order 2–8 using $S=0$

This creates 75 data points. Multiply by two precisions, gives 150 records.

Again, we report the summed global error computed as

All formulas produce accurate results and the error is alway way below one. We therefore show

Higher is better. That's what is shown in below graphics.

2. Negative logarithmic error in double precision

Below 3D chart can be rotated and zoomed in or out. Clicking on any entry shows the log global error $\hat g_\hbox{err}$. Double precision on AMD Ryzen.

For $h=0.001$ Tendler5 gives the best accuracy closely followed by BDF5 and BDF6. For $h=0.01$ eTendler8 achieves the best accuracy. For $h=0.1$ BDF6 is best, closely followed by eTendler6.

3. Negative logarithmic error in quadruple precision

Below 3D chart can be rotated and zoomed in or out. Clicking on any entry shows the negative log global error $\hat g_\hbox{err}$. Quadruple precision on AMD Ryzen. It is striking that the accurary has increased by two orders of magnitude.

From an accuracy point of view the formulas eTendler6-9 are outperformed by BDF6 and Tendler7 for the step size $h=0.001$. For $h=0.01$ eTendler8 shows the best accuracy.

4. Raw results

Computations were done in double precision (double) and quadruple precision (long double).

The script.

#!/bin/bash
# Run stabregion2 with precision $1 and various various step sizes $2 for Runge's problem

echo BDF1-6
for i in 1 2 3 4 5 6; do stabregion2 -f BDF$i -u$1:-5:5:$2 | tail -1; done
echo Tendler3-7
for i in 3 4 5 6 7; do stabregion2 -f Tendler$i -u$1:-5:5:$2 | tail -1; done
echo eTendler3-9
for i in 3 4 5 6 7 8 9; do stabregion2 -f eTendler$i -u$1:-5:5:$2 | tail -1; done
echo Tischer2-8
for i in 2 3 4 5 6 7 8 ; do stabregion2 -f Tischer$i -u$1:-5:5:$2 | tail -1; done

The results. First double precision.

$ for h in 0.1 0.01 0.001; do echo h=$h; stabregion2-batchRunge 2 $h; done | tee stabregion2-runge-55-0.1-0.001.txt

h=0.1
BDF1-6
      101        5.00000000       0.036982249      0.0014792899        0.96301775      0.0095348292
      101        5.00000000       0.038461624     8.5615576e-08       0.081866559     0.00081055999
      101        5.00000000       0.038457995     3.5430565e-06       0.014724693     0.00014578904
      101        5.00000000       0.038461536     2.5370797e-09      0.0039593414       3.92014e-05
      101        5.00000000        0.03846151      2.814651e-08      0.0014265072     1.4123834e-05
      101        5.00000000        0.03846154     1.5475533e-09     0.00064442835     6.3804787e-06
Tendler3-7
      102        5.10000000       0.036999342     2.3982797e-05       0.044467626     0.00043595711
      103        5.20000000       0.035663316     2.2332109e-08      0.0067510688     6.5544358e-05
      101        5.00000000       0.038470049     8.5102832e-06      0.0037145982       3.67782e-05
      102        5.10000000       0.037021167     2.1578698e-06      0.0051242663     5.0237905e-05
      103        5.20000000       0.035647113     1.6224676e-05      0.0037800996     3.6699997e-05
eTendler3-9
      102        5.10000000       0.036969106     5.4218914e-05       0.055089196     0.00054009016
      103        5.20000000       0.035663776     4.3751847e-07       0.038297457     0.00037181997
      101        5.00000000       0.038460826     7.1258628e-07        0.01320941     0.00013078623
      102        5.10000000       0.037027163     3.8384301e-06       0.006025627     5.9074774e-05
      103        5.20000000       0.035654912     8.4256313e-06      0.0015834431     1.5373234e-05
      104        5.30000000       0.034339883     3.6191523e-05      0.0023867322     2.2949348e-05
      104        5.30000000       0.032928864      0.0014472107       0.070966298     0.00068236825
Tischer2-8
      102        5.10000000       0.037021558     1.7662689e-06       0.034696237     0.00034015918
      101        5.00000000       0.038464072     2.5330643e-06       0.073964887     0.00073232561
      102        5.10000000       0.037021992       1.33266e-06       0.080142047     0.00078570635
      101        5.00000000       0.038462774     1.2360023e-06       0.069495329     0.00068807256
      102        5.10000000       0.037023224     1.0045479e-07       0.052946899     0.00051908725
      101        5.00000000         0.0384616     6.1856937e-08       0.049366255      0.0004887748
      102        5.10000000       0.037023314     1.0531468e-08       0.052023547     0.00051003477
h=0.01
BDF1-6
     1001        5.00000000       0.038313609     0.00014792899        0.96168639     0.00096072566
     1001        5.00000000       0.038461538     7.3774736e-12      0.0083432045     8.3348697e-06
     1001        5.00000000       0.038461535     3.1877376e-09     0.00014955862     1.4940921e-07
     1001        5.00000000       0.038461538     2.7346181e-14     4.0610376e-06     4.0569806e-09
     1001        5.00000000       0.038461538     2.2077479e-13     1.4989554e-07     1.4974579e-10
     1001        5.00000000       0.038461538     6.9388939e-16     6.9781085e-09     6.9711374e-12
Tendler3-7
     1002        5.01000000       0.038314013     1.6181477e-08     0.00073858905     7.3711482e-07
     1003        5.02000000       0.038167356     4.7892246e-14     9.5453879e-06     9.5168374e-09
     1001        5.00000000       0.038461538     5.7392285e-13     3.7829891e-07     3.7792099e-10
     1002        5.01000000       0.038314029     4.7829796e-14     1.9396052e-08     1.9357337e-11
     1003        5.02000000       0.038167356     5.9369176e-14     5.2200313e-10      5.204418e-13
eTendler3-9
     1002        5.01000000          0.038314     2.9506259e-08      0.0012932428     1.2906615e-06
     1003        5.02000000       0.038167356     3.0298264e-12     6.3388015e-05      6.319842e-08
     1001        5.00000000       0.038461538     6.0814687e-12     4.1263006e-06     4.1221784e-09
     1002        5.01000000       0.038314029      4.422851e-14     4.3091486e-08     4.3005475e-11
     1003        5.02000000       0.038167356     7.7771123e-14     2.2565377e-09     2.2497884e-12
     1004        5.03000000       0.038021513     1.4530044e-14     3.6280652e-11     3.6136108e-14
     1004        5.03000000       0.038021513     5.5994792e-13     3.0639519e-10     3.0517449e-13
Tischer2-8
     1002        5.01000000       0.038314028     1.7507024e-09      0.0034396059     3.4327405e-06
     1001        5.00000000        0.03846154     1.1967474e-09     9.2690537e-05     9.2597939e-08
     1002        5.01000000       0.038314029     1.1046185e-11     5.5457648e-05     5.5346954e-08
     1001        5.00000000       0.038461538     8.1363527e-12     5.3013635e-06     5.2960674e-09
     1002        5.01000000       0.038314029     8.0717377e-13     3.6786879e-07     3.6713452e-10
     1001        5.00000000       0.038461538     5.1623913e-12     3.5959124e-08     3.5923201e-11
     1002        5.01000000       0.038314029     5.6720066e-11     2.8704729e-08     2.8647434e-11
h=0.001
BDF1-6
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Tischer2-8
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Second quadruple precision.

$ for h in 0.1 0.01 0.001; do echo h=$h; stabregion2-batchRunge 3 $h; done | tee stabregion2-rungeQuad-55-0.1-0.001.txt

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BDF1-6
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    10001        5.00000000       0.038461538     3.1547856e-12     1.4957932e-06     1.4956437e-10
    10001        5.00000000       0.038461538     5.8275867e-19     4.0623438e-09     4.0619376e-13
    10001        5.00000000       0.038461538     4.1165801e-18     1.5002423e-11     1.5000923e-15
    10001        5.00000000       0.038461538     6.0173221e-18     8.9236344e-14     8.9227421e-18
Tendler3-7
    10002        5.00100000        0.03844675     1.5796532e-11     7.4779562e-06     7.4764609e-10
    10003        5.00200000       0.038431969     9.5172622e-18     9.6078734e-09     9.6049919e-13
    10001        5.00000000       0.038461538     2.8257019e-18     3.8083017e-11     3.8079209e-15
    10002        5.00100000        0.03844675     3.1136931e-18       2.23309e-13     2.2326435e-17
    10003        5.00200000       0.038431969     4.9839419e-18     4.6430436e-14     4.6416511e-18
eTendler3-9
    10002        5.00100000        0.03844675     2.8328214e-11     1.3384847e-05      1.338217e-09
    10003        5.00200000       0.038431969     4.4140581e-17     6.3839164e-08     6.3820018e-12
    10001        5.00000000       0.038461538     2.7400838e-16     4.2245435e-10      4.224121e-14
    10002        5.00100000        0.03844675     8.9378917e-18     4.7191011e-13     4.7181575e-17
    10003        5.00200000       0.038431969      1.836774e-16     1.2240796e-12     1.2237125e-16
    10004        5.00300000       0.038417198     9.6151792e-17     5.4300267e-13     5.4278556e-17
    10004        5.00300000       0.038417198     1.0707377e-15     5.4988138e-12     5.4966152e-16
Tischer2-8
    10002        5.00100000        0.03844675     1.5206948e-12     0.00034400268      3.439339e-08
    10001        5.00000000       0.038461538     2.4026387e-13     5.2563446e-07      5.255819e-11
    10002        5.00100000        0.03844675     5.9445514e-12     7.4128733e-08      7.411391e-12
    10001        5.00000000       0.038461538     3.8125509e-12     1.9176384e-08     1.9174467e-12
    10002        5.00100000        0.03844675     8.8178837e-12     4.4083648e-08     4.4074833e-12
    10001        5.00000000       0.038461538     4.9772535e-11     2.4826219e-07     2.4823737e-11
    10002        5.00100000       0.038446749     5.5929763e-10     2.7944458e-06      2.793887e-10

5. Scripts to generate results

We used the C program stabregion2.c to generate above results. Below shell script stabregion2-batchRunge was once run with $1=2(double precision) and once with$1=3` (quadruple precision).

#!/bin/bash
# Run stabregion2 with precision $1 and various various step sizes $2 for Runge's problem

echo BDF1-6
for i in 1 2 3 4 5 6; do stabregion2 -f BDF$i -u$1:-5:5:$2 | tail -1; done
echo Tendler3-7
for i in 3 4 5 6 7; do stabregion2 -f Tendler$i -u$1:-5:5:$2 | tail -1; done
echo eTendler3-9
for i in 3 4 5 6 7 8 9; do stabregion2 -f eTendler$i -u$1:-5:5:$2 | tail -1; done
echo Tischer2-8
for i in 2 3 4 5 6 7 8 ; do stabregion2 -f Tischer$i -u$1:-5:5:$2 | tail -1; done

The output of above script was then processed with below Perl script to generate JSON for Apache ECharts:

#!/bin/perl -W
# Generate JSON + ECharts commands from stabregion2-runge-55-0.1-0.001.txt
# That file was generated via
#    for h in 0.1 0.01 0.001; do echo h=$h; stabregion2-batchRunge 2 $h; done

use strict;
my ($log10,$h,$formula,$p,$gerr,@F) = (log(10),0,"",0,0,());

print "[\n\t[\"formula\", \"h\", \"gerr\"],\n";
while (<>) {
    if (/^h=(\d+\.\d+)/) { $h = $1; next; }
    if (/^(BDF|Tendler|eTendler|Tischer)(\d)-(\d)/) { $formula = $1; $p = $2 - 1; next; }
    if (/^\s*\d+\s+\d+\.\d+/) {
        @F = split(/\s+/);
        $gerr = $F[5];
        $p += 1;
        if ($gerr =~ /(-nan|nan)/ || $gerr > 30) { $gerr = 5; }
        else { $gerr = -log($gerr) / $log10; }
    }
    printf("\t[ \"%s%d\", \"%g\", %g],\n",$formula,$p,$h,$gerr);
}
print "];\n";

This is in continuation of:

1. Stability Regions for BDF and Tendler's Formulas
2. Stability Regions for Tischer's Formulas
3. Stability Regions for eTendler Formulas

Below is the output of:

stabregion2 -f eTendler9 -o3 -r800

eTendler9:

This is in continuation of:

1. Stability Regions for BDF and Tendler's Formulas
2. Stability Regions for Tischer's Formulas
3. Stability Regions for eTendler Formulas

Below is the output of:

stabregion2 -f eTendler8 -o3 -r800

eTendler8:

This is in continuation of:

1. Stability Regions for BDF and Tendler's Formulas
2. Stability Regions for Tischer's Formulas
3. Stability Regions for eTendler Formulas

Below is the output of:

stabregion2 -f eTendler7 -o3 -r800

eTendler7:

This is in continuation of:

1. Stability Regions for BDF and Tendler's Formulas
2. Stability Regions for Tischer's Formulas
3. Stability Regions for eTendler Formulas

Below is the output of:

stabregion2 -f eTendler6 -o3 -r600

eTendler6:

This is in continuation of:

1. Stability Regions for BDF and Tendler's Formulas
2. Stability Regions for Tischer's Formulas
3. Stability Regions for eTendler Formulas

Below is the output of:

stabregion2 -f eTendler5 -o3 -r600

eTendler5:

This is in continuation of:

1. Stability Regions for BDF and Tendler's Formulas
2. Stability Regions for Tischer's Formulas
3. Stability Regions for eTendler Formulas

Below is the output of:

stabregion2 -f eTendler4 -o3 -r600

eTendler4:

This is in continuation of:

1. Stability Regions for BDF and Tendler's Formulas
2. Stability Regions for Tischer's Formulas
3. Stability Regions for eTendler Formulas

Below is the output of:

stabregion2 -f eTendler3 -o3 -r600

eTendler3:

In Die verwendeten zyklischen Formeln im Programm TENDLER we listed the Widlund wedge α and Widlund distance δ for the seven formulas of Joel Tendler, which he developed during his PhD thesis in 1973.

We compute these values by using the QZ algorithm. Also see Stability Regions for BDF and Tendler's Formulas.

Compare Design Notes on System for the Analysis of Order- and Stepsize Changes for Cyclic Composite Multistep Methods. Many stability regions have been plotted here Sand/Osterby (1979).

The graphs were generated by using the C program stabregion2.c. The number of records, command line flag -r, was chosen to be sufficiently small to not generate too many data points but at the same time show enough details of the stability region.

stabregion2 -f eTendler3 -oj -r400
stabregion2 -f eTendler4 -oj -r400
stabregion2 -f eTendler5 -oj -r500
stabregion2 -f eTendler6 -oj -r500
stabregion2 -f eTendler7 -oj -r500
stabregion2 -f eTendler8 -oj -r500
stabregion2 -f eTendler9 -oj -r500

1. Einleitung

1.1 Problemstellung und gesellschaftliche Relevanz

Die öffentliche Verwaltung steht in Deutschland vor tiefgreifenden strukturellen Herausforderungen. Der demografische Wandel, begrenzte finanzielle Ressourcen und ein zunehmender Mangel an qualifizierten Fachkräften führen dazu, dass Verwaltungen ihre Aufgaben unter immer anspruchsvolleren Rahmenbedingungen erfüllen müssen. Gleichzeitig steigen die Erwartungen der Bürgerinnen und Bürger an eine moderne, effiziente und serviceorientierte Verwaltung. Diese Entwicklungen verdeutlichen den Handlungsdruck, bestehende Prozesse zu modernisieren und innovative Technologien einzusetzen, um die Leistungsfähigkeit langfristig zu sichern.

Künstliche Intelligenz (KI) ist in diesem Zusammenhang als Schlüsseltechnologie zu verstehen, die das Potenzial besitzt, Verwaltungsprozesse zu optimieren, Entscheidungsabläufe zu unterstützen und bürgernahe Dienstleistungen zu verbessern. Durch den gezielten Einsatz von KI können Routineaufgaben automatisiert, Arbeitsabläufe beschleunigt und Daten effizienter genutzt werden. Dadurch entsteht die Möglichkeit, Verwaltungsleistungen qualitativ zu verbessern und personelle Ressourcen gezielter einzusetzen.

Gleichzeitig gilt es zu betonen, dass sich nicht alle Aufgabenbereiche für den Einsatz von KI eignen. Viele Tätigkeiten werden – etwa aufgrund rechtlicher Vorgaben oder ihres Ermessenscharakters – weiterhin von Verwaltungsmitarbeitenden ausgeführt werden müssen. Umso wichtiger ist es, zu untersuchen, welche Aufgaben potenziell durch KI unterstützt oder übernommen werden können, um auf dieser Grundlage eine fundierte Bewertung möglicher Einsatzfelder innerhalb unterschiedlicher Behörden oder Verwaltungsebenen vorzunehmen.

1.2 Zielsetzung und Aufbau der Arbeit

Ziel dieser Arbeit ist es, theoretisch fundiert zu analysieren, welche Anwendungsfelder für Künstliche Intelligenz in der öffentlichen Verwaltung in der wissenschaftlichen Literatur beschrieben werden. Die Arbeit soll einen systematischen Überblick über die Fähigkeiten und Einsatzmöglichkeiten von KI im öffentlichen Sektor bieten und damit Entscheidungsträgerinnen und Entscheidungsträgern eine Orientierung ermöglichen, in welchen Aufgabenfeldern sich eine Investition in KI besonders lohnen kann.

Um dieses Ziel zu erreichen, werden zunächst die grundlegenden Annahmen und theoretischen Prämissen des Einsatzes von KI im Verwaltungskontext dargestellt (Kapitel 2). Darauf aufbauend werden zentrale Anwendungsbereiche herausgearbeitet, in denen KI nach der Literaturrecherche zur Modernisierung der Verwaltung beitragen kann (Kapitel 3). Dabei werden zunächst Einsatzmöglichkeiten im Bürgerservice betrachtet, bevor anschließend Potenziale in der internen Verwaltung analysiert werden. Abschließend werden der Forschungsstand kritisch beleuchtet (Kapitel 4), bevor die zentralen Erkenntnisse im Fazit und Ausblick zusammengeführt werden (Kapitel 5).

1.3 Methodisches Vorgehen

Die Analyse basiert auf einer systematischen Literaturrecherche und einer theoretischen Auseinandersetzung mit dem Thema. Dazu wurden einschlägige wissenschaftliche Fachbücher, Artikel aus Journals sowie aktuelle Studien herangezogen. Die Recherche erfolgte unter anderem über akademische Datenbanken wie EBSCOhost, ScienceDirect, SpringerLink sowie Google Scholar.

Im Fokus stand die Identifikation relevanter theoretischer Konzepte sowie empirischer Studien, die Anwendungsfelder von KI in der öffentlichen Verwaltung adressieren. Die gesammelte Literatur wurde im Hinblick auf Forschungsfragen, Methodik und Ergebnisse kritisch analysiert, um eine Einordnung des Forschungsstandes zu ermöglichen.

1.4 Thematische Abgrenzungen

Diese Arbeit befasst sich ausschließlich mit den Anwendungsfeldern Künstlicher Intelligenz in der öffentlichen Verwaltung in Deutschland. Nicht Gegenstand sind Prozesse der politischen Willensbildung oder Entscheidungsfindung. Ebenso werden privatwirtschaftliche Kontexte sowie internationale Vergleiche ausgeklammert. Darüber hinaus verzichtet die Arbeit bewusst auf Umsetzungsfragen – einschließlich detaillierter rechtlicher Prüfungen, organisatorischer Einführungsstrategien oder technischer Implementierungsaspekte. Spezifische Sektorenanwendungen, etwa im Bildungs-, Gesundheits- oder Verkehrsbereich, werden nicht vertieft behandelt, da der Fokus auf verwaltungsübergreifenden Einsatzfeldern liegt. Im Mittelpunkt steht stattdessen eine systematische Bestandsaufnahme und Strukturierung potenzieller Einsatzbereiche von KI, ohne deren konkrete Realisierung im Verwaltungsvollzug im Detail zu behandeln. Ziel ist es, den gegenwärtigen Stand wissenschaftlicher Erkenntnisse zu erfassen und einzuordnen. Zukunftsszenarien oder spekulative Prognosen über künftige Entwicklungen werden ebenfalls nicht betrachtet; der Fokus liegt auf gegenwärtig identifizierbaren, bereits erforschten oder konzeptionell beschriebenen Anwendungsfeldern.

2. Theoretischer Rahmen und Grundannahmen

2.1 Begriff und Zielsetzung des Einsatzes von KI in der Verwaltung

KI ist ein vielschichtiger Begriff, der in der wissenschaftlichen Diskussion nicht einheitlich definiert ist. Grundsätzlich bezieht er sich auf informationsverarbeitende Systeme, die Aufgaben übernehmen können, für die bislang menschliche Denk-, Lern- oder Entscheidungsprozesse erforderlich waren. Im weiteren Sinne beschreibt KI die Fähigkeit technischer Systeme, komplexe Ziele selbstständig zu verfolgen und hierfür geeignete Handlungen abzuleiten. Diese Definition umfasst mehrere kognitive Funktionen wie Wahrnehmung, Lernen, Problemlösung und Entscheidungsfindung. Praktisch bedeutet dies, dass ein System als „intelligent“ gilt, wenn es seine Umgebung – etwa durch Sensoren oder Datenanalyse – erfassen, diese Informationen verarbeiten und darauf basierend zielgerichtet und rational handeln kann. KI zielt somit darauf ab, menschliche Intelligenz in ausgewählten Bereichen technisch nachzubilden oder zu ergänzen (Ertel, 2025, S. 1f; Djeffal, 2018, S. 6-8; Heine et al., 2023, S. 3f).

Ziel des Einsatzes von KI in der Verwaltung ist es, bestehende Prozesse zu unterstützen, zu beschleunigen und qualitativ zu verbessern. KI soll Verwaltungsmitarbeitende entlasten, indem sie repetitive oder regelbasierte Tätigkeiten automatisiert und dadurch Raum für komplexere Aufgaben schafft. Der Nutzen von KI liegt dabei weniger in der vollständigen Ersetzung menschlicher Arbeit, sondern in der Erweiterung menschlicher Handlungsmöglichkeiten. So kann KI beispielsweise helfen, große Datenmengen zu strukturieren, Prognosen zu erstellen oder Muster in Verwaltungsakten zu erkennen, die für den Menschen nur schwer erfassbar wären (Djeffal, 2018, S. 10; Wangler & Botthof, 2019, S.132f; Heine et al., 2023, S. 3f).

Im Unterschied zu privatwirtschaftlichen Anwendungsfeldern ist der KI-Begriff in der Verwaltung eng an rechtliche, ethische und gesellschaftliche Anforderungen gebunden. Verwaltungshandeln ist durch Prinzipien wie Rechtsstaatlichkeit, Transparenz, Gleichbehandlung und Nachvollziehbarkeit geprägt. Daher ist der Einsatz von KI hier stets normativ eingebettet: Entscheidungen müssen überprüfbar, Ermessensspielräume klar geregelt und Datenschutzanforderungen gewahrt bleiben (Djeffal, 2018, S. 13, 18; Hill, 2018, S. 290; Etscheid et al., 2020, S. 12ff).

2.2. Digitale Infrastrukturen und Datenräume als Grundlage

Damit KI in der öffentlichen Verwaltung wirkungsvoll eingesetzt werden kann, sind geeignete technische Infrastrukturen erforderlich, die den Zugriff auf qualitativ hochwertige, verknüpfbare und sicher verwaltete Daten ermöglichen. KI-Systeme benötigen große Mengen strukturierter und unstrukturierter Daten, um Muster zu erkennen, Prognosen zu erstellen und Entscheidungsprozesse zu unterstützen. Diese Daten entstehen zunehmend in digitalisierten Verwaltungsabläufen, aber auch durch Sensoren, smarte Objekte und cyberphysische Systeme, die physische Prozesse digital abbilden und steuern. Sie bilden die Grundlage für eine datengetriebene Verwaltung, in der maschinelles Lernen und automatisierte Entscheidungsfindung überhaupt erst möglich werden (Etscheid et al., 2020, S. 18ff).

Von zentraler Bedeutung ist die Etablierung von Datenplattformen und Datenräumen, die als technologische Basis einer KI-gestützten Verwaltung dienen. Datenplattformen bündeln Informationen aus heterogenen Quellen, standardisieren sie und stellen sie über Schnittstellen für weiterführende Systeme bereit. Sie fungieren damit als Vermittlungs- und Integrationsschicht zwischen Fachverfahren, externen Datenlieferanten und KI-Anwendungen. Aufbauend darauf ermöglichen Datenräume einen dezentralen und zugleich sicheren Datenaustausch zwischen verschiedenen Verwaltungseinheiten und externen Akteuren. Sie beruhen auf gemeinsamen technischen Standards, definieren Zugriffsrechte und sichern Datensouveränität sowie Nachvollziehbarkeit der Nutzung. Damit schaffen sie die infrastrukturelle Grundlage für eine vertrauenswürdige Nutzung von Daten in der öffentlichen Verwaltung (Etscheid et al., 2020, S. 20f).

Erst wenn diese technischen Voraussetzungen erfüllt sind – also leistungsfähige IT-Infrastrukturen, interoperable Datenplattformen und rechtssichere Datenräume bestehen – kann KI ihr Potenzial in der Verwaltung entfalten. Die Gestaltung dieser digitalen Basis bestimmt zugleich, in welchem Maße der Einsatz von KI effizient, transparent und verantwortungsvoll erfolgen kann. Auf dieser technischen Grundlage baut der folgende Abschnitt auf, der die organisatorischen, rechtlichen und gesellschaftlichen Rahmenbedingungen – insbesondere Governance, Regulierung und Akzeptanz – als weitere Voraussetzungen für den KI-Einsatz behandelt.

2.3 Institutionelle Einbettung und Governance von KI

Der Einsatz von Künstlicher Intelligenz in der öffentlichen Verwaltung setzt neben technischen Infrastrukturen auch klare organisatorische und rechtliche Rahmenbedingungen voraus. Verwaltungshandeln unterliegt dem Prinzip der Rechtsstaatlichkeit und ist an Normen wie Transparenz, Gleichbehandlung und Nachvollziehbarkeit gebunden. Daher muss der Einsatz von KI-Systemen in bestehende Verwaltungsprozesse so eingebettet werden, dass diese Grundprinzipien gewahrt bleiben. KI ist dabei nicht als autonomer Akteur, sondern als Werkzeug zur Unterstützung menschlicher Entscheidungen zu verstehen, das der behördlichen Verantwortung und Kontrolle unterliegt (Djeffal, 2018, S. 15f; Hill, 2018, S. 290).

Ein zentrales Element der Governance von KI ist die institutionelle Steuerung und Kontrolle ihres Einsatzes. Führungskräfte in Behörden tragen die Verantwortung dafür, dass technologische Lösungen zweckmäßig, rechtssicher und ethisch vertretbar implementiert werden. Dazu gehört insbesondere die Prüfung, in welchen Verfahren der Einsatz von KI tatsächlich einen Mehrwert bietet und welche Grenzen durch Datenschutz, Gleichbehandlungsgrundsatz oder Ermessensentscheidungen bestehen. Leitlinien und ethische Kodizes können hier Orientierung geben, ersetzen jedoch nicht die fallbezogene Abwägung im konkreten Verwaltungskontext (Hill, 2018, S. 292).

Neben rechtlicher und organisatorischer Steuerung ist die Akzeptanz innerhalb der Verwaltung ein entscheidender Erfolgsfaktor. Die Einführung von KI verändert Arbeitsabläufe, Entscheidungsstrukturen und Kompetenzanforderungen. Ein großer Teil des verwaltungsspezifischen Wissens über Abläufe, Zuständigkeiten und Entscheidungslogiken ist implizit und an die Erfahrung der Beschäftigten gebunden. Damit dieses Wissen erhalten bleibt und in die Entwicklung von KI-Systemen einfließt, müssen Mitarbeitende aktiv in Gestaltungsprozesse einbezogen werden. Gleichzeitig sind umfassende Qualifizierungs- und Weiterbildungsmaßnahmen erforderlich, um den sicheren und souveränen Umgang mit neuen Technologien zu fördern (Djeffal, 2018, S. 16; Hill, 2018, S. 291; Etscheid et al., 2020, S. 51). Ziel einer verantwortungsvollen KI-Governance ist es, technologische und organisatorische Kompetenz schrittweise innerhalb der Verwaltung aufzubauen, um Abhängigkeiten von externen Anbietern zu vermeiden. Nur wenn Verwaltung und Technologieentwicklung gemeinsam Wissen generieren, kann ein rechtssicherer, transparenter und gesellschaftlich akzeptierter Einsatz von Künstlicher Intelligenz gelingen. Die Governance von KI ist somit als kontinuierlicher Lern- und Anpassungsprozess zu verstehen, der rechtliche, organisatorische und kulturelle Dimensionen miteinander verbindet (Hill, 2018, S. 291f; Etscheid et al., 2020, S. 51).

3. Anwendungsbereiche der KI in der öffentlichen Verwaltung

Nachdem im vorhergehenden Kapitel die begrifflichen Grundlagen sowie die technischen und institutionellen Voraussetzungen für den Einsatz von Künstlicher Intelligenz in der Verwaltung dargestellt wurden, soll nun der Blick auf die konkreten Anwendungsfelder gerichtet werden. Da die wissenschaftliche Literatur keine einheitliche Systematik zur Kategorisierung der Einsatzfelder vorgibt, bietet sich eine strukturierende Einteilung nach dem Handlungsfokus der Verwaltung an. In dieser Arbeit wird daher zwischen Anwendungsfeldern im Bürgerservice (Tz. 3.1) und Anwendungsfeldern in den internen Verwaltungsprozessen (Tz. 3.2) unterschieden. Im Folgenden werden diese beiden Hauptbereiche systematisch dargestellt und anhand der einschlägigen Forschungsliteratur erläutert.

3.1 Bürgerservice

Die Interaktion zwischen Verwaltung und Bürgerinnen bzw. Bürgern bildet einen zentralen Ansatzpunkt der digitalen Verwaltungsmodernisierung. Verbesserungen in diesem Bereich sind unmittelbar erlebbar und stärken das Vertrauen in staatliche Institutionen. Ein digitaler Zugang zur Verwaltung gilt als sichtbarer Ausdruck moderner, serviceorientierter Staatlichkeit und erhöht zugleich die Legitimation öffentlicher Investitionen in Digitalisierungsprojekte. Das Leitmotiv der Bürgerorientierung überträgt Prinzipien der Kundenorientierung aus der Privatwirtschaft auf den öffentlichen Sektor. Ziel ist es, Verwaltungsleistungen konsequent an den Bedürfnissen der Bevölkerung auszurichten und den Zugang zu Informationen und Services orts- und zeitunabhängig zu gestalten. In der Praxis erfüllen viele Verwaltungsportale bislang jedoch überwiegend Informationsfunktionen, während interaktive und personalisierte Angebote selten sind. Hier setzt der Einsatz von Künstlicher Intelligenz an. Sie kann Kommunikations- und Auskunftsprozesse automatisiert unterstützen und damit die Interaktion zwischen Bürgern und Verwaltung erleichtern. KI-basierte Systeme beantworten häufige Anfragen, schlagen passende Dienstleistungen vor oder übernehmen einfache Transaktionen eigenständig. Dadurch verändert sich die Rolle der Verwaltung: Routinetätigkeiten werden technologische Systeme übernehmen können, während Mitarbeitende sich verstärkt auf beratende und fallbezogene Aufgaben konzentrieren (Etscheid et al., 2020, S. 22; Möltgen & Lorig, 2009, S. 225 ff; Derungs & Wellinger, 2023, S. 43).

Im Folgenden werden zentrale Anwendungsformen des KI-Einsatzes im Bürgerservice vorgestellt. Diese lassen sich in zwei Gruppen einteilen: kommunikationsorientierte Anwendungen, die auf den direkten Austausch mit Bürgerinnen und Bürgern abzielen (Chatbots, Sprachassistenten und Service-Roboter), sowie transaktionsorientierte Anwendungen, die den Zugang und die Nutzung von Verwaltungsleistungen unterstützen (digitale Identität und Antragsassistenz) (Heine et al., 2023, S. 4; Derungs & Wellinger, 2023, S. 43).

Abbildung 1 Anwendungsbereiche im Bürgerservice

(Eigene Darstellung)

3.1.1 Chatbots und persönliche Sprachassistenten

Sprachassistenten und Chatbots dienen als Schnittstellen für natürliche Mensch-Maschine-Interaktion und grenzen sich von Telefonleitsystemen oder klickbasierten Menüführungen ab, weil sie Eingaben in natürlicher Sprache verstehen und verarbeiten. Chatbots lassen sich in zwei Typen unterscheiden: regelbasierte Systeme, die auf vordefinierte Stichwörter reagieren, und lernende Systeme, die mithilfe von Ontologien, Thesauri und Verfahren des maschinellen Lernens kontextbezogene und qualitativ hochwertige Antworten erzeugen. Lernfähige Chatbots passen den Dialog dynamisch an den Nutzerkontext an und steigern damit den Mehrwert, während einfache, regelbasierte Systeme häufig begrenzt bleiben. Im Verwaltungskontext werden Chatbots derzeit vor allem zur Informationsvermittlung eingesetzt, etwa zu Verfahren, Fristen oder Formularen. Persönliche Sprachassistenten bilden eine sprachzentrierte Weiterentwicklung und sind häufig in Smartphones oder smarte Lautsprecher integriert und nutzen im Hintergrund erweiterbare KI-Dienste. Ihre intuitive Bedienbarkeit eröffnet insbesondere für barrierefreie Verwaltungsangebote großes Potenzial (Heine et al., 2022, S. 1–4; Etscheid et al., 2020, S. 23 f; Hill, 2018, S. 289 f; Derungs & Wellinger, 2023, S. 43 f)

3.1.2 Service-Roboter

Während Chatbots und Sprachassistenten den digitalen Dialog unterstützen, erweitern Service-Roboter diesen Ansatz um eine physische Dimension. Sie agieren im direkten Kontaktbereich zwischen Verwaltung und Bürgerinnen bzw. Bürgern und übernehmen einfache Interaktions- oder Orientierungsaufgaben. Ausgestattet mit Sprach- und Bilderkennungsfunktionen können Service-Roboter Anfragen verstehen, Informationen bereitstellen und Besucher zu den zuständigen Stellen leiten. Ihre Funktion ähnelt der einer digitalen Rezeption: Sie geben Orientierung, prüfen bei Bedarf Unterlagen und können Wartezeiten oder Abläufe koordinieren. Technisch handelt es sich um KI-basierte Interaktionssysteme, die Chatbots um sensorische und motorische Komponenten erweitern. Durch ihre Integration in Empfangs- oder Servicebereiche können sie den Ablauf vor Ort unterstützen, Informationen vorerfassen und Mitarbeitende im Publikumsverkehr entlasten. Der persönliche Kontakt bleibt dabei bestehen, wird jedoch durch technologische Unterstützung ergänzt. Service-Roboter verdeutlichen damit, wie KI in physischer Form zu einer modernen, reaktionsfähigen Verwaltung beitragen kann (Etscheid et al., 2020, S. 24 f; Derungs & Wellinger, 2023, S. 43 f; Heine et al., 2023, S. 4).

3.1.3 Digitale Identität und Zugangslösungen

Ein zentraler Erfolgsfaktor digitaler Verwaltungsangebote ist ein einheitlicher und sicherer Zugang. Aktuell sind viele Systeme durch unterschiedliche Registrierungs- und Authentifizierungsverfahren geprägt, was die Nutzung erschwert und die Zahl aktiver Nutzerinnen und Nutzer begrenzt. Eine übergreifende, datenschutzkonforme digitale Identität, die verschiedene Verwaltungsverfahren abdeckt, befindet sich in Deutschland noch im Aufbau. Ziel ist es, die wiederholte Eingabe gleicher Daten zu vermeiden und stattdessen eine einheitliche Identität bereitzustellen, über die Bürgerinnen und Bürger mit einer Anmeldung auf alle relevanten Leistungen zugreifen können. Mit Zustimmung der Nutzenden könnten personenbezogene Daten künftig einmalig hinterlegt und für unterschiedliche Verfahren automatisiert bereitgestellt werden. Dadurch ließe sich der Aufwand für Identifikation und Datenpflege deutlich reduzieren, während zugleich Datenqualität und Sicherheit steigen würden. KI kann diesen Prozess unterstützen, indem sie Identitätsdaten validiert, Mehrfachregistrierungen erkennt und Authentifizierungsverfahren an Nutzungskontexte anpasst. Damit bildet die digitale Identität die technische Grundlage für eine medienbruchfreie, vernetzte Verwaltungsinteraktion (Etscheid et al., 2020, S. 25; Heine et al., 2023, S. 4).

3.1.4 Intelligente Assistenz und Antragsunterstützung

Ein großer Teil der Interaktionen zwischen Bürgerinnen und Bürgern und der Verwaltung entfällt auf Antragsprozesse, die häufig komplex, formularbasiert und wenig intuitiv gestaltet sind. KI bietet hier das Potenzial, diese Verfahren zu strukturieren und nutzerorientierter zu gestalten. Durch die Verarbeitung natürlicher Sprache können Anliegen frei formuliert werden, ohne dass Antragstellende die exakten Verwaltungsbegriffe kennen müssen. Das System erkennt relevante Informationen, überträgt sie automatisiert in digitale Formulare und prüft die Eingaben auf Vollständigkeit und Plausibilität. Fehlende Daten können durch gezielte Rückfragen ergänzt werden. Darüber hinaus ermöglichen KI-Systeme eine proaktive Unterstützung: Auf Grundlage vorhandener Informationen lassen sich passende Leistungen, Fördermöglichkeiten oder Fristen identifizieren und Vorschläge anzeigen. So wird die Antragstellung nicht nur vereinfacht, sondern auch stärker auf individuelle Lebenssituationen abgestimmt. Für die Verwaltung entsteht dadurch eine strukturierte Datenbasis, die die Bearbeitung beschleunigt und Medienbrüche reduziert. Die Verantwortung für die inhaltliche Prüfung bleibt dabei beim Menschen. Insgesamt fördern intelligente Assistenzsysteme eine transparente und nachvollziehbare Kommunikation zwischen Bürgern und Verwaltung (Etscheid et al., 2020, S. 26; Hill, 2018, S. 288).

3.2 Interne Verwaltung

Nachdem im vorherigen Abschnitt Anwendungen von Künstlicher Intelligenz vorgestellt wurden, die auf die direkte Interaktion mit Bürgerinnen und Bürgern ausgerichtet sind, richtet sich der Blick nun auf den internen Verwaltungsbereich.

In großen Organisationen steigt mit der Zahl an Aufgaben und Zuständigkeiten auch der Aufwand für interne Abläufe, die der eigentlichen Leistungserbringung vor- oder nachgelagert sind. Diese Prozesse erzeugen zwar keinen unmittelbaren Mehrwert nach außen, bilden jedoch die Grundlage für ein rechtskonformes und funktionierendes Verwaltungshandeln. Gerade in der öffentlichen Verwaltung, die ein breites Spektrum an Themen und Fachaufgaben abdeckt, beanspruchen solche Tätigkeiten erhebliche personelle und zeitliche Ressourcen. Vor diesem Hintergrund gewinnt der Einsatz digitaler Technologien, insbesondere von Künstlicher Intelligenz, an Bedeutung. Ziel ist es, wiederkehrende und standardisierbare Aufgaben zu unterstützen, zu strukturieren oder – wo rechtlich möglich – zu automatisieren. Neben der Prozessautomatisierung findet KI Anwendung in der Datenanalyse, im Wissensmanagement, bei der Text- und Formulierungshilfe sowie in robotischen Systemen zur Zustandsdiagnose. Diese Ansätze sollen interne Abläufe vereinfachen, Entscheidungsgrundlagen verbessern und Beschäftigte bei der Bearbeitung komplexer Aufgaben entlasten (Etscheid et al., 2020, S. 28; Hill, 2018, S. 291; Heine et al., 2023, S. 3 f).

Abbildung 2 Anwendungsbereiche in der internen Verwaltung

(Eigene Darstellung)

3.2.1 Datenanalyse

Datenanalyse soll Entscheidungen in der Verwaltung fundieren, indem sie umfangreiche Informationsbestände systematisch strukturiert, Zusammenhänge sichtbar macht, Hypothesen prüft und Anomalien erkennt. Künstliche Intelligenz erweitert klassische Analyseansätze, weil lernende Modelle heterogene Quellen verknüpfen, verborgene Muster erkennen und Ergebnisse verdichten. Durch automatisierte Aufbereitung sowie die kompakte Darstellung der Resultate werden große Datenmengen nutzbar gemacht und die Bewertung komplexer Sachverhalte datenfundierter gestaltet (Heine et al., 2023, S. 3 f; Mergel, 2018, S. 76; Microsoft, 2023).

Die zugrunde liegende Datenbasis liegt vor allem in administrativ erzeugten Beständen wie Registern, Meldesystemen und amtlichen Erhebungen. Diese standardisierten Datensätze enthalten demografische und sozioökonomische Merkmale und eignen sich zur Analyse von Entwicklungen und Mustern in unterschiedlichen Verwaltungsbereichen. Ergänzend fallen strukturierte und unstrukturierte Daten in hoher Frequenz an. In der Kombination entsteht ein Informationsfundament, das KIgestützte Analysen wirksam macht und die Ableitung tragfähiger Handlungsempfehlungen ermöglicht. So werden Informationsbestände effizient erschlossen und konsistent für operative Entscheidungen sowie strategische Steuerungszwecke bereitgestellt (Mergel, 2018, S. 76; Heine et al., 2023, S. 3 f; Microsoft, 2023).

3.2.2 Automatisierung von Entscheidungsprozessen

Die Automatisierung von Verwaltungsentscheidungen stellt einen zentralen Entwicklungsschritt im Einsatz von Künstlicher Intelligenz dar. Sie dient dazu, standardisierte Verfahren zu beschleunigen und die Bearbeitung wiederkehrender Fälle zu vereinheitlichen – insbesondere dort, wo klare rechtliche Tatbestände und eindeutige Entscheidungsregeln bestehen. Einfache Formen der Automatisierung beruhen auf regelbasierten Systemen, die Entscheidungen anhand vordefinierter WennDann-Bedingungen treffen. Diese lassen sich transparent abbilden und werden bereits in Prüf- und Genehmigungsverfahren eingesetzt. Komplexer sind lernende Systeme, die anhand früherer Entscheidungen Muster ableiten und daraus Vorschläge für vergleichbare Fälle generieren. KI-gestützte Risikomanagementsysteme können Vorgänge automatisiert bewerten und selektieren, indem sie unauffällige Fälle freigeben und potenziell risikobehaftete zur weiteren Prüfung kennzeichnen. Dadurch werden personelle Ressourcen gezielter eingesetzt und Bearbeitungszeiten verkürzt. Der angestrebte Nutzen liegt in konsistenteren Entscheidungen und einer Verringerung subjektiver Verzerrungen. Gleichwohl bleibt die vollständige Automatisierung rechtlich und ethisch umstritten, da Transparenz, Kontrolle und Verantwortlichkeit stets gewährleistet sein müssen. Den höchsten Grad erreichen autonome Systeme, die innerhalb klarer Parameter ganze Prozesse eigenständig steuern. Solche Ansätze befinden sich bislang überwiegend im Pilotstadium, da Fragen der Nachvollziehbarkeit und Aufsicht noch offen sind (Thapa & Parycek, 2018, S. 61–63; Etscheid et al., 2020, S. 28– 30). Unabhängig vom Automatisierungsgrad gilt: Systeme müssen regelmäßig überprüft und angepasst werden. Zudem sollten föderale und kommunale Gestaltungsspielräume gewahrt bleiben, um Eigenverantwortung und Kontrolle der Verwaltung sicherzustellen (Hill, 2018, S. 292–293; Djeffal, 2018, S. 19–21).

3.2.3 Entscheidungsunterstützung

Künstliche Intelligenz kann auch ohne Automatisierung einen erheblichen Beitrag zur Verbesserung administrativer Entscheidungsprozesse leisten. Ziel ist eine datenbasierte, evidenzorientierte Entscheidungsfindung, bei der Mensch und Maschine komplementär zusammenwirken: Die KI übernimmt die Analyse großer Datenbestände und erkennt Muster, während die abschließende Bewertung in menschlicher Verantwortung verbleibt. Zentrale Instrumente dieser Systeme sind Dashboards und Analyse-Cockpits, die Daten aus unterschiedlichen Quellen zusammenführen und visuell aufbereiten. Dadurch lassen sich Entwicklungen verfolgen, Szenarien simulieren und Handlungsoptionen vergleichend bewerten. KI-basierte Vorschlags- und Bewertungssysteme schaffen somit eine strukturierte Informationsgrundlage für strategische Entscheidungen. Ergänzend ermöglichen prognostische Anwendungen – etwa in der Einsatzplanung oder Wartung – eine vorausschauende Steuerung von Ressourcen. Trotz dieser Potenziale müssen Ermessensentscheidungen beim Menschen verbleiben, da sie rechtliche und gesellschaftliche Bewertungen erfordern. Transparenz, Nachvollziehbarkeit und Qualitätssicherung sind daher unverzichtbare Voraussetzungen für den Einsatz solcher Systeme (Etscheid et al., 2020, S. 33–35; Mergel, 2018, S. 80 ff; Hill, 2018, S. 291– 293; Heine et al., 2023, S. 3 f).

3.2.4 Wissensmanagement

Der Zugriff auf interne Informationen, Vorschriften oder Prozessbeschreibungen gestaltet sich häufig komplex und zeitaufwändig. KI-gestützte Such- und Dialogsysteme können Abhilfe schaffen, indem sie eine intuitive Interaktion mit Intranets und Wissensdatenbanken ermöglichen. Mitarbeitende können Informationen in natürlicher Sprache abfragen und erhalten präzise, kontextbezogene Antworten. Diese automatisierte Informationsbereitstellung erleichtert insbesondere die Einarbeitung neuer Beschäftigter und fördert die bereichsübergreifende Zusammenarbeit. Informationen, die bislang in getrennten organisatorischen Einheiten gespeichert waren, werden leichter auffindbar und gemeinsam nutzbar. Zugleich verringert sich der Aufwand für Routineaufgaben, da relevante Dokumente oder Anweisungen schneller identifiziert werden können. Langfristig stärkt ein solches Wissensmanagement den institutionellen Wissenstransfer und reduziert Informationsverluste. Dadurch verbessern sich Abstimmung, Transparenz und Produktivität innerhalb der Verwaltung (Riedel, 2018, S. 39–41; Microsoft, 2023).

3.2.5 Text- und Formulierungshilfe

Textgenerierende Systeme eröffnen der Verwaltung vielfältige Einsatzmöglichkeiten. Sie können sowohl die interne Kommunikation als auch den formellen Schriftverkehr unterstützen, indem sie Textentwürfe, Zusammenfassungen oder Redebeiträge auf Basis kurzer Eingaben erstellen. Darüber hinaus lassen sich komplexe Dokumente wie Anträge, Anhörungen oder Gutachten durch generative KI analysieren und strukturiert aufbereiten. Diese Werkzeuge dienen nicht der automatischen Veröffentlichung, sondern als kreative und strukturierende Unterstützung im Schreibprozess. Sie

helfen, Routineaufgaben zu beschleunigen und Schreibprozesse zu vereinfachen, während die fachliche und rechtliche Kontrolle weiterhin beim Menschen verbleibt. So trägt die Formulierungsunterstützung durch generative KI dazu bei, die Textarbeit in der Verwaltung präziser, konsistenter und ressourcenschonender zu gestalten (Schröder, 2025, S. 230 f; Microsoft, 2023).

3.2.6 Diagnose-Roboter

Ein weiteres Anwendungsfeld betrifft KI-gestützte Diagnose-Roboter, die Zustände von Objekten, Infrastrukturen oder Umgebungen eigenständig erfassen und analysieren. Sie kombinieren sensorische Technologien, bildgebende Verfahren und datenbasierte Auswertungen, um Veränderungen oder Risiken zu erkennen. Ihr Einsatz eignet sich besonders in Bereichen, die eine kontinuierliche Zustandsüberwachung erfordern oder für Menschen schwer zugänglich sind. Durch automatisierte Datenerhebung und KI-gestützte Interpretation können Schäden oder Störungen frühzeitig erkannt und präventive Maßnahmen eingeleitet werden. Diagnose-Roboter verdeutlichen damit die Verbindung von datenverarbeitenden und physisch agierenden KI-Systemen, die Sicherheit, Verfügbarkeit und Nachhaltigkeit von Infrastrukturen unterstützen (Heine et al., 2023, S. 3 f).

3.3 Kurze Einordnung der Anwendungsbereiche

Die dargestellten Anwendungsfelder verdeutlichen, dass sich der Einsatz von Künstlicher Intelligenz in der öffentlichen Verwaltung in zwei komplementären Dimensionen entfaltet. Im Bürgerservice liegt der Schwerpunkt auf der Vereinfachung der Interaktion zwischen Verwaltung und Bevölkerung. KISysteme übernehmen hier vor allem strukturierende und vermittelnde Funktionen: Sie automatisieren Kommunikations- und Informationsprozesse, reduzieren Komplexität und schaffen barrierearme Zugänge zu Verwaltungsleistungen. Dadurch wird die Verwaltung nach außen responsiver, transparenter und serviceorientierter.

In der internen Verwaltung hingegen tritt KI als analytisches und organisatorisches Werkzeug auf. Sie dient der Aufbereitung, Verknüpfung und Bewertung großer Informationsbestände, unterstützt Routineabläufe und ermöglicht datenbasierte Entscheidungsprozesse. Lernende Systeme tragen dazu bei, Informationsflüsse zu standardisieren, Redundanzen abzubauen und die Bearbeitung fachlich komplexer Vorgänge zu strukturieren. So stärkt KI die operative Effizienz und fördert eine konsistente, wissensbasierte Verwaltungssteuerung.

In der Gesamtschau erfüllen KI-Systeme damit zwei zentrale Rollen: Nach außen agieren sie als intermediäre Schnittstellen zwischen Staat und Gesellschaft, die Kommunikation und Zugang vereinfachen. Nach innen fungieren sie als Instrumente der Analyse, Automatisierung und Wissensnutzung, die Entscheidungs- und Verwaltungsprozesse rationalisieren. Diese doppelte Wirkrichtung macht deutlich, dass der Mehrwert von KI nicht in der Ersetzung menschlicher Entscheidungen liegt, sondern in deren Ergänzung durch datengetriebene Unterstützungssysteme. Diese Einordnung bildet die Grundlage für die folgende Betrachtung des Forschungsstandes.

4. Forschungsstand und Evidenzlücken

Der Wissenschaft kommt im Kontext der digitalen Transformation der öffentlichen Verwaltung eine zentrale Orientierungsfunktion zu. Während sich die Forschung bislang überwiegend mit theoretischen und technischen Grundlagen sowie mit Anwendungen von Künstlicher Intelligenz in der Privatwirtschaft befasst hat, ist die wissenschaftliche Auseinandersetzung mit dem Einsatz von KI in der öffentlichen Verwaltung – insbesondere im deutschen Kontext – noch vergleichsweise gering ausgeprägt. Zwar liegen einzelne fundierte Beiträge vor, doch bleibt das Forschungsfeld insgesamt fragmentiert. Die vorhandene Literatur konzentriert sich meist auf konzeptionelle oder sektorspezifische Analysen, während systematische, empirisch gestützte und vergleichende Untersuchungen zu Anwendungsfeldern bisher selten sind.

Häufig stehen dabei Teilaspekte im Vordergrund, etwa rechtliche Fragen wie Datenschutz und Haftung, ethische Implikationen oder der Einsatz von KI in einzelnen Verwaltungsdomänen wie Revision, Bildung oder Verkehr. Eine übergreifende, integrative Betrachtung der Wirkungszusammenhänge innerhalb der Verwaltung fehlt hingegen weitgehend.

Als zentrale Referenzen gelten die Arbeiten von Etscheid und von Lucke (2020) sowie Heine et al. (2023), die erstmals eine strukturierte Systematisierung von Anwendungsfeldern und Einsatzszenarien vorgenommen haben. Diese Beiträge schaffen eine konzeptionelle Grundlage für die Einordnung der vielfältigen Potenziale von KI in der Verwaltung und markieren damit einen wesentlichen Ausgangspunkt für die weitere Forschung. Insgesamt zeigt der aktuelle Forschungsstand, dass das Wissen über Möglichkeiten und Strukturen des KI-Einsatzes vorhanden ist, die praktische Umsetzung in der Verwaltungsrealität jedoch noch deutlich hinter den theoretischen Erkenntnissen zurückbleibt.

5. Schlussfolgerung

Ausgehend vom Reformdruck durch demografischen Wandel, knappe Ressourcen und Fachkräftemangel zeigt die Analyse, dass Künstliche Intelligenz die Leistungsfähigkeit der Verwaltung erhöhen kann, ohne menschliche Verantwortung zu ersetzen. Ziel war eine systematische Ordnung der Anwendungsfelder sowie eine Orientierung für investitionsrelevante Entscheidungen. Der Kern liegt in der Unterscheidung zwischen bürgernahen und internen Einsatzbereichen sowie in den gemeinsamen Mustern über Anwendungsfälle hinweg. Nach außen stehen nutzerzentrierte Zugänge und strukturierte Kommunikationsprozesse im Vordergrund, nach innen datengetriebene Analyse, Standardisierung und Automatisierung in Bereichen mit klaren rechtlichen Tatbeständen. Voraussetzungen dafür sind leistungsfähige IT-Infrastrukturen, interoperable Datenplattformen und rechtssichere, vertrauenswürdige Datenräume sowie eine Governance, die Transparenz, Nachvollziehbarkeit und Qualifizierung dauerhaft verankert.

Für die Einführung von KI sollte eine Priorisierung vorgenommen werden. Vorrangig sollten Aufgaben mit hohem Volumen, geringer Ermessensdichte und stabilen Entscheidungsregeln berücksichtigt werden. Ergänzend eignen sich bürgernahe Kontaktpunkte mit häufigen Standardanfragen sowie interne Funktionen wie Wissensmanagement, datenbasierte Entscheidungsunterstützung und qualitätssichernde Textarbeit. So können Bearbeitungszeiten gesenkt, Konsistenz erhöht und personelle Ressourcen auf komplexe Fälle konzentriert werden. Da belastbare Wirkungsnachweise im deutschen Verwaltungskontext noch begrenzt sind, sollte ein schrittweises Vorgehen mit klar definierten Anwendungsfällen, überprüfbaren Qualitätskriterien und begleitender Evaluation gewählt werden. Auf dieser Basis kann KI gezielt dort eingesetzt werden, wo sie den größten Beitrag zur Modernisierung leistet und die intendierte Orientierung für Entscheidungen praktisch wirksam wird.

Die Einführung und der Ausbau von KI müssen dabei ganzheitlich gedacht werden. Neben Investitionen in KI selbst sind leistungsfähige IT-Infrastrukturen, interoperable Datenplattformen, rechtssichere Datenräume sowie eine rechtliche und organisatorische Steuerung und die Förderung von Akzeptanz innerhalb der Verwaltung entscheidend. Da KI Arbeitsabläufe, Entscheidungsstrukturen und Kompetenzanforderungen verändert, sollten Mitarbeitende aktiv in Gestaltungsprozesse einbezogen werden, um den Wandel nachhaltig voranzutreiben.

KI wird nicht alle Herausforderungen der öffentlichen Verwaltung lösen können, doch sie kann zu einem entscheidenden Pfeiler ihrer Zukunftsfähigkeit werden. Damit dieser Wandel gelingt, braucht es Mut, neue Technologien verantwortungsvoll zu erproben, Klarheit in rechtlichen, organisatorischen und ethischen Fragen sowie Verlässlichkeit gegenüber den Mitarbeitenden und Bürgerinnen und Bürgern, die den Erfolg dieser Transformation letztlich tragen. KI ist kein Selbstzweck, sondern ein Werkzeug, das – richtig eingesetzt – die Verwaltung nicht ersetzt, sondern stärkt.

Literaturverzeichnis

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5. Heine, M. (2023). Einleitung. In M. Heine, A.-K. Dhungel, T. Schrills & D. Wessel (Hrsg.), Künstliche Intelligenz in öffentlichen Verwaltungen: Grundlagen, Herausforderungen, Chancen und Einsatzszenarien (S. 1–5). Springer Fachmedien Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-40101-6_1
6. Hill, H. (2018). Was bedeutet Künstliche Intelligenz für die öffentliche Verwaltung? Verwaltung und Management, 24(6), 287–294.
7. Mergel, I. (2018). Big Data und Data-Science-Ansätze in der öffentlichen Verwaltung. In R. Mohabbat Kar, B. E. P. Thapa & P. Parycek (Hrsg.), (Un)berechenbar? Algorithmen und Automatisierung in Staat und Gesellschaft (S. 76–85). Fraunhofer-Institut für Offene Kommunikationssysteme FOKUS, Kompetenzzentrum Öffentliche IT (ÖFIT).
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9. Möltgen, K., & Lorig, W. H. (2009). Die kundenorientierte Verwaltung – zu den Facetten eines Leitbildes der Verwaltungsmodernisierung. In E. Czerwick, W. H. Lorig & E. Treutner (Hrsg.), Die öffentliche Verwaltung in der Demokratie der Bundesrepublik Deutschland (S. 225–240). VS Verlag für Sozialwissenschaften. https://doi.org/10.1007/978-3-531-92115-0_11
10. Riedel, H. (2018). Den virtuellen Beamten wird es nicht geben. Innovative Verwaltung, 40(1), 39–41. https://doi.org/10.1007/s35114-017-0150-z
11. Schröder, S. (2025). Textgenerierende KI im Verwaltungsverfahren – Politische Ziele, Regulierung und Verwaltungspraxis im Spannungsfeld. In S. Schröder (Hrsg.), Schreibende KI – ein interdisziplinärer Diskurs: Perspektiven über den Sinn oder Unsinn von schreibender KI (S. 229–247). Springer Fachmedien Wiesbaden.
12. Thapa, B. E. P.& Parycek, P. (2018). Data Analytics in Politik und Verwaltung. In R. Mohabbat Kar, B. E. P. Thapa & P. Parycek (Hrsg.), (Un)berechenbar? Algorithmen und Automatisierung in Staat und Gesellschaft (S. 40–75). Fraunhofer-Institut für Offene Kommunikationssysteme FOKUS, Kompetenzzentrum Öffentliche IT (ÖFIT). https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:0168-ssoar-57518-2
13. Wangler, L., & Botthof, A. (2019). E-Governance: Digitalisierung und KI in der öffentlichen Verwaltung. In V. Wittpahl (Hrsg.), Künstliche Intelligenz (S. 115–132). Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-58042-4_8

1. Dahlquist's test equation

We tested the BDF, Tendler's formulas, new Tendler-like formulas, and Tischer's formulas on the classical test equation

We used

The radius is fixed to $r=100$, and $\varphi$ varies from 5° to 90° in steps of 5°. $\varphi$ directly tests the Widlund wedge angle of the formula.

The stepsize $h$ of each formula is varied repeatedly from -0.1, -0.01, and -0.001.

Above differential equation is now solved with the following formulas:

1. BDF order 1–6
2. Tendler order 3–7
3. new Tendler-like formulas order 3–9, see Tendler-like formulas
4. Tischer's formulas of order 2–8 using $S=0$

This creates 1350 data points. Multiply by 2 machines, and two precisions, gives 5400 records.

We report the summed global error computed as

Computations were done in double precision (double complex). Results are here. As the global error $|y(t_i) - y_i|$ per step varies wildly between $10^{-324}$ to $10^{+304}$, we computed

Smaller is better. That's what is shown in below graphic.

Computations were done on below machine.

2. Logarithmic error in double precision

Below 3D chart can be rotated and zoomed in or out. Clicking on any entry shows the log global error $\hat g_\hbox{err}$. Double precision on AMD Ryzen.

One can clearly see that the higher order methods quickly lose precision when a higher Widlund wedge angle is required. This is the reason why GEAR, EPISODE, LSODE and CVODE all do not use BDF6. However, in reality, this is mainly a problem for the stepsize and order control segment to properly switch order.

For the new Tendler-like formulas we intend to use even the higher order methods of order 8 and 9, as we aim to provide a type-insensitive code, which just switches between fixed point iteration and modified Newton method. It is well known, see Montenbruck/Gill (2000) §4.1.6, that higher order methods are indeed required for certain precisions.

3. Logarithmic error in single precision and other machines

As Gaffney (1984) noted a sensitivity regarding the used precision, we repeated above test in single precision (float complex) and on another machine. The qualitative results didn't differ in any way. Results are here.

1. Single precision on AMD Ryzen. Results are here.

2. Double precision on ARM Cortex. Results are here.

3. Single precision on ARM Cortex. Results are here.

4. Scripts to generate results

We used the C program stabregion2.c to generate above results. Below shell script stabregion2-batch was once run with F=t (lower case) and once with F=T (capital), while varying $\varphi$ and $h$.

#!/bin/bash
# Run stabregion2 with various parameters for multiple formulas

F=T

echo BDF1-6
for i in 1 2 3 4 5 6; do stabregion2 -f BDF$i -${F}100:$1:0:-40:$2 | tail -1; done
echo Tendler3-7
for i in 3 4 5 6 7; do stabregion2 -f Tendler$i -${F}100:$1:0:-40:$2 | tail -1; done
echo eTendler3-9
for i in 3 4 5 6 7 8 9; do stabregion2 -f eTendler$i -${F}100:$1:0:-40:$2 | tail -1; done
echo Tischer2-8
for i in 2 3 4 5 6 7 8 ; do stabregion2 -f Tischer$i -${F}100:$1:0:-40:$2 | tail -1; done

Above script was called like so:

for phi in `seq 5 5 90`; do echo phi=$phi; for h in -0.1 -0.01 -0.001; do echo h=$h; stabregion2-batch $phi $h; done; done

The output of above script was then processed with below Perl script to generate JSON for Apache ECharts:

#!/bin/perl -W
# Generate JSON + ECharts commands from stabregion2-test-phi1-phi2-h1-h2.txt
# That file was generated via
#    for phi in `seq 5 5 90`; do echo phi=$phi; for h in -0.1 -0.01 -0.001; do echo h=$h; stabregion2-batch $phi $h; done; done

use strict;
my ($log10,$phi,$h,$formula,$p,$gerr,@F) = (log(10),0,0,"",0,0,());

print "[\n\t[\"formula\", \"h_phi\", \"gerr\"],\n";
while (<>) {
    if (/^phi=(\d+)/) { $phi = $1; next; }
    if (/^h=([+-]\d+\.\d+)/) { $h = $1; next; }
    if (/^(BDF|Tendler|eTendler|Tischer)(\d)-(\d)/) { $formula = $1; $p = $2 - 1; next; }
    if (/^\s*\d+\s+[+-]\d+\.\d+/) {
        @F = split(/\s+/);
        $gerr = $F[6];
        $p += 1;
        if ($gerr =~ /(-nan|nan)/ || $gerr > 30) { $gerr = 5; }
        else { $gerr = log($gerr) / $log10; }
    }
    #printf("phi=%d, h=%g, formula=%s, p=%d, gerr=%g\n",$phi,$h,$formula,$p,$gerr);
    printf("\t[ \"%s%d\", \"%g/%g\", %g],\n",$formula,$p,$h,$phi,$gerr);
}
print "];\n";

1. Baseline

The formulas from Tendler from 1973 are our baseline. Clearly, we want to improve them. So here we summarize their characteristics:

• p is the order
• l is the cycle length
• α is the Widlund wedge angle
• δ is the Widlund distance

Linear combinations for Tendler's formulas.

2. Specific new formulas

In light of all the options, given below, it is quite difficult to choose from all those. Here we focus on Widlund wedge angle and root magnitude.

Linear combinations for specific new formulas.

In the C program stabregion2.c these formulas are defined as below.

formula_t F[] = {
    . . .
    {
        "eTendler3", 3, 3, 3,	// name, p, k, l
        (double[]){
          -2,	   0,	   0,
           9,	-153,	   0,
         -18,	 750,	 -23,
          11,	-1131,	 966,
           0,	 534,	-1365,
           0,	   0,	 422,
        // -------------------
           0,	   0,	   0,
           0,	   0,	   0,
           0,	   0,	   0,
           6,	-246,	-384,
           0,	 336,	-378,
           0,	   0,	 264 }
    },
    {
        "eTendler4", 4, 4, 3,	// name, p, k, l
        (double[]){
           3,	   0,	   0,
         -16,	  16,	   0,
          36,	 -90,	  15,
         -48,	 234,	 -94,
          25,	-214,	 162,
           0,	  54,	-114,
           0,	   0,	  31,
        // ------------------
           0,	   0,	   0,
           0,	   0,	   0,
           0,	   0,	   0,
           0,	   0,	   0,
          12,	 -84,	  48,
           0,	  36,	 -60,
           0,	   0,	  24 }
    },
    {
        "eTendler5", 5, 5, 3,	// name, p, k, l
        (double[]){
         -12,	   0,	   0,
          75,	 -66,	   0,
        -200,	 425,	 -93,
         300,	-1200,	 615,
        -300,	2100,	-1880,
         137,	-1550,	2460,
           0,	 291,	-1515,
           0,	   0,	 413,
        // -------------------
           0,	   0,	   0,
           0,	   0,	   0,
           0,	   0,	   0,
           0,	   0,	   0,
           0,	   0,	   0,
          60,	-600,	 540,
           0,	 180,	-540,
           0,	   0,	 240 }
    },
    {
        "eTendler6", 6, 6, 4,	// name, p, k, l
        (double[]){
          10,	   0,	   0,	   0,
         -72,	  38,	   0,	   0,
         225,	-276,	 145,	   0,
        -400,	 875,	-1054,	  41,
         450,	-1600,	3350,	-289,
        -360,	1950,	-6200,	 830,
         147,	-1388,	7075,	-1880,
           0,	 401,	-4970,	2935,
           0,	   0,	1654,	-1991,
           0,	   0,	   0,	 354,
        // ---------------------------
           0,	   0,	   0,	   0,
           0,	   0,	   0,	   0,
           0,	   0,	   0,	   0,
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           0,	   0,	 720,	-600,
           0,	   0,	   0,	 180 }
    },
    {
        "eTendler7", 7, 7, 4,	// name, p, k, l
        (double[]){
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        -1764,	2310,	-270,	   0,
        3675,	-8442,	2233,	-474,
        -4900,	18025,	-8197,	3920,
        4410,	-25200,	17675,	-14413,
        -2940,	25830,	-25550,	31430,
        1089,	-14910,	23695,	-42770,
           0,	2667,	-12383,	36904,
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        // ---------------------------
           0,	   0,	   0,	   0,
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         420,	-4200,	2100,	-1680,
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           0,	   0,	1260,	-2940,
           0,	   0,	   0,	2520 }
    },
    {
        "eTendler8", 8, 8, 4,	// name, p, k, l
        (double[]){
         105,	   0,	   0,	   0,
        -960,	10560,	   0,	   0,
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        -9408,	396116,	-40060,	11580,
        14700,	-954618,	165256,	-106094,
        -15680,	1501850,	-402822,	434406,
        11760,	-1623860,	646450,	-1046346,
        -6720,	1267140,	-731500,	1640450,
        2283,	-701166,	591360,	-1801730,
           0,	200718,	-290706,	1438794,
           0,	   0,	57672,	-782406,
           0,	   0,	   0,	211346,
        // -------------------------------------
           0,	   0,	   0,	   0,
           0,	   0,	   0,	   0,
           0,	   0,	   0,	   0,
           0,	   0,	   0,	   0,
           0,	   0,	   0,	   0,
           0,	   0,	   0,	   0,
           0,	   0,	   0,	   0,
           0,	   0,	   0,	   0,
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           0,	   0,	   0,	81480 }
    },
    {
        "eTendler9", 9, 9, 5,	// name, p, k, l
        (double[]){
        -280,	   0,	   0,	   0,	   0,
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        35280,	-246960,	138885,	-24780,	   0,
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        79380,	-1233036,	1728720,	-1145544,	225768,
        -70560,	1569960,	-3111108,	3115434,	-1029642,
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        -22680,	1028160,	-3422160,	6991530,	-4946214,
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           0,	88886,	-1194345,	3889494,	-5933718,
           0,	   0,	329183,	-2019384,	3364992,
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           0,	   0,	   0,	   0,	629564,
        // ---------------------------------------------------------
           0,	   0,	   0,	   0,	   0,
           0,	   0,	   0,	   0,	   0,
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           0,	   0,	   0,	   0,	   0,
           0,	   0,	   0,	   0,	   0,
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           0,	   0,	118440,	35280,	171360,
           0,	   0,	   0,	229320,	171360,
           0,	   0,	   0,	   0,	216720 }
    }
};

3. Searching across grids

Order 3:

$ stabregion2 -bBase3 -I3:-10:10:99500 -r600 -W89.7
W= 89.71433, xmin= -0.00148, parasitic=0.7271         1.000000      1.014789     -0.862211      3.382612     -6.186519     -2.667767            1
W= 89.72158, xmin= -0.00164, parasitic=0.7078         1.000000      7.147972     -4.843552      4.402910     -6.810172     -6.294276            2
W= 89.75083, xmin= -0.00138, parasitic=0.7295         1.000000      7.281818     -6.302012     -5.499220      7.713734      7.144969            3
W= 89.70637, xmin= -0.00179, parasitic=0.6956         1.000000      5.669366     -4.084860     -4.445988      6.326142      6.429647            4
W= 89.74108, xmin= -0.00145, parasitic=0.7320         1.000000     -6.943684      3.030275     -4.845535      9.701816      7.428335            5
W= 89.71300, xmin= -0.00176, parasitic=0.7200         1.000000     -4.329238      5.730175      6.691008     -5.083019     -8.718852            6
W= 89.74998, xmin= -0.00134, parasitic=0.7373         1.000000     -5.493899      6.535201      7.225032     -8.391933     -7.634557            7
W= 89.72105, xmin= -0.00166, parasitic=0.7250         1.000000     -6.606269      8.847401     -4.787458      3.865795      5.918802            8
W= 89.70360, xmin= -0.00186, parasitic=0.7016         1.000000     -5.828525      6.328744      6.625133     -6.116368     -9.324740            9
W= 89.70019, xmin= -0.00171, parasitic=0.7020         1.000000     -2.899801      2.550235      6.601982     -9.871467     -7.061955            10
W= 89.77457, xmin= -0.00123, parasitic=0.7466         1.000000      9.380576     -5.098564      5.465408     -9.779463     -8.651397            11
W= 89.71456, xmin= -0.00172, parasitic=0.7018         1.000000      7.267734     -6.059593      4.815367     -6.221483     -6.753425            12
W= 89.72979, xmin= -0.00152, parasitic=0.7339         1.000000     -9.724850      3.321305     -2.928986      6.448823      4.544496            13
W= 89.73788, xmin= -0.00126, parasitic=0.7428         1.000000     -5.691011      7.230664     -2.726001      4.042016      1.481291            14
W= 89.73339, xmin= -0.00157, parasitic=0.7217         1.000000      7.884026     -8.786478     -5.021069      5.073325      6.621230            15
W= 89.76737, xmin= -0.00125, parasitic=0.7423         1.000000      6.167498     -5.282941      2.274352     -3.341372     -2.900454            16
W= 89.71597, xmin= -0.00178, parasitic=0.6976         1.000000      1.478147     -0.672833      4.995894     -8.158646     -9.015963            17
W= 89.71418, xmin= -0.00181, parasitic=0.6992         1.000000     -8.179874      2.592054      4.946106     -9.048167     -9.613549            18
W= 89.74502, xmin= -0.00139, parasitic=0.7499         1.000000     -5.142131      7.961104     -5.770687      4.643132      5.899515            19
W= 89.73222, xmin= -0.00155, parasitic=0.7190         1.000000      7.320413     -3.741168     -3.960796      7.161449      6.076927            20
W= 89.72708, xmin= -0.00157, parasitic=0.7298         1.000000      5.025061     -6.897571     -7.713340      6.601699      8.814953            21
W= 89.76083, xmin= -0.00121, parasitic=0.7479         1.000000      7.278887     -6.149731     -5.172102      8.858583      5.203890            22
W= 89.71201, xmin= -0.00175, parasitic=0.6985         1.000000     -9.549363      6.355211      5.531987     -8.161459     -8.346913            23
W= 89.70198, xmin= -0.00177, parasitic=0.6972         1.000000     -7.463809      5.325495      2.906285     -4.471238     -3.853365            24
W= 89.74603, xmin= -0.00129, parasitic=0.7432         1.000000     -6.293695      5.014876     -2.445970      4.481771      2.292100            25
W= 89.70520, xmin= -0.00145, parasitic=0.7370         1.000000     -3.900991      6.798960     -9.103732      9.830910      3.768878            26
W= 89.70724, xmin= -0.00170, parasitic=0.7161         1.000000      5.620052     -7.572185     -5.497718      5.080016      5.810091            27
W= 89.70072, xmin= -0.00169, parasitic=0.7047         1.000000     -9.218341      7.369757     -6.012441      9.770176      6.445294            28
W= 89.76968, xmin= -0.00129, parasitic=0.7379         1.000000     -9.958895      6.495552      4.953943     -7.660258     -7.920589            29
W= 89.72249, xmin= -0.00143, parasitic=0.7268         1.000000      4.756662     -5.504313      6.145669     -8.928870     -4.402545            30
W= 89.70722, xmin= -0.00144, parasitic=0.7381         1.000000     -3.321221      2.875147     -3.589631      7.244469      1.971108            31
W= 89.71331, xmin= -0.00180, parasitic=0.7323         1.000000     -1.778073      2.627731     -7.387278      4.307442      9.925928            32
W= 89.75530, xmin= -0.00139, parasitic=0.7298         1.000000     -2.599186      2.255055      5.764773     -7.500226     -8.206446            33
W= 89.73312, xmin= -0.00146, parasitic=0.7225         1.000000     -7.523940      7.031001      6.674883     -9.608448     -7.344268            34
W= 89.71894, xmin= -0.00162, parasitic=0.7248         1.000000      3.526626     -4.857279     -4.940031      4.345027      5.401786            35
W= 89.70496, xmin= -0.00194, parasitic=0.7083         1.000000     -6.147503      7.140553     -5.975592      4.322352      9.278829            36
W= 89.75080, xmin= -0.00134, parasitic=0.7339         1.000000     -9.228658      7.075027     -5.533824      9.012720      6.799435            37

Order 4:

echo 1  5 0  5 0 0 | stabregion2 -b Base4 -l- -i-4:4:2 -r500 -W80
W= 80.04684, xmin= -0.24413, parasitic=0.3323      1.000   1.000  -2.000   3.000  -2.000   0.000                1
W= 81.81252, xmin= -0.19378, parasitic=0.6228      1.000   1.000  -2.000   5.000  -4.000  -2.000                2
W= 81.87757, xmin= -0.19662, parasitic=0.6932      1.000   1.000   0.000   1.000  -2.000  -2.000                3
W= 80.97462, xmin= -0.23266, parasitic=0.4090      1.000   1.000   0.000   3.000  -4.000  -4.000                4
W= 83.14511, xmin= -0.15639, parasitic=0.7482      1.000   3.000  -4.000   3.000  -4.000  -2.000                5
W= 81.99847, xmin= -0.18558, parasitic=0.4194      1.000   3.000  -4.000   3.000  -4.000   0.000                6
W= 82.70187, xmin= -0.17225, parasitic=0.6961      1.000   3.000  -2.000   3.000  -4.000  -4.000                7
W= 81.52919, xmin= -0.20730, parasitic=0.4432      1.000   3.000  -2.000   3.000  -4.000  -2.000                8
W= 82.00772, xmin= -0.19780, parasitic=0.5314      1.000   3.000  -2.000   3.000  -2.000  -4.000                9
W= 80.63234, xmin= -0.24699, parasitic=0.3050      1.000   3.000  -2.000   3.000  -2.000  -2.000                10
W= 80.86939, xmin= -0.24514, parasitic=0.3967      1.000   3.000  -2.000   3.000   0.000  -4.000                11
W= 80.14505, xmin= -0.26250, parasitic=0.2417      1.000   3.000  -2.000   5.000  -4.000  -2.000                12
W= 81.87757, xmin= -0.19662, parasitic=0.6932      1.000   3.000   0.000   1.000  -2.000  -2.000                13
W= 81.04040, xmin= -0.24819, parasitic=0.3482      1.000   3.000   0.000   3.000  -2.000  -4.000                14
W= 81.90431, xmin= -0.19478, parasitic=0.4978      1.000   5.000  -4.000   3.000  -4.000  -2.000                15
W= 80.82624, xmin= -0.23705, parasitic=0.3353      1.000   5.000  -4.000   3.000  -2.000  -2.000                16
W= 81.37712, xmin= -0.21642, parasitic=0.4129      1.000   5.000  -4.000   5.000  -4.000  -4.000                17
W= 82.11563, xmin= -0.19145, parasitic=0.5729      1.000   5.000  -2.000   3.000  -4.000  -4.000                18
W= 80.66048, xmin= -0.23783, parasitic=0.3441      1.000   5.000  -2.000   3.000  -4.000  -2.000                19
W= 81.73483, xmin= -0.21116, parasitic=0.4539      1.000   5.000  -2.000   3.000  -2.000  -4.000                20
W= 80.11193, xmin= -0.27484, parasitic=0.2493      1.000   5.000  -2.000   3.000  -2.000  -2.000                21
W= 80.83151, xmin= -0.42500, parasitic=0.3546      1.000   5.000  -2.000   3.000   0.000  -4.000                22
W= 80.65907, xmin= -0.24934, parasitic=0.3071      1.000   5.000  -2.000   5.000  -4.000  -4.000                23
W= 80.06829, xmin= -0.28517, parasitic=0.2540      1.000   5.000  -2.000   5.000  -2.000  -4.000                24
W= 81.87757, xmin= -0.19662, parasitic=0.6932      1.000   5.000   0.000   1.000  -2.000  -2.000                25
W= 80.03662, xmin= -0.25657, parasitic=0.4627      1.000   5.000   2.000   1.000  -2.000  -2.000                26

Searching for order 4 on a wider grid.

$ echo 1 10 0 10 0 0 | stabregion2 -b Base4 -l- -i-10:10:1 -r500 -W80 > stabregion2-base4-10101.txt
. . .
W= 84.91228, xmin= -0.07106, parasitic=0.2835      1.000   3.000  -7.000   2.000  -5.000   4.000                1783
W= 84.93410, xmin= -0.03582, parasitic=0.6720      1.000   2.000 -10.000   4.000  -6.000   9.000                585
W= 85.01008, xmin= -0.08115, parasitic=0.5897      1.000   1.000  -2.000   2.000  -5.000   3.000                70
W= 85.01008, xmin= -0.08115, parasitic=0.5897      1.000   1.000  -2.000   4.000 -10.000   6.000                84
W= 85.01008, xmin= -0.08115, parasitic=0.5897      1.000   2.000  -4.000   2.000  -5.000   3.000                788
W= 85.01008, xmin= -0.08115, parasitic=0.5897      1.000   3.000  -6.000   4.000 -10.000   6.000                1885
W= 85.01008, xmin= -0.08115, parasitic=0.5897      1.000   4.000  -8.000   2.000  -5.000   3.000                3461
W= 85.09335, xmin= -0.06884, parasitic=0.3658      1.000   3.000 -10.000   6.000 -10.000  10.000                1619
W= 85.09878, xmin= -0.07695, parasitic=0.6078      1.000   3.000 -10.000   6.000  -9.000   8.000                1620
. . .
W= 86.34152, xmin= -0.03875, parasitic=0.4773      1.000   2.000  -5.000   3.000  -9.000   8.000                698
W= 86.73807, xmin= -0.03074, parasitic=0.6250      1.000   2.000 -10.000   5.000  -7.000  10.000                586
W= 86.76246, xmin= -0.03807, parasitic=0.6497      1.000   3.000 -10.000   2.000  -4.000   4.000                1610
W= 86.76246, xmin= -0.03807, parasitic=0.6497      1.000   3.000 -10.000   3.000  -6.000   6.000                1613
W= 86.76647, xmin= -0.03296, parasitic=0.4816      1.000   1.000  -3.000   2.000  -5.000   5.000                25
W= 86.76647, xmin= -0.03296, parasitic=0.4816      1.000   1.000  -3.000   4.000 -10.000  10.000                29
W= 87.22705, xmin= -0.02278, parasitic=0.5960      1.000   1.000  -4.000   2.000  -4.000   5.000                4
W= 87.22705, xmin= -0.02278, parasitic=0.5960      1.000   2.000  -8.000   2.000  -4.000   5.000                600
W= 87.22705, xmin= -0.02278, parasitic=0.5960      1.000   2.000  -8.000   4.000  -8.000  10.000                602

Order 5: Searching a order 5 method with cycle length 3:

$ echo 1 10 0 10 0 0 | stabregion2 -b Base5 -l- -i-10:10:3 -r300 -W70
W= 78.68142, xmin= -0.35173, parasitic=0.5851      1.000   3.000 -10.000   3.000  -7.000   8.000                1
W= 76.42265, xmin= -0.49321, parasitic=0.4927      1.000   3.000  -7.000   3.000 -10.000   8.000                2
W= 72.98742, xmin= -0.46278, parasitic=0.7403      1.000   3.000  -7.000   3.000 -10.000  11.000                3
W= 70.12967, xmin= -0.75292, parasitic=0.6413      1.000   6.000 -10.000   3.000 -10.000   5.000                4
W= 70.28984, xmin= -0.71158, parasitic=0.7206      1.000   6.000 -10.000   3.000  -7.000   2.000                5

$ echo 1 10 0 10 0 0 | stabregion2 -b Base5 -l- -i-10:10:2 -r300 -W70
W= 72.33897, xmin= -0.68035, parasitic=0.7201      1.000   2.000  -8.000   4.000  -6.000   6.000                1
W= 70.39636, xmin= -0.58691, parasitic=0.6383      1.000   2.000  -8.000   4.000  -6.000  10.000                2
W= 79.68307, xmin= -0.54250, parasitic=0.6281      1.000   2.000  -6.000   2.000  -6.000   6.000                3
W= 74.98124, xmin= -0.53677, parasitic=0.3954      1.000   2.000  -6.000   2.000  -4.000   4.000                4
W= 77.71542, xmin= -0.33596, parasitic=0.6514      1.000   2.000  -6.000   4.000 -10.000  12.000                5
W= 74.98124, xmin= -0.53677, parasitic=0.3954      1.000   2.000  -6.000   4.000  -8.000   8.000                6
W= 70.70604, xmin= -0.69569, parasitic=0.2687      1.000   2.000  -6.000   4.000  -6.000   6.000                7
W= 72.30615, xmin= -0.64015, parasitic=0.3087      1.000   2.000  -6.000   6.000 -10.000  10.000                8
W= 73.51722, xmin= -0.65303, parasitic=0.5149      1.000   2.000  -4.000   2.000  -8.000   6.000                9
W= 71.33672, xmin= -0.66564, parasitic=0.2951      1.000   2.000  -4.000   4.000 -10.000   8.000                10
W= 70.14594, xmin= -0.70882, parasitic=0.7294      1.000   2.000  -4.000   6.000 -10.000   2.000                11
W= 75.07268, xmin= -0.54117, parasitic=0.3784      1.000   4.000 -10.000   4.000 -10.000   8.000                12
W= 72.65486, xmin= -0.61600, parasitic=0.3577      1.000   4.000 -10.000   4.000  -8.000   8.000                13
W= 71.33672, xmin= -0.66564, parasitic=0.2951      1.000   4.000  -8.000   4.000 -10.000   8.000                14
W= 70.76203, xmin= -0.69721, parasitic=0.4510      1.000   4.000  -8.000   4.000  -8.000   4.000                15
W= 70.19851, xmin= -0.71794, parasitic=0.2348      1.000   4.000  -8.000   4.000  -8.000   6.000                16

In intervals of one:

$ echo 1 10 0 10 0 0 | stabregion2 -b Base5 -l- -i-10:10:1 -r120 -W70
. . .
W= 77.81402, xmin= -0.42360, parasitic=0.4887      1.000   3.000 -10.000   4.000  -9.000   9.000                184
W= 77.83497, xmin= -0.41206, parasitic=0.5767      1.000   2.000  -5.000   3.000 -10.000   9.000                135
W= 77.83497, xmin= -0.41206, parasitic=0.5767      1.000   4.000 -10.000   3.000 -10.000   9.000                296
W= 77.95536, xmin= -0.40394, parasitic=0.5161      1.000   1.000  -3.000   2.000  -5.000   5.000                19
W= 77.95536, xmin= -0.40394, parasitic=0.5161      1.000   3.000  -9.000   4.000 -10.000  10.000                203
W= 77.98148, xmin= -0.36473, parasitic=0.6923      1.000   2.000  -5.000   2.000  -7.000   7.000                130
W= 78.03001, xmin= -0.36923, parasitic=0.5794      1.000   2.000  -6.000   4.000 -10.000  11.000                116
W= 78.12242, xmin= -0.29649, parasitic=0.7324      1.000   2.000  -6.000   3.000  -8.000  10.000                108
W= 78.47928, xmin= -0.30160, parasitic=0.7461      1.000   1.000  -4.000   1.000  -2.000   3.000                4
W= 78.47928, xmin= -0.30160, parasitic=0.7461      1.000   1.000  -4.000   3.000  -6.000   9.000                7
W= 78.47928, xmin= -0.30160, parasitic=0.7461      1.000   2.000  -8.000   3.000  -6.000   9.000                71
W= 78.68359, xmin= -0.35172, parasitic=0.5851      1.000   3.000 -10.000   3.000  -7.000   8.000                179
W= 78.70712, xmin= -0.34502, parasitic=0.6422      1.000   2.000  -8.000   3.000  -6.000   8.000                70
W= 79.11288, xmin= -0.32809, parasitic=0.6703      1.000   3.000  -8.000   3.000 -10.000  10.000                225
W= 79.59837, xmin= -0.30917, parasitic=0.7056      1.000   3.000  -8.000   2.000  -7.000   7.000                221
W= 79.65979, xmin= -0.28701, parasitic=0.6690      1.000   3.000 -10.000   2.000  -5.000   6.000                176
W= 79.68307, xmin= -0.53978, parasitic=0.6281      1.000   1.000  -3.000   2.000  -6.000   6.000                18
W= 79.68307, xmin= -0.53978, parasitic=0.6281      1.000   1.000  -3.000   3.000  -9.000   9.000                24
W= 79.68307, xmin= -0.53978, parasitic=0.6281      1.000   2.000  -6.000   2.000  -6.000   6.000                103
W= 80.37267, xmin= -0.26824, parasitic=0.6803      1.000   2.000  -7.000   2.000  -5.000   6.000                84
W= 80.44412, xmin= -0.33195, parasitic=0.6620      1.000   3.000 -10.000   3.000  -8.000   9.000                178

Searching random for cycle length 3:

$ stabregion2 -bBase5 -I3:-20:20:99500 -r500 -W75
W= 77.94955, xmin= -0.33293, parasitic=0.7045         1.000000     -3.760775     15.031899      5.419764    -10.502505     15.452839            1
W= 75.95454, xmin= -0.42902, parasitic=0.6907         1.000000     -8.070655     19.002001      4.965984    -17.415622     17.529791            2
W= 79.18427, xmin= -0.33883, parasitic=0.6144         1.000000     -3.548929     13.668851      6.447070    -13.718679     16.890842            3
W= 75.31512, xmin= -0.53099, parasitic=0.3871         1.000000     -5.520428     14.051470     -5.100269     12.714603    -10.366682            4
W= 77.87613, xmin= -0.39038, parasitic=0.6025         1.000000     -7.235772     18.481448      5.738588    -18.413200     17.660706            5
W= 75.90191, xmin= -0.48294, parasitic=0.6256         1.000000     -6.314060     14.299655     -5.067656     18.516146    -16.911631            6
W= 78.54997, xmin= -0.32077, parasitic=0.7452         1.000000      1.801247     -4.684607     -5.274913     18.165317    -19.336120            7
W= 77.51294, xmin= -0.43919, parasitic=0.4782         1.000000     -1.582809      5.403277     -7.709742     16.677003    -16.787055            8
W= 77.97953, xmin= -0.41706, parasitic=0.5671         1.000000      2.471351    -10.277907     -5.605553     10.665238    -13.191398            9
W= 75.45818, xmin= -0.46437, parasitic=0.5298         1.000000     -6.404706     18.826354      6.310424    -13.455846     15.748183            10

Order 6: Searching for cycle length 5 methods.

. . .
W= 63.86917, xmin= -1.67741, parasitic=0.4163      1.000   7.000 -10.000   7.000 -10.000   4.000   7.000 -10.000   4.000   4.000   7.000 -10.000 -10.000  11.000  -3.000                2045
W= 63.89942, xmin= -1.92062, parasitic=0.3161      1.000   7.000 -10.000  14.000 -10.000  -3.000   7.000 -10.000  -3.000  11.000   7.000 -10.000  -3.000  11.000 -10.000                4689
W= 64.15015, xmin= -5.10995, parasitic=0.2626      1.000   7.000 -10.000   7.000 -10.000 -10.000  14.000 -10.000   4.000  11.000  14.000  -3.000 -10.000  11.000  -3.000                264
W= 64.18964, xmin= -5.04406, parasitic=0.3019      1.000  14.000  -3.000  14.000 -10.000  -3.000   7.000 -10.000  -3.000   4.000   7.000 -10.000  -3.000  11.000 -10.000                16767
W= 64.23779, xmin= -3.73262, parasitic=0.3314      1.000  14.000  -3.000   7.000 -10.000 -10.000   7.000 -10.000  -3.000  11.000   7.000 -10.000   4.000  11.000 -10.000                14849
W= 64.38508, xmin= -3.89165, parasitic=0.2881      1.000  14.000 -10.000   7.000 -10.000 -10.000   7.000 -10.000   4.000  11.000  14.000 -10.000 -10.000  11.000  -3.000                11010
W= 64.73986, xmin= -3.85047, parasitic=0.2923      1.000   7.000 -10.000   7.000 -10.000 -10.000  14.000 -10.000   4.000  11.000   7.000  -3.000  -3.000   4.000  -3.000                245
W= 65.03750, xmin= -3.62875, parasitic=0.2820      1.000   7.000 -10.000   7.000 -10.000 -10.000  14.000  -3.000 -10.000  11.000   7.000 -10.000  -3.000  11.000  -3.000                356
W= 65.06248, xmin= -2.36716, parasitic=0.2628      1.000  14.000  -3.000   7.000 -10.000 -10.000   7.000 -10.000   4.000  11.000   7.000 -10.000  -3.000   4.000  -3.000                14893
W= 65.08957, xmin= -1.95196, parasitic=0.3167      1.000   7.000 -10.000   7.000 -10.000 -10.000  14.000 -10.000  -3.000  11.000   7.000 -10.000  -3.000  11.000   4.000                182
W= 65.20361, xmin= -2.95019, parasitic=0.1769      1.000   7.000  -3.000   7.000 -10.000  -3.000   7.000 -10.000  -3.000  11.000   7.000 -10.000   4.000  11.000 -10.000                6813
W= 65.22085, xmin= -4.36243, parasitic=0.2452      1.000  14.000   4.000   7.000 -10.000 -10.000   7.000 -10.000   4.000  11.000   7.000 -10.000  -3.000   4.000 -10.000                17607
W= 65.37364, xmin= -3.74950, parasitic=0.2284      1.000   7.000   4.000   7.000 -10.000 -10.000   7.000 -10.000   4.000  11.000   7.000 -10.000  -3.000   4.000 -10.000                9500
W= 65.38512, xmin= -2.09260, parasitic=0.2990      1.000   7.000 -10.000   7.000 -10.000 -10.000   7.000 -10.000   4.000  11.000  14.000 -10.000  -3.000  11.000  -3.000                20
W= 65.39266, xmin= -3.44317, parasitic=0.2216      1.000   7.000  -3.000   7.000 -10.000  -3.000   7.000 -10.000   4.000   4.000   7.000  -3.000 -10.000  11.000  -3.000                6888
W= 66.12236, xmin= -4.30166, parasitic=0.3350      1.000   7.000 -10.000   7.000 -10.000  -3.000   7.000 -10.000   4.000   4.000   7.000  -3.000 -10.000  11.000  -3.000                665
W= 69.19280, xmin= -2.47883, parasitic=0.2498      1.000   7.000 -10.000   7.000 -10.000 -10.000   7.000 -10.000   4.000  11.000  14.000 -10.000  -3.000  11.000 -10.000                19

Order 7: Searching with flag -i and already improving on Tendler's 7th order method:

$ echo 1 10 0 10 0 0 10 0 0 0 | stabregion2 -b Base7 -l- -i-10:10:7 -r400 -W30
W= 37.02937, xmin= -6.70664, parasitic=0.6365      1.000   7.000 -10.000   7.000 -10.000  -3.000   7.000 -10.000   4.000   4.000                1
W= 31.19765, xmin=-11.93934, parasitic=0.5073      1.000   7.000 -10.000   7.000 -10.000   4.000   7.000 -10.000 -10.000  11.000                2
W= 35.81634, xmin= -9.41862, parasitic=0.5793      1.000  14.000 -10.000   7.000 -10.000 -10.000   7.000 -10.000   4.000  11.000                3
W= 31.75908, xmin=-11.19023, parasitic=0.5000      1.000  14.000 -10.000   7.000 -10.000  -3.000   7.000 -10.000  -3.000  11.000                4

Finer grid in searching for order 7 and cycle length 4:

$ echo 1 10 0 10 0 0 10 0 0 0 | stabregion2 -b Base7 -l- -i-10:10:3 -r400 -W30
. . .
W= 48.97241, xmin= -3.91137, parasitic=0.6017      1.000   3.000 -10.000   6.000 -10.000   2.000   6.000  -7.000   5.000   2.000                122
W= 49.01681, xmin= -4.95756, parasitic=0.5478      1.000  12.000 -10.000   3.000 -10.000   2.000   6.000 -10.000   8.000  -4.000                3909
W= 49.02201, xmin= -4.12402, parasitic=0.5892      1.000   3.000  -4.000   6.000 -10.000   5.000   3.000 -10.000   2.000   2.000                1525
W= 49.23966, xmin= -6.41786, parasitic=0.6282      1.000   3.000  -7.000   3.000  -7.000   2.000  12.000 -10.000   8.000   2.000                430
W= 49.34231, xmin= -5.17057, parasitic=0.7009      1.000   3.000  -7.000   3.000  -7.000   2.000  12.000 -10.000   8.000  -7.000                428
W= 49.43582, xmin= -6.07999, parasitic=0.7144      1.000   3.000 -10.000   3.000  -7.000   5.000  12.000  -7.000   5.000  -4.000                16
W= 49.69150, xmin= -6.75076, parasitic=0.6604      1.000   3.000  -7.000   3.000  -7.000   2.000   9.000  -7.000   5.000   2.000                422
W= 49.69246, xmin= -5.58407, parasitic=0.6504      1.000   3.000 -10.000   6.000 -10.000  -1.000   6.000  -7.000   5.000   2.000                114
W= 49.82197, xmin= -5.58658, parasitic=0.6464      1.000   3.000  -7.000   3.000  -7.000   2.000   9.000  -7.000   5.000  -4.000                420
W= 49.89612, xmin= -4.04658, parasitic=0.7261      1.000   3.000 -10.000   3.000  -7.000   5.000   9.000  -7.000   8.000 -10.000                9
W= 49.90940, xmin= -5.72627, parasitic=0.5532      1.000   6.000 -10.000   3.000  -7.000   5.000   3.000  -7.000   2.000  -1.000                1958
W= 50.02874, xmin= -6.28973, parasitic=0.4765      1.000   3.000 -10.000   6.000 -10.000  -4.000   6.000 -10.000   8.000   8.000                109
W= 50.22562, xmin= -6.44879, parasitic=0.7026      1.000   3.000  -7.000   3.000  -7.000   2.000   6.000  -4.000   2.000  -1.000                411
W= 50.23991, xmin= -5.84158, parasitic=0.5545      1.000   9.000  -7.000   3.000 -10.000  -1.000   6.000 -10.000  11.000  -1.000                3453
W= 50.25552, xmin= -6.85592, parasitic=0.6824      1.000   9.000  -4.000   3.000 -10.000  -4.000   6.000 -10.000  11.000  -1.000                3660
W= 50.36004, xmin= -7.40042, parasitic=0.6057      1.000   9.000  -4.000   3.000 -10.000  -4.000   6.000 -10.000  11.000   2.000                3661
W= 50.37801, xmin= -5.59422, parasitic=0.6417      1.000   3.000  -7.000   3.000  -7.000   2.000   9.000 -10.000   8.000  -1.000                415
W= 50.50615, xmin= -5.87301, parasitic=0.6260      1.000   3.000  -7.000   3.000  -7.000   2.000  12.000 -10.000   8.000  -1.000                429
W= 51.38923, xmin= -6.05126, parasitic=0.6540      1.000   3.000  -7.000   3.000  -7.000   2.000   9.000  -7.000   5.000  -1.000                421
W= 51.89876, xmin= -3.69142, parasitic=0.5493      1.000   3.000 -10.000   3.000  -7.000   5.000   9.000 -10.000  11.000  -7.000                7
W= 52.02594, xmin= -7.74860, parasitic=0.6336      1.000   3.000  -7.000   3.000  -7.000  -1.000   6.000 -10.000  11.000   2.000                403
W= 53.38128, xmin= -6.73675, parasitic=0.6485      1.000   6.000 -10.000   3.000  -7.000   5.000   6.000 -10.000  -1.000  -1.000                1963
W= 55.13527, xmin= -3.87834, parasitic=0.5730      1.000   3.000 -10.000   3.000  -7.000   5.000   6.000  -7.000   8.000  -4.000                5

Random search:

$ stabregion2 -bBase7 -I4:-120:120:48900 -r2960 -W50
W= 50.23919, xmin= -6.26976, parasitic=0.6525         1.000000    -88.759541     95.674195     31.729317    -96.859122     26.162025     81.615113   -119.764931     52.733653    -30.670380              1

$ stabregion2 -bBase7 -I4:-70:70:9995100 -W51 -r600
W= 51.42985, xmin= -6.84906, parasitic=0.6407         1.000000     34.194642    -57.338007    -17.001913     52.394410    -13.620043     45.979845    -48.756102     40.782862    -11.033654              1

4. Various new formulas

Below output shows the various possibilities.

Order 3: slightly better α, better δ

$ echo 1  11 -9  7 -10 -10 | stabregion2 -b Base3 -l- | perl -ne 'print if 1..4 or eof'
Parasitic roots of Linear combination
            0      1.00000000         0.00000000              1.00000000
            1      0.74921933        -0.00000000              0.74921933
            2      0.00436052        -0.00000000              0.00436052
           19        -0.00014033             -0.10488920,        -0.00117        89.79150

Order 4: better α, better δ, slightly better root

echo 1.000  -5.542  14.498 -18.122  42.367 -37.117 | stabregion2 -bBase4 -l- -r500 | perl -ne 'print if 1..5 or eof'
Parasitic roots of Linear combination
            0      1.00000000         0.00000000              1.00000000
            1      0.26408559         0.19557790              0.32862123
            2      0.26408559        -0.19557790              0.32862123
            3      0.16860831         0.00000000              0.16860831
          499         1.26751184             -0.01658136,        -0.06096        85.35055

Order 5: slightly better α, better δ, slightly worse root magnitude

echo 1  3 -10   4 -9 9 | stabregion2 -b Base5 -l- -r500 | perl -ne 'print if 1..6 or eof'
Parasitic roots of Linear combination
            0      1.00000000        -0.00000000              1.00000000
            1      0.45985170         0.16542372              0.48870093
            2      0.45985170        -0.16542372              0.48870093
            3     -0.08860554         0.10430695              0.13686081
            4     -0.08860554        -0.10430695              0.13686081
          499         0.83703643             -0.02068931,        -0.42370        77.81331

Order 6: better α, slightly better δ, better root, but one higher cycle length!

$ echo 1   20 -9    20 -10 -12    10 -25 -15 18  | ~/c/stabregion2 -r400 -b Base6 -l- | perl -ne 'print if 1..6 or eof'
            0      1.00000000         0.00000000              1.00000000
            1     -0.13526122        -0.32183715              0.34910564
            2     -0.13526122         0.32183715              0.34910564
            3      0.05457185        -0.14009988              0.15035313
            4      0.05457185         0.14009988              0.15035313
            5      0.01265647         0.00000000              0.01265647
          399        -1.01316343              2.07749451,        -3.81061        59.92844

$ echo 1   19.9 -9.75   20.105 -10 -11.58    9.6105 -25.83 -14.6 19.9  | ~/c/stabregion2 -r300 -b Base6 -l- | perl -ne 'print if 1..6 or eof'
            0      1.00000000         0.00000000              1.00000000
            1     -0.19432134        -0.24905256              0.31589232
            2     -0.19432134         0.24905256              0.31589232
            3      0.05240366         0.18042794              0.18788397
            4      0.05240366        -0.18042794              0.18788397
            5      0.01021887        -0.00000000              0.01021887
          299        -1.05960992              2.13752343,        -3.63381        63.09781

$ echo 1  7 -10  7 -10 -10  7 -10 4 11  14 -10 -3 11 -10 | stabregion2 -b Base6 -l- -r700 | perl -ne 'print if 1..7 or eof'
Parasitic roots of Linear combination
            0      1.00000000        -0.00000000              1.00000000
            1      0.24980571        -0.00000000              0.24980571
            2     -0.14328484         0.00000000              0.14328484
            3      0.05318928         0.06825981              0.08653612
            4      0.05318928        -0.06825981              0.08653612
            5     -0.01171677         0.00000000              0.01171677
          699        -0.49908435              1.32693994,        -2.47902        69.19266

Order 7: better α, better δ, better root

$ echo 1   2 1   25 -10 -40   2 -3 1 3   20 10 -40 -30 -10    | ~/c/stabregion2 -r500 -b Base7 -l- | perl -ne 'print if 1..7 or eof'
            0      1.00000000         0.00000000              1.00000000
            1     -0.08617372         0.55436985              0.56102748
            2     -0.08617372        -0.55436985              0.56102748
            3      0.38639102        -0.00000000              0.38639102
            4     -0.12271706        -0.00000000              0.12271706
            5     -0.01311481         0.00000000              0.01311481
            6      0.00233200         0.00000000              0.00233200
          499         0.07850982              0.95177010,       -11.72180         0.00000

$ echo 1   3 -1   1 0 -2   3 0 -3 4   3 0 -3 4 -4    | ~/c/stabregion2 -r500 -b Base7 -l- | perl -ne 'print if 1..7 or eof'
            0      1.00000000         0.00000000              1.00000000
            1      0.11913730         0.47735727              0.49199966
            2      0.11913730        -0.47735727              0.49199966
            3      0.28233408        -0.00000000              0.28233408
            4     -0.05854063        -0.00000000              0.05854063
            5     -0.03078690        -0.00000000              0.03078690
            6      0.00246362        -0.00000000              0.00246362
          499         0.08631458             -0.91461418,       -82.23638         0.45520

$ echo 1  3 -10  3 -7 5  6 -7 8 -4 | stabregion2 -b Base7 -l- -r600 |  perl -ne 'print if 1..8 or eof'
Parasitic roots of Linear combination
            0      1.00000000         0.00000000              1.00000000
            1     -0.57300425         0.00000000              0.57300425
            2      0.44845186        -0.00000000              0.44845186
            3     -0.36924474        -0.00000000              0.36924474
            4     -0.08390465        -0.07829099              0.11475831
            5     -0.08390465         0.07829099              0.11475831
            6      0.03519651         0.00000000              0.03519651
          599         0.00000000             -0.00261799,        -3.87902        55.13542

$ echo 1 -503 199 859 214 -593 -241 393 -52 -387 -409 624  22 -277 574 -393 834 -410 -379 861 -6 | stabregion2 -bBase7 -l- -r500 | perl -ne 'print if 1..8 or eof'
Parasitic roots of Linear combination
            0      1.00000000         0.00000000              1.00000000
            1      0.57974563        -0.00000000              0.57974563
            2      0.32478676        -0.09621522              0.33873856
            3      0.32478676         0.09621522              0.33873856
            4     -0.00833937         0.04158511              0.04241305
            5     -0.00833937        -0.04158511              0.04241305
            6      0.00050814        -0.00000000              0.00050814
          499        -0.00000000             -0.00209440,        -9.31106        34.84493

Order 8:

$ echo 1 36 -43 102 -221 -72 567 -684 587 378 | stabregion2 -bBase8 -l- -r76200 | perl -ne 'print if 1..9 or eof'
Parasitic roots of Linear combination
            0      1.00000000        -0.00000000              1.00000000
            1      0.45444538         0.14823495              0.47801067
            2      0.45444538        -0.14823495              0.47801067
            3      0.02754920        -0.44960947              0.45045270
            4      0.02754920         0.44960947              0.45045270
            5     -0.11768977         0.00000000              0.11768977
            6     -0.05579669         0.00000000              0.05579669
            7      0.03286398        -0.00000000              0.03286398
        76199        -0.50977423              0.00009225,       -21.18735         0.00493

Cycle length 5:

$ echo 1 -13.5  31 -19.5  29 -12 -47.5  60  14.25 -76.74  73  17.6  23 8.9 -88.7 | stabregion2 -bBase8 -l- -r176200 | perl -ne 'print if 1..9 or eof'
Parasitic roots of Linear combination
            0      1.00000000        -0.00000000              1.00000000
            1     -0.55384672        -0.00000000              0.55384672
            2      0.20514106         0.50119562              0.54155324
            3      0.20514106        -0.50119562              0.54155324
            4      0.50676510         0.00000000              0.50676510
            5     -0.04784472        -0.00000000              0.04784472
            6     -0.00631625        -0.00863555              0.01069896
            7     -0.00631625         0.00863555              0.01069896
        176199       -0.00000000             -0.00000713,       -16.97737         6.71800

$ echo 1  10.413  -23.757  -15   22.5  -9.3 -36.6  46.1  10.97 -59   56.1  13.5 17.7  6.84 -68.316038 | stabregion2 -bBase8 -l- -r6900 | perl -ne 'print if 1..9 or eof'
Parasitic roots of Linear combination
            0      1.00000000         0.00000000              1.00000000
            1     -0.55764352        -0.00000000              0.55764352
            2      0.21168088         0.50209167              0.54488975
            3      0.21168088        -0.50209167              0.54488975
            4      0.50305785        -0.00000000              0.50305785
            5     -0.04747804        -0.00000000              0.04747804
            6     -0.00630592        -0.00861259              0.01067433
            7     -0.00630592         0.00861259              0.01067433
         6899         0.00000000             -0.00018212,       -17.07914         6.84418

Order 9: cycle length=4

$ echo 1 3.65 -11  38 -70  68 -46 -23  50 -13.5 | stabregion2 -bBase9 -l- -r500 | perl -ne 'print if 1..10 or eof'
Parasitic roots of Linear combination
            0      1.00000000         0.00000000              1.00000000
            1      0.69341362         0.23294720              0.73149630
            2      0.69341362        -0.23294720              0.73149630
            3      0.11882161        -0.29545535              0.31845319
            4      0.11882161         0.29545535              0.31845319
            5     -0.14232428         0.08346739              0.16499396
            6     -0.14232428        -0.08346739              0.16499396
            7      0.02232496        -0.05087849              0.05556100
            8      0.02232496         0.05087849              0.05556100
          499        -0.00000000             -0.00314159,       -36.25919         0.00000

$ echo 1.000000     27.094825   -139.893728     67.030957   -128.854947    224.182932    191.776479    -95.370077     26.617924    -67.920828 | stabregion2 -bBase9 -l- -r59900 | perl -ne 'print if 1..10 or eof'
Parasitic roots of LinearCombination
            0      1.00000000         0.00000000              1.00000000
            1     -0.43729107         0.59023631              0.73457633
            2     -0.43729107        -0.59023631              0.73457633
            3      0.34487625        -0.50834727              0.61429356
            4      0.34487625         0.50834727              0.61429356
            5     -0.16234653         0.00000000              0.16234653
            6     -0.10492970         0.00000000              0.10492970
            7      0.02817343         0.03911910              0.04820836
            8      0.02817343        -0.03911910              0.04820836
        59899         0.00000000             -0.00002622,       -13.57947         0.00281

5. stabregion2.c

The C program stabregion2.c allows to incrementally or randomly search for new Tendler-like formulas. It offers a number of options:

$ stabregion2 -h
stabregion2: compute stability regions for various formulas.
-b: base formula, Base3-9
-f: formulas: BDF1-6, DonelsonHansen1-6, Mihelcic4-7, Tischer2-8, Tendler3-7, eTendler3-9, Picel1-10, Rubin1-6
-d: debug
-h: this help
-I <cycle-length>:<min>:<max>:<max iterations> random search in linear combinations
-i <start>:<stop>:<step> incremental search through linear combinations
-l: file name with linear combinations for the base formula
-o: output format in either 'p' (plain) or 'j' (Javascript) or '3' (3-dimensional)
-r: number of records
-T <radius>:<phi>:t0:t1:h single precision testing formula for y'=lambda y,
        from t0 to t1 using stepsize h (lambda = r e^(i phi)
-t <radius>:<phi>:t0:t1:h testing formula for y'=lambda y,
        from t0 to t1 using stepsize h (lambda = r e^(i phi)
-W: minimal Widlund wedge

The initial approach goes like this:

for (p1=1; p1<=10; ++p1)
    for (p2=1; p2<=10; ++p2)
        for (p3=1; p3<=10; ++p3)
            for (p4=1; p4<=10; ++p4)
                do_something();

It also might involve only two loops, i.e., p1 and p2, or even more loops, i.e., p1, p2, ..., p9.

Solution: ml[] corresponds to various pi. I.e., ml[0] is p1, ml[1] is p2, etc. Below program starts from start up to stop in increments of step.

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <unistd.h>

#define MAXLOOP	50

int main (int argc, char *argv[]) {
    int c, i, k, n=4, cnt=0, start=1, stop=3, step=1;
    int ml[MAXLOOP];

    while ((c = getopt(argc,argv,"i:n:")) != -1) {
        switch(c) {
        case 'i':	// step numbers of base formulas
            sscanf(optarg,"%d:%d:%d",&start,&stop,&step);
            break;
        case 'n':
            if ((n = atoi(optarg)) >= MAXLOOP) return 1;
            break;
        default:
            printf("%s: illegal option %c\n",argv[0],c);
            return 4;
        }
    }
    printf("start=%d, stop=%d, step=%d\n", start, stop, step);

    for (i=0; i<n; ++i) ml[i] = start;

    for (;;) {
        printf("\t");
        for (k=0; k<n; ++k) printf("%6d",ml[k]);
        printf("\t\t%d\n",++cnt);
        for (i=n-1; i>=0; --i) {
            if (ml[i] < stop) {
                ml[i] += step;
                break;
            } else {
                ml[i] = start;
                if (i == 0) return 0;
            }
        }
    }

    return 0;
}

Program running for two loops:

$ tstmultiloop -n2
start=1, stop=3, step=1
             1     1            1
             1     2            2
             1     3            3
             2     1            4
             2     2            5
             2     3            6
             3     1            7
             3     2            8
             3     3            9

Last "digits" varies the fastest. The way the digits vary on an odometer.

Three "digits".

$ tstmultiloop -n3 -i-3:3:2
start=-3, stop=3, step=2
            -3    -3    -3              1
            -3    -3    -1              2
            -3    -3     1              3
            -3    -3     3              4
            -3    -1    -3              5
            -3    -1    -1              6
            -3    -1     1              7
            -3    -1     3              8
            -3     1    -3              9
            -3     1    -1              10
            -3     1     1              11
            -3     1     3              12
            -3     3    -3              13
            -3     3    -1              14
            -3     3     1              15
            -3     3     3              16
            -1    -3    -3              17
            -1    -3    -1              18
            -1    -3     1              19
            -1    -3     3              20
            -1    -1    -3              21
            -1    -1    -1              22
            -1    -1     1              23
            -1    -1     3              24
            -1     1    -3              25
            -1     1    -1              26
            -1     1     1              27
            -1     1     3              28
            -1     3    -3              29
            -1     3    -1              30
            -1     3     1              31
            -1     3     3              32
             1    -3    -3              33
             1    -3    -1              34
             1    -3     1              35
             1    -3     3              36
             1    -1    -3              37
             1    -1    -1              38
             1    -1     1              39
             1    -1     3              40
             1     1    -3              41
             1     1    -1              42
             1     1     1              43
             1     1     3              44
             1     3    -3              45
             1     3    -1              46
             1     3     1              47
             1     3     3              48
             3    -3    -3              49
             3    -3    -1              50
             3    -3     1              51
             3    -3     3              52
             3    -1    -3              53
             3    -1    -1              54
             3    -1     1              55
             3    -1     3              56
             3     1    -3              57
             3     1    -1              58
             3     1     1              59
             3     1     3              60
             3     3    -3              61
             3     3    -1              62
             3     3     1              63
             3     3     3              64

It shows 64 entries, i.e., 4 × 4 × 4.

All cyclic linear multistep methods were designed to only have root at 1, and all other parasitic roots to be zero.

See Tischer, Peter E. and Sacks-Davis, Ron: “A New Class of Cyclic Multistep Formulae for Stiff Systems”.

2. Donelson & Hansen formulas

See Donelson III, John and Hansen, Eldon: “Cyclic Composite Multistep Predictor-Corrector Methods”, SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol 8, 1971, pp.137—157.

DH1

DH2

DH3

DH4

DH5

DH6

3. Mihelcic's formulas

See Matija Mihelčić (Mihelcic) and K. Wingerath: “A(α)-stable Cyclic Composite Multistep Methods of Orders 6 and 7 for Numerical Integration of Stiff Ordinary Differential Equations”, ZAMM, Band 61, 1981, pp.261—264

Mihelcic4

Mihelcic5

Mihelcic6

Mihelcic7

for the multistep method

Tendler's formulas can be found in Stiffly Stable Integration Process Using Composite Methods.

1. The BDF

BDF1

BDF2

BDF3

BDF4

BDF5

BDF6

2. Tendler's cyclic formulas

Tendler3

Tendler4

Tendler5

Tendler6

Tendler7

1. TENDLER: 1. Grobaufbau und prinzipielle Überlegungen
2. TENDLER: 2. Benutzung des Programmes
3. TENDLER: 3. Der Prädiktor
4. TENDLER: 4. Die Korrektoriteration
5. TENDLER: 5. Die Fehlerkontrolle

• 1. Zusammenhang zwischen Picard und Newton Iteration
• 2. Newton Iteration im Programm TENDLER
• 3. Die Picard Iteration im Programm TENDLER
• 4. Der Konvergenztest im Programm TENDLER
• 5. Verhinderung langsamer Konvergenz in TENDLER
• 6. Der Hindmarsh-Test im Programm TENDLER
• 7. Der Konvergenztest im Programm STINT
• 8. Der Konvergenztest im Programm DIFSUB
• 9. Der Konvergenztest in DSTIFF, GEAR und EPISODE
• 10. Der Konvergenztest im Programm LSODE
• 11. Die Korrektoriteration im Programm DDASSL

In diesem Abschnitt wird eines der mitaus wichtigsten Kernstücke eines jeden Lösers vorgestellt: die Korrektoriteration. Die Effizienz dieses Segments wirkt maßgeblich zurück auf die anderen Segmente des Programmes. Nun gilt dies natürlich auch für andere Segmente, jedoch ist hier bei der Korrektoriteration die Hebelwirkung besonders ausgeprägt. Auch für das Schalten spielt sie im Programm TENDLER eine zentrale Rolle.

Bei den zyklischen Formeln von Tendler (1973), sind sämtliche Stufen aller Zyklen echt implizite lineare k-Schrittverfahren, für $k=1,\ldots,7$, analog wie die BDF$i$, für $i=1,\ldots,6$. Zur “Beseitigung” der Implizitheit ist ein irgendwie geartetes Iterationsverfahren nötig, da eine geschlossene Auflösung in symbolischer Form bei allgemeinem $f$, in voller Allgemeinheit nicht möglich ist und häufig auch gar nicht zweckmässig wäre. Bei speziellen Differentialgleichungen, z.B. bei linearen Differentialgleichungen gelingt eine Auflösung. Gerade im Sonderfall linearer Differentialgleichungen, welche eine für die Anwendungen besonders wichtige Rolle spielen, wäre es möglich, aus dem a priori Wissen über die Differentialgleichung, Effizienzsteigerungen für einen Differentialgleichungslöser zu erhalten. Das Programm TENDLER in seiner jetztigen Form nutzt wie viele andere Löser, diese möglichen Vorteile nicht voll aus.

In jedem Zeitschritt wird ein Programm basierend auf impliziten linearen Mehrschrittverfahren (und auch viele weitere Verfahren) mit einer i.a. nichtlinearen Gleichung der Form $y_{m+1}=h\gamma f(y_{m+1})+\psi$, und $y_{m+1}=?$ konfrontiert, $h$, $\gamma$, $\psi$ fest. Werden 1000 Schritte durchgeführt, so ist also auch 1000-mal eine solche Gleichung aufzulösen. Die Anzahl kann sich noch weiter erhöhen, falls Schritte aufgrund von Fehlerversagen zurückgewiesen werden. Man könnte jetzt daran denken einen allgemeinen Gleichungslöser aufzurufen, wie ihn zahlreiche Programmsammlungen, wie etwa NAG, CERN, Harwell, TOMS, $\ldots$, bereitstellen. Bekannte Differentialgleichungslöser, wie LSODE, DE/STEP, $\ldots$, tun dies nicht. Es erweist sich als erheblich effizienter, die Gleichungsauflösung selbst in die Hand zu nehmen.

Bei steifen Differentialgleichungen geschieht die Gleichungsauflösung in vielen bekannten Programmen mit Hilfe eines Newton-Verfahrens, welches man zur Effizienzsteigerung des Differentialgleichungslösers (nicht notwendig zur Steigerung der Effizienz des Gleichungslösers) geeignet modifiziert. Bei nicht-steifen Differentialgleichungen geschieht die Gleichungsauflösung in fast aller Regel mit Hilfe von Picard Iteration (Fixpunktiteration), manchmal wird jedoch auch hier eine Variante eines Newton-Jacobi Iterationsverfahrens benutzt. Die Anzahl der Iterationen bei diesen Iterationsverfahren liegt fast immer deutlich unter 10, allerdings gibt es hier wenige Ausnahmen. Vorgeschlagen werden jedoch auch Mehrgitterverfahren, siehe Sommeijer/Houwen (1984).

Die bei der Newton Iteration anfallenden linearen Gleichungssysteme stellen erneut eine Arbeitsbelastung dar, für einen Löser konzipiert für steife Differentialgleichungen. Für die Lösung dieser linearen Gleichungssysteme werden eine Reihe von Lösungsverfahren angewendet: volle $LU$-Zerlegung (sehr häufig), Band-$LU$-Zerlegung (häufig), Gauß-Seidel Iteration (gelegentlich), $LU$-Zerlegung für dünn besetzte Matrizen und sogar Krylow-Unterraumiteration, siehe Gear/Saad (1983). Die augenblickliche Version des Programmes TENDLER verwendet an dieser Stelle lediglich eine volle $LU$-Zerlegung. Diese Beschränkung ist nicht durch Formeln oder Programmiermethodik erzwungen, und es gibt kein Hindernis hier einen Eingriff vorzunehmen. Im Gegenteil, dieser Eingriff ist an geeigneten Stellen schon mitbedacht und vorbereitet, siehe wprepare(). Durch die Beschränkung auf eine volle $LU$-Zerlegung wird die Anwendbarkeit auf steife Differentialgleichungen großer Dimension, wie sie beispielsweise bei Semidiskretisierungen partieller Differentialgleichungen auftauchen, erheblich eingeschränkt, eigentlich sogar fast gänzlich verunmöglicht. Dies stellt eine echte Beschränkung dar. Will man dennoch solche großdimensionalen Gleichungen lösen, so muß man beispielsweise auf das Programm LSODE oder einer seiner Varianten, zurückgreifen, siehe Hindmarsh (1983). Das Programm LSODE ist auch in der Unterprogrammsammlung NAG in leicht veränderter Form enthalten, siehe Gladwell/Berzins/Brankin (1988).

Zuerst wird schnell der Zusammenhang zwischen Picard und Newton Iteration hergestellt. Beide Iterationsarten sind bei Anwendung auf die Keplersche Gleichung sehr ähnlich. Anschliessend werden beide Iterationen einzeln vorgestellt. Neben dem eigentlichen Konvergenztest gibt es weitere Segmente, welche letztlich die einzige Aufgabe haben, den Konvergenztest zu ergänzen.

Zum Abschluß wird verglichen, wie andere bekannte Löser für steife Differentialgleichungen, basierend auf Mehrschrittverfahren, hier die Programme STINT, DIFSUB, GEAR, EPISODE, LSODE und DSTIFF, den Konvergenztest gestalten. Der Konvergenztest hat auch bei diesen Programmen entscheidenden Einfluß auf die Effizienz des gesamten Restprogrammes.

Bibliographisch:

1. Sommeijer, B.P. und van der Houwen, P.J.: “Algorithm 621. Software with Low Storage Requirements for Two-Dimensional, Nonlinear, Parabolic Differential Equations”, ACM TOMS, Vol 10, No 4, December 1984, pp.378–396
2. Hindmarsh, Alan C.: “ODEPACK, A Systematized Collection of ODE Solvers”, in Robert S. Stepleman, M. Carver, R. Peskin, William F. Ames and Robert Vichnevetsky (Editors): “Scientific Computing—Applications of Mathematics and Computing to the Physical Sciences”, IMACS Transactions on Scientific Computation, Volume 1, Noth-Holland Publishing Company, Amsterdam New York Oxford, 1983, pp.55–64
3. Gear, Charles William und Saad, Youcef: “Iterative Solution of Linear Equations in ODE Codes”, SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, Vol 4, No 4, December 1983, pp.583–601
4. Gladwell, Ian und Berzins, M. und Brankin, R.W.: “The Stiff Integrators in the NAG Library”, ACM SIGNUM Newsletters, Vol 3, No 2, April 1988, pp.16–23

1. Zusammenhang zwischen Picard und Newton Iteration

A choice of the basic variable has to be made. The literature is confusing as to what the possibilities are and the consequences of the choice. These matters are clarified.

L.F. Shampine (1980)

Zur Lösung allgemeiner, nichtlinearer Gleichungssysteme im $\mathbb{R}^n$ existieren eine Fülle von Verfahren. Zwischen zwei dieser Verfahren bestehen enge Verwandtschaftsbeziehungen: zwischen der Picard Iteration und der Newton Iteration.

Ist

so iteriert man mit Hilfe des Newton-Verfahrens nach der Vorschrift

Setzt man $\varphi'=0$, so erhält man direkt die Rechenvorschrift für die Picard Iteration

welches auch als Residueniteration bezeichnet wird. Andere Bezeichnungen sind Fixpunktiteration oder repetierende Substitution.

Für die Keplersche Gleichung

braucht man keine weitere Erklärung, da sie in der obigen allgemeinen Form der Fixpunktschreibweise enthalten ist. Diese Erklärungen seien jetzt schon gegeben, obwohl trivial, da es dann später, in unübersichtlicherem Zusammenhang, leichter ist den einfachen Kern herauszulesen. Für Spezialfälle der eindimensionalen Keplerschen Gleichung existieren speziell angepasste Lösungsverfahren. Einen Überblick findet man beispielsweise bei Dandby (1987), und ein spezielles Verfahren für den eindimensionalen Fall wird beschrieben bei Mikkola (1987). Im Programm TENDLER wird zur Lösung der mehrdimensionalen Keplerschen Gleichung ein modifiziertes Newton-Kantorovich Iterationsverfahren benutzt.

Bibliographisch:

1. Shampine, Lawrence: “Implementation of Implicit Formulas for the Solution of ODEs”, SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, Vol 1, No 1, March 1980, pp.103–118
2. Picard, Charles Emile (1856–1941)
3. Newton, Sir Isaac (1643–1727)
4. Dandby, J.M.A.: “The Solution of Kepler's Equation, III”, Celestial Mechanics, Vol 40, 1987, pp.303–334
5. Mikkola, Seppo: “A Cubic Approximation for Kepler's Equation”, Celestial Mechanics, Vol 40, 1987, pp.329–334

2. Newton Iteration im Programm TENDLER

Therefore the usual iteration mode will reintroduce the numerical instability for insufficiently small $h$ which is our objective to avoid.

Irwin W. Sandberg, H. Shichman (1968)

Neben der Tatsache, daß bei steifen Differentialgleichungen häufig die benutzten Formeln für große Schrittweiten instabil werden, tritt jetzt noch eine weitere Schwierigkeit hinzu. Es ist nicht länger möglich durch einfache Fixpunktiteration, die impliziten Formeln nach den $y_{m\ell+i}$ aufzulösen, weil dies erneut eine erhebliche Einschränkung der Schrittweite $h$ bedeuten würde, ganz entgegen dem Verhalten der exakten Lösung der Differentialgleichung, welche sehr wohl große Schrittweiten geradezu anbieten würde. Es besteht natürlich ein enger Zusammenhang zwischen Instabilität und Nichtkonvergenz der Picard Iteration.

Nun würde einfache Fixpunktiteration stets konvergieren, bei Erfülltsein von

Dies ist immer erreichbar für genügend kleine Schrittweite $h$. Bei steifen Poblemem ist man jedoch gerade daran nicht interessiert. Zur Vermeidung dieser Problematik könnte man deswegen das Newton Iterations-Verfahren verwenden, mit der Vorschrift

mit

um die gesuchten $y_{m\ell+i} \in \mathbb{R}^n$ zu bestimmen.

1. Um den gewaltigen Rechenaufwand, der mit diesem Verfahren verbunden ist, einzugrenzen, wird ein modifiziertes Newton-Kantorovich Verfahren verwendet. Die Modifizierung des Newton-Kantorovich-Verfahrens besteht darin, daß die Iterationsmatrix $W$, hier mit

nicht in jedem Integrationschritt ausgewertet wird.

Der Unterschied des Kantorovich-Verfahrens gegenüber dem Newton-Verfahren (auch Newton-Raphson Iteration) bestand ja darin, die Iterationsmatrix $W_\nu$ nur am Anfang der Iteration zu berechnen und damit nur eine einzige $LU$-Zerlegung zu benötigen, im Gegensatz zum Newton-Verfahren, welches pro Iterationsschritt eine $LU$-Zerlegung benötigt.

Man erkennt, daß die Jacobimatrix $J$ ausgewertet wird an der Stelle $(t_{m\ell},y_{m\ell})$, also für die letzte Stufe des letzten, gerade erfolgreich abgeschlossenen Zyklus (vom Start einmal abgesehen). Dies ist eine bewußt vorsichtige Strategie.

Andere Strategien sind denkbar und werden auch tatsächlich in existierenden Programmen angewendet. Das Programm LSODE beispielsweise wertet die Jacobimatrix $J$ mit dem gerade aktuellen Prädiktorwert aus. Da der Schritt durch anhaltende Divergenz, durch Nichtinvertierbarkeit von $W$ und insbesondere durch Fehlertestversagen zurückgewiesen werden kann, ist $(t_{m\ell},y_{m\ell})$ eine geeignete Wahl.

Bzgl. der Variabilität von $J$, beachte man auch die nachfolgenden Ausführungen von Shampine (1980).

Die Iterationsmatrix $W$ wird in dem Programm TENDLER nur dann berechnet, falls

1. das modifizierte Newton-Kantorovich Verfahren selbst nach “ausreichend vielen” (häufig drei) Iterationen den Konvergenztest nicht bestand,
2. u.U. nachdem die Fehlerkontrolle nicht passiert wurde, oder
3. die Schrittweite mal $\beta_{ii}/\alpha_{ii}$ sich um mehr als 40% seit der letzten Berechnung geändert hat.

Man beachte, daß die Iterationsmatrix eine Funktion aus dem Produkt von $h$ und $\beta_{ii} / \alpha_{ii}$ ist. Es wird sogar eigentlich nur eine “mittlere” Iterationsmatrix genommen, die sich aus dem Mittel der verschiedenen $\beta_{ii} / \alpha_{ii}$ der einzelnen Stufen zusammensetzt. Die Konvergenzeigenschaften werden dadurch nicht wesentlich verändert.

Es sei wieder $\gamma = \beta_{ii} / \alpha_{ii}$. Deutlich gemacht werden sollte folgendes: Das unmodifizierte Newton-Verfahren wird auf mehrere Art und Weise verändert, mit dem Ziel der Aufwandsreduktion. Dreh- und Angelpunkt ist hierbei die Iterationsmatrix $W$. Folgende Veränderungen werden durchgeführt:

1. Die Iterationsmatrix $W$ wird nicht in jedem Iterationsschritt neu ausgewertet.
2. Die Iterationsmatrix $W$ wird nicht in jedem Integrationsschritt neu ausgewertet.
3. Wenn $W$ neu ausgewertet wird, so wird nicht notwendigerweise auch gleichzeitig die Jacobimatrix $J$ mit ausgewertet. Es wird häufig (typisch: alle 20–40 Schritte) ein und dieselbe Jacobimatrix $J$ verwendet, allerdings mit aktualisierter Schrittweite $h$ und formelabhängigen Größen $\beta_{ii}$ und $\alpha_{ii}$.

2. Die Beibehaltung der Iterationsmatrix $W$ über mehrere Integartionsschritte gliedert sich erneut auf in

1. $h\gamma$ ändert sich,
2. $h\gamma$ ändert sich nicht.

Hier sprechen Tischer/Gupta (1983)1:

1. im ersten Fall von einem modifizierten Newton-Verfahren und
2. im zweiten Falle von einem simplifizierten Newton-Verfahren.

Bibliographisch:

1. Tischer, Peter E. und Gupta, Gopal K.: “A Cyclic Method Stiff ODE Solver”, Technical Report 38, Department of Computer Science, Monash University, Clayton, Victoria, Australia, June 1983, i+45 S.

Der erste Fall tritt beispielsweise auf bei der Änderung der Schrittweite $h$, aber auch alleine schon das Durchlaufen der Tendlerschen Zyklen mit seinen i.d.R. nichtgleichen Stufen. Allerdings liegen diese letzten Variationen immer unter 20%. Von Wichtigkeit werden die Überlegungen von Shampine (1980), S.111:

The fragments of theory available for stiff problems give a great deal of attention to model problems. For the typical models to have any validity, it is necessary that the solution of the differential equation be slowly varying and the Jacobian be approximately constant in the neighborhood of the solution. We did not make it clear enough in $\ldots$ that there are important practical reasons for supposing this situation. If the problem is stiff, we hope to be able to use “large” step sizes $h$. According to

this is not likely to be possible unless $J$ is close to ${\cal J}_m$ for each $m$. This requires that the Jacobian be nearly constant near $y^*$. Using a factorization of $I-h\gamma J$ for several steps is not likely to be possible unless the solution changes slowly and the Jacobian changes slowly along the solution.

Weiter

On general grounds we can argue that most codes form a new $J$ far too frequently. For the common case of Jacobians which are fairly expensive, we would like to avoid this wasted effort. Sometimes Jacobians are inexpensive, e.g., they are “free” for linear problems. Avoiding the evaluation of Jacobian in such a case is unnecessary, but should do no harm. In the absence of information about the relative cost of evaluating a Jacobian, we shall presume that it is substantial and seek to minimize it. $\ldots$ If $J$ is a Jacobian approximation based on a solution of about the current size, the need for a new iteration matrix is likely to be due almost solely to changing $h\gamma$, in part because we have seen that $J$ does not need to be very accurate. In either case the arguments suggest that a good tactic is to keep a copy of $J$, and when forming a new iteration matrix, to first try the old $J$. The substantial increase of the storage required by the code is probably why few codes do this. $\ldots$ We have argued that the typical code forms a new approximate Jacobian too often. We advocate keeping a copy of $J$ and judiciously reusing it. This does require extra storage, but we think it worthwhile.

Das Programm TENDLER hält sich vollständig an diese Empfehlungen.

Die Iterationsmatrix $W$ wird noch zusätzlich dahingehend modifiziert, daß die Jacobimatrix nur dann ausgewertet wird, falls

1. die Integration startet,
2. $h\gamma$ sich um mehr als 100% geändert hat,
3. entsprechend viele Minuspunkte durch langsame Konvergenz angesammelt wurden.

Durch die getrennte Behandlung von $W$ und $J$ sind zwei Matrizen zu speichern (dies ist ein Nachtei), jedoch kann die Anzahl der Jacobimatrixauswertungen drastisch reduziert werden (dies ist ein Vorteil). In diesem Zusammenhang schreibt Enright (1978):

One unexpected observation, which is illustrated in the results of problem D4, is that on the nonlinear problems tested, where the Jacobian often changed significantly during integration, convergence difficulty was seldom encountered by MOD-EPISODE. As a result, Jacobian evaluations $\ldots$ are rare for MOD-EPISODE.

In dem Programm MOD-EPISODE wird Enright's update technique, siehe Enright (1978), verwendet. Mit Hilfe dieser Auffrischungstechnik für die Iterationsmatrix $W$, ist es möglich $W$ zu aktualisieren, ohne $W$ zu refaktorisieren, vorausgesetzt, daß nur $h\gamma$ aktualisiert werden muß und nicht etwa $J$. Im Gegenzug allerdings nehmen die Kosten für die Lösung eines Systems $Ax=b$ mit faktorisierter Matrix $A$, leicht zu, und zwar um ${1\over2}n^2$ Operationen. Gleichzeitig ist noch ein zusätzlicher Pivotvektor vonnöten. Diese Ergebnisse von Enright (1978) verdeutlichen besonders hervorhebenswert, daß für die Konvergenz des also mehrfach modifizierten Newton-Verfahrens, der Wert $h\gamma$ von entscheidender Bedeutung ist, nicht jedoch so sehr von $J$.

Zu ähnlichen Schlüssen gelangen Karasalo/Kurylo (1981), Kopie. Das Nachfolgerprogramm von LSODE (bzw. in gewisser Hinsicht mehr das Nachfolgerprogramm von EPISODE) von Hindmarsh/Brown/Byrne (1989), nämlich VODE, verwendet ebenfalls, wie das Programm TENDLER, zwei getrennte Matrizen $W$ und $J$.

Erkennt man nun, daß an $J$ nicht hohe Genauigkeitsansprüche gestellt werden müssen, werden zwei Wege deutlich, um weitere Ersparnisse zu erzielen:

1. Gewisse Elemente von $J$ können zu Null gesetzt werden, falls sie nicht zu “groß” sind. Damit ist es beispielsweise möglich, Bandstrukturen in $W$ zu erzielen und hierfür geeignete Routinen der linearen Algebra zu verwenden, z.B. Bandelimination.
2. Wird $J$ durch numerische Differentiation bestimmt, was bei komplizierten Problemen eine große Arbeitserleichterung für den Anwender bedeutet (man denke beispielsweise an NC5), so ist es u.U. für den Benutzer einfacher, ein ungenaues Schema zu verwenden.

Üblich bei gängigen Differentialgleichungslösern ist eine Approximation der Jacobimatrix durch

Die Programme unterscheiden sich in der Wahl von $\sigma$.

3. Auch Tischer/Gupta (1983)1, siehe oben, analysieren die Korrektoriteration, ausgehend von den Überlegungen in Shampine (1980). Eine weitere Modifikation des Newton-Verfahrens, wie sie bei der allgemeinen Lösung von nichtlinearen Gleichungen benutzt wird, nämlich die Dämpfung, findet in dem Programm TENDLER keinerlei Anwendung.

Dies hat mehrere Gründe.

1. Zum einen befindet sich das Programm TENDLER zu einem maßgeblichen Teil im $P(EC)$-Modus, es wird also nur ein einziges Mal pro Schritt iteriert. Dadurch kann eine Dämpfungsstrategie, welche auf dem Verhalten vergangener Iterierten beruht, ersteinmal schon gar nicht mehr eingesetzt werden.
2. Zweitens, wenn nun in seltenen Fällen doch mehr als zweimal iteriert wird, so bedeutet dies, daß i.d.R. die Schrittweite $h$ zu groß ist oder die Iterationsmatrix $W$ zu alt ist, $J$ zu alt, o.ä. und nicht, daß das Newton-Verfahren als solches Konvergenzschwierigkeiten hat. Dies erkennt man daran, wenn man im Programm TENDLER eine entsprechende Option setzt und sich somit entsprechende Werte, wie Konvergenzrate u.ä., vor und nach Versagen ausgeben lässt.
3. Drittens zeitigten die Testergebnisse von Tischer/Gupta (1983)1, S.23, daß das Programm ODIOUS mit gedämpften Newton-Verfahren nicht selten einen guten Prozentpunkt schlechter arbeitet (Funktionsauswertungen, Schritte), als das ungedämpfte Verfahren. Hierbei gilt zu bemerken, daß das Programm ODIOUS hauptsächlich im $P(EC)(EC)$-Modus arbeitet, sodaß der Steuerung des Dämpfungsfaktors noch vergleichsweise “viele” Iterierte zur Verfügung stehen.

Umgekehrt zeigen Ergebnisse anhand des Programmes STRIDE, daß das Newton-Verfahren mit Dämpfungsstrategie Ersparnisse im Bereich 8–22% Funktionsauswertungen und 18–22% Jacobimatrixauswertungen liefern kann. Dies verdeutlicht, daß die Newton Iteration bei impliziten Runge-Kutta-Verfahren ein anderes Gesamtgewicht auf das Restprogramm ausübt, als anders etwa bei linearen Mehrschrittverfahren und zyklischen Verfahren.

Erneut verdeutlicht dies, daß Änderungen in einem Programm nicht die gleichen Änderungen in anderen Progammen direkt nahe legen.

Nun ist es natürlich möglich eine Dämpfungsstrategie auf anderen Kriterien beruhen zu lassen, als auf dem Konvergenzverhalten vergangener Iterierter. Shampine (1980) weist darauf hin, daß die Iterationsmatrix $W$ “steife Komponenten” und “nicht-steife Komponenten” unterschiedlich bewertet. Dies hängt u.a. an den Eigenrichtungen von $W$. Es ist also nicht so, daß sich eine Dämpfungstechnik in das Programm TENDLER grundsätzlich nicht einbauen lässt. Das Gegenteil ist der Fall. Aufgrund der weitreichenden Kapselung von Aufgaben würde sich dies als eine einfache Aufgabe darstellen. Dennoch gab es, s.o., mehrere Gründe eine Dämpfungstechnik nicht einzubauen.

4. Die Ableitung für die endgültige Programmierung der modifizierten Newton-Kantorovich Iteration verläuft nun wie folgend. Die i.d.R. nicht-linearen Gleichungen der Form

werden mit Hilfe des Newton-Kantorovich Iterationsverfahrens gelöst der Form

Der Subskript $m\ell+i$ wurde hier zur Schreibvereinfachung weggelassen. Für die Variable $z=hf(y)$ ist die Ableitung völlig analog. Wegen $z = hf(\gamma z+\psi)$ ist

5. Im allgemeineren Falle der Differentialgleichung $E\dot y=f(y)$ erhält man die verallgemeinerte Keplersche Gleichung

mit der Abkürzung $z=hf(y)$ dann entsprechend

Die Iterationsmatrix $W$ ist nun $W=E-h\gamma J$ und man erhält

multipliziert man von links mit der Matrix $E$, zieht man danach $\psi$ ab und teilt schließlich durch $\gamma$, so erhält man den gewünschten Ausdruck für $z^{\nu+1}$ zu:

Biographisch:

1. Hindmarsh, Alan C.
2. Brown, Peter N.
3. Byrne, George D.
4. Karasalo, Ilkka
5. Kurylo, John

3. Die Picard Iteration im Programm TENDLER

Hier reduziert sich $W$ auf $W=I$ wegen $J=0$, und es ergibt sich

Die Programmierung der Picard Iteration ist nun wie folgt:

Die nullten Iterierten $y^0$ und $z^0$ werden vom Prädiktor geliefert. Bei Picard Iteration mit fest vorgegebener Anzahl der Iterationen, kann man bei $2k+1$ bzw. $2k$ Iterationen, $k$ Vektorkopieranweisungen durch geeignete Programmierung einsparen.

4. Der Konvergenztest im Programm TENDLER

There is already a problem, however, which you will have noticed if you are the kind of person who does not divide blindly. Even for $h\ne0$ we might have $g(a+h)-g(a)=0$, making the division and multiplication by $g(a+h)-g(a)$ meaningless.

Michael Spivak (1967)

Ein Konvergenztest in einem Differentialgleichungslöser soll feststellen, wann genügend viele Iterationen ausgeführt wurden. Es handelt sich im eigentlichen Sinne des Wortes nicht um einen Konvergenztest, sondern um einen Test auf Abbruch der Iteration. Da prinzipiell nur endlich viele Iterationen durchgeführt werden, ist es auch schon aus diesem Grunde möglich eine Funktion anzugeben, sodaß keine Konvergenz vorliegen braucht. Die Zahl der Iterationen ist i.a. sehr gering. Sie liegt i.a. zwischen 1 und 3. Bei den Programmen LSODE, EPISODE, VODE, GEAR, DIFSUB, etc., liegt die Anzahl der Iterationen in ebensolchen Bereichen. Beim Programm TENDLER kann man die maximale Anzahl der Iterationen frei wählen. Erfahrungen lassen aber Werte größer als 5 nicht als besonders effizient erscheinen. Dies gilt allerdings ersteinmal nur für das Programm TENDLER.

1. Es sei $\delta_\nu=\mathopen|y_N^{\nu+1}-y_N^\nu\mathclose|$ die Norm des Pseudoresiduums bei der Newton-Kantorovich Iteration, und $r_\nu=\mathopen|y_P^{\nu+1}-y_P^\nu\mathclose|$ sei die Norm des Pseudoresiduums bei der Picard Iteration. Sei $k_\nu$ die Konvergenzrate des modifizierten Newton-Kantorovich Iterationsverfahrens, und sei $f_\nu$ die Konvergenzrate der Picard Iteration. $\hat k_\nu$, bzw. $\hat f_\nu$, kennzeichnen die Konvergenzraten der entsprechend vorherigen Iteration, entsprechend sei $\hat k_\infty$, bzw. $\hat f_\infty$ die letzte Konvergenzrate von der vorherigen Iteration (vorheriger Zeitschritt). Vor jedem Konvergenztest werden die beiden Werte $k_\nu$ und $f_\nu$ wie folgt aktualisiert

und

D.h. anfangs steigt die Konvergenzrate für das modifizierte Newton-Kantorovich Iterationsverfahren nicht über $1/10$, aber verschlechtert sich jedesmal um 22%, falls in jedem Schritt nur einmal iteriert werden sollte, also stets der $P(EC)$-Modus benutzt wird. Diese in geometrischer Progression ansteigende Verschlechterung dient dazu, daß “gelegentlich” auch der $P(EC)^i$-Modus $(i>1)$ verwendet wird und somit eine “echte” Konvergenzrate berechnet werden kann und nicht lediglich eine Schätzung benutzt werden muß. Bei der Picard Iteration wird die logische Variable atlst2 (at least two) dazu eingesetzt, daß u.U. zweimal iteriert werden muß. Der Hintergrund für die Minima und Maxima liegt in der Vermeidung von Ausreissern. Z.B. dient $\max(\delta_\nu/\delta_{\nu-1},3k_{\nu-1}/20)$ dazu, daß die Konvergenzrate $k_\nu$ für die Newton-Kantorovich Iteration nicht unterhalb 15% ihres Vorwertes fällt. Vermeidet man aus vermeintlichen Effizienzgründen diese Minima und Maxima, so kann man tatsächlich beobachten, daß ein einziger Ausreisser, die Konvergenzrate über zahlreiche Schritte verschlechtern kann, und dies obwohl schon der nächste Zeitschritt wieder brauchbarere Werte liefert.

Diesen Effekt kann man durch Testläufe gut beobachten. In dem Programm TENDLER gibt es eine Option sich diese Werte ausdrucken zu lassen (analog wie \tracingpages in TeX), sodaß man diesen Effekt gut beobachten kann. Diese Option ist aktivierbar ohne Neuübersetzung.

$f_0$ wird nicht gesondert behandelt, da bei einmaligem Iterieren keine Schaltentscheidung möglich ist. Bei zwei Iterationen stehen aber dann genügend viele benötigte Werte zur Verfügung zur Berechnung einer Konvergenzrate. Ganz zu Beginn der Integration werden $k_\nu$ und $f_\nu$ initialisiert mit

Das Programm LSODE benutzt hier den Wert $0.7$ und die Programme STINT, GEAR, EPISODE und zahlreiche weitere, verwenden hier den Wert $1$.

Die Überprüfung, ob $100r_\nu \le \tau$ ist, dient dazu, Besonderheiten durch übermässig kleine Pseudoresiduen nicht überreichlich Gewicht beizumessen und insbesondere eine Division durch Null zu vermeiden. Auch bei Rechnung nahe der Grenze der Maschinengenauigkeit greift dieser Zusatztest. Würde man diesen einfach durchzuführenden und schnell berechneten Test unterlassen, so könnte es passieren, daß eine “zufällig” gebildete große oder kleine Konvergenzrate gebildet würde und dem Konvergenztest seine Kontinuierlichkeit entzieht. Das Setzen auf den Wert $1/10$ besitzt eine gewisse Willkürlichkeit. Da jedoch $100r_\nu\le\tau$ erfüllt ist, liegt es nahe anzunehmen, daß die Iteration konvergiert. Diesen Sachverhalt sollte die Konvergenzrate in angemessener Weise widerspiegeln. Hierbei ist der Wert $1/10$ sogar noch vergleichsweise hoch. Typische Konvergenzraten liegen nicht selten eine Zehnerpotenz darunter. Es ist häufig zu beobachten, daß wenn $100r_\nu\le\tau$ erfüllt ist, daß dann sehr schnelle Konvergenz vorliegt und wenn es dann doch zu zweimaligen Iterieren kommt, die vergleichsweise hohe Konvergenzrate von $1/10$ heruntergezogen wird. Aus Gründen, die mit dem Schalten zusammenhängen, werden “gelegentlich” 2 Iterationen ausdrücklich gefordert.

Bei unkritischem Betrachten der Überlegungen, wann eine Iteration abzubrechen ist, können Mißdeutungen auftreten. Es sei deutlich darauf hingewiesen, daß die obigen Plausibilitätsüberlegungen keinerlei Beweiskraft besitzen, da z.B. durch eine kleine Schrittweite $\mathopen|h\mathclose|$ das Pseudoresiduum nichts über Konvergenz aussagen muß---man denke an die Reihe $\sum(1/n)$. Dennoch zeigt sich, daß im Verein mit den restlichen Segmenten des Programmes TENDLER der Test so arbeitet, wie er geplant wurde. Es sei angemerkt, daß in anderen Programmen, wie z.B. LSODAR, nicht rigoroser vorgegangen wird. Hierbei ist es so, daß das Programm LSODAR sehr viel mehr Aufwand treibt beim Konvergenztest, wie die Programme DIFSUB, GEAR, EPSISODE, STINT und weitere. Allerdings handelt es sich bei den zuletzt genannten Programmen auch um “ältere” Programme. Beim Konvergenztest für das modifizierte Newton-Kantorovich Iterationsverfahren braucht kein Test der Form $100\delta_{\nu-1}<\tau$ verwendet werden, da andernfalls schon vorher Konvergenz gemeldet worden wäre. Bei Picard Iteration kann Konvergenz angezeigt sein und trotzdem wird weiter iteriert aufgrund der Variablen atlst2. Ein Iterationsschritt des modifzierten Newton-Kantorovich Iterationsverfahrens ist für $n>1$ aufwendiger als ein Iterationsschritt mit der Picard Iteration.

Der eigentliche Test ist nun

Danach wird geprüft, ob die Iteration abzubrechen ist, falls einer der beiden Bedingungen

verletzt ist. Dieser Test wird also nur durchgeführt, wenn eine “echte” Konvergenzrate gebildet wurde. Im Falle von Konvergenz wird bei der modifizierten Newton-Kantorovich Iteration die Funktion setconv() aufgerufen, welche Einfluß nimmt auf die Statusvariable iweval. Die Funktion setconv() ergreift besondere Maßnahmen bei Erkennung “langsamer” Konvergenz. Bei Picard Iteration wird sofort zum Fehlerkontroll-Segment verzweigt. Die Funktion setconv() wird bei Picard Iteration nicht aufgerufen.

2. Der Wert $\tau$ wird vor jedem Zyklus besetzt mit $\tau\gets\varepsilon/16$. Die Wahl dieser Größe ist kritisch. Der Wert $\varepsilon/10$ ist schon zu “groß”, der Wert $\varepsilon/22$ wiederum zu “klein”. Dies soll etwas genauer erklärt werden. Manchem Programm kann seine Leistungsfähigkeit, seine Effizienz geraubt werden durch eine zu kleine Wahl von $\tau$. Bei dem Programm STINT liegt die Anzahl der Korrektoriterationen pro Schritt bei 1.8 (grob gemittelt). Natürlich hängt dieses Verhältnis ab von der zugrundeliegenden Differentialgleichung, von der geforderten Genauigkeit, von der verwendeten Rechenanlage und weiterem. Bei einer früheren Version des Programmes ODIOUS lag dieser Mittelwert ebenfalls bei 1.8 (erneut grob gemittelt, unter erneuter Mißachtung von sonstigen Abhängigkeiten, w.o.). Bei dieser früheren Version vom Programm ODIOUS war $\tau=\varepsilon/100$. Bei dem Programm LSODE liegt das Verhältnis von Iterationen zu Schritten bei ca. 1.2–1.3. Nun ist aber bei den zyklischen Formeln von Tendler (1973) wenig Grund ersichtlich, warum diese Werte derart differieren sollen, zumal die insgesamt 24 Stufen zu 62.5% aus den BDF bestehen, mithin die Formeln von J.M. Tendler eine matrixwertige Verallgemeinerung der BDF darstellen.

Durch Probeläufe mit dem Programm TENDLER wurden nun festgestellt, daß ohne Einbußen an Genauigkeit, ein Übergang von einem quasi $P(EC)(EC)$-Betrieb auf einen $P(EC)$-Betrieb übergewechselt werden kann, ohne Einbrüche an Schrittzahl, Jacobimatrixauswertungen, Fehlerversagen und dergleichen feststellen zu müssen.

In der Wahl des Wertes $\tau$ differieren viele Programme und dies selbst dann, wenn diese Programme auf den gleichen Formeln basieren. Manche Programme bringen $\tau$ mit dem Diskretisierungsfehler in Verbindung, manche mit der Ordnung des Verfahrens, manche mit beiden, manche mit gar nichts.

Für alle diese Auswahlen gibt es Erklärungen, Plausibilitätsüberlegungen, aber keinen mathematischen Beweis, der aussagt, daß nur diese oder jene Form allen anderen Formen grundsätzlich überlegen ist. Allen haftet letztendlich die gleiche Willkürlichkeit an, wie eben der Wahl $\tau=\varepsilon/16$. Der Wert $\tau=\varepsilon/16$ im Programm TENDLER darf nicht notwendig zur Annahme verleiten, daß zwischen $\tau$ und $\varepsilon$ immer ein solch einfacher funktionaler Zusammenhang besteht. Ebenso denkbar ist, daß Änderungen anderer Segmente letztlich wieder andere Konstellationen günstiger erscheinen lassen. Shampine (1979) schreibt hierzu:

An unsolved basic problem with the acceptance test is the relationship between an appropriate tolerance $\tau$ for $\mathopen|\varrho\mathclose|$ or $\left|y^m-y^*\right|$ and the tolerance $\varepsilon$ for the local truncation error. As far as we know, the relation was selected by experiment in all the current codes. There are two issues here. One is the effect on the remainder of the integration due to computing $y^*$ inaccurately. The other is the effect of inaccurate solution values on other algorithms in the code, such as that for estimating the local truncation error. $\ldots$ Thus it is a waste of effort to take $\tau$ very small compared to $\varepsilon$.

An anderer Stelle, siehe Shampine (1980), hierzu weiter:

We have not said anything about the relationship between the tolerance $\tau$ in $r/(1-r)\left|y^{m+1}-y^m\right|$ and the accuracy $\varepsilon$ desired of the solution of the differential equation. This is a research question whichs needs attention. It is clear that $\tau$ must be smaller than $\varepsilon$. A small $\tau$ is one way to compensate for an inaccurate estimate of $r$ used in the convergence test. However the smaller $\tau$ is made, the more it costs to compute $y^*$. Experiment says that $\tau$ a great deal smaller than $\varepsilon$ does not improve the solution of the differential equation. In current codes the relationship appears to be ad hoc. The choice varies wildly, but $\tau=0.1\varepsilon$ is representative.

Die Simplifizierung der Tests auf $\delta_\nu k_\nu$ bzw. $r_\nu f_\nu$, anstatt $k_\nu/(1-k_\nu)\delta_\nu$ bzw. $f_\nu/(1-f_\nu)r_\nu$, hat seinen Grund in der Begrenzung der Konvergenzraten. Hierbei ist $1-k_\nu\approx1$ bzw. $1-f_\nu\approx1$. Wäre dies nicht der Fall, so wäre im Programm TENDLER ohnehin schon vorher Divergenz gemeldet worden. Man hätte aber auch sonst allen Grund Divergenz anzunehmen.

Man könnte nun angesichts der Wichtigkeit dieses Wertes $\tau$ sich der Mühe unterziehen, mit einem Ansatz der Form

beispielsweise, ggf. unter Berücksichtigung der Beträge der Fehlerkonstanten o.ä., und durch eine Batterie von Testdifferentialgleichungen mit Hilfe eines Programmes zur Lösung von Optimierungsaufgaben, unter Nebenbedingungen ggf., die günstigsten Werte $a$, $b$, $c$, $d$ und $e$ zu ermitteln versuchen. Z.B. hängt in den Programmen DIFSUB und STINT der Wert $\tau$ von der Ordnung $p$ ab. Jedoch muß man berücksichtigen, daß auch die Wahl von Sicherheitsfaktoren, wie sie bei der Fehlerkontrolle und der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung auftreten, Rückwirkungen haben. Beispielsweise konnte folgendes beobachtet werden: Ist $\tau$ zu groß, so wird der Fehlerkontrolle fast gänzlich alleine die Entscheidung über die Güte einer Näherung aufgebürdet, desto häufiger versagt sie. Die Korrektoriteration hatte nicht genügend Zeit, die “Steifheit wegzudämpfen”; für eine Präzisierung des letzten siehe Shampine (1980).

Diesen Effekt kann man teilweise entgegenwirken, indem man die Fehlerkontrolle sehr restriktiv macht, also schon sehr früh versagen lässt, bevor dies irgend etwas mit Steifheit zu tun haben könnte. Durch Wahl geeigneter Sicherheitsfaktoren ist dies leicht zu bewerkstelligen. Man befindet sich in der gleichen mißlichen Situation, daß eine Minimierung der Funktion $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ in der Variablen $x_1$, noch lange keine Minimierung der Funktion $f$ schlechthin zu bedeuten hat, d.h. eine Minimierung in allen Variablen. An dem letzten ist man ja eigentlich interessiert, nämlich dem Maximum an Effektivität eines Differentialgleichungslösers.

Eine weitere Bestätigung für die Wahl des $P(EC)$-Modus als dominierende Betriebsart, erhält man, wenn man das Programm TENDLER im Newton-Kantorovich- bzw. Picard-Modus, mit fest vorgegebener Anzahl der Iterationen, benutzt. Hier zeigen Testläufe, daß die globalen Fehler sich nicht merklich ändern, allein einzig das Verhältnis von Funktionsauswertungen zu Schritte, hat fast genau den Wert erreicht, denn er auch theoretisch erreichen müßte, also $i$, für die $P(EC)^i$-Betriebsart, und 2, für die $P(EC)E$-Betriebsart.

Diese empirisch gewonnene Erkenntnis deutet an, daß der Sachverhalt, der vom Startfehlersatz von Liniger (1971) ausgedrückt wird, allgemeiner gilt, als der ihn tragende Beweis. Der Beweis des Startfehlersatzes von Liniger (1971) ist an Bedingungen geknüpft, die im Falle steifer Differentialgleichungen nicht zutreffen.

Dieser Sachverhalt ist jedoch aus anderem Zusammenhang gut bekannt. Die Formeln, die Tischer (1983)2 (PhD, siehe unten) und Tischer/Sacks-Davis (1983)3 vorstellen, sind beweistechnisch geknebelt an die Bedingung, daß $\left|hDK_2\right|<1$ ist [$D=\sup\left|A^i\right|$, $K_2$ Lipschitzkonstante bzgl. $v$ bei $\varphi(u,v)$]. Die Tatsache, daß das Programm ODIOUS, welches auf diesen zyklischen Formeln von Tischer (1983)2 und Tischer/Sacks-Davis (1983)3 basiert, in seiner Leistungsfähigkeit bei den DETEST-Problemen dem Programm LSODE in fast nichts nachsteht, ja sogar bei der besonders steifen Testdifferentialgleichung B5, seine gänzliche Überlegenheit zeigt, siehe Tischer/Gupta (1985)2, macht deutlich, daß die Aussagen, wie sie die derzeitige Theorie macht, allgemeiner gelten, als die sie stützenden Beweise.

Bibliographisch:

1. Tischer, Peter E.: “The Cyclic Use of Linear Multistep Formulas for the Solution of Stiff Differential Equations”, Ph.D. Thesis, Department of Computer Science, Monash University, Clayton, Victoria, Australia, August 1983, x+180 S.
2. Tischer, Peter E. und Gupta, Gopal K.: “A Cyclic Method Stiff ODE Solver”, Technical Report 38, Department of Computer Science, Monash University, Clayton, Victoria, Australia, June 1983, i+45 S.
3. Tischer, Peter E. und Sacks-Davis, Ron: “A New Class of Cyclic Multistep Formulae for Stiff Systems”, SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, Vol 4, No 4, December 1983, pp.733–747
4. Tischer, Peter E. und Gupta, Gopal K.: “An Evaluation of Some New Cyclic Linear Multistep Formulas for Stiff ODEs”, ACM TOMS, Vol 11, No 3, September 1985, pp.263–270

3. Der Vorteil der Benutzung von MNI, FIX und FIXPECE, also den Iterationsarten mit fest vorgegebener Anzahl an Iterationen, liegt darin, daß kein Konvergenztest durchgeführt wird, keine Konvergenzraten gebildet werden (somit keine Schaltmöglichkeit besteht), insbesondere keine Normauswertung während der Korrektoriteration erfolgt. Nun ist der Einfluß der Normberechnungen erwartungsgemäß zwar nicht alles dominierend, jedoch stellt er einen bei flüchtiger Betrachtung häufig unterschätzten Beitrag dar. %bisweilen Der Anteil an der Gesamtrechenzeit variiert selbstverständlich. Er hängt vom Differentialgleichungsproblem ab und auch von der Wahl der Norm schlechthin. Z.B. ist $\left|{}\cdot{}\right|_\infty$ i.a. signifikant billiger zu berechnen als $\left|{}\cdot{}\right|_2$. Bei kleindimensionalen Differentialgleichungsproblemen beherrscht das Drucken oder Plotten die Gesamtrechenzeit.

Nicht untypisch ist jedoch, daß die Funktionsauswertungen ca. 5–10% bei einfach auszuwertenden Funktionen und 10–20% bei aufwendigeren Funktionen ausmachen und die Rücksubstitutionen und Normberechnungen jeweils ca. 10%. Dies wird anfänglich möglicherweise überraschen. Bedenkt man jedoch, wie häufig Normberechnungen notwendig sind, so werden die Zahlen verständlich. Nocheinmal sei betont, daß die Werte 20% und 10% nicht feststehende Zahlen sind, sondern variieren, u.U. nicht unerheblich, jedoch einen typischen Bereich abstecken. Z.B. bei den Problemen B2 bis B5 benötigen die Normberechnungen insgesamt ca. 10%, die Rücksubstitutionen ca. 8% und die Funktionsauswertungen ca. 3% der Gesamtrechenzeit. Bei dieser Schar von Differentialgleichungen ist die Auswertung der Funktion sehr einfach. Es werden in diesem Falle ca. zwei bis dreimal soviele Normauswertungen durchgeführt wie Funktionswerte bestimmt werden.

Bei den zwei Iterationsarten MNI und FIX kann selbstverständlich nach jedem Zyklus die Anzahl der Iterationsschritte geändert werden, genauso, wie prinzipiell nach jedem Zyklus der Benutzer jede beliebige Iterationsart anwählen kann, also MNI, MNIFLOAT (Newton-Kantorovich mit Konvergenztest), FIX, FIXFLOAT (Picard mit Konvergenztest) und FIXPECE. Natürlich kann auch die maximale Anzahl der Iterationen für MNIFLOAT und FIXFLOAT vom Benutzer auf jeden beliegen Wert größer Null gesetzt werden. Vom Programm TENDLER werden hier gewisse Voreinstellungen wirksam.

4. Beispiel: Bezüglich der Konvergenzraten beachte man, daß es sehr wohl sein kann, daß

und dies obwohl die Folge der Iterierten konvergiert, sogar sehr schnell. Diese grundsätzliche Problematik sieht man beispielsweise für

Darüberhinaus erkennt man sogar, daß unendlich häufig gilt

Den Quotienten $\mathopen|y^{\nu+1}-y^\nu\mathclose| / \mathopen|y^\nu-y^{\nu-1}\mathclose|$ kann man natürlich beliebig groß gestalten, durch passende Änderungen. Es muß also zuerst geprüft werden, ob der Betrag des Residuums oder der Betrag des Pseudoresiduums ausreichend klein ist. Erst danach ist zu überprüfen, ob die Konvergenzrate Anlaß zur Besorgnis gibt. Auf der anderen Seite gibt Shampine (1980) ein Beispiel einer steifen Differentialgleichung an, wo die Dinge genau umgekehrt liegen, also erst das Pseudoresiduum und danach das Residuum getestet werden sollte. Den Term $1/2^i$ kann man auffassen als entstandenen Rundungsfehler. Die Zahl 13 ist hier natürlich völlig willkürlich gewählt.

In dem obigen Beispiel ist $(y^\nu)_{\nu=0}^\infty$ keine kontrahierende Folge. Jedoch ist man nicht an Kontraktion per se interessiert, sondern an Konvergenz. Kontraktion und gewisse Selbstabbildungseigenschaften sind lediglich eine hinreichende Bedingung für Konvergenz; notwendig sind diese Bedingungen für Konvergenz nicht.

5. Der Divergenzfall: Wird nun der oben beschriebene Konvergenztest nicht bestanden, so kommen folgende Strategien zur Anwendung. Eine geschickte Wahl dieser Strategie ist wichtig für die Effizienz des Programmes und das Weiterrechnen nach einem Fehlschlag.

Trotz des Fehlens einer abgeschlossenen mathematischen Theorie, verlangen die Heuristiken große Aufmerksamkeit.

• Ist die Schrittweite minimal?
  • Vergiß Zurückweisungen aufgrund der Fehlerkontrolle
  • Ordnung $p$ gleich 1 ?
    • Restauriere wichtige Größen auf diejenigen Werte vor Beginn des aktuellen Zykluses
    • Verlasse das Unterprogramm TENDLER mit einer Mitteilung für den Anwender
  • Ordnung $p$ gleich 2 ?
    • Rufe das Unterprogramm euler_last_chance() auf, und wiederhole den gesamten Zyklus
  • $p\ge3$ ?
    • Setze Ordnung $p$ auf 2

Den obigen Fall muß man eher als sehr große Ausnahme werten. Häufiger ist der nachstehende Fall, obwohl natürlich auch dieser Fall eher selten auftritt.

• switch (itmode) {
  • case MNI:
  • case MNIFLOAT:
    • Drittele die Schrittweite $h$
    • Aktiviere die beiden Sperren wait[] und problem
    • Rufe oldbdf() um die rückwärtsgenommenen Differenzen wieder zu generieren
    • Wiederhole den gesamten Zyklus
  • case FIX:
  • case FIXFLOAT:
    • Ist das Schalten möglich und derzeit erlaubt?
      • Gehe in den steifen Modus
      • Setze iweval durch die Funktion setiweval(), wobei auch $J$ zur Disposition steht
    • andernfalls
      • Drittele die Schrittweite $h$
      • Aktiviere die beiden Sperren wait[] und problem
      • Rufe oldbdf() um die rückwärtsgenommenen Differenzen wieder zu generieren
      • Wiederhole den gesamten Zyklus
• }

Die maximale Anzahl der Iterationen ist in den einzelnen Iterationsarten begrenzt durch die Variablen mnimaxit und fixmaxit. Es ist auch möglich, daß der Benutzer die Anzahl der Iterationen fest vorgibt. Dann werden jedoch andere Unterprogramme aufgerufen. Um die ohnehin komplexen Konvergenztestuntersuchungen nicht mit weiteren Abfragen zu überfrachten, werden für sich getrennte Unterprogramme aufgerufen, die zudem die speziellen Bedürfnisse der Iterationsart berücksichtigen und in dieser Hinsicht optimiert sind. In der Funktion setiweval() wird der Hindmarsh-Test vollzogen.

Für das modifizierte Newton-Kantorovich Iterationsverfahren sieht die grundsätzliche Steuerlogik wie folgt aus:

• for (cvfail=0; cvfail<=1; ++cvfail) {
  • Bereite die Iterationsmatrix $W$ entsprechend auf, falls nötig
  • Beachte den Fall der Nicht-Invertierbarkeit
  • Iteriere bis zu maximal mnimaxit mal
  • if (iweval != OLDW)
    • break;
  • Regeneriere die beiden nullten Iterierten $y^0$ und $z^0$
  • iweval = WwithJ
• }
• Aktualisiere die Statistiken in Abhängigkeit von cvfail

6. Singularität der Iterationsmatrix: Im Falle einer nicht-invertierbaren Iterationsmatrix $W$ wird einfach weiterverfahren, und zwar so als ob Divergenz gemeldet worden wäre. Zwar wird von mnifloat() als auch mni() ein spezielles Zeichen gesetzt, welches Singularität der Iterationsmatrix $W$ anzeigt, doch wird dieses augenblicklich nicht gesondert verarbeitet. Prinzipiell besteht zwischen Divergenz und Nichtinvertierbarkeit ein großer Unterschied. Sei $n$ die Dimension der zu lösenden Differentialgleichung. Es kann nun nur maximal $n$ verschiedene Eigenwerte des Eigenwertproblems

geben. Man beachte die Form der Iterationsmatrix $W=I-\lambda^{-1}J$. Kennt man das Spektrum der Jacobimatrix $J$ im voraus, so kann man sofort die “verbotenen” Werte $h_i\gamma_i=\lambda_i^{-1}$ angeben, für $i=1,\ldots,n$. I.d.R. kennt man natürlich das Spektrum von $J$ nicht, zumal $J$ von der Zeit $t$ abhängen kann.

Weiterhin sieht man, daß die Drittelung der Schrittweite sofort erneut zu einer nicht-invertierbaren Iterationsmatrix $W$ führen kann, wie man anhand der speziellen Jacobimatrix $J=\bigl({1\atop0}{0\atop3}\bigr)$ und einer Schrittweitendrittelung ersehen kann.

Umgekehrt ist es gut möglich, daß eine Vergrößerung der Schrittweite $h$ eine viel angemessenere Reaktion auf Nichtinvertierbarkeit darstellen könnte. Es gibt kein Programm, welches dies tut, dennoch wäre ein solches Verhalten während der Startphase nicht abwegig, wenn man gewisse Zusatzinformationen der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung mit berücksichtigen würde, was selbstverständlich einen erhöhten programmiermässigen Aufwand darstellen würde. Aus Sicherheitsgründen verkleinert man natürlich lieber die Schrittweite $h$, vergößern kann man sie dann anschliessend immer noch.

Vorstellbar ist dabei jedoch das folgende Szenarium mit der Jacobimatrix $J=\bigl({1\atop0}{0\atop5}\bigr)$. Sei $h=1$, $W$ sei nicht invertierbar, $h$ wird gedrittelt, in der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung dann jedoch später wieder verdreifacht, $\ldots$ . Man erkennt zusätzlich, daß eine Veränderung der Ordnung $p$ alleine ebenfalls schon eine mögliche Quelle für Nichtinvertierbarkeit der Iterationsmatrix $W$ darstellt, falls $W$ refaktorisiert wird. Die hier beinahe sehr in das Detail gehenden Überlegungen spielen allerdings bei praktischen Differentialgleichungen nicht die Rolle, die man vermuten könnte. Statistiken zeigen, daß Nichtinvertierbarkeit der Iterationsmatrix $W$ so gut wie gar nicht vorkommt: es wurde bisher noch nie beobachtet. Dies liegt jedoch z.T. daran, daß die $LU$-Zerlegung im Programm TENDLER keine scharfe Rangentscheidung trifft, sondern einfach u.U. mit einer sehr schlecht konditionierten Matrix weiterrechnet. Hierbei stellt man sich vor, daß die Kondition einer Matrix ihre “Nähe” zur Nichtinvertierbarkeit beschreibt. Diese Deutung kann man streng präzisieren, obwohl sie teilweise irreführend sein kann, siehe Wilkinson, J.H., Wilkinson (1965). Eine Rangentscheidung ist aber auch als solches ein numerisch diffiziles Problem, da die Menge der nichtinvertierbaren Matrizen eine abgeschlossene Nullmenge in der Menge aller Matrizen ist.

7. Es ist wichtig zu vermerken, daß erst versucht wird bei Konvergenzversagen die Iteration bei derselben Stufe neu zu starten und zwar mit aufgefrischter Iterationsmatrix $W$. Erst wenn dies nicht mehr möglich ist, d.h. wenn $W$ schon frisch berechnet wurde, erst dann die Schrittweite $h$ oder die Ordnung $p$ verändert werden. Im letzteren Falle wird der gesamte Zyklus wiederholt und nicht nur die betreffende Stufe. Programmiermässig wäre es genauso gut möglich nur an der besagten Stufe neu zu beginnen, jedoch hätte man dann den angefangenen, nicht zu Ende geführten Zyklus, als Zyklus für sich zu betrachten. Dieser Teilzyklus hat natürlich ein anderes Stabilitätverhalten, insbesondere ist nun überhaupt nicht mehr garantiert, daß dieser Teilzyklus $A_\infty[\alpha]$- bzw. $S_\infty[\delta]$-stabil für gewisse $\alpha$ und $\delta$ ist. Beispielsweise sind die ersten beiden Stufen des Vefahrens 7.ter Ordnung die BDF7, welche nicht $D$-stabil sind und schon erst recht nicht $A_\infty[\alpha]$-stabil. Allerdings bedeutet ein Wechsel der Schrittweite $h$ oder der Ordnung $p$ ohnehin einen Wechsel zu einem mehrstufigen Verfahren, nicht notwendig zyklisch.

Die Programme DIFJMT, STINT und ODIOUS sind ebenfalls, wie das Programm TENDLER, vollständig zyklusweise orientiert. Dennoch ist es wichtig den folgenden Sachverhalt deutlich zu machen: Das Wiederholen eines Zykluses, inklusive der dazu benötigten Interpolation, ist nicht aufwendig, vorausgesetzt, daß dies nicht ständig passiert. Aufwendiger ist, daß eine starke Pro- oder Degression der Schrittweite $h$ zu verändertem Konvergenzverhalten der Korrektoriteration führt, insbesondere ist u.U. die Iterationsmatrix $W$ erneut zu faktorisieren. Ein Wiederholen einer einzigen Stufe innerhalb der Formeln von Tendler (1973) setzt eine Differenzentabelle, oder eine sonstige extra Verwaltung für die skalierten Ableitungswerte $z_{m\ell+i}=hf_{m\ell+i}$, voraus. Dies geschieht weder in den Programmen DIFJMT und STINT, noch in dem Programm TENDLER. Denn dies würde zusätzlichen Verwaltungsaufwand erfordern und zusätzlichen Speicherplatz beanspruchen, von grundsätzlichen theoretischen Bedenken einmal ganz abgesehen, welche gegen ein solches Vorgehen sprechen. Die skalierten Ableitungswerte $z_{m\ell+i}=hf_{m\ell+i}$ werden innerhalb eines Zykluses lediglich als Hilfsgrößen betrachtet und bei Beginn eines neuen Zykluses einfach überschrieben.

Das Programm TENDLER macht von den $z_{m\ell+i}$ bzgl. der Interpolation keinerlei Gebrauch. Das Programm STINT verwendet die Werte $z_{m\ell+i}$ bei der Interpolation, aus dem einfachen Grund, weil eine entsprechend hohe Differenz $\nabla^{k+1}y$ überschrieben wurde und nun restauriert werden muß. Dies geschieht unter Zuhilfenahme der Beziehung

wegen

Es sei $E$ der Shiftoperator und $D$ der Differentiationsoperator. Die obige Gleichung ist richtig, wegen

bei rein formaler Rechnung, die sich aber streng begründen lässt. Die obige Approximation ist in dem Programm TENDLER vollständig überflüssig, aufgrund einer verschiedenen Organisation der Differenzentabelle der einzelnen Stufen. In dem Programm STINT ist diese Rechnung nötig bei einem zurückgewiesenen Zyklus, falls kurz vorher die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung, oder der Benutzer, eine Veränderung der Schrittweite erzwangen, insbesondere falls vorher die Ordnung höher war.

Weiterhin ist das Durchlaufen dreier Stufen in einem Zyklus vom Wesen her u.U. einfacher und effizienter, als die dreifache Ausführung eines einstufigen Verfahrens. Dies wurde auch durch empirische Untersuchungen z.T. erhärtet, siehe Gaffney (1984). Schließlich sind Zurückweisungen ohnehin die Ausnahme, denn es ist eine der Hauptzwecke der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung genau dies zu erreichen. Dennoch ist i.d.R. der benötigte Speicherplatz für zyklische lineare Mehrschrittverfahren in linearen Termen der Dimension $n$ der Differentialgleichung höher, als bei einstufigen linearen Mehrschrittverfahren. Dies natürlich i.d.R. nur, falls die Schrittweite geändert werden soll, sonst gilt dies so ohne weiters nicht.

5. Verhinderung langsamer Konvergenz in TENDLER

I appeal to my colleagues to remember that in any field of numerical computation, technical papers are often less influential than computer programs!

Ll.N. Trefethen (1985)

Nach erfolgreichem Abschluß der Korrektoriteration, wird die Funktion setconv() aufgerufen, welche anhand der Anzahl der benötigten Iterationen und aufgrund vergangener Konvergenzbeobachtungen, mitentscheidet, ob und wie, eine Refaktorisierung der Iterationsmatrix $W=I-h\gamma J$ vorzunehmen ist. Dies geschieht in Form von Ansammeln von Minuspunkten, man vgl. hier auch Knuth (1986), PDF.

Gelingt die Konvergenz des Korrektors gleich im ersten Iterationschritt, so werden alle bisher angesammelten Minuspunkte vergessen, da jetzt angenommen wird, daß die Konvergenz genügend schnell stattfindet. Bei drei Iterationen bis zur Konvergenz, oder aber bei “großer” Konvergenzrate, werden “viele” Minuspunkte aufgerechnet, andernfalls werden “wenige” Minuspunkte aufgesammelt.

Überschreitet nun die Summe der Minuspunkte eine gewisse Grenze an maximal möglichen Minuspunkten, nämlich MAXSLOW, so wird die Sperrvariable problem aktiviert und die Jacobimatrix $J$ wird nun berechnet und anschliessend die Iterationsmatrix $W=I-h\gamma J$ refaktorisiert. Nebenläufig sei erwähnt, daß die Funktion setconv() selber keine Berechnungen oder Faktorisierungen durchführt, sondern nur entsprechende Markierungen setzt.

Wie üblich wird für statistische Zwecke gezählt, wie häufig durch diese Maßnahme Einfluß auf die Iterationsmatrix $W$ und damit auf die Konvergenz des modifizierten Newton-Kantorovich Verfahrens, genommen wird. Gleichzeitig kann damit erkannt werden, wie wirkungsvoll dieser Teil der Konvergenzüberwachung arbeitet. Derzeitige Erfahrungen lassen erkennen, daß dieser Test bei vernachlässigbaren Kosten, eine lohnenswerte Veränderung darstellt.

Die augenblickliche Gewichtung der Minuspunkte ist wie folgt: 9 Minuspunkte für dreifache Iteration, 9 Minuspunkte für zweifache Iteration mit einer Konvergenzrate größer 0.09 und sonst bei lediglich zweifacher Iteration ein einziger Minuspunkt. Ein Eingriff, also ein Verändern der Sperre problem und der Statusvariablen iweval, geschieht bei insgesamt 18 Minuspunkten.

6. Der Hindmarsh-Test im Programm TENDLER

Hindmarsh, Alan C. Dieser Test ist natürlich nicht von Hindmarsh originär neu erfunden worden, jedoch um einen Namen zu haben, sei dieser Test im weiteren so genannt. Hindmarsh hat dennoch diesen Test in vielen Punkten verfeinert und in dem Programm GEAR erfolgreich angewendet. Um auch ein theoretisches Verständnis für diesen Test zu erhalten, folgen nun einige Bemerkungen.

Es soll hier auch um die Beantwortung der folgenden beiden Fragen gehen:

1. Gegen welchen Wert konvergiert das modifizierte Newton-Kantorovich-Verfahren, wenn man unendlich lange iterieren würde, bei genügend kleiner Differenz $\mathopen|H-\tilde H\mathclose|$ und
2. in welcher Beziehung steht dieser Grenzwert mit dem Werten aus vorhergehenden Schritten?

Wendet man sich dem skalaren und autonomen Testproblem $\dot y=\lambda y$ zu und benutzt man als Prädiktor das explizite Euler-Verfahren

und als Korrektor das implizite Euler-Verfahren

und behandelt man das dabei auftretende Nullstellenproblem, welches in diesem Falle sogar linear ist, mit dem modifizierten Newton-Kantorovich-Verfahren

so gelten die Ableitungen, wie untenstehend. Man beachte, daß natürlich das unmodifizierte Newton-Kantorovich-Verfahren die Lösung des Nullstellenproblem $Fy_{n+1}=(1-H)y_{n+1}-y_n=0$, in einem Iterationsschritt, bis auf Rundungsfehler sofort exakt liefern würde. Die Iterationsmatrix $W$ ist hier $W=1-\tilde H$. Man berechnet nun für das modifizierte Newton-Kantorovich Iterationsverfahren

Dies zeigt schon im wesentlichen folgendes: Der Hindmarsh-Test ist sinnvoll, da er testet in wie weit sich $H$ und $\tilde H$, also $h\gamma$ und $\tilde h\tilde\gamma$ entfernt haben, seit der letzten Refaktorisierung der Iterationsmatrix $W$, hier also der Reziprokenbildung. In den Programmen GEAR, EPISODE und LSODE, in denen keine Jacobimatrix $J$ separat gespeichert wird, kann man also aus $H-\tilde H$, den Faktor $J$ herausfaktorisieren. In dem Programm TENDLER ist dieses Ausklammern, aufgrund der gesonderten Speicherung von $J$, nicht so einfach möglich. Hier sind dann weitere Überprüfungen nötig, z.B. durch Betrachten der Konvergenzgeschwindigkeit, was auch tatsächlich getan wird.

Interessanter ist nun, daß es sich bei der obigen Gleichung um eine eingliedrige Rekurrenzgleichung handelt der Form $a_{n+1}=pa_n+q$, mit der allgemeinen Lösung

Man ersetze 1 durch $\nu+1$ und 0 durch $\nu$. Der Wert

ist für genügend kleinen Zähler stets kleiner als eins zu kriegen und es gilt dann näherungsweise

Aufgrund dieser Herleitung wird nun verständlich den Wert

grob als Näherung für die Lösung der impliziten Gleichung mit dem Newton-Kantorovich Iterationsverfahren anzusehen, unter den oben erwähnten, stark vereinfachenden Voraussetzungen.

Der Fall $W=I$, also Picard Iteration, führt direkt auf

und damit auf

Man ersieht natürlich sofort, daß $\mathopen|H\mathclose|<1$ eine notwendige und hinreichende Bedingung für Konvergenz ist. Beachtenswert ist hier, daß der erste Iterationsschritt genauer geworden wäre, bei Verwendung eines nicht konsistenten Prädiktors. Dies gilt natürlich ersteinmal nur für diese Testgleichung.

Die Verallgemeinerung auf den $n$-dimensionalen Fall mit $\gamma\ne0$, also für ein echt implizites Verfahren, ist nun einfach. Der Vollständigkeit halber sei dieses Ergebnis hier kurz aufgeschrieben.

Hat man vorgelegt $y_{n+1}=\gamma hf(y_{n+1})+\psi$ und betrachtet man die Testgleichung $f=Jy$, mit einer Diagonalmatrix $J$, so geht man analog wie oben vor. Man setzt $H=hJ$, $\tilde H=\tilde h\tilde J$ und die Iterationsmatrix $W$ ist $W=I-\tilde\gamma\tilde H$. Das zu lösende Gleichungssystem ist weiter $Fy_{n+1}=(I-\gamma H)y_{n+1}-\psi$ und man erhält dann

Hier wäre $p=W^{-1}(\gamma H-\tilde\gamma H)$ und $q=W^{-1}\psi$.

Für die Picard Iteration, also $\tilde H=\bf 0$ und somit $W=I$, ergibt sich

und daher

Konvergenzbedingung für die Neumannsche Reihe ist natürlich $\rho(\gamma H)<1$, welches für genügend kleine Schrittweite $h$ immer zu erreichen ist.

Biographisch:

1. Neumann, Carl Gottfried (1832–1925)

Um den 40%/100%-Test in dem Programm TENDLER besser zu verstehen, seien hier zur Illustriation genauere numerische Werte geliefert. Für die BDF sieht man in der nachstehenden Tabelle, wie sich aufeinander folgende Werte $\gamma_p$, für $p=1,\ldots,6$ verhalten.

Es wird jetzt deutlich, wie in gewisser Hinsicht günstig der Wert 30% bei dem Hindmarsh-Test im Programm GEAR gewählt ist. Man beachte, daß wenn die Schrittweite von der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung geändert wird, sich diese um mindestens 10% geändert hat. Dieser Mindestanstieg der Schrittweite wird auch in den meisten anderen Programmen, basierend auf den BDF, wie DIFSUB, EPISODE, GEAR und LSODE, gefordert. Für die zyklischen Formeln von J.M. Tendler erhält man leicht anders aussehende Verhältnisse. U.a. ist die Mindestschrittweitenvergrößerung, die in der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung gefordert wird, leicht größer.

7. Der Konvergenztest im Programm STINT

Nachdem nun dargestellt wurde, wie in dem Programm TENDLER der Konvergenztest durchgeführt wird, ist es von Interesse, wie in anderen Programmen dieser Test durchgeführt wird. Zudem wurde auch schon deutlich gemacht, daß es Kritikpunkte an bisherigen Konvergenztests gab, hier ist wieder Shampine (1980) aufzuführen. Auch in dem Program STINT ist der Konvergenztest ein einflußreiches Segment, welches dazu dient festzustellen, wann die Korrektoriteration abgebrochen werden kann. Da jeder Iterationsschritt eine Funktionsauswertung und eine Normauswertung benötigt, stellt er einen rechenintensiven Part des gesamten Programmes dar.

Bei diesem Test wird nun geprüft, ob die gewichtete Korrektur, also das Pseudoresiduum für die $z$-Iterierten, genügend klein ist. Sei nun $\delta_{m\ell+i}^\nu$ die gewichtete Norm dieses Pseudoresiduums im $\nu$-ten Iterationsschritt, also

wobei $y_{ml+i}^\nu$ und $z_{ml+i}^\nu$ entsprechend die $\nu$-ten Iterierten von $y_{ml+i}$ bzw. $h\dot y_{ml+i}$ sind und $|\cdot |_w$ die gewichtete RMS-Norm bezeichnet. In dem Programm STINT wird die gewichtete RMS-Norm benutzt zu

$z^\nu$ wird hierbei durch Erfülltsein der Formel $y=\gamma z+\psi$ berechnet, also $z=(y-\psi)/\gamma$. Polynomiale Extrapolation wird für die Bestimmung der nullten Iterierten verwendet. Diese Aufgabe wurde schon vom Prädiktor übernommen. Sei nun weiter

die modifizierte Konvergenzrate zwischen der $(\nu-1)$-ten und $\nu$-ten Iterierten. Es wird der folgende empirisch bestimmte Faktor

im Konvergenztest verwendet, wobei $\varepsilon$ die vom Anwender vorgegebene Fehlertoleranz pro Schritt ist und $p$ die Ordnung des benutzten Verfahrens ist. Es ist

der Fehlerfaktor der ersten Stufe. Die Vektoren $\alpha$ und $\beta$ kennzeichnen wieder die Koeffizienten des linearen Mehrschrittverfahrens (pro Stufe), und $C_{p+1,k}\in\mathbb{Z}^{(p+2)\times(2k+2)}$ ist die Konsistenzmatrix.

Es wird nun angenommen, daß der Korrektor konvergierte, falls

Man beachte, daß hierbei $c_0$ die Konvergenzrate der vorherigen Stufe des Zykluses ist. Wenn jetzt die obige Bedingung (Kgz) erfüllt ist, so geht man davon aus, daß Korrektorkonvergenz erreicht wurde oder doch zumindestens im nächsten Schritt erreicht wird. Auf jeden Fall wird dann das modifizierte Newton-Kantorovich Verfahren abgebrochen.

Bei der Überprüfung der Norm des Pseudoresiduums $\delta_{m\ell+i}^\nu$ geht man davon aus, daß lineare Konvergenz vorliegt.

Der Faktor $\sqrt2$ im Konvergenztests (Kgz) wird nur deswegen angewendet, um sicherzustellen, daß im nächsten Iterationsschritt die Ungleichung $\delta_{ml+i}^{\nu+1}\le\tau$ auf alle Fälle erfüllt ist. Dadurch, daß der nächste Iterationsschritt nicht mehr durchgeführt wird, erspart man sich weiteres Auswerten der Funktion $f$.

Weiter wird in der Ungleichung $\tau$ und nicht $\varepsilon$ verwendet. Dies dient dazu die Gleichung etwas genauer zu lösen als gefordert. Die Wahl von $\tau$ geht auf C.W. Gear zurück und wurde beibehalten, da sie zufriedenstellend arbeitet.

Der Nenner des zweiten Faktors bei $\tau$ wurde deswegen eingefügt, weil in (Phase 2) der Fehlerkontrolle dieser Term ebenfalls durchgelassen wird. Daher sollte der Korrektor diese Fehler auch tolerieren. In der Phase 1 der Fehlerkontrolle wird jedoch nicht der Quotient ${c_{1,p+1}/\alpha_{11}}$ verwendet, sondern $\delta_{\ell-1,p+1}$. Da die Kehrwerte $\alpha_{11}/c_{1,p+1}$ stets größer sind als die Werte $\delta_{\ell-1,p+1}$ und zwar für alle Ordnungen $p=1,\ldots,7$, fällt damit der Faktor $\tau$ korrekt aus. Ausserdem gilt

außer für die Ordnung $p=6$. Hier gilt

Jedoch sind in diesem Ausnahmefall die beiden Werte in den Vorkommastellen gleich und unterscheiden sich lediglich geringfügig in der ersten Nachkommastelle.

Im Programm STINT kommen u.a. die folgenden Strategien zur Anwendung:

1. Es werden grundsätzlich niemals mehr als drei Iterationen ausgeführt. Nach diesen drei Iterationen wird weiterverfahren, so, als ob der Korrektor nicht konvergierte. An dieser Stelle wird dann die Iterationsmatrix neuberechnet, falls sie noch von vorherigen Zyklen stammen sollte. Anschliessend wird erneut maximal 3-mal iteriert.
2. Wurde das Newton-Kantorovich-Verfahren schon wiederholt, so wird die Schrittweite um den Faktor $3/10$ vermindert. Dies natürlich nur, falls die minimal mögliche Schrittweite dabei nicht unterschritten wird. Die Iterationsmatrix $W$ wird neu berechnet. Dabei braucht die Jacobimatrix $J$ nicht mehr erneut ausgewertet werden, da sie in der Matrix rj gespeichert wird. Dies kostet zwar nicht unerheblich Speicherplatz, beschleunigt aber die Integration merkbar.
3. Sollte nun tatsächlich die Schrittweite die minimal mögliche nicht überschreiten, so wird die Ordnung auf 2 gesetzt, falls sie vorher größer als 2 war und auf 1 gesetzt, falls sie vorher 2 gewesen ist.

In den Fällen (2) und (3) wird der gesamte Zyklus wiederholt. Im Gegensatz zu einstufigen Verfahren, wo lediglich die nicht akzeptierte Stufe erneut durchlaufen wird, wird hier der komplette Zyklus neu berechnet. Schrittzurückweisungen sind jedoch die Ausnahme, sodaß dieser Punkt nicht in dem starken Maße Bedeutung hat, wie man möglicherweise befürchten könnte. Programmiermässig wäre es möglich nur die nicht akzeptierte Stufe zu wiederholen, jedoch wird dies aus theoretischen Überlegungen heraus nicht genutzt. Jedoch sprechen auch Gründe wie Effizienz und Speicherplatzbedarf gegen eine stufenweise Wiederholung. Dies gilt auch für das Programm TENDLER, nicht jedoch für das Programm ODIOUS. Sollte sich der Zyklus nicht wiederholen lassen, d.h. die Ordnung und die Schrittweite sind so klein als möglich, so wird das Unterprogramm verlassen und eine entsprechende Markierung in den Rückgabeparametern gesetzt. Die obigen Überprüfungen werden bei den Marken 780 und 800 durchgeführt.

Die Jacobimatrix $J=f_y$ der Differentialgleichung wird nur an drei Stellen ausgewertet und zwar einmal natürlich ganz zu Anfang, also beim allerersten Aufruf des Unterprogrammes STINT. Dann jedoch nur, falls $h{\beta_{ii}/\alpha_{ii}}$ sich um mehr als 80% geändert hat, oder aber falls wie in (1), nach drei Iterationen der Konvergenztest nicht zufriedenstellend verlaufen war und gleichzeitig dabei die Iterationsmatrix noch aus vergangenen Zyklen stammte.

8. Der Konvergenztest im Programm DIFSUB

Voreingestellt ist die Rechnung in doppelter Genauigkeit, jedoch wird die Invertierung der Iterationsmatrix $W=I-h\gamma J$ in einfacher Genauigkeit vorgenommen. Dies hat den Vorteil, daß weniger Speicherplatz in Anspruch genommen werden muß. Die Multiplikation mit der Inversen erfordert jedoch stets die Umwandlung von einfacher Genauigkeit in doppelte Genauigkeit. Das ist nicht unaufwendig, wenn es wiederholt durchgeführt werden muß. Diese Rückmultiplikation wird natürlich wesentlich häufiger durchgeführt, als die Invertierung. C.W. Gear wählt absichtlich den Weg der Invertierung der Matrix anstatt einer $LU$-Zerlegung, zur Vermeidung des Aufrufes eines Unterprogrammes, hier der Faktorisierung der Matrix $W$. Die Berechnung des Matrix-Vektor Produktes erfolgt inline.

Diese Programmiertaktik ist nicht nachahmenswert. Die Rechenarbeit steckt in Gleitkommaoperationen und nicht in der Verwaltung des Kellerspeichers und der Übergabe von Parametern.

Die Anzahl der Gleitkommaoperationen ist bei einer Invertierung für jede Dimension $n\ge2$ größer als bei einer $LU$-Zerlegung. Jedoch verfolgt Tendler (1973) in seinem Programm DIFJMT den gleichen eingeschlagenen Weg, wie in dem Programm DIFSUB. In dem Programm STINT wird dann allerdings, wie in dem Programm GEAR, die Invertierung ersetzt durch eine $LU$-Zerlegung nach dem Programm von Moler (1972). Die Programme EPISODE, GEAR, LSODE, $\ldots$ wählen alle den Weg der $LU$-Zerlegung.

In dem Programm DIFSUB wird die Iteration abgebrochen, falls jede Komponente des Pseudoresiduums kleiner ausfällt als

In DIFSUB wird also die Iteration abgebrochen, falls gilt

Dabei ist $w$ ein Gewicht und es wird die gewichtete Maximumnorm benutzt, also

Diese gewichtete Maximumnorm ist insoweit erstaunlich, als für die Fehlerkontrolle und die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung eine andere Norm benutzt wird, nämlich

Der programmiermässige Vorteil liegt nun darin, daß wenn auch nur einmal festgestellt wird, daß keine Konvergenz in allen Komponenten vorliegen kann, der Konvergenztest sofort abgebrochen werden kann. Da der Test natürlich komponentenweise von unteren Indices zu größeren Indices vollzogen wird, genügt schon das Nichterfülltsein des obigen Konvergenzkriteriums für eine einzige Komponente. Diese Möglichkeit der geringen Effizienzsteigerung wird im Programm DIFSUB nicht genutzt. Jedoch ist der Fall der nicht-akzeptierten Korrektoriteration so selten, was natürlich auch sehr erwünscht ist, daß dieser geringe Rechenvorteil selbstverständlich nicht ins Gewicht fällt und daher von neueren Programmen auch nicht mehr so durchgeführt wird. Dies erleichtert auch sehr den Austausch von Normen. Auch auf Vektorrechnern hätte dieses Vorgehen u.U. Nachteile.

Konvergenzraten werden in dem Programm DIFSUB nicht gebildet und daher auch nicht benutzt. Sehr wohl werden Konvergenzraten in den Programmen EPISODE, GEAR, LSODE, $\ldots$ benutzt. Man vgl. hier auch Shampine (1978) für weitere Bemerkungen bzgl. der Evolution von Programmen, maßgeblich an der dortigen Stelle Adams-Verfahren.

Es kommen nun folgende Heuristiken zur Anwendung:

1. Wird selbst nach drei Iterationen mit Hilfe des modifizierten Newton-Kantorovich-Verfahrens die oben angegebene Bedingung nicht erfüllt, so wird beim ersten Konvergenzversagen die Jacobimatrix $J$ der Differentialgleichung und insbesondere die Iterationsmatrix $W=I-h\gamma J$ neu berechnet.
2. Bei zwei Konvergenzversagen hintereinander wird die Schrittweite $h$ geviertelt.
3. Ist die Schrittweite minimal und wurde beim modifizierten Newton-Kantorovich-Verfahren schon die Iterationsmatrix $W$ neu berechnet, so wird das Unterprogramm DIFSUB mit einer entsprechenden Fehlermarkierung in einer Statusvariablen verlassen.

Beim Picardschen Iterationsverfahren, bei der die Jacobimatrix $J$ nicht benutzt wird, entfällt die Möglichkeit der Auffrischung der Iterationsmatrix und es wird daher sofort die Schrittweite $h$ um den Faktor vier vermindert. Da in dem Programm DIFSUB lediglich Speicherplatz für eine einzige Matrix bereitsteht, können auch die beiden Matrizen $W$ und $J$ nicht getrennt behandelt werden, wie dies in dem Programm TENDLER geschieht.

Wird also in den Programmen DIFSUB, EPISODE, GEAR, LSODE, $\ldots$ eine Auffrischung auch nur einer der Matrizen $J$ oder $W$ nötig, so müssen beide Matrizen neu berechnet werden. In diesem Zusammenhang sind die Bemerkungen von Enright (1978) von Interesse, aber auch Shampine äußert sich zu der getrennten oder gemeinsamen Speicherung der Matrizen in Shampine (1980), Shampine (1981a) und Shampine (1982b).

9. Der Konvergenztest in DSTIFF, GEAR und EPISODE

Es sei nocheinmal darauf hingewiesen, daß der Faktor $\tau$ sehr stark direkt auf die Effizienz des gesamten Programmes einwirkt. Zum einen bestimmt ja der Korrektor ausschließlich die Anzahl der Funktionsauswertungen. Muß nun aufgrund eines sehr strengen Konvergenztests mehr als nur einmal iteriert werden, so muß auch entsprechend häufig die Differentialgleichung, also die Funktion ausgewertet werden. Zum anderen müssen für den Konvergenztest selber mindestens eine Norm ausgerechnet werden. Dies ist nicht selten aufwendiger, als die Auswertung der Funktion selber. Für das Schalten sogar müssen insgesamt zwei Normen berechnet werden, wenn der Benutzer den Schaltmodus angewählt hat. Der aufwendigste Teil jedoch ist die Rücksubstitution. Hier müssen quadratisch in der Dimension, also $n^2$ viele arithmetische Operationen durchgeführt werden. Die Aufmerksamkeit dem man deswegen diesem kritischen Parameter schenkt, ist aus diesen Gründen daher sehr verständlich.

1. Der eigentliche, zentrale Test lautet in dem Programm GEAR:

wobei $\xi$ eine verfahrensabhängige Konstante ist, die also abhängt von der Ordnung $p$ und den Koeffizienten der Formeln, hier also entweder Adams-Formeln oder BDF. $c_\nu$ ist hierbei eine modifizierte Konvergenzrate, welche ganz zu Anfang der Integration auf 1 gesetzt wird.

Programmiert wird dieser Test in der Form

mit

Der Konvergenztest gilt als bestanden, wenn

mit

und der Konstantentryade $\mathtt{pertst[][][]}\in\mathbb{C}^{12\times2\times3}$. Dabei wird $2c^\nu\delta^\nu$ als eine Schätzung der Korrektur für die nächste Iteration angesehen. Auch hier ist natürlich $c^\nu$ am Anfang der Iteration nicht bekannt. Deswegen wird der letzte Wert $c^\nu$ vom vorherigen Schritt genommen.

2. Konvergenztest. Der Konvergenztest im Programm EPISODE ist gegenüber dem Test im Programm GEAR leicht verändert. Dies liegt zum einen daran, daß das Programm EPISODE Formeln verwendet, bei denen die Koeffizienten von den Schrittweitenverhältnissen abhängig sind und desweiteren, weil es Intention bei der Entwicklung des Programmes EPISODE war, möglichst große Schrittweitenänderungen zuzulassen.

Sei $c_\nu$ die modifizierte Konvergenzrate (und nicht das Quadrat der modifizierten Konvergenzrate). Aktualisiert wird diese Größe durch die Rechenvorschrift

und die gewichtete Norm des Pseudoresiduums $\delta^\nu$ im $\nu$-ten Iterationsschritt werde berechnet durch

Der eigentliche Konvergenztest gilt als erfolgreich bestanden, wenn

Der Wert $\xi$ ist wiederum eine vom Verfahren und von den Schrittweitenverhältnissen abhängige Größe. Erneut wird $c_\nu$ ganz zu Anfang der Integration auf 1 gesetzt. Auffälligste Veränderung ist hierbei der Faktor $1/\sqrt{10}$, welcher in der Tat dafür sorgt, daß sich die modifizierte Konvergenzrate wesentlich schneller an die wahren Konvergenzverhältnisse anpassen kann. Bei Probeläufen mit dem Programm TENDLER wurde gefunden, daß dies von großem Vorteil ist. Das Programm LSODAR verwendet hier entsprechend den Faktor $1/5=0.2$ und nicht mehr $3/\sqrt{10}\approx0.95$. Diese Beobachtung scheint daher universellere Gültigkeit zu haben.

Das Programm DSTIFF verwendet genau wie das Programm GEAR diesen Test. Das Programm DSTIFF ist dem Programm GEAR überhaupt sehr ähnlich. Vereinfacht ausgedrückt ist das Programm DSTIFF gleich dem Programm GEAR mit veränderten Formeln und gewissen veränderten Abstimmungsparametern.

10. Der Konvergenztest im Programm LSODE

In dem Programm LSODE nun wurde dieser Test noch weiter abgeändert. Der Wert $\delta^\nu$ wird wie oben berechnet, aber es wird jetzt die gewichtete RMS-Norm statt der diskreten ${\cal L}_2$-Norm verwendet. Auf Konvergenz wird jetzt wie folgt getestet:

Hierbei ist $k_{m+1}$ der lokale Diskretisierungsfehler des benutzten Verfahrens und $\ell_m$ ist die letzte Komponente des Korrektor-Vektors $\ell$ (Nordsieck-Darstellung). Sollte nun die Konvergenzrate $c^\nu$ in der zweiten oder dritten Iteration größer als 2 sein, so geht das Programm LSODE davon aus, daß die Iteration divergiert.

Die Beschreibung der Konvergenztests in den Programmen LSODA und LSODAR wird später, bei der Beschreibung dieser beiden Programme, gegeben. Sie sind jedoch dem obigen Test sehr ähnlich. Dennoch wurden geringfügige Modifikationen durchgeführt. Insbesondere betrifft dies den Aspekt der Rechnung nahe der Maschinengenauigkeit und natürlich bzgl. des Schaltens. Bei beiden Programmen ist es möglich, daß der Konvergenztest eine Entscheidung trifft, ob und wie geschaltet wird.

Es gibt gute Gründe, warum gerade nur maximal dreimal iteriert wird. Umfangreiche Testläufe, u.a. auch von verschiedensten Autoren, ergaben das folgende Bild:

1. Falls vier oder mehr Iterationen erlaubt sind, ist die Anzahl der Fälle, in denen keine Konvergenz erzielt wurde nicht wesentlich geringer und
2. falls nur zwei Iterationen erlaubt sind, ist die Anzahl der Fälle, wo keine Konvergenz erreicht wurde jedoch bedeutend größer.

Zu diesen Ergebnissen beachte man auch den Startfehler-Satz von Liniger. Dies deckt sich mit Erfahrungen wie sie auch C.W. Gear gemacht hat, siehe Gear (1971a), Gear (1971b), Gear (1971c).

Bibliographisch:

1. Gear, Charles William: “Experience and Problems with the Software for the Automatic Solution of Ordinary Differential Equations”, in “Mathematical Software”, ACM Monograph Series, Editor John Rice, Academic Press, New York London, 1971, pp.211–227
2. Gear, Charles William: “The Automatic Integration of Ordinary Differential Equations”, CACM, Vol 14, No 3, March 1971, pp.176–179
3. Gear, Charles William: “Algorithm 407. DIFSUB for Solution of Ordinary Differential Equations [D2]”, CACM, Vol 14, No 3, March 1971, pp.185–190
4. Gear, Charles William: “Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations”, Prentice-Hall, Englewood Cliffs (New Jersey), 1971, xvii+253 S., Kopie

11. Die Korrektoriteration im Programm DDASSL

1. Die grundlegende Idee beim Programm DDASSL zur Lösung von differential-algebraischen Gleichungen der Form

besteht darin, $\dot y$ zu ersetzen durch eine Näherung für die Ableitung unter Zuhilfenahme zurückliegender Werte, also Werten, welche schon berechnet wurden. Für Diskretisierungen solcher Gleichungen vgl. man auch Liniger (1979). Beispielsweise löst man bei der Ordnung 1, in jedem Zeitschritt das nicht-lineare Gleichungssystem

nach $y_n$ auf. Für die Approximationen der Ableitung $\dot y$ werden in dem Programm DDASSL die BDF$i$, mit $i=1,\ldots,5$, verwendet. Nach einem gelungenen Schritt wird überprüft, ob die Ordnung oder die Schrittweite verändert werden soll, in Abhängigkeit der berechneten Näherungslösung an zurückliegenden Punkten.

Die Darstellung der Lösung erfolgt in Form von modifizierten rückwärtsgenommenen Differenzen, wobei zusätzlich darauf geachtet wird, daß der führende Koeffizient bei der BDF, bei wechselnden Schrittweitenverhältnissen, immer gleich bleibt.

Durch Diskretisierung der Ableitung $\dot y$ mittels der BDF, entsteht ganz allgemein das Problem, das i.d.R. nicht-lineare Gleichungssystem

in jedem Zeitschritt zu lösen. $\hat\alpha$ ist eine skalare Konstante, welche sich verändert kann, falls sich die Ordnung oder die Schrittweite ändert. $\beta$ ist ein Vektor, welcher Werte an zurückliegenden Zeitpunkten zusammenfasst. Die obige nicht-lineare Gleichung wird durch ein gedämpftes, modifiziertes Newton-Kantorovich Iterationsverfahren, in jedem Zeitschritt gelöst. Das Iterationsverfahren hat mithin die Form

Die Iterationsmatrix $W$ ist gegeben durch

$\omega$ ist ein skalarer Dämpfungsparameter und definiert durch

2. Die Modifizierung des gedämpften Newton-Kantorovich Iterationsverfahrens besteht darin, daß die Iterationsmatrix $W$ auch noch in nachfolgenden, und häufiger auch noch in zahlreichen weiteren Zeitschritten, benutzt wird. Das Newton-Kantorovich Iterationsverfahren benutzt ein und dieselbe Iterationsmatrix $W$, über alle Iterationsinidizes $\nu$, im Gegensatz zum Newton-Raphson Iterationsverfahren, welches auch bei jedem neuen Iterationsschritt $\nu$, die Iteratiosmatrix $W=W(y^\nu)$ neu berechnen und faktorisieren würde.

Die Iterationsmatrix $W$ wird im Programm DDASSL genau dann neu berechnet und faktorisiert, falls

1. die Iteration nicht konvergiert und dabei die Iterationsmatrix “alt” war,
2. wenn sich die führenden Koeffizienten der benutzten Formeln, welche von der Schrittweite $h$ abhängen, “stark” geändert haben. Dies enstpricht dem üblichen Hindmarsh-Test.

Die Iterationsmatrix $W$ wird dabei in der Form $(1/\hat\alpha)F_y+F_{\dot y}$ gespeichert. Zur Lösung der linearen Gleichungssysteme werden LINPACK-Routinen benutzt, sowohl für vollbesetzte, als auch für schwachbesetzte Systeme mit Bandstrukturen.

Als Vektornorm benutzt das Programm DDASSL die RMS-Norm, welche berechnet wird in der Form

und $\mathopen|x\mathclose|=0$, falls $M=0$. Das letzte ist natürlich äquivalent mit $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$. Der Gewichstvektor $w$ bestimmt sich zu

wobei $\varepsilon_a$ die geforderte absolute Genauigkeit ist und $\varepsilon_r$ die vom Benutzer angeforderte relative Genauigkeit bezeichnet. Der Gewichstvektor hängt also von der Genauigkeitsforderung des Benutzers ab. Das Programm LSODE benutzt die gleiche Norm wie das Programm DDASSL, während hingegen die beiden Programme LSODA und LSODAR eine gewichtete Maximumnorm verwenden und dies um eine damit passende Vektornorm zu einer entsprechend gewählten Matrixnorm zu erhalten.

Wird mehr als einmal iteriert, so wird eine Konvergenzrate $\rho$ berechnet, mit

Es sei ferner

Auf Konvergenz, oder genauer auf Abbruch der Iteration, wird wie folgt getestet. Zuerst wird überprüft, ob

Hierbei ist $u$, wie üblich, die kleinste positive Zahl, die auf der Rechenanlage darstellbar ist, sodaß $1+u>1$ gilt. Anschliessend wird getestet, ob $\rho>9/10$ ausfällt. Ist dies der Fall, so wird die Iteration abgebrochen, und es wird also dann angenommen, daß keine Konvergenz statt gefunden hat. Zum Schluß des eigentlichen Tests Schließlich folgt ggf. der zentrale Test, ob

Iteriert wird maximal 4 Male. Nach der vierten Iteration wird ebenfalls Divergenz angenommen.

Bibliographisch:

1. Liniger, Werner: “Multistep and One-Leg Methods for Implicit Mixed Differential Algebraic Systems”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, Vol CAS-26, No 9, September 1979, pp.755–762

1. TENDLER: 1. Grobaufbau und prinzipielle Überlegungen
2. TENDLER: 2. Benutzung des Programmes
3. TENDLER: 3. Der Prädiktor
4. TENDLER: 4. Die Korrektoriteration
5. TENDLER: 5. Die Fehlerkontrolle

• 1. Einbau neuer zyklischer Formeln in das Programm TENDLER
• 2. Alternativen zum Prädiktor
• 3. Verwebung von Prädiktor und Korrektor
• 4. Speicherung des Prädiktors im Programm TENDLER

Donald A. Calahan (1972), S.236, schreibt hierzu:

Without prediction $\ldots$ typically 3–5 corrector iterations are required $\ldots$ to satisfy the integration formula $\ldots$ With prediction, convergence is likely in one iteration, although an additional iteration may be necessary to check for convergence. This halving of computational effort should be adequate for incorporating a predictor in an integration algorithm.

Analog äußern sich Byrne/Hindmarsh (1987):

Regardless of the choice of iteration, an initial guess $\bf y_{n(0)}$ is always needed. This is easily obtained by appealing to any of the explicit linear multistep methods.

Der Prädiktor besorgt den für die Korrektoriteration nötigen ersten Startwert. Es wird begründet, warum es lohnenswert ist, speziell gewählte Formeln für den Prädiktor zu verwenden und nicht die Iteration mit anderen, möglicherweise leichter zu berechnenden Werten zu starten.

Man kann leicht beweisen, daß die Prädiktorformeln nicht D-stabil zu sein brauchen, wenn mindestens einmal mit einer D-stabilen Korrektorformel iteriert wird, bzw. das Restverfahren D-stabil ist. Tatsächlich sind die in dem Programm TENDLER verwendeten Prädiktorformeln ab der Ordnung höher oder gleich drei, nicht mehr $D$-stabil. Diese Formeln dürfen daher nicht alleine verwendet werden. Aufgezeigt wird, an welchen Stellen des Programmes TENDLER die Prädiktorformeln eingehen. Zudem wird beschrieben, wie man neue Formeln in das Programm TENDLER einsetzen kann und wie schließlich die Formeln des Prädiktors in dem Programm algorithmisch verwendet wurden. Es zeigt sich dabei, daß die Prädiktor- und Korrektorformeln eng miteinander verwoben sind. Deutlich wird, daß ein Wechseln der Formeln einfach vonstatten gehen kann. Einfache, aber auch nicht-triviale Beispiele werden zur Illustration vorgerechnet. Es ist, anders als in dem Programm STINT, nicht nötig und erforderlich gewisse Besonderheiten eines sehr kompakten Speicherschemas zu beachten und einzuhalten.

Hinzugefügt werden sollte allerdings, daß während der Entwicklungszeit der Programme DIFJMT und STINT, d.h. etwa im Zeitraum von 1970–1978, Speicherersparnisse im Bereich von ca. 1000 Bytes als durchaus lohnenswert erachtet wurden.

Bibliographisch:

1. Alan C. Hindmarsh (*1942)
2. George Dennis Byrne (1933–2024), vgl. Nachruf
3. Byrne/Hindmarsh (1987): Stiff ODE solvers: A review of current and coming attractions, Journal of Comp. Physics, Vol. 70, Issue 1, May 1987
4. Donald Calahan: “Computer Aided Network Design&rdquo;, Second Edition, McGraw-Hill, New York St. Louis Düsseldorf $\ldots$, 1972, xvii+350~S.

1. Einbau neuer zyklischer Formeln in das Programm TENDLER

Der Einbau neuer Formeln in das Programm TENDLER ist problemlos möglich. Hat man neue Formeln gefunden, mit denen man praktische Untersuchungen durchführen will, so bietet es sich an, diese in das Programm TENDLER einzusetzen. Hierzu sind zweierlei Dinge zu beachten. Zum einen sind die Formeln selber auszuwechseln und zum anderen die den Formeln zugehörigen Konstanten, wie Fehlerkonstanten und Anzahl der Stufen pro Zyklus.

1. Konstanten. Es sollte allerdings deutlich darauf hingewiesen werden, daß zahlreiche Konstanten, Strategiefaktoren und dergleichen, z.B. beim Konvergenztest, bei der Fehlerkontrolle, bei der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung, zwar nicht direkt abhängig sind von der Ordnung und den benutzten Formeln, jedoch das Zusammenwirken aller Einflußgrößen in einem größerem Programm noch zu wenig verstanden ist, als daß man uneingeschränkt sagen könnte, daß diese Konstanten heuristischen Ursprunges gänzlich unabhängig sind von den verwendeten Verfahren. Man wird wohl erwarten, daß sich mit veränderten Formeln auch diese ändern könnten. Wie sich diese nun aber ganz genau ändern, kann im voraus nicht allgemein gesagt werden. I.d.R. ergeben sich diese Konstanten und Strategiefaktoren durch genaues Beobachten von zahlreichen Testläufen mit der verschiedenstartigen Kombination von Steuergrößen und durch Plausibilitätsüberlegungen. Wenn man so will, ergibt sich diese Sammlung von Konstanten, die keine echten “Naturkonstanten” als solche sind, ähnlich wie ein bisher unbekannter Beweis: nicht alleine durch Deduktion aus einem fertigen Axiomensystem.

Um diesen Punkt zu verdeutlichen, ein Beispiel. Der Konvergenztest ist in dem Programm TENDLER gänzlich unabhängig von den Eigenschaften der zugrunde liegenden zyklischen Formeln, jedoch abhängig von der benutzergewählten Genauigkeitsanforderung $\varepsilon$.

In dem Programm STINT ist der Konvergenztest abhängig von den Fehlerfaktoren der Stufen. Für das Programm TENDLER wurde vermeint, daß die Unabhängigkeit des Konvergenztests von den Fehlerfaktoren ein Vorteil ist. Gilt dies nun auch rückwärts für das Programm STINT? Wohl kaum, denn dort wurde gefunden, daß es sich genau umgekehrt verhält, daß also die Aufnahme der Fehlerfaktoren mit in den Konvergenztest günstig ist, siehe Tendler/Bickart/Picel (1978), Seite 350ff. und im Report Tendler/Bickart/Picel (1976), S.25, S.39.

Die Programme STINT und TENDLER verwenden die völlig gleichen zyklischen Formeln, nämlich die sieben steif-stabilen, zyklischen Formeln von J.M. Tendler, siehe Tendler (1973). Allerdings differieren die Schrittweiten- und Ordnungssteuerungen beider Programme und eben die Konvergenztests nicht unerheblich.

Diese Diskrepanz ist nicht gänzlich überraschend. Ähnliche Beobachtungen wurden auch mit den beiden Programmen DIFSUB und GEAR gemacht. Auch hier verwenden die beiden Programme die völlig gleichen Formeln in gleicher Darstellung (Nordsieck-Darstellung), jedoch ist das Programm GEAR das deutlich effizientere.

Wenn also hier von problemloser Integration von neuen Formeln gesprochen wird, dann sind diese Bemerkungen wohl zu beachten. Verschiedene Programme basierend auf ein und derselben Formel, können sich als sehr verschieden erweisen, man vergl. auch die beiden Programme DIFSUB und DE/STEP. Obwohl hier schon die programmiermässigen Unterschiede als solches größer sein müssen, aufgrund der verschiedenen Darstellungsform der Lösungen und deren Ableitungen oder Differenzen, verwenden jedoch beide Programme vom Wesen her die gleiche Formelfamilie.

Ähnliche Überlegungen gelten für DIFBDF vs. DIFSUB, siehe Tendler (1973), und BDF-ODIOUS vs. LSODE, siehe die Dissertation von Peter Tischer von 1983.

1. Tischer, Peter E.: “The Cyclic Use of Linear Multistep Formulas for the Solution of Stiff Differential Equations”, Ph.D. Thesis, Department of Computer Science, Monash University, Clayton, Victoria, Australia, August 1983, x+180 S.
2. Tendler, Joel Marvin und Bickart, Theodore A. und Picel, Zdenek: “STINT: STiff ordinary differential equations INTegrator. Program and User Manual”, Electrical and Computer Engineering Department, Syracuse University, Syracuse, New York 13210, USA, and Department of Electrical Engineering, Delft University of Technology, Delft, The Netherlands, Technical Report TR-76-12, December 1976, ii+85 pages

2. Wechselwirkungen. Nun soll an dieser Stelle eine grundsätzliche Problematik beleuchtet werden. Mit der Veränderung gewisser Segmente im Programm TENDLER und einer dann sich anschließenden Überprüfung der Wirksamkeit der Veränderung, kann folgendes Phänomen zu Tage treten. Eine Veränderung, z.B. ein Einbau neuer Formelpaare, von der man aufgrund von Vorüberlegungen eine signifikante Effizienzsteigerung erwartet, kann dann bei einem Test entgegengesetztes Verhalten zeitigen, d.h. Leistungseinbußen aufweisen. Der Schluß, daß die Veränderung, z.B. die neuen Formeln, per se effizienzmindernd wirken, ist jedoch so ohne weitere Überlegungen nicht statthaft. Aufgrund des nicht gänzlich verstandenen Zusammenwirkens der verschiedenen Segmente im Programm TENDLER muß man in die Erwägungen mit einbeziehen, daß eine Veränderung des einen Segmentes, eine Veränderung eines anderen Segmentes notwendig machen könnte. Beispielsweise könnte der Einbau neuer Formeln es viel geeigneter erscheinen lassen, die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung grundsätzlich zu verändern. Fände man Formeln, die sagen wir bis zur Ordnung 10 noch $A_\infty^0$-stabil, kleinste Fehlerkonstanten besäßen und noch viel mehr, so wäre der Trend der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung zu niedrigen Ordnungen möglicherweise hinderlich. Dieser eben skizzierte Gedankengang bzgl. der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung wurde auch tatsächlich so einmal duchprobiert von Gupta (1985) im Programm DSTIFF.

Es wurden die niedrigen Ordnungen nicht mehr so stark bevorzugt. Der erhoffte Erfolg blieb jedoch aus, siehe Gupta (1985).

Die Erläuterungen anhand des Programmes TENDLER haben lediglich illustrativen Charakter. In den Programmen DIFSUB, GEAR, EPISODE, DE/STEP und zahlreichen anderen Programmen ist das Zusammenspiel der verschiedenen Segmente nicht mehr oder minder verstanden.

Es tritt nun jedoch noch eine gravierende Zusatzschwierigkeit hinzu. Glaubt man nun, daß eine Veränderung des einen Segmentes im Programm TENDLER auch eine Veränderung eines anderen Segmentes bedingt, und verfährt man auch entsprechend, d.h. modifiziert man auch weitere Segmente und stellt nun eine Effizienzverbesserung fest, so wäre der Umkehrschluß, daß diese Veränderung nun als solches effizienzanhebend sei, ebenfalls nicht zulässig. Würde man beispielsweise bei einem Einbau neuer Formeln gleichzeitig auch die Fehlerkontrolle und die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung ändern, so wäre der Gedanke, daß die neuen Formeln nun günstiger wären, als die zyklischen Formeln von Joel Marvin Tendler, möglicherweise naheliegend, aber dennoch irrig. Hinter alle dem könnte sich letztlich die banale Erkenntnis verbergen, daß ein Programm umso besser wird, desto mehr Pflege man ihm angedeihen läßt.

Denn möglicherweise hätte man das alte Programm in seiner Wirksamkeit ebenso verbessern können und zwar ohne an den Einbau neuer Formeln überhaupt zu denken.

Diese Ausführungen sollen nun nicht den Eindruck erwecken, als ob ein Einbau neuer Formeln als solches schädlich sei.

Die Ausführungen beleuchten lediglich, daß gewisse Folgerungen aus Testläufen, mögen sie auch noch so umfangreich sein, vorsichtig gezogen werden müssen, damit sie nicht in die falsche Richtung weisen. Hinter alle dem steckt das grundsätzliche Dilemma, daß gewisse statistische Tests nicht anwendbar sind, falls Variablen nicht voneinander unabhängig sind.

2. Alternativen zum Prädiktor

1. Um einen groben Überblick zu bekommen, ob es sich überhaupt rechnet einen Prädiktorschritt der Korrektoriteration voranzustellen, seien einige Erläuterungen gegeben. Bekanntermaßen kann selbst ein Korrektor mit leerem Stabilitätsgebiet, mit Hilfe eines vorgeschalteten Prädiktors im Falle eines Picard-$P(EC)^i\{E\}$-Verfahrens, zu einem Gesamtverfahren werden, welches einen akzeptablen Stabilitätsbereich aufweist. Insbesondere kann durch geschickte Wahl eines Prädiktors, der Stabilitätsbereich eines Picard-$P(EC)^i\{E\}$-Verfahrens vergrößert werden, siehe Albrecht (1979), §9.7, S.128–131 und Albrecht (1976), §9.5.2.

Diese Eigenschaft ist insoweit besonders hervorhebenswert, da für die $D$-Stabilität eines Picard-$P(EC)^i\{E\}$-Verfahrens die Prädiktorformel völlig unerheblich ist, insbesondere braucht die Prädiktorformel nicht selber $D$-stabil zu sein. Erkennt man nun das Potential der möglichen Effizienzsteigerung und der Stabilitätsverbesserung durch Benutzung eines Prädiktors, so kann man nach dem besten unter allen Prädiktoren fragen für einen gegebenen Korrektor. Oder aber man fragt nach der besten Kombination von Prädiktor/Korrektor. “Besser” wäre: größeres Stabilitätsgebiet, besseres Rundungsfehlerverhalten, etc. Diese Frage wird hier nirgends beantwortet.

Da sich die Picard Iteration (mit $J=0$) als Spezialfall des modifizierten Newton-Kantorovich Iterationsverfahren auffassen läßt und zusätzlich die Anzahl der Iterationsschritte beim augenblicklich verwendeten Newton-Verfahren im Programm TENDLER sehr gering ist (meistens 1, selten 2, ganz selten 3 und mehr Iterationsschritte), liegt die Vermutung nahe, daß die Ergebnisse, die für Picard-$P(EC)^i\{E\}$-Verfahren gelten, in wenn auch abgeschwächter Form, ebenso für das modifizierte Newton-Kantorovich-$P(EC)^i\{E\}$-Verfahren gelten. Erneut taucht die Frage auf, welche Kombination von Prädiktor, Korrektor und Iterationsverfahren unter allen anderen Verfahren das beste und günstigste ist.

“Besser” hier im Sinne von: Minimierung der Anzahl der Iterationen, größere Stabilitsgebiete, Rundungsfehlereigenschaften, u.s.w. Auch diese Frage wird hier nirgends beantwortet.

Nicht selten haben explizite lineare Mehrschrittverfahren erheblich kleinere Stabilitätsgebiete als (von der Ordnung) vergleichbare implizite lineare Mehrschrittverfahren. Dies ist einer der maßgeblichen Gründe für die Verwendung impliziter linearer Verfahren, anstelle rein expliziter Methoden.

Hinzu kommt ferner, daß die Fehlerkonstanten das implizite Verfahren favorisieren. Typisches Beispiel sind hier die Adams-Formeln (Adams/Moulton vers. Adams/Bashforth).

2. Es gibt verschiedene Interpretationsmöglichkeiten für den Sinn der Benutzung eines Prädiktors. Einmal könnte man denken, daß der Prädiktor die Lösung der Differentialgleichung “voraussagen” soll. In diesem Falle könnte man meinen, daß eine explizite Prädiktorformel, eben aufgrund seines kleinen Stabilitätsbereiches (wenn überhaupt) sehr ungenaue Voraussagungen macht. Dem dieser ersten Interpretation mögliche innewohnende Trugschluß, nämlich instabile Stufe gleich ungenaue Näherungenswerte des gesamten mehrstufigen Verfahrens, soll hier nicht weiter betrachtet werden. Ein Picard- oder Newton-$P(EC)^i\{E\}$-Verfahren ist nämlich als Gesamtverfahren auffaßbar als zusammengesetztes, mehrstufiges Verfahren. Eine andere Deutungsmöglichkeit liegt darin, daß der Prädiktor möglichst nahe der Lösung von $y=h\gamma f(y)+\psi$ liegen sollte.

Wegen der ersten Deutungsmöglichkeit könnte man vorschlagen, statt einer i.a. ohnehin instabilen Prädiktorformel, einfach faute de mieux den zuletzt akzeptierten Näherungswert für die Lösung der Differentialgleichung als Startwert für die Iteration zu wählen. Dieser Vorschlag wird zumeist im Zusammenhang mit dem Newton-$P(EC)^i\{E\}$-Verfahren gemacht, nicht jedoch im Zusammenhang mit der Picard Iteration. Dennoch, aufgrund der engen Verwandtschaft beider Iterationsvorschriften, scheint es angebracht, diesen Vorschlag des Startwertes anhand der Picard Iteration zu prüfen, wenn man sich der Beschränkung bewußt ist, die damit einhergeht. Hinzu kommt, daß Steifheit und Instabilität von Formeln letztlich aus gleicher Quelle gespeist werden.

Wählt man das explizite Euler-Verfahren $y_{n+1}=y_n+hf_n$ als Prädiktor und das implizite Euler-Verfahren $y_{n+1}=y_n+hf_{n+1}$ als Korrektor, so lieferte für die Differentialgleichung $\dot y=\lambda y$, das $PECE$-Verfahren die Näherungen

mit $H=h\lambda$.

Hingegen entartet der Korrektor mit dem Startwert $y_{n+1}^0=y_n$ zum expliziten Euler-Verfahren, also genau dem Verfahren, dem man durch die veränderte Wahl eines Startwertes zu entrinnen versuchte. Dank des $H^2$-Terms hat das $PECE$-Verfahren die Möglichkeit einen negativen $H$-Wert noch “in's Positive zu ziehen”. Erwartungsgemäß hat das $PECE$-Verfahren einen größeren Stabilitätsbereich und dies obwohl der Prädiktor als Einzelverfahren betrachtet, seinen Stabilitätsbereich schon verlassen haben könnte. Dieses Verhalten ist typisch für $P(EC)^i\{E\}$-Verfahren. Bei Verwendung von $y_{n+1}^0=y_n$ und Einsetzung, hat man ohnehin ein neues explizites Verfahren vor sich, welches mit seiner Konsistenzordnung weit hinter der Konsistenzordnung des Korrektors abfallen könnte und somit zahlreiche Picard Iterationen benötigen könnte.

Auch noch von einer anderen Seite wurde dem Prädiktor Aufmerksamkeit gewidmet. Tischer/Gupta (1983) (s.u.), §2.5.1, S.10–17, und §3.2, S.38–42, untersuchten, ob die Verwendung linear impliziter Prädiktoren eine signifikante Leistungssteigerung in dem Programm ODIOUS bewirken konnte. Auch mit diesem Prädiktor konnte das Programm ODIOUS basierend auf den zyklischen Formeln von Tischer (1983) (Dissertation s.o.) und Tischer/Sacks-Davis (1983) das Programm LSODE in seiner allgemeinen Leistungsfähigkeit nicht klar überbieten. Dies zeigt, w.o. schon erwähnt, nicht die Untauglichkeit dieser Maßnahme als solches. Es deutet jedoch an, daß noch andere Segmente eines Programmes erheblichen Einfluß auf die Effizienz haben und somit eine einseitige Konzentration der Anstrengungen auf den Prädiktor, nicht zum erhofften Ziele führen.

1. Tischer, Peter E.: “The Cyclic Use of Linear Multistep Formulas for the Solution of Stiff Differential Equations”, Ph.D. Thesis, Department of Computer Science, Monash University, Clayton, Victoria, Australia, August 1983, x+180 S.

2. Tischer, Peter E. und Gupta, Gopal K.: “A Cyclic Method Stiff ODE Solver”, Technical Report 38, Department of Computer Science, Monash University, Clayton, Victoria, Australia, June 1983, i+45 S.

3. Verwebung von Prädiktor und Korrektor

It may look a bit formidable at first glance; pointers fly most alarmingly. $\ldots$ the doubly linked list is the representational technique of choice in many circumstances.

W.A. Wulf, M. Shaw, L. Flon, P.N. Hilfinger (1981)

1. Anzahl Stufen pro Zyklus. Die Anzahl der Stufen pro Zyklus ist in einem Konstantenvektor abgespeichert, der z.Z. wie folgt aussieht:

stgs_per_order[8] = {*,3,3,3,3,4,4,4};

Die Fehlerfaktoren sind in den beiden Konstantenvektoren abgelegt:

alfa_div_gamma[8][4] = { ... };
errconst[8] = { ... };

Für die Fixpunktiteration wird $\gamma_i=\beta_{ii}/\alpha_{ii}$ benötigt, abgespeichert in beta_div_alfa[8][5].

Für den Hindmarsh-Test und für die modifizierte Newton-Kantorovich Iteration wird meanbetalf[8] benötigt, als Mittelwert der $\gamma_i$. Die hier vorzunehmenden Änderungen hängen allein einzig von den verwendeten Formeln ab und sind offensichtlich.

Benötigen die Formeln zyklusfremde Ableitungen, wie dies beispielsweise bei den Formeln von Tischer (1983) (Dissertation) und Tischer/Sacks-Davis (1983) der Fall ist, bzw. sinngemäß bei den Adams-Formeln, so müssen adapthz() und newbdf() angepasst werden, damit diese Ableitungen für das neue Gitter bereitgestellt werden können.

Weiterhin muß in diesem Falle die Funktion actbdft() modifiziert werden, damit pro erfolgreichem Schritt eine entsprechende Differenzentabelle für die Ableitungen mit aufgebaut wird. Diese Änderungen, die über das reine Ändern von Konstanten hinaus gehen, sind durch entsprechende Kommentare im Programm gekennzeichnet. U.U. ist auch mehr Speicherplatz bereitzustellen.

2. Schreibweise. Nicht mehr ganz so offensichtlich sind die Änderungen für die neuen Formelpaare selber. Hierzu folgen nun Beispiele, wie anhand konkreter Formeln entsprechende Werte gesetzt werden müssen. Es ist zu beachten, daß die einzusetzenden Konstanten vom verwendeten Prädiktor abhängen. Hierzu beobachtet man die folgenden Relationen.

Zur notationellen Vereinfachung sei die Funktion $f$ in autonomer Schreibweise angenommen, und es sei abkürzend geschrieben $z = hf(y).$ Die zugrunde liegende Mehrschrittformel laute

Mit

erhält man für den Wert $z_{n+1}$ dann

insbesondere

Dies ist die ganz zentrale und entscheidende Formel.

Bei den weiteren Überlegungen wird diese Formel immer wieder auftauchen. Es gilt $z_{n+1}^0$ zu bestimmen, dabei sollen für $y$ rückwärtsgenommene Differenzen verwendet werden.

Der Wert $\psi$ sammelt bei einem linearen Mehrschrittverfahren alle schon vorher berechneten Terme auf, es ist also

Berücksichtigt man die Stelle der Stufe innerhalb des Zykluses, so hätte man zu schreiben

Zur Schreibvereinfachung seien Indizes unterdrückt, solange dies nicht zu Mißverständnissen führen kann.

Weiter sei zur Vereinfachung der Schreibweise folgende Vereinbarung eingeführt. Der Term $\psi$, der also die vergangenen Werte der $y_i$ und $z_i$ enthält, wird weiter aufgespalten in die beiden Summanden $\psi_y$ und $\psi_z$, wobei $\psi_y$ die Summe der vergangenen $y_i$ Werte enthält und $\psi_z$ diejenigen Werte für $z_i$.

Z.B. ist für das implizite Euler-Verfahren $\psi_y=y_n$ und $\psi_z=0$.

Es folgen nun eine Reihe von Beispielen, die einem das Gefühl vermitteln, welche Rechnungen durchzuführen sind und wie diese konkret aussehen. Dabei werden auch nebenbei einige praktische Hinweise gegeben.

3. Beispiel für Ordnung 1: Für das implizite Euler-Verfahren

mit dem expliziten Euler-Verfahren $y^0_{n+1}=y_n+z_n$ als Prädiktor ergibt sich

4. Beispiel für Ordnung 2: Bei dem Zyklus zweiter Ordnung, bei dem alle Stufen untereinander gleich sind und zwar gleich der BDF2, gehen die Rechnungen wie folgt vor sich. Die BDF2 lautet

und der Prädiktor sei

Es ist also $\gamma=2/3$, und damit rechnet man

Die führende Stelle ist hier natürlich wieder $p/\gamma$. Der Anteil mit $y$ in $z^0_{n+1}$ wird umgeformt in die Darstellung mit Hilfe rückwärtsgenommener Differenzen durch

5. Beispiel für Ordnung 3: Für die erste Stufe im Zyklus der Ordnung $p=3$, also BDF3, mit

und dem Prädiktor

ergibt sich mit $\psi=\psi_y$ und $p/\gamma=11/2$

Schließlich ergibt die Umrechnung in die Darstellung mit Hilfe rückwärtsgenommener Differenzen

6. Beispiel für Ordnung 4: Die erste Stufe im Zyklus der Ordnung $p=4$ lautet

welches natürlich gerade die BDF4 ist. Hierbei ist der Wert $\gamma$ definiert durch

$\psi_z$ ist Null. In anderer Formulierung läßt sich die obige Formel also schreiben zu

Mit $z_{n+1}^0 = (y_{n+1}^0-\psi)/\gamma$ und dem Prädiktor für $y_{n+1}^0$ zu

ergibt sich jetzt zunächst für den Anteil mit $z$-Werten der entsprechende Prädiktorwert für $z_{n+1}^0$ zu

also, wie zu erwarten, der Wert $p/\gamma$, aufgrund der speziellen Wahl des Prädiktors für $y$. Dieser Wert, also $25/3$, wird nun abgespeichert in dem Vektor zpredbeta[3][0][0]. Für den Anteil mit $y$ erhält man mit der gleichen Überlegung

Dieser Wert muß jetzt noch in die Darstellung der rückwärtsgenommenen Differenzen umgeformt werden.

Zwischen der Darstellung in Ordinatendarstellung und Darstellung in Form rückwärtsgenommener Differenzen herrscht der Zusammenhang $Y=\hat P\nabla Y$, oder ausgeschrieben

Mit dieser Beziehung berechnet man nun, mit den Vektoren

und der Gleichungskette

schließlich den Wert $\tilde\alpha$ einfach durch $\tilde\alpha=\hat P^\top\alpha$, also

Dieser Wert wird dann auch tatsächlich abgespeichert. Die einzige Erklärung, die jetzt noch verbleibt zu geben, ist, daß aufgrund der Konsistenz des Prädiktors mindestens der Ordnung $p=1$, die oberste Komponente immer Null sein muß, wegen der speziellen Beschaffenheit der Matrix $\hat P^\top$, nämlich der zuobersten “Einerzeile” wie bei der Konsistenzmatrix $C_{p,k}$. Mit den offensichtlichen Vereinfachungen, werden diese Rechnungen am besten mit Formelmanipulationssystemen durchgeführt.

In der Sprache muMATH z.B. würde man eingeben

AS: P.(Y-PSIY)/GAMMA;

7. Beispiel für Ordnung 6: Die zweite Stufe im Zyklus der Ordnung $p=6$ lautet

Der Prädiktor für diese Stufe mit entsprechender Konsistenzordnung ist

Es ist also $\gamma=1200/2930$ und $\psi_z=-60/2930\cdot z_n$. Der Anteil mit $z$ für den Prädiktor $z^0_{n+1}$ ist somit

und für den Anteil mit $y$ erhält man

Umrechnung dieses Wertes in Form von rückwärtsgenommenen Differenzen liefert

8. Zyklusfremde Näherungen. Bei den Formeln von Tendler, siehe auch Tendler (1973), sind die Formeln für $p\le 3$ stets von der Gestalt

und für $p\ge 4$:

Also die zyklischen Formeln benutzen keine zyklusfremden Näherungen für Ableitungen. Die verwendeten Ableitungen stammen sämtlich aus dem aktuellen Zyklus. Die Prädiktoren für alle Ordnungen benutzen nur eine einzige Ableitung aus dem vorhergehenden Zyklus und zwar die letztmögliche Ableitungsnäherung. Diese spezielle Wahl der Matrizen $B_i$ hat nun entscheidende Konsequenzen: Ist das Verfahren $A[\alpha]$- bzw. $S[\delta]$-stabil, so ist es automatisch auch $A_\infty^0[\alpha]$- bzw. $S_\infty^0[\delta]$-stabil.

I.d.S. sind also die Formeln von J.M. Tendler die natürliche Verallgemeinerung der BDF. Dieser Automatismus ist ein äußerst einfacher Weg zur Sicherstellung von $A_\infty^0[\alpha]$- bzw. $S_\infty^0[\delta]$-Stabilität.

Von mindestens ebenso großen Nutzen ist der enorme rechnerische, speicherplatzmässige und programmiermässige Vorteil. Die innerhalb eines Zykluses generierten Näherungswerte für die Ableitungen können nach Beendigung des Zykluses einfach vergessen werden, also überschrieben werden und vielmehr: Sie bedürfen keinerlei Aktualisierungsaufwand, wie beispielsweise die rückwärtsgenommenen Differenzen der $y$-Werte. Jede neuberechnete Stufennäherung innerhalb eines Zykluses fügt einen weiteren $y$-Wert hinzu und daher muß die Differenzentabelle im Speicher um eine Spalte erweitert werden. Dies sind die Werte $\nabla y, \nabla^2y, \ldots, \nabla^py$. Dieser Rechenaufwand entfällt völlig für die Ableitungsnäherungen bei den Formeln von Tendler (1973), insbesondere bei den BDF, wenn man sie in der Darstellung rückwärtsgenommener Differenzen o.ä. programmiert.

Von weiterem großen Vorteil ist aber nicht nur der verringerte Aktualisierungsaufwand pro Schritt, sondern der halbierte Aufwand bei der Interpolation von Zwischengitterpunkten bei einem Schrittweitenwechsel. Benötigt nämlich die Formel zyklusfremde Ableitungswerte, so sind natürlich auch diese auf einem neuen Gitter zur Verfügung zu stellen. Genau dies ist eine der Aufgaben der Differenzentabelle. Man könnte zwar auch daran denken ohne Differenzentabelle zu interpolieren, jedoch ist eine mehrfache Interpolation erforderlich, sodaß sich eine Differenzentabelle besonders anbietet. Diese Differenzentabelle für die Ableitungen belegt aber nicht nur zusätzlichen Speicherplatz, benötigt zusätzliche Rechenzeit, sondern läßt sich auch nicht so einfach vermeiden, da bei einer Schrittweitenverkleinerung auf jeden Fall interpoliert werden muß.

Eine Schrittweitenverkleinerung kann nach jeder Stufe vonnöten sein, je nach dem wie man die Fehlerkontrolle organisiert hat. Die Summe dieser Nachteile, falls also $B_0\ne0$ bzw. $\left|B_0\right|^2+\left|B_1\right|^2\ne0$, kann nur dann aufgewogen werden, wenn die Stabilitäts- und Fehlereigenschaften neuer Formeln signifikant besser sind, als diejenigen von Tendler (1973). Die Formeln von Tischer (1983) (Dissertation) und Tischer/Sacks-Davis (1983) sind auch tatsächlich keine Verallgemeinerung der BDF. Bei diesen zweistufigen zyklischen Verfahren sind die $B_i\ne0$ ($i$ geeignet).

4. Speicherung des Prädiktors im Programm TENDLER

Pointers have been lumped with the goto statement as a marvelous way to create impossible-to-understand programs. This is certainly true when they are used carelessly, and it is easy to create pointers that point somewhere unexpected. With discipline, however, pointers can also be used to achieve clarity and simplicity. This is the aspect that we will try to illustrate.

B.W. Kernighan, D.M. Ritchie (1978)

Da für den nicht-steifen Falle, also im Programm TENDLER bei Picard Iteration, eine Prädiktorformel sinnvoll ist, wurde dieses Vorgehen sinngemäß übertragen für den steifen Fall, also im Programm TENDLER Verwendung eines modifizierten Newton-Kantorovich Iterationsverfahren. Also, sowohl im steifen als auch im nicht-steifen Modus werden die gleichen Prädiktorformeln verwendet.

1. Prädiktor für $y$. Die Variable ypred[][] ist als static real ypred[7][7] definiert. Vorbesetzt wird sie mit den Werten der expliziten BDF. Diese Werte werden niemals im Programm verändert. Im Sine von C++ sind sie also static const real.

Für die Initialisierung der Konstanten zpredalfa[][][] und zpredbeta[][][] ist folgendes zu beachten. Die Einträge liegen dabei “linksbündig” vor, da sie ja später bei einer Matrix-Vektor-Multiplikation mit der Matrix

gebraucht werden.

Es sei daran erinnert, daß die rückwärtsgenommene Differenz $(p-1)$-ter Ordnung insgesamt $p$ Werte benutzt.

Die Bedeutung der Indizes für $\mathtt{zpredalfa[}p\mathtt{][}\ell\mathtt{][}i\mathtt{]}$ ist nun:

1. $p$ für die Ordnung des augenblicklich benutzten Verfahrens,
2. $\ell$ für die Stufe und
3. $i$ für den $i$-ten Koeffizienten des Verfahrens.

2. Prädiktor für $z$. Die Variable zpredalfa[][][] ist definiert als static real zpredalfa[7][4][6] und verhält sich in ihrem Zugriff wie die Variable ypred[][].

Ein Stern * deutet an, daß hier ein Wert gesetzt wird, der als unmöglich erkannt wird, falls diese Speicherstelle dennoch angesprochen wird, zumindestens im DEBUG Modus.

Der Wert für $\nabla^0y$ braucht natürlich nicht abgespeichert werden, da er aufgrund der Konsistenz des Prädiktors verschwindet.

Ordnung 1: Für zpredalfa[0][][] wird nun die folgende konstante Matrix fest abgelegt:

Ordnung 2: Die Matrix zpredalfa[1][][] enthält die Teilmatrix:

Ordnung 3: Für zpredalfa[2][][] werden die Konstanten wie folgt gesetzt:

Ordnung 4: Für zpredalfa[3][][] die Werte:

Ordnung 5: zpredalfa[4][][]

Ordnung 6: Für zpredalfa[5][][] werden besetzt:

Ordnung 7: Schließlich für zpredalfa[6][][] werden die folgenden Werte in die Teilmatrix hineingeschrieben.

3. Es folgt nun die Variable zpredbeta[][][] definiert zu

static real zpredbeta[7][4][4];

Die Reihenfolge der Indizes ist wie bei der Variablen zpredalfa[][][].

Die Variable zpredbeta[][][] ist wie folgt initialisiert.

Ordnung 1: zpredbeta[0][][]

Ordnung 2: zpredbeta[1][][]

Ordnung 3: zpredbeta[2][][]

Ordnung 4: zpredbeta[3][][]

Ordnung 5: zpredbeta[4][][]

Ordnung 6 zpredbeta[5][][]

Ordnung 7: zpredbeta[6][][]

1. TENDLER: 1. Grobaufbau und prinzipielle Überlegungen
2. TENDLER: 2. Benutzung des Programmes
3. TENDLER: 3. Der Prädiktor
4. TENDLER: 4. Die Korrektoriteration
5. TENDLER: 5. Die Fehlerkontrolle

• 1. Definition der Differentialgleichung
• 2. Lösung der Differentialgleichung
• 3. Extras

Das Programm TENDLER dient zur näherungsweisen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung und zwar von Anfangswertproblemen. Differentialgleichungen höherer Ordnung lassen sich leicht in Gleichungen erster Ordnung überführen durch Anhebung der Dimension. I.a. werden die vom Programm TENDLER gelieferten Näherungswerte “etwas ungenauer” sein, als eingebaute Funktionen, wie z.B. $\sin$, $\cos$, etc. I.a. werden dafür auch Lösungen schneller berechnet. Z.B. die Differentialgleichung, welche $\sin$ und $\cos$ als Lösung besitzt, kann schneller gelöst werden, als die mehrfache Auswertung der eingebauten Sinus- und Kosinusfunktion. Dies ist beispielsweise interessant für graphische Anwendungen. Diese Ausführungen sollten allerdings nur als grober Hinweis angesehen werden.

Herkömmliche Löser, wie z.B. LSODE, DE/STEP, u.s.w., offerieren dem Benutzer letztlich ein einziges Unterprogramm, welches wiederholt aufgerufen wird. Dieses eine Unterprogramm wird dann durch eine Vielzahl von Parametern gesteuert. Bei dem Programm TENDLER ist dies anders. In CVODE ist dies auch anders. Definition eines Problems und Lösung desselben werden beim Programm TENDLER auch als solches unterschiedlich behandelt. Also für jeden Bereich existiert auch ein separates Unterprogramm, welches demzufolge weitaus weniger Parameter enthält. Dies hat weitreichende Folgen. Zum einen ist diese Vorgehensweise etwas effizienter (weniger Rechenzeit) und zum anderen ist diese Vorgehensweise für den Anwender auch wesentlich bequemer.

Das Programm TENDLER liefert lediglich Näherungswerte für die exakte Lösung des Anfangswertproblems. Eine Garantie, daß die Lösung bis auf Maschinengenauigkeit exakt berechnet wird, kann nicht gegeben werden. Die Programme LSODE, CVODE, DE/STEP, etc., versprechen dies übrigens auch nicht.

Sämtliche TENDLER Unterprogramme fangen mit dem Präfix tdl an.

1. Definition der Differentialgleichung

1. Zweck. Das Programm TENDLER dient in der augenblicklichen Fassung zur Lösung von

Dabei ist zu fordern, daß $f$ mindestens acht Mal stetig differenzierbar ist. Bei unstetigen rechten Seiten kann es zu Schwierigkeiten kommen. Für unstetige $f$, für Randwertaufgaben, für partielle Differentialgleichungen, für stochastische Differentialgleichungen ist das Programm TENDLER nicht direkt einsetzbar.

1. Bei Unstetigkeiten zweiter Art (Sprüngen) kann man sich, wenn man weiß wo die Sprungstellen liegen, u.U. dadurch behelfen, daß man den Löser bei den Sprungstellen neu startet.
2. Für Randwertaufgaben kann man das Programm TENDLER als Unterprogramm in einem Mehrfachschießverfahren einsetzen.
3. Gewisse partielle Differentialgleichungen lassen sich durch Diskretisierung umformulieren zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung, entweder als Rand- oder aber als Anfangswertproblem.
4. Stochastische Differentialgleichung lassen sich u.U. durch wiederholtes Lösen angehen.

Die Erweiterung des Programmes TENDLER für die Behandlung von $g$-stop Problemen der Form

ist berücksichtigt, aber nicht eingebaut. Differentialgleichungsprobleme mit impliziter Zeitvorgabe werden gelegentlich auch $g$-stop Probleme genannt.

Das Programm TENDLER besteht aus mehr als 100 Unterprogrammen. Davon sind jedoch nur ein Teil für den Anwender i.d.R. direkt von Interesse. Dies sind maßgeblich tdldefsys(), tdldefivp() und tdlundefsys() zur An- und Abmeldung eines Anfangswertproblems. Die C-Prototypen hierzu befinden sich in "ode.h".

2. dd = tdldefsys (n, func, jac, m, g) :

1. n ist die Dimension der Differentialgleichung.
2. func ist der Name des Unterprogrammes zur Berechnung der Funktion $f$.
3. jac ist der Name des Unterprogrammes zur Berechnung der Jacobimatrix $f_y$.
4. m ist $m$ bei $g$, und g ist das Unterprogramm für die Berechnung von $g$.

tdldefsys() dient also zur Definition der Differentialgleichung ohne die Anfangswerte. Intern wird Speicherplatz via calloc() reserviert.

Der zurückgelieferte Wert dd dient im weiteren zur Identifikation des Problems, differential equation descriptor. Jetzt wird auch ersichtlich, warum es so einfach ist, beliebig viele Differentialgleichungen gleichzeitig zu lösen.

Man würde wie folgt vorgehen:

Wenn die Jacobimatrix nicht berechnet werden soll oder kann (man vgl. z.B. NC5, nonstiff C5), so übergibt man nojac, also

dd = tdldefsys(n, f, nojac, m, g);

Da z.Z. keine $g$-stop Probleme gelöst werden können, muß $m$ immer Null und $g$ auf jeden Fall nogstop sein, also

dd = tdldefsys(n, f, J, 0, nogstop);

Ist $m\ne0$ und/oder $g\ne\mathtt{nogstop}$, so erzeugt die augenblickliche Fassung des Programmes TENDLER eine Fehlermeldung. Durch eine Fehlspezifikation werden also niemals falsche Werte erzeugt.

$n$ und $f$ müssen immer angegeben werden. Inkorrekt wäre also

dd = tdldefsys(n, NULL, J, 0, nogstop);    /* wrong */

Gute Übersetzer würden dies auch schon anhand der Prototypen erkennen.

3. tdldefivp (dd, a, b, y0) :

1. dd ist die obige Identifzierung um welche Differentialgleichung es sich handelt.
2. a und b sind Integrationsgrenzen und y0 der Anfangswertvektor.
3. a ist $a$.
4. b ist an für sich unerheblich.

Es dient lediglich dazu, den Größenordnungsbereich und die Integrationsrichtung (links oder rechts) anzugeben. Es darf über b hinaus integriert werden. Umgekehrt muß b auch nicht unbedingt erreicht werden. Intern wird b zur Berechnung einer Anfangs- und Maximalschrittweite benutzt. Zum Schalten wird b nicht benutzt. Es ist möglich und auch effizient, bei einer Differentialgleichung, aber mehreren verschiedenen Anfangswerten, das Unterprogramm tdldefivp() mehrfach aufzurufen, z.B. im Rahmen eines Schießverfahrens. tdldefsys() wird hierzu nicht benötigt.

4. tdlundefsys (dd) : Dies ist das Gegenstück zu tdldefsys(). Es meldet die Kennung dd ab, insbesondere wird der belegte Speicherplatz wieder frei gegeben. Die Funktion tdlundefsys() ruft hierzu free() auf.

Das Aufrufen von tdlundefsys() kann entfallen, wenn nur eine Differentialgleichung gelöst wird und anschließend im Hauptprogramm nichts weiter berechnet wird. Dies ist eine Eigenschaft von calloc() und free() und wird nicht durch das Programm TENDLER erzwungen.

tdlundefsys() ist eigentlich nur bei großdimensionalen Problemen wirklich interessant. tdldefsys() und tdlundefsys() entsprechen in ihrer Funktionalität in etwa fopen() und fclose().

2. Lösung der Differentialgleichung

Bisher wurde lediglich das Problem definiert, also noch kein einziger Wert berechnet. Es könnte so aussehen, als hätte das Programm TENDLER bisher nichts Sinnvolles geleistet. In Wirklichkeit wurden die Daten auf Fehlerfreiheit und innere Konsistenz untersucht und intern eine Reihe von Voreinstellungen wirksam. Nun sollen tatsächlich Näherungen berechnet werden. Es gibt hier zwei Möglichkeiten.

1. Die Punkte $t_i$, an denen Näherungen ausgegeben werden sollen, sind vom Benutzer vorgegeben. Hierzu dient tdlsolve().
2. Die Gitterpunkte $t_i$ werden vom Programm TENDLER gewählt. Hierzu dienen tdlmeagersol() (“Magerstufe”) und tdlautosol().

1. y = tdlsolve (dd, t) :

1. dd ist w.o. die Kennung (differential equation descriptor), und
2. t ist ein beliebiger Wert, an dem die Lösung gesucht wird.

Zurückgeliefert wird ein Vektor $y\in\mathbb{R}^n$. Wünscht man an der Stelle $t=\pi$ einen Näherungswert, so schriebe man

y = tdlsolve(dd,3.141592653589793238462643383279502884197);

Bei zwei voneinander unabhängigen Gleichungen $y_1$ und $y_2$ schriebe man

Der Wert $t=a$ ist zulässig, ebenso $t>b>a$ (analog: $t<b<a$). tdlsolve() entspricht in seiner Funktionalität in etwa fgetc().

2. y = tdlmeagersol (dd, &t) :

1. Genau wie tdlsolve(), bloß, daß in t ein vom Programm TENDLER erzeugter Gitterpunkt übergeben wird.
2. In y befindet sich wiederum der Lösungsvektor $\in\mathbb{R}^n$. Die vom Programm TENDLER gewählten Gitterpunkte brauchen nicht äquidistant zu sein.

Die Funktion tdlmeagersol() ist nützlich, wenn man über die Lösung, außer ihrer Existenz, nichts weiter weiß. Beispielsweise ist für die Sinuskurve auf $\left[0,100\pi\right]$ ein Gitter $0,\pi,2\pi,3\pi,\ldots$ i.a. nicht so interessant. Dies weiß man häufig allerdings erst nach der Lösung einer Differentialgleichung. Der erste von tdlmeagersol() zurückgegebene Wert ist nicht $y_0$ und $t\ne a$.

3. y = tdlautosol (dd, &t) : Genau wie tdlmeagersol(). Das Gitter liegt nur enger, ist i.a. auch wieder nicht äquidistant. tdlautosol() ist gut geeignet für Plotten. tdlmeagersol() wiederum ist besser geeignet für zahlenmässiges Drucken. Die von den Funktionen tdlsolve(), tdlmeagersol() und tdlautosol() zurückgegebenen Vektoren können zwischen Aufrufen dieser Funktionen beliebig überschrieben werden. Will man jedoch einen Vektor über mehrere Aufrufe hinweg speichern, so muß man den Vektor puffern, da das Programm TENDLER diesen Vektor u.U. überschreiben kann.

4. Mit den bisher beschriebenen Routinen tdldefsys(), tdldefivp() und tdlsolve(), lässt sich ein Großteil von Differentialgleichungen lösen. Bei diesen Routinen wurde nur das an Angaben verlangt, was das mathematische Problem beschreibt. Interessant ist hierbei, daß dies unabhängig von der verwendeten Lösungsmethode ist, hier zyklischen Mehrschrittverfahren. Ein Programm basierend auf Runge-Kutta Formeln könnte man mit völlig gleichlautenden Unterprogrammen genauso aufrufen. Von Dingen wie Anfangsschrittweite, Steifheit, Speicherplatzbedarf, etc., wurde der Benutzer entlastet. Es ist möglich, daß die Genauigkeit, die das Programm TENDLER liefert, zu hoch ist, also man letztlich daran interessiert ist, die Rechengeschwindigkeit zu erhöhen. Umgekehrt kann die gelieferte Genauigkeit zu gering sein. Eine Anhebung der Genauigkeit ist prinzipiell möglich. Es gibt weitere Unterprogramme im Programm TENDLER, mit denen sich dies bewerkstelligen lässt. Zuvor jedoch ein vollständiges Beispiel in ANSI C.

5. Beispiel: Zu lösen sei $\dot y=-y$, $y(0)=1$. Die Funktion $f(t,y)=-y$ ist

int f (double t, double y[], double ydot[])  {
    ydot[0] = -y[0];
}

Gute Übersetzer, oder lint, werden eine Warnung ausgeben, daß in f der Parameter t nicht benutzt wird und kein Rückgabewert explizit übergeben wird. Diese Warnungen können in diesem Falle natürlich ignoriert werden. Gesucht sei $y(2)$.

#include <stdio.h>      /* für printf() */
#include "ode.h"        /* für tdldefsys(), tdldefivp(), tdlsolve(), nojac, nogstop */

int main (void) {
    double *y, yi[]={1.0};
    void *dd = tdldefsys (1, f, nojac, 0, nogstop);

    tdldefivp (dd, 0.0, 3.0, yi);
    y = tdlsolve (dd, 2.0);
    printf ("%e\n", y[0]);
    return 0;
}

Der Wert 3 bei tdldefivp() ist im großen und ganzen willkürlich. Der Wert 0.5 wäre hier ebenfalls akzeptabel gewesen.

Ganz allgemein haben die Funktionen func und jac in ANSI C das Aussehen

int func (double t, double y[], double ydot[]);

bzw.

int jac (double t, double y[], double J[]);

Tatsächlich ist J[] und nicht J[][] anzugeben!

Die Elemente von $J$, also $J_{ik}$, sind spaltenweise in J[] abzulegen, d.h.

bzw.

Diese Form der Speicherung ist nicht die standardmäßige Speicherungsform für C Matrizen! Vielmehr entspricht sie der Speicherung wie sie in Fortran üblich ist.

6. Beispiel: Für die lineare Differentialgleichung

würde man jac wie folgt programmieren:

int jac (double t, double y[], double J[]) {
    J[0] = J[3] = -10,  J[1] = -α, J[2] = α;
}

Auch hier wäre eine Warnung bzgl. t, y[] und des Rückgabewertes ignorierbar. Ggf. würde man vor den Zuweisungen noch einfügen:

static int loaded = 0;
if (loaded) return;
loaded = 1;

3. Extras

1. Der erfahrene Benutzer wird ggf. wünschen die Genauigkeitsanforderung für den lokalen Fehler, die Maximalordnung, die Anfangsschrittweite, die Maximalschrittweite, etc., selber bereitzustellen. Dies ist möglich. Hierzu dienen die Unterprogramme tdlsetaccuracy(), tdlsetstep() und tdlsetmodes(). Die Parameterlisten erklären hinreichend, was gesetzt wird:

1. tdlsetaccuracy (dd, tol, ordmax, nfemax),
2. tdlsetstep (dd, minh, maxh, nexth),
3. tdlsetmodes (dd, jacm, iterm, printmode, errcm).

I.a. wird lediglich tdlsetaccuracy() aufgerufen und zwar in der Form

tdlsetaccuracy (dd, newtol, AUTO_SELECT, AUTO_SELECT);

Die anderen Optionen, die durch tdlsetstep() und tdlsetmodes() verändert werden können, erhalten durch das Programm TENDLER Vorbesetzungen, die es sich i.a. nicht lohnt zu ändern.

Ist $f$ lediglich $k$-mal stetig differenzierbar, so ist eine Begrenzung der Maximalordnung auf $k-1$ anzuraten, wobei hier

Eine Begrenzung der Maximalordnung ordmax empfiehlt sich u.U. auch dann, wenn man Kenntnis vom maximal zulässigen Widlund-Winkel besitzt, was bei linearen, zeitinvarianten Differentialgleichungen nicht gänzlich ungewöhnlich wäre.

Diese Unterprogramme sollten i.a. nach tdldefivp() verwendet werden. Sie können zwischen Aufrufen von tdlsolve() oder tdlmeagersol()/tdlautosol() beliebig oft, in beliebiger Reihenfolge aufgerufen werden. I.a. ist dies nicht ratsam, es sei denn, man hat bereits einen sehr detaillierten Kenntnisstand über den Lösungsverlauf.

Übliche Werte

1. für die Toleranz sind $10^{-4}$ bis $10^{-12}$,
2. für die Maximalordnung 3 bis 5,
3. für die maximale Anzahl der Funktionsauswertungen 1000–30000.

Minimale und maximale Schrittweite hängen von $t$ ab. Bei einem Integrationsintervall von $10^{30}$ bis $10^{60}$ ist minh=$10^3$ als sehr klein zu betrachten.

Überhaupt sind diese Einstellungen abhängig von der zu lösenden Differentialgleichung.

Für tdlsetaccuracy() ist $\mathtt{tol}>0$ und $1\le\mathtt{ordmax}\le7$ einzuhalten.

Für tdlsetstep() muß gelten

tdlsetmodes() ist unterteilt in Exklusivoptionen und Inklusivoptionen. Die Exklusivoptionen sind aus den Wertemengen

und für die Inklusivoptionen muß gelten

Exklusivoptionen sind Schaltervariablen, die nur einen der angegebenen Werte annehmen können. iterm=MNI und gleichzeitig iterm=FIX ist unzulässig.

Eine suggestive Bedeutungsbeschreibung für Inklusivoptionen lautet: Inklusivoptionen sind Schaltervariablen, die mehrere Werte gleichzeitig inne haben können.

Beispielsweise ist printmode=PMSSOC und gleichzeitig printmode=PMERREX zulässig und sinnvoll.

Genauer: Inklusivoptionen sind Teilmengen aus der Potenzmenge der o.a. angegebenen Menge, also mengenwertige Schaltervariablen.

2. Mit dem Unterprogramm tdlsetaccuracy() lässt sich leicht eine Schätzung des globalen Fehlers realisieren, durch Vergleich von Lösungen berechnet mit verschiedenen Genauigkeiten.

Man definiert sich zwei Kennungen für eine einzige Differentialgleichung: $g$ (genau) und $u$ (ungenau). Man programmiert

Es sei hierbei $\varepsilon_g < \varepsilon_u$.

Man löst somit die Differentialgleichung $\dot y=f(t,y)$, $y(a)=y_0$ zweimal:

1. einmal mit der Genauigkeit $\varepsilon_g$ und
2. einmal mit $\varepsilon_u$.

Der Vorteil ein und dieselbe Differentialgleichung zweimal gleichzeitig zu lösen, liegt darin, daß man nun sehr leicht die Abweichung berechnen kann, nämlich durch Berechnen der Normdifferenz der beiden Vektoren

Würde man die Differentialgleichung zweimal hintereinander lösen, so fielen Pufferungsprobleme an. I.a. wird die Lösung korrespondierend zu $\varepsilon_g$ genauer sein. Allerdings insbesondere bei sehr hohen Genauigkeitsanforderungen (Grenzgenauigkeit) bringt eine weitere Verkleinerung von $\varepsilon_g$ grundsätzlich keine weitere Steigerung der Genauigkeit. Diese Grenzgenauigkeit hängt von der Differentialgleichung ab und wird vom Programm TENDLER ständig berechnet um zu überprüfen, ob sie auch nicht unterschritten wird.

3. iterm dient dazu die Iterationsart fest vorzugeben, außer natürlich bei iterm=SWITCHING, wo es gerade erlaubt ist zu schalten. Dieses Fixieren auf eine Iterationsart kann nützlich sein, wenn man z.B. weiß, daß die Differentialgleichung nur schwach steif ist und es daher ratsam ist, eine der Iterationsarten FIX, FIXFLOAT, FIXPECE von vorneherein vorzugeben.

Es ist erlaubt, daß in tdldefsys() die Jacobimatrix angegeben wird, aber mit tdlsetmodes() numerische Differentiation vorgeschrieben wird. In gelegentlichen Fällen ist dies nützlich. Z.B. wenn die Jacobiamtrix, die in tdldefsys() übergeben, nicht die eigentliche Jacobimatrix $f_y$ ist, sondern eine geschickt gewählte Näherung hiervon, die darauf bedacht sein könnte, Bandstrukturen, Rechenvorteile, o.ä. auszunutzen. Mit der numerischen Differentiation kann man auf einem kurzen Intervall schnell überprüfen, ob die Näherungen mit exakter Jacobimatrix mit den Näherungen der abgekürzten Jacobimatrix hinreichend übereinstimmen. Wie man erkennt, ist dies ein sehr spezieller Fall.

4. Statistiken lassen sich erzeugen durch den Aufruf von tdlprtstat(dd). Die Ausgabe der Statistiken ist in mehrere Abschnitte eingeteilt.

Ein Dump wird durch tdldddump(dd) erzeugt.

Für den sehr an Details interessierten Benutzer ist folgende Information möglicherweise interessant:

1. Es ist zulässig und sinnvoll ptdlrtstat() bzw. dtdlddump() aufzurufen, aber in tdlprintmode die Schalterstellungen PMSTAT bzw. PMDUMP zu deaktivieren. Es werden dann keine Statistiken bzw. es wird kein Dump gedruckt.
2. Sobald die Kennung dd mit tdldefsys() erlangt wurde, kann zu jeder Zeit tdlprtstat() aufgerufen werden. Interessant sind diese Daten i.a. nur am Ende einer Integration.

Die Statistiken sind für jede Kennung verschieden und völlig unabhängig voneinander. Dies gilt auch für die Schaltervariablen, ob Inklusiv- oder Exklusivoptionen. Bei dem obigen Beispiel der simplen Schätzung des globalen Fehlers mit Hilfe von $g$ und $u$, werden, falls gewünscht, zwei verschiedene Statistiken ausgegeben. Man erkennt dann, daß i.a. die Berechnung von $g$ aufwendiger ist, d.h. es werden i.d.R. mehr Funktionsauswertungen, Jacobimatrixauswertungen, $LU$-Zerlegungen, etc., durchgeführt.

1. TENDLER: 1. Grobaufbau und prinzipielle Überlegungen
2. TENDLER: 2. Benutzung des Programmes
3. TENDLER: 3. Der Prädiktor
4. TENDLER: 4. Die Korrektoriteration
5. TENDLER: 5. Die Fehlerkontrolle

• 1. Die Sprache C
• 2. Objektorientierte Programmierung
• 3. Evolution von Differentialgleichungslösern
• 4. Statische und dynamische Organisation des Programmes TENDLER
• 5. Programmrealisierungen von Mehrschrittformeln
• 6. Speicherplatzaufwand bei Mehrschrittformeln

In the late 1960's we witnessed a “software crisis”, which many people thought was paradoxical because programming was supposed to be so easy. As a result, people are now beginning to renounce every feature of programming that has become guilty by association with difficulties; not only goto statements are being questioned, but we also hear complaints about floating-point calculations, global variables, semaphores, pointer variables, even assignment statements. Soon we might be restricted to only a dozen or so programs that are sufficiently simple as to be allowable; then we will be almost certain that these programs cannot lead us into trouble, but of course we won't be able to solve many problems. $\ldots$ and I do consider assignment statements and pointer variables to be among computer science's “most valuable treasures”.

D.E. Knuth (1974)

C procides the infinitely abusable goto statement, and labels to branch to. Formally, the goto is never necessary, and in practise it is almost easy to write code without it. We have not used goto in this book.

B.W. Kernighan, D.M. Ritchie (1978)

Hier werden zuerst einige Eigenschaften der Sprache C in tabellarischer Form aufgelistet um das Verständnis weiterer Abschnitte zu erleichtern. Auch ein sehr kurzer Überlick über den Entstehungsverlauf moderner Löser für gewöhnliche Differentialgleichungen wird angegeben. Anschliessend wird der grundsätzliche Aufbau des Programmes TENDLER beschrieben, welches auf zyklischen Formeln basiert. Der hier gegebene Überblick ist lediglich kursorisch, da erst in den folgenden Abschnitten genauer auf die Einzelheiten der verschiedenen Segmente eingegangen wird. Schließlich werden Analogien zu Regelsystemen aufgezeigt.

Differentialgleichungslöser benötigen nicht unerheblichen Speicherplatz zur Erfüllung der ihnen aufgetragenen Aufgaben. An dieser Stelle soll genauer aufgeschlüsselt werden wie sich der Speicherplatzbedarf ändert in Abhängigkeit von der Höchstordnung und der Anzahl der Stufen innerhalb eines Zykluses. Zugleich wirken die verschiedenen Datenorganisationen zurück auf die Effizienz mit der gewisse Operationen, die notgedrungen bei einer vollautomatischen Lösung anfallen, wie z.B. Interpolation, durchgeführt werden können. Zahlreiche Differentialgleichungslöser haben sich zu umfangreichen Programmpaketen entwickelt. Diese Entwicklung geschah nicht auf einen Schlag, sondern die Programme entwickelten sich immer stückchenweise weiter. Es ist aus diesem Grunde von Interesse zu beleuchten wie sich verschiedene Versionen eines Programmes unterscheiden.

Biographpisch.

1. Donald Ervin Knuth (*1938)
2. Brian Wilson Kernighan (*1942)
3. Dennis Mike Ritchie (1941–2011)
4. Bjarne Stroustrup (*1950)

1. Die Sprache C

C was chosen as the base language for C++ because it

1. is versatile, terse, and relatively low-level;
2. is adequate for most system programming tasks;
3. runs everywhere and on everything; and
4. fits into the UNIX programming environment.

B. Stroustrup (1986)

There are several morals to this story. First don't pick the most complex language to add nonstandard arithmetic to. Secondly, don't depend on compiler writers. Thirdly, develop the package so it can be adapted to other systems as easily as possible.

C.B. Dunham (1971)

Entwicklungssprache des Programmes TENDLER ist C.

Konzeptionell wurden jedoch zahlreiche Funktionen von der Sprache C++ beeinflußt.

Für die Sprache ist das Buch “The C Programming Language” von Kernighan/Ritchie (1988) maßgeblich. Die Sprache C++ wird beschrieben in dem Buch von Stroustrup (2013), erste Auflage von 1986.

Eine vergleichsweise ausführliche Bibliographie über UNIX und die Sprache C findet man in dem Übersichtsaufsatz von A.N. Maslov (1987).

Die Liste der reservierten Schlüsselwörter in der Sprache C und C++ lautet:

asm          auto       break        case        char
class(2)     const(1)   continue     default     delete(2)
do           double     else         enum(1)     extern
float        for        friend(2)    goto        if
inline(2)    int        long         new(2)      operator(2)
overload(2)  public(2)  register     return      short
sizeof       static     struct       switch      this(2)
typedef      union      unsigned     virtual(2)  void(1)
while

(1) nicht in oldstyle C
(2) nur in C++

Die Schlüsselwörter signed und volatile sind in C++ für spätere Versionen reserviert, sind aber augenblicklich undefiniert. Das Schlüsselwort entry wurde von oldstyle C für spätere Versionen reserviert, ist aber nicht benutzt. fortran ist bei einigen Übersetzern ebenfalls reserviert. asm ist in C++ reserviert, in C allerdings lediglich potentiell reserviert. In C ist u.U. noalias ebenfalls als Schlüsselwort reserviert. volatile ist in C reserviert, nicht jedoch in oldstyle C.

Gewisse nicht-graphische Zeichen können durch die folgenden Ersatzsymbolfolgen dargestellt werden.

Hiervon wird in sehr eingeschränktem Maße bei den Statistiken Gebrauch gemacht.

Wichtig ist ferner die Operatorenreihenfolge. Hierbei gilt: Unäre Operatoren und Zuweisungsoperatoren sind rechts-assoziativ, alle anderen sind links-assoziativ. D.h. a=b=c bedeutet a=(b=c), a+b+c bedeutet (a+b)+c, und *p++ bedeutet *(p++), keinesfalls (*p)++.

Die Vorrangregeln und die Reihenfolgen des Auswertens lauten wie nachstehend.

2. Objektorientierte Programmierung

The crew was about to go into this dump sequence when all four of our flight computer machines locked up and went “catatonic.” Had this been the real thing, the Shuttle would probably have had difficulty landing. $\ldots$ but there it was: Our machines all stopped. Our greatest fear had materialized---a generic software problem.

Jack F. Clemons (1984)

1. Nicht nur bei interaktiven Programmen, häufig unter Umgebungen mit graphischer Oberfläche, sondern auch bei anderen komplizierteren Software-Systemen ist das Prinzip der objektorientierten Programmierung sehr nützlich. Als Beispiel sei das Programm TENDLER angeführt. Hier gibt es eine Fülle von Anwendungsmöglichkeiten, von denen hier einige genannt werden sollen. Von Funktionszeigern wird schon jetzt sehr stark Gebrauch gemacht, nämlich bei der Auswahl der Iterationsarten, bei der Steuerung des Hauptprogrammes und natürlich bei den Aufrufen der Funktion und der Jacobimatrix.

Die objektorientierte Sichtweise für die Korrektoriteration:

1. Daten: Jacobimatrix $J$, Iterationsmatrix $W$, Startiterationswert $y^0$
2. Operation: Lieferung einer Näherung $y^\nu$ für $y^*$, mit $y^*=h\gamma f(y^*)+\psi$
3. Nebenindikatoren: Versagen, fehlerhafte Eingaben, Schaltinformation

Ausführung in Pseudo-C++. Drei Punkte “...” heißt in diesem Falle nicht variable Anzahl an Argumenten, sondern deutet hier lediglich nicht weiter interessierende Programmteile an.

class correct {
    real *rw,   // Iterationsmatrix $W=I-h\gamma J$
         *rj;   // Jacobimatrix $J$
    index* intpivot;
    friend ecfunc(...);  // ...
    // ...
public:
    iwtype setconv(...,itr);
    virtual itfunc(...,real tau);
    // ...
    correct(...);   // Konstruktor
    ~correct(...);  // Destruktor
};

Zu beachten ist, daß ein anderer Programmierstil die Probleme nicht selbstständig löst, mag der Programmierstil auch noch so neumodisch klingen. Ein neues Programmierparadigma ermöglicht jedoch u.U. eine bessere und leichtverständlichere Gliederung des Programmes. Bei der objektorientierten Programmierung geht es maßgeblich um eine Gliederung und das Verdeutlichen einer übergreifenden Ordnung. Nicht selten jedoch werden die Programme auch erheblich kürzer.

Objektorientierte Sichweise für die Fehlerkontrolle und die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung:

1. Daten: Differenzentabelle (Differenzenmatrix) $(\nabla^0 y,{\mskip 3mu}\ldots,\nabla^{p+2}y)$ in unmodifizierter Darstellung oder modifizierte Darstellung in der Form $(\phi_1,{\mskip 3mu}\ldots,\phi_{p+2})$
2. Operationen: Aktualisierung der Differenzentabelle, Bereitstellen von Schätzwerten für die Ableitungen der Ordnung $p-1$, $p$ und $p+1$, Interpolation
3. Nebenindikatoren: Versagen, fehlerhafte Eingabe

Problem: Berücksichtigung von Statistiken. Zum einen könnte man sie als globale Variablen auffassen, oder aber besser man deklariert sie als friend aller wichtigen Klassen.

Ein alternativer Realisierungsvorschlag für die Korrektoriteration wäre beispielsweise:

class correct {
    friend ecfunc(...);  // ...
    // ...
public:
    iwtype setconv(..., int itr);
    // ...
    virtual itfunc(...);
    correct(...);
     correct(...);
};

Die abgeleitete Klasse kontrolliert den Zugriff auf $J$ und $W$, beispielsweise

class mni: public correct {
    real *rw, *rj;
    index* intpivot;
    // ...
public:
    itfunc(..., real tau);
    // ...
    mni(...);   // Konstruktor für mni
    ~mni(...);  // Destruktor für mni
}

2. Siehe Bjarne Stroustrup (2013). Worin besteht nun der Unterschied zwischen einer Klasse und einem Modul? Das Unsichtbarmachen von Daten und Operationen, und eine gegliederte Benutzerschnittstelle erhält man auch durch Module (in C und C++: files as module technique; in Modula: MODULE).

Eine Klasse ist ein Datentyp, im abstrakten Sinne. Um eine Klasse zu benutzen muß man eine Inkarnation der Klasse schaffen, also Objekte dieser Klasse erzeugen, sogenannte Instanzen. Man kann hierbei beliebig viele Objekte dieser Klasse erzeugen.

Im Gegensatz hierzu ist ein Modul selbst ein Objekt. Um ein Modul zu benutzen ist es lediglich zu initialisieren, allerdings gibt es dann auch nur ein einziges Objekt.

Durch Klassen wird eine Vielzweckverwendbarkeit erreicht, wie man sie mit Modulen nicht erreichen kann.

Z.B. in einem Übersetzer, in dem man sich eine Klasse deklariert hat, welche eine Symboltabelle implementiert, kann man sich danach beliebig viele Symboltabellen durch Definition erzeugen: eine für globale Variablen, eine für Schlüsselwörter, eine für lokale Variablen, u.s.f. Die ringzyklische Liste für $(\nabla^iy)_i$ und für $z=hf$ ließen sich gut als abgeleitete Klasse einer generischen, zyklischen Ringliste darstellen. Dies als primitives Beispiel.

3. Ein weiteres Beispiel für Klassen, abgeleitete Klassen und virtual functions bei interaktiven graphischen Arbeiten folgt im weiteren, man vgl. auch Stroustrup (2013). Es soll ein Programm geschrieben werden, welches geometrische Figuren auf dem Bildschirm darstellt. Die gemeinsamen Eigenschaften aller Figuren seien repräsentiert durch eine Klasse shape, und die den einzelnen Figuren inhärenten Eigenschaften sind in abgeleiteten Klassen abgelegt.

class shape {
    point center;
    color col;
    // ...
public:
    void move(point to) { center=to; draw(); }
    point where() { return center; }
    virtual void draw();
    virtual void rotate(int);
    // ...
};

Funktionen, welche keinen besonderen Bezug auf die speziellen Eigenschaften der Figuren nehmen, können jetzt wie üblich deklariert werden. Der Rest wird als virtual deklariert, d.h. die eigentliche Definition erfolgt in einer abgeleiteten Klasse. Beispielsweise für einen Kreis

class circle: public shape {
    int radius;
public:
    void draw();
    void rotate(int i); { /* do nothing */ }
    // ...
};

Wenn nun shape_vec[] ein Vektor von Figuren ist, so kann man wie folgt vorgehen, um sämtliche Figuren auf dem Schirm um $45^\circ$ zu drehen.

for (int i=0; i<no_of_shapes; ++i)
    shape_vec[i].rotate(45);

Die typische Operation, die ein Benutzer vollzieht, ist, daß er auf ein Objekt zeigt und fragt was es ist und dieses Objekt sich entprechend verhalten soll, ohne daß man jedes Detail genauer spezifizert und ohne daß man Typusinformationen beisteuert. Das Programm muß diese selber ausfindig machen.

4. Jerrell (1990) hat eine sehr elegante Möglichkeit vorgeschlagen, in der Sprache C++ automatisch zu differenzieren, ohne Rückgriff auf numerische Verfahren oder Formelmanipulationssprachen. Zwei Eigenschaften machen diese Realisierung in C++ ggü. anderen Sprachen besonders vorteilhaft: einmal das Operator overloading und das class-Konzept. Die grundsätzliche Idee ist hierbei einfach: Funktionen wie $\sin$, $\cos$, etc., und Operatoren $\pm$, u.s.w., werden einfach überladen. Genauer:

overload log, exp, sin, cos;

class ad {                       // class for automatic differentiation
    double value;                // $f(x)$
    double gradient[NVAR];       // $\nabla f$
    double hessian[NVAR][NVAR];  // $\mathop{\rm Hess}f=(\partial^2f/\partial x_i\partial y_j)_{ij}$
public
    ad (double, int);     // Initialisierung der Variablen
    ...
    friend ad operator + (ad, ad);
    friend ad operator + (double, ad);
    friend ad operator + (ad, double);
    ...
    double log (double);
    friend ad log (ad);
    ...
}

Für die automatische Differentiation von $f(x_1,x_2)=x_1+x_2+\ln x_1x_2$ an der Stelle $(x_1,x_2)=(1.0,2.0)$ schriebe man einfach

#define  NVAR  2
#include "ad.hpp"
int main (void) {
    ad x1(1.0, 1),  x2(2.0, 2);
    ad z = x1 + x2 + log(x1 * x2);
    ...
}

Für $f(x_1,x_2)=\exp(x_1^2+x_2^2)$ schriebe man ganz entsprechend

ad z = exp (x1^2 + x2^2);

Diese automatische Erzeugung der Ableitungen hat viele Vorteile:

1. sie ist i.a. wesentlich genauer als die numerische Differentiation,
2. i.d.R. leichter zu programmieren und
3. fehlerunanfälliger für den Anwender.

Wird $f$ korrekt ausgewertet, so wird gleichzeitig auch $f'$ und $f''$ korrekt ausgewertet.

Für das Programm TENDLER wären offensichtliche Modifikationen nötig, um zum einem nicht ständig bei jeder Funktionsauswertung eine Jacobimatrixauswertung zu veranlassen und zum anderen werden die zweiten Ableitungen bei den zyklischen Formeln von J.M. Tendler grundsätzlich nicht benötigt. Diese Modifikationen sind völlig problemlos zu realisieren, genauso einfach wie die notwendige variable Dimensionierung.

Die grundsätzlichen Ideen lassen sich auch für die Programmiersprachen C, Pascal und Fortran übernehmen, allerdings müssen gewisse Umwege in Kauf genommen werden, siehe Jerrell (1989).

Die grundsätzliche Idee des obigen Ansatzes ist schon älter und in der Literatur mehrfach wiederentdeckt worden. Bei obiger Klasse ad ist hessian[][] eine quadratische Matrix. Wenn $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ zweimal stetig differenzierbar ist (es genügen aber auch leicht schwächere Voraussetzungen), so ist $\mathop{\rm Hess} f$ eine symmetrische Matrix. Es werden daher nur, wenn es darauf ankommt, nur $(n+1)n/2$ Speicherstellen benötigt.

Biographisch:

1. Max E. Jerrel, ResearchGate

3. Evolution von Differentialgleichungslösern

Although there are a few limitations of computers such as the amount of memory and processor speed, these limitations do not matter for a large collection of programs. Instead, the limitations encountered in programming are most often related to our own, very human capabilities: The principal limitations on the programs we write are often imposed by our inability to comprehend the design — not by physical capabilities of computers.

W.A. Wulf, M. Shaw, P.N. Hilfinger (1981)

Der Übergang vom Programm DIFSUB, zum Programm LSODE geschah nicht ruckartig und plötzlich, sondern vollzog sich in einzelnen Zwischenschritten, wobei das Programm GEAR einen Zwischenschritt markiert. Das Programm GEAR ist allerdings nicht in irgend einer Form lediglich ein Zwischenprodukt, sondern selbst universell einsetzbar.

Der Übergang von DIFSUB zu GEAR ist maßgeblich gekennzeichnet durch die folgenden Stichworte:

1. Die variable Dimensionierung im Programm DIFSUB wurde aufgegeben zugunsten einer statischen Dimensionierung in common-Blöcken. Eine Differentialgleichungsdimension von größer als 20 erfordert eine völlige Neuübersetzung des Programmes GEAR. Dies ist nicht so wesentlich, wie man vermuten könnte, da zum einen das Programm GEAR vergleichsweise kurz ist und zum anderen, da eine neue Funktion ohnehin eine Übersetzung dieser (einzelnen) Funktion benötigt. Im letzteren Falle können dann auch im common Block einige Konstanten gesetzt werden und gleich das gesamte Programm GEAR mitübersetzt werden.
2. Veränderte heuristische Parameter beim Korrektor-Konvergenztest (Hindmarsh-Test) und bei der Fehlerkontrolle.
3. Kein anfängliches Abspeichern in save. Dies wurde so im Programm DIFSUB gemacht, was natürlich relativ schnell geht (Datentransport, keine Rechnung). Bei einem Konvergenztestversagen oder einem Fehlertestversagen ist dann lediglich eine Kopie dieses save Bereiches zurückzuspeichern. Im Programm GEAR werden die alten Werte in der Nordsieck-Darstellung zurückberechnet. Der Vorteil liegt hierbei darin, daß weniger Speicher benötigt wird. Der Nachteil ist darin zu suchen, daß durch zusätzliche Rechnung zum einen die Werte im Nordsieck-Vektor weiter verfälscht werden und zum anderen damit ein Versagen etwas aufwendiger wird. Doch ist es gerade die Aufgabe der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung dies zu vermeiden. Auf Vektorrechnern hätte das Programm DIFSUB aufgrund seiner gewählten Datenorganisation ggü. dem Programm LSODE stellenweise prinzipielle, leichte Vorteile. Natürlich wird das Programm LSODE auf einer Cray erheblich schneller ablaufen als das Programm DIFSUB. Zum einen weil das Programm LSODE Compiler-Direktiven für die Cray enthält und zum anderen weil die Unterprogrammsammlung LINPACK vektorisiert auf der Cray zur Verfügung steht. (LSODE verwendet LINPACK.)
4. $LU$-Zerlegung anstatt Matrixinvertierung bei steifen Verfahren.

Der Übergang von GEAR zu LSODE. Gelegentlich wird von Benutzern dieser beiden Programme berichtet, daß sich die Ergebnisse beider Löser fast überhaupt nicht unterscheiden. Hierzu Skip Thompson (1986):

There is no real reason to switch solvers in programs using the older codes, however.

Innerlich unterscheiden sich diese beiden Programme jedoch enorm. U.a. ist das Programm LSODE erheblich umfangreicher als das Programm GEAR.

1. Erweiterte Fehlerabprüfungen und Fehlerbehandlungen. Allgemein erweitertes “user-interface”. Numerisch wird jedoch genau das gleiche Verfahren verwendet.
2. Geringfügig veränderte heuristische Parameter, wie Anfangskonvergenzrate, Strategiefaktoren bei der Fehlerkontrolle und bei der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung.
3. Benutzung von LINPACK-Routinen anstatt optimierter, “selbstgemachter” $LU$-Zerlegungen.
4. Stärkere Untergliederung in Unterprogramme und Funktionsunterprogramme.

Der Übergang von dem Programm STINT zu dem Programm TENDLER ist in gewisser Hinsicht wesentlich markanter. Hauptentwicklungsziel war neben einem schaltfähigen Programm, ein leicht zu veränderndes Programm. Dies ist u.a. interessant bei dem Vergleich neuerer Versuche, Taktiken, etc., bei der Programmierung zyklischer linearer Mehrschrittformeln.

1. Das ganze Programm ist in der Programmiersprache C programmiert, anstatt in Fortran.

1. Starke Einkapselung von Aufgaben und entsprechende Kommentierung. Data hiding. Profiling und statistics.
2. Statt einer Triade (Hypermatrix) wird eine ringzyklische Liste als zentrale Datenstruktur verwendet. Dadurch wird ein Fehlschlag der Korrektoriteration oder der Fehlerkontrolle etwas einfacher zu behandeln.
3. Der Benutzer erhält wesentlich mehr Informationen zurück.
4. Bequemere Benutzung durch eine Vielzahl von Treibern. Die Parameterlisten zum Aufruf von Treibern sind kurz. Irgendeine Einschränkung bei der Dimension der Differentialgleichung besteht allerdings keineswegs, wie etwa bei dem Programm GEAR. Rigorose Kontrolle von Eingabedaten.
5. Portabel: Übersetzer-spezifische Details (wie NULL, size_t, etc.) sind in einer Header-Datei zentral zusammengefaßt.
6. Über 78 statistische Zähler inklusive einer Auswertung der hierduch gewonnenen Daten.
7. Es können nun beliebig viele Differentialgleichungen gleichzeitig gelöst werden.
8. Das Programm TENDLER ist type-insensitive.
9. Vollständige Vektorisierung.
10. 5 verschiedene Korrektorarten in einem Programm. Hinzufügung weiterer Iterationsarten einfach: Funktionszeiger.
11. 1000 Zeilen $\longrightarrow$ 10000 Zeilen.

Wie das Programm LSODE und die entsprechenden Modifikationen dieses Programmes, z.B. LSODAR, so hat auch das Programm TENDLER von den beiden Vorgängerprogrammen DIFJMT, siehe Tendler (1973), und STINT, siehe Tendler/Bickart/Picel (1976), siehe Tendler/Bickart/Picel (1978), als auch von weiteren Programmen, Ideen und Konzepte übernommen, erweitert und verfeinert.

Bibliographisch:

1. Joel Marvin Tendler: “A Stiffly Stable Integration Process Using Cyclic Composite Methods”, Ph.D. Diss., Syracuse University, Syracuse, New York, 26-Feb-1973
2. Tendler, Joel Marvin und Bickart, Theodore A. und Picel, Zdenek: “STINT: STiff ordinary differential equations INTegrator. Program and User Manual”, Electrical and Computer Engineering Department, Syracuse University, Syracuse, New York 13210, USA, and Department of Electrical Engineering, Delft University of Technology, Delft, The Netherlands, Technical Report TR-76-12, December 1976, ii+85 pages
3. Tendler/Bickart/Picel (1978): A Stiffly Stable Integration Process Using Cyclic Composite Methods

Der Entstehungsbaum für die beiden Programme LSODE und TENDLER ist in untenstehendem Diagramm angegeben.

Die Jahresangaben in Klammern geben nicht notwendigerweise das Entstehungsjahr der Erstversion an.

4. Statische und dynamische Organisation des Programmes TENDLER

The program consists of a number of small, essentially unconnected modules for code generation, a simple lexical analyzer, a canned parser which we did not have to write, and some miscellany associated with input files and the macro facility. There are only about 15 global variables. The program is currently about 1000 lines of C. About 20 percent of these lines are “print” statements, generating the output code. To our everlasting shame, there are two GOTOs in the program.

B.W. Kernighan, L.L. Cherry (1976)

Der statische, programmmässige Aufbau ist

1. Prädiktor,
2. Korrektor,
3. Fehlerkontrolle und
4. Schrittweiten- und Ordnungssteuerung.

Jeder dieser vier Segmente wird im weiteren ausführlicher beschrieben.

Der dynamische Aufbau ist jetzt für ein vierstufiges Verfahren

1. $P(EC)^{i_1}$,
2. $P(EC)^{i_2}$, Fehlerkontrolle,
3. $P(EC)^{i_3}$, Fehlerkontrolle,
4. $P(EC)^{i_4}$, Fehlerkontrolle und Schrittweiten- und Ordnungssteuerung,

mit

In welcher Stufe eine Fehlerkontrolle durchgeführt werden soll, kann ebenfalls gezielt gesteuert werden. In diesem Falle wird deutlich, daß die erste Stufe anders behandelt wird als die restlichen. Der $P(EC)^{i_k}$-Modus ist lediglich illustrativ. Ebenso gut hätte hier PECE stehen können. Der Benutzer des Programmes TENDLER kann entscheiden, welcher Modus verwendet werden soll, oder aber kann diese Entscheidung dem Programm selber überlassen.

Der Start spielt hierbei eine Sonderrolle. Die Statistiken überwachen das gesamte Geschehen, bleiben aber selbst stets inaktiv, werden also nicht zu Entscheidungen mit hinzugezogen. Der Schaltteil erkennt Steifheit, reagiert auf Steifheit, antwortet auf Veränderungen und zwar in potentiell jedem Schritt.

Der Vergleich mit einem Regelkreis liegt sehr nahe. Dieser Gedanke wird sogar auch fruchtbar angewendet und zwar bei den Arbeiten von Deuflhard (1983) und bei Gustafsson/Lundh/Söderling (1988). Siehe auch das Buch “Scientific Computing with Ordinary Differential Equations” von Deuflhard/Bornemann (2002).

Wie üblich ist die exakte Lösung i.a. nicht verfügbar. Es sei bemerkt, daß sich Schweinezyklen bzgl. des Schaltens im Programm TENDLER gut beobachten lassen.

Biographisch:

1. Peter Jochen Deuflhard (1944 – 2019)
2. Gustafsson, Kjell
3. Lundh, Michael
4. Söderling, Gustaf

5. Programmrealisierungen von Mehrschrittformeln

Es gilt das Gesetz von der Erhaltung der Mühsal.

Prof. Dr. Joachim Treusch (1984)

Neben den verschiedenen Formeln, welche lineare Mehrschrittverfahren in zahlreiche Lager trennt, erfolgt eine weitere Untergliederung durch die Art und Weise der Programmrealisierung. Hier sei vorwiegend an die Darstellung der Lösung gedacht. Maßgeblich sind hier die Darstellung in Form klassischer rückwärtsgenommener Differenzen, modifizierten rückwärtsgenommenen Differenzen und die Nordsieck-Darstellung. Jeder dieser Darstellungen entfaltet in gewissen Situationen seine ganz besonderen Vorzüge. Jedoch hat auch jede Darstellung seine Nachteile. Anhand ganz konkreter Programme, wie TENDLER, DIFSUB und DE/STEP, sollen die benötigte Anzahl gewisser signifikanter Rechenoperationen verglichen werden.

VOP heiße im folgenden Vektoroperation.

1. Aktualisierungsaufwand pro Schritt/Stufe. Zur Pflege und Erhaltung benötigt jede Darstellung der Lösung einen gewissen Verwaltungsaufwand. Dieser berücksichtigt das Fortschreiten der Lösung in der Zeit. Im einzelnen fallen hier jeweils an:

TENDLER: $\nabla^{i+1}y_1=\nabla^iy_1-\nabla^iy_0$, für $i=1,\ldots,p$. Insgesamt also $p$ VOPs.

DE/STEP: Hier sind stets $p+2$ VOPs durchzuführen und zwar

DIFSUB: Hier sind $p-2$ VOPs durchzuführen und zwar

2. Prädiktorbildung. Zur Berechnung eines Startwertes für die Picard- oder Newton-Kantorovich Iteration wird ein explizites Mehrschrittverfahren benutzt, genannt Prädiktor.

TENDLER: Hier sind $2p+4$ VOPs nötig.

DE/STEP: Ebenfalls $2p+4$ VOPs.

DIFSUB: Es sind hier am meisten Rechenoperationen nötig, nämlich $(p+1)p/2$ VOPs. Berechnet wird

3. Korrektoriteration. Die eigentliche Iteration erfordert ebenfalls gewissen Rechenaufwand, neben der Auswertung der Funktion. Zur Vereinfachung sei zuerst hier lediglich der Fall der $P(EC)E$-Picard Iteration betrachtet.

TENDLER: 3 VOPs, für $y^{\nu+1}\gets y^\nu+\gamma(hf(y^\nu)-z^\nu)$

DE/STEP: 3 VOPs, für $x\gets y+\lambda(z-u)$.

DIFSUB: ca. 4 VOPs, für

4. Neue, veränderte Schrittweite nach erfolgreichem Schritt. Nach erfolgreichem Durchlaufen eines Schrittes oder eines gesamten Zykluses, kann die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung vorschlagen, daß die Schrittweite und die Ordnung geändert werden sollen. Hierfür sind dann jedoch Startwerte auf einem anderen Gitter nötig, oder die Formel muß sich ändern. Erneut geschieht diese Änderung nicht kostenfrei, sondern erfordert gewisse Rechenschritte.

TENDLER: Das Programm TENDLER berechnet die neuen benötigten Startwerte durch Interpolation. Es ist hierbei $p-1$ mal zu interpolieren, wobei $p$ die neue Ordnung ist. Nachdem die neuen zurückliegenden Werte durch Interpolation bestimmt wurden, ist die Differenzentabelle neu aufzubauen. $y_{m\ell}$ ist schon bekannt, darum muß man nur $(p-1)$-mal interpolieren, anstatt $p$-mal. Hierzu wird $p-1$ mal die Funktion newtform() aufgerufen, welche jeweils $p+1$ VOPs benötigt. Die Neugenerierung der Differenzentabelle in der Funktion formbackdiff() benötigt $(p+1)p/2$ VOPs. Schließlich ist für den nächsten Prädiktorschritt noch $z=hf$ auf die neue Schrittweite anzupassen: Die Funktion adapthz() benötigt genau eine VOP. Insgesamt also

DE/STEP: Sei $s$ die Anzahl der Schritte mit konstanter Schrittweite $h$. Falls $p>s$, dann $p-(s+1)$ VOPs, wegen

Im Grenzfalle hat man also

DIFSUB: Die Nordsieck-Darstellung zeigt hier deutliche Vorteile. Stets sind $p$ VOPs nötig, wegen

5. Zurückgewiesener Schritt. Wird ein Schritt von der Fehlerkontrolle, oder im Falle von steifen Differentialgleichungen von der Newton-Kantorovich-Korrektor Iteration, zurückgewiesen, so ist eine neue Schrittweite und ggf. eine neue Ordnung zu wählen. Ähnlich wie bei einem akzeptierten Schritt mit einer von der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung vorgeschlagenen Schrittweite und Ordnung, sind jetzt ebenfalls neue Startwerte zu besorgen. In diesem Falle ist nicht nur die theoretische Darstellung von Interesse, sondern zusätzlich die Art der Speicherung, also die Speicherorganisation.

TENDLER: Gleiche Anzahl wie bei neuer, veränderter Schrittweiter nach erfolgreichem Schritt, also insgesamt ${\cal O}(3p^2/2)$ VOPs.

DE/STEP: Genau wie bei dem Programm TENDLER, also ${\cal O}(3p^2/2)$, im ungünstigsten (!) Falle.

DIFSUB: Hier sind lediglich $(p+1)$ VOPs nötig und zwar lediglich eine Umspeicherung einer Matrix.

GEAR: Obwohl das Programm GEAR die gleichen Formeln und die gleiche Darstellungsform wählt, sind hier aufgrund eines kompakteren Speicherschematas, nun in diesem Falle mehr VOPs nötig. Zu berechnen ist jetzt

Dies wird auch genau so in dem Programm LSODE und seinen Varianten vollzogen. Der Vorteil ist hierbei, daß weniger Speicher benötigt wird, als in dem Program DIFSUB. Der Nachteil ist, daß durch diese zusätzlichen Rechnungen Rundungsfehler eingeschleppt werden und es natürlich mehr Rechenarbeit kostet. Jedoch sind zurückgewiesene Schritte eher selten. Wären sie auffallend häufig, so wäre dies ein deutliches Indiz dafür, daß die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung nicht zur vollen Zufriedenheit arbeitet.

6. Speicherplatzaufwand bei Mehrschrittformeln

Jede verschiedene Programmausführung eines linearen Mehrschrittverfahrens, oder eine zyklische Kombination eines solchen Verfahrens, benötigt zur Verwaltung der interenen Abläufe, wie Fehlerkontrolle und Korrektoriteration beispielsweise, einen gewissen Speicherraum. Dieser benötigte Speicherbedarf ist sogar bei Programmen, die die gleichen Formeln benutzen, unterschiedlich. Maßgeblich wird der Speicherplatzaufwand von der Darstellungsart der Lösung beeinflußt. Bei der numerischen Lösung steifer gewöhnlicher Differentialgleichungen überwiegt natürlich der Speicherplatzbedarf zur Speicherung der Iterationsmatrizen und ggf. noch der Jacobimatrix.

Es ist $n$ stets die Dimension der Differentialgleichung, $p$ bezeichnet immer die Ordnung, $p_\max$ ist die maximal mögliche Ordnung, $\ell$ ist die Anzahl der Stufen innerhalb eines Zykluses und $\ell_\max$ ist die Höchstanzahl der Stufen innerhalb eines Zykluses über alle Ordnungen betrachtet, die zugelassen sind. Bei einem Programm basierend auf den BDF ist die maximal mögliche Ordnung immer durch 6 nach oben beschränkt, da oberhalb der Ordnung 6, die BDF nicht mehr nullstabil sind, also erst recht nicht mehr steif-stabil sind. Die meisten Programme, die auf den BDF basieren, begrenzen sogar die Höchstordnung auf 5, da die BDF6 einen sehr kleinen Widlund-Winkel besitzt.

1. Der Speicherplatzbedarf in Abhängigkeit von $p$ und $\ell$. Durch Wahl entsprechender Eingabeargumente kann der Benutzer die Höchstordnung $p_\max$ und damit einhergehend ggf. die Höchstanzahl der Stufen $\ell_\max$ begrenzen. Der Speicherplatzbedarf hängt direkt von diesen beiden Größen ab.

TENDLER: Maximal werden $2n^2+52n$ Speicherzellen benötigt, falls $p=p_\max=7$ und $\ell=\ell_\max=4$. Hierbei ist

Im einzelnen schlüsselt sich der Speicherplatzbedarf wie folgt auf:

Dies macht zusammen dann also $2n^2+\bigl[(\ell+1)(p+3)+2\bigr]n$.

DIFSUB: Im Höchstfalle werden $n^2+23n$ Speicherzellen benötigt. Dies schlüsselt sich auf in

Insgesamt ergibt dies $n^2+\bigl[2(p+1)+7\bigr]n$.

In dem ursprünglichen Programm DIFSUB wurde aus vermeintlichen Effizienzgründen keine $LU$-Zerlegung durchgeführt, sondern explizit die Inverse der Iterationsmatrix bestimmt und dann das Matrix-Vektor-Produkt inline berechnet. Der besseren Vergleichbarkeit wegen wurde deshalb ein Indizesvektor ipiv hinzugefügt, welcher die Permutationsindices der $LU$-Zerlegung enthält.

STINT: Im Höchstfalle werden $2n^2+51n$ Speicherzellen benötigt. Es ist $p_\max=7$ und $\ell_\max=4$.

Dies summiert sich zu $2n^2+\bigl[(\ell+1)(p+1)+\ell+7\bigr]n$.

DE/STEP: Es ist bei diesem Programm nicht vorgesehen, daß der Benutzer den Speicherplatzbedarf der Höchstordnung anpasst. Benötigt werden $22n$ Speicherzellen. Es ist $p_\max=12$. Die Aufschlüsselung des Speicherbedarfs ist

Also insgesamt $(p+10)n$. Nur de() ruft intrp() auf.

LSODAR: Im Höchstfalle werden $4n_g+18n+n^2$ Speicherzellen benötigt.

Der Speicherplatz kann sich um $2n$ Speicherzellen erhöhen, wenn man für jede Komponente der Lösung getrennte relative (rtol) und absolute (atol) Genauigkeitsbedingungen stellt.

DDASSL: Im Höchstfalle werden $n^2+12n$ Speicherzellen benötigt. Es ist $p_\max=5$.

Dies summiert sich auf zu $n^2+(p+7)n$. Auch hier ggf. ein Mehr von $2n$ Zellen bei besonderen Genauigkeitsforderungen.

2. Der temporäre Speicherplatzbedarf. Zwischen den Aufrufen wird ein Teil des angeforderten Speichers wieder frei. Dieser temporäre Speicherraum eignet sich daher maßgeblich nur für Zwischenrechnungen, welche zwischen den Aufrufen des Lösers anfallen. Insbesondere beim Programm TENDLER liegen im vermeintlich temporären Speicher Nutzinformationen vor. Jedoch kann der Benutzer diese Nutzinformationen überschreiben, ohne die Fortsetzbarkeit der Integration zu behindern.

TENDLER: Insgesamt $13n$ Speicherzellen werden frei. Von yr werden $(p+2)n$ und von hfr werden $\ell n$ Speicherzellen frei. Insgesamt also $(\ell+p+2)n$ Speicherzellen.

DIFSUB: Hier werden $12n$ Zellen frei, wegen save, mit seinen $[(p+1)+4]n$ Zellen.

STINT: Hier werden $16n$ Zellen frei, wegen dy mit $(\ell-1)n$ Zellen und save mit $(p+6)n$ Zellen.

DE/STEP: Insgesamt $3n$ Speicherzellen, wegen y, yp, $\varphi_{15}$ und $\varphi_{16}$ mit jeweils $n$ Zellen.

LSODAR: $n+n_g$ Zellen werden frei, wegen y mit $n$ und jroot mit $n_g$ Zellen.

Es gibt eine Fülle von Differentialgleichungslösern, sowohl für steife, als auch für nicht-steife Gleichungen. Allerdings sind nicht alle Löser auch gleich gut für jeden Zweck geeignet. Es gibt auch Löser für Gleichungen mit speziellen Eigenschaften. Teilweise konnte man mit den Programmen zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen besondere Auffälligkeiten feststellen, welche nicht nur löserspezifisch sind, sondern allgemeiner beobachtet werden konnte. Hier wird u.a. über Testergebnisse berichtet, die mit dem Programm STINT durchgeführt wurden. Diese Ergebnisse sind auch für das Programm TENDLER von Interesse, da ja beide Programme, wie das Programm DIFJMT, die gleichen zyklischen Formeln verwenden. Zudem kamen zahlreiche Ergebnisse und Erfahrungsberichte, die mit dem Programm STINT gewonnen wurden, dem Programm TENDLER zugute.

Es zeigt sich, daß mit dem Programm STINT ein Löser vorliegt, der sich mit anderen bekannten Lösern in seiner Leistungsfähigkeit durchaus messen lassen kann. Dennoch offenbart das Programm STINT einige besonders hervorhebenswerte Andersartigkeiten, denen hier Raum gegeben wird. Zuerst wird die Unstetigkeit der Schrittweiten- und Ordnungssteuerung anhand bekannter Testergebnissen dargestellt. Anschliessend werden die Testdaten von Tendler/Bickart/Picel (1978) in knapper Form angegeben und interpretiert. Schließlich wird auf die Testläufe von Gaffney (1984) eingegangen. Zum Abschluß wird ein wenig bekannter Effekt von rationalisierter Schrittweite anhand eines Beispieles dargestellt.

1. Strategien und Rechnergenauigkeit

Als Testdifferentialgleichung sei gewählt das abgewandelte Kontrollproblem, zurückgehend auf E.J. Davison,

mit

wobei hier $a={3/2}$, $b=1/10$ und $c=1/100$ ist. Die $80\times80$ Matrix $A$ enthält also auf der Diagonalen $a_{ii}=-a^{80-i}$, $i=1,\ldots80$, auf der Subdiagonalen $a_{i+1,i}=b$ und der Rest ist gleichmässig mit $c$ gefüllt. Die Steuerung des Problems geschieht mit

Die Funktion $u({}\cdot{})$ ist hierbei eine Näherung für eine Rechteckkurve mit der Amplitude 1 und der Periode $2\pi$. Es gibt bessere Approximationen für diese Funktion, die jedoch weiterhin die Unstetigkeit vermeiden.

Enright (1978) und Enright/Kamel (1979) geben nun die folgenden Meßresultate an für das Programm EPISODE und MOD-EPISODE.

Letzteres benutzt Enright's update technique.

Der Buchstabe A kennzeichnet die Rechenanlage IBM 360/165 und der Buchstabe B bezeichnet die Anlage IBM 3033. Benutzte Rechengenauigkeit, verwendeter Übersetzer und globale Fehler werden in Enright (1978) und Enright/Kamel (1979) nicht genannt. Man ersieht deutlich, daß bei einem Wechsel der Rechenanlage die Ergebnisse sich verändern und dies sogar bei Rechenanlagen vom gleichen Hersteller. Sind also die beiden Steuerungen einmal aus dem Takt, so finden sie nicht mehr zusammen. Das gleiche gilt auch für die Korrektoriteration und die Fehlerkontrolle, wo ebenfalls unstetige Strategien zur Anwendung gelangen.

Ähnliche Ergebnisse wurden auch mit dem Programm STINT gemacht und zwar maßgeblich von Gaffney (1984). Die Unterschiede sind jedoch bei dem Programm STINT erheblich ausgeprägter, als dies hier lediglich ansatzweise zutage tritt.

Noch bemerkenswerter sind die folgenden Resultate, die mit dem Programm STINT gemacht wurden auf einer Rechenanlage Siemens 7.890-E.

Ein und dasselbe Programm, hier STINT, wurde viermal laufen gelassen und zwar zweimal mit dem Siemens-Fortran-77 Übersetzer und zwei andere Male mit dem Waterloo-Fortran-77 Übersetzer. Beide Übersetzer laufen unter dem gleichen Betriebssystem und natürlich auf dem gleichen Rechner. Dennoch zeigte sich, daß die Ergebnisse nicht immer die gleichen waren. Es ergab sich vielmehr für das Problem E4:

Diese Werte wurden ermittelt bei fast identischen globalen Fehlern und und zwar in allen Komponenten. Die Unterschiede sind für sich betrachtet nicht bemerkenswert groß, jedoch die Tatsache, daß alle Ergebnisse auf ein und derselben Rechenanlage mit ein und demselben Programm ermittelt wurden, mit lediglich verschiedenen Übersetzern, verdeutlicht den hohen Grad an Unstetigkeit der genannten Segmente und den nicht vernachlässigbaren Einfluß von Geringfügigkeiten. Zugleich wird sichtbar, daß ein Vergleich verschiedener Programme und eine sich daran anschliessende Bewertung, diesen Gegebenheiten Rechnung tragen muß. Die Frage nach einem “besten” Programm wird daher weiter noch verkompliziert, da eine Garantie der Reproduzierbarkeit von Ergebnissen nicht mehr gewährleistet werden kann. Ähnliche Schlüsse und Ergebnisse berichten auch Parlett/Wang (1975) bei Programmen für Berechnungen in der linearen Algebra.

Bei der Lösung elliptischer, partieller Differentialgleichungen mit der Programmsammlung bzw. Methodenbank ELLPACK, welches dem Benutzer zahlreiche Diskretisierungsarten und verschiedene Lösungsverfahren für lineare und u.U. nichtlineare Gleichungssysteme bereitstellt, siehe Rice/Boisvert (1985), tritt ebenfalls das Problem auf, wie sich diese Sammlung bei einem Wechsel der Rechenanlage und bei einem Wechsel der Übersetzer verhält. Beobachtet werden konnte in Rice (1983) eine Streuung von bis zu 50%.

Bibliographisch:

1. Beresford Neill Parlett
2. Y Wang
3. John Richard Rice, lived 1934–2024, complete bibliography
4. Rice, John Richard: “Machine and Compiler Effects on the Performance of Elliptic PDE Software”, in Robert S. Stepleman, M. Carver, R. Peskin, William F. Ames and Robert Vichnevetsky (Editors): “Scientific Computing — Applications of Mathematics and Computing to the Physical Sciences”, IMACS Transactions on Scientific Computation, Volume 1, Noth-Holland Publishing Company, Amsterdam New York Oxford, 1983, pp.97–101
5. Ronald F. Boisvert

2. STINT vers. GEAR und EPISODE

However, the step size chosen by STINT is almost constant for long intervals of the integration period. The main reason for this is that the STINT code has failed to recognize that methods with inadequate stability regions were used over the interval $0.01\le t\le 25.0$. This is a consequence of the fact that the step size and order selection in STINT is based on error control and not on stability analysis. However, since none of the codes monitors stability, it is a little surprising that STINT exhibits this difficulty.

P.W. Gaffney (1984)

Hier soll anhand der Test- und Meßresultate von STIFF DETEST gezeigt werden, daß ein Programm basierend auf den zyklischen Formeln von J.M. Tendler durchaus erfolgreich mit anderen bewährten Lösern konkurrieren kann und in speziellen Fällen sogar günstigere Ergebnisse liefern kann. Über Schwächen des Programmes STINT wird u.a. auch noch berichtet. Da das Programm TENDLER bei bisher allen getesteten Differentialgleichungen effizienter arbeitet, unter günstigen Ümständen sogar stellenweise bis zu dreimal weniger Funktionsauswertungen benötigt, als das Programm STINT, werden ähnliche Ergebnisse auch für das Programm TENDLER erwartet. Zusätzlich liefert das Programm TENDLER mehr Informationen zurück, als dies das Programm STINT tut. Die erweiterten Informationen beziehen sich auf die generierten Statistiken und die rückwärtsgenommenen Differenzen. Die weiter unten stehenden Tabellen wurden dem Aufsatz von Tendler/Bickart/Picel (1978) entnommen. Dort findet man vielfach ausführlicher, weitere Tabellen, die zahlreichen Aufschluß über die Wirkungsweise des Programmes STINT liefern.

Biographisch:

1. Joel Marvin Tendler (1943–2022)
2. Zdenek Picel
3. Theodora A. Bickart

1. Während der Entwicklung des Programmes STINT wurden eine Reihe von Test-Problemen entworfen und das Programm STINT wurde derart abgestimmt, daß es bei dieser Klasse von Problemen sehr effizientes Verhalten zeitigte. Obwohl diese Probleme nur einen kleinen Querschnitt durch alle überhaupt auftretenden Differentialgleichungen darstellen, wurde jedoch festgestellt, daß das Programm STINT durchaus leistungsfähig ist und die Löser GEAR und EPISODE in diesem Falle deutlich überbietet. U.a. wurde das Programm STINT anhand des folgenden Beispieles getestet:

mit der exakten Lösung

und den Eigenwerten von $A$ zu $\lambda_{1/2} = \pm i$ und $\lambda_{3/4} = -10\pm 90i$. Für Integrationen über längere Intervalle wäre also ein Widlund-Winkel von $\alpha>83.6^\circ$ nötig, also maximal die BDF3 oder der Zyklus dritter Ordnung. Das Steifheitsmaß beträgt hier ungefähr $90$, wobei das Steifheitsmaß festgelegt ist zu

Integriert man von $t_0=0$ bis $t=15$ und einer Genauigkeitsanforderung von $\varepsilon=10^{-5}$ des lokalen Fehlers, so konnten die nachstehenden Leistungsdaten gemessen werden:

Reduziert man die Genauigkeit auf $\varepsilon=10^{-3}$ und begrenzt man, wegen der großen Steifheit die höchstzulässige Ordnung auf 4, so erhält man das folgende Bild für das Programm STINT:

mit einem maximalen absoluten und maximalen relativen Fehler von $0.0144$. Alle Rechnungen wurden auf einer IBM 370/165 und einem nicht näher genannten Übersetzer durchgeführt.

2. In den nun folgenden Tabellen gibt die Spalte Genauigkeit an, mit welcher Genauigkeitsanforderung $\varepsilon$ das Programm gestartet wurde. Die Spalte `Overhead' kennzeichnet dabei die Differenz der Gesamtrechenzeit abzüglich der Zeit für

1. die Auswertung der Funktion,
2. die Berechnung der Jacobimatrix und
3. die Bestimmung der $LU$-Zerlegung.

Hierbei beachte man, daß zahlreiche Gleichungen in STDTST sehr einfach auszuwertende Funktionen und Jacobimatrizen besitzen und Rücksubstitutionen, Normberechnungen, etc., dem Overhead zugeschlagen werden.

Die Testresultate wurden unabhängig voneinander einmal für relative Genauigkeit und beim anderen Male für die absolute Genauigkeit ermittelt. Das Programm STINT ist konzeptionell besonders für relative Genauigkeit angelegt und auch so programmiert. Vergleicht man die unten folgenden Tabellen, so stellt man fest, daß das Programm STINT für die Anzahl der Jacobimatrixauswertungen besonders günstige Werte aufweisen kann. Dies liegt natürlich an der besonderen Behandlung der Jacobimatrix, nämlich deren Speicherung.

3. Absolute Fehler. Für das Programm STINT erhielt man die folgende Tabelle. Einmal war hierbei der globale Fehler am Endpunkt größer als 1000. Zwangsabbrüche aufgrund von Konvergenzversagen oder Fehlertestversagen traten nicht auf.

Für das Programm GEAR ergab sich das folgende. Hier war einmal der globale Fehler am Endpunkt größer als 1000. Abbruch der Integration aufgrund von Konvergenzschwierigkeiten bzw. aufgrund von Fehlertestschwierigkeiten trat nicht auf.

Für das Programm EPISODE ergab sich nun die folgende Tabelle. Einmal versagte die Fehlerkontrolle und führte zu einem Abbruch der gesamten Integration, und einmal versagte das Programm gleich beim Start weg vollständig.

Es folgen nun die Resultate für die relativen Fehler. Hier wurden also die gleichen Testdifferentialgleichungen wie oben, also A1 bis F5 gelöst und die dabei sich ergebenden Werte tabelliert.

4. Relative Fehler. Für das Programm STINT ergaben sich die folgenden Ergebnisse, die in der untenstehenden Tabelle aufgegliedert sind. Sechsmal war der globale Fehler am Endpunkt größer als 1000, und einmal brach die Integration ab, weil der Korrektor nicht konvergierte.

Das Programm GEAR hatte fünfmal am Ende des Integrationsintervalls einen Fehler produziert, der größer als 1000 war. Auch hier gab es keine Korrektor-Konvergenzprobleme, die den Löser zum Halten zwangen.

Das Programm EPISODE startete einmal überhaupt nicht, einmal konvergierte die Newton-Kantorovich Iteration für den Korrektor nicht und resultierte somit in einem Programmabbruch, und schließlich fünfmal war der Fehler zum Schluß des Intervalls höher als 1000.

5. Den oben abgedruckten Zahlen, aber auch den ausführlicheren Tabellen, die in dem Aufsatz von Tendler/Bickart/Picel (1978) zu finden sind, entnimmt man die folgenden Interpretationen der Werte. Das Verhältnis von Zyklusanzahl zu Jacobimatrixauswertungen beträgt für das Programm STINT $2:1$ bis $9:1$. Bei höheren Genauigkeiten ist das Verhältnis höher. Dies erklärt sich leicht daraus, daß bei höheren Genauigkeitsanforderungen höhere Ordnungen benutzt werden, die ihrerseits in dem Programm STINT dazu führen, daß die Schrittweite weniger häufig gewechselt wird. Andererseits sind bei scharfen Genauigkeitsanforderungen die Schrittweiten generell kleiner und die Änderungen ebenfalls. Dies berifft dann die Iterationsmatrix $W=I-h\gamma J$, welche sich dann weniger häufig ändert und weniger häufig einer Refaktorisierung bedarf. Damit erhält man das Ergebnis, daß der Hindmarsh-Test in dem Programm STINT dazu führt, daß in grobem Zahlen ausgedrückt, alle 2 bis 9 Zyklen die Jacobimatrix neu berechnet wird.

Das Verhältnis von $LU$-Zerlegungen zu Jacobimatrixauswertungen beträgt ungefähr $2:1$ bis $4:1$. Wiederum bei höheren Genauigkeiten vergrößert sich dieses Verhältnis. Mit anderen Worten: Doppelt so häufig bis viermal so häufig wird die Iterationsmatrix $W=I-h\gamma J$ faktorisiert, bevor die Jacobimatrix $J$ neu berechnet wird. Das Verhältnis von Zyklen zu $LU$-Zerlegungen beträgt ungefähr $1:1$ bis $3:1$. In Worten: Entweder jeden neuen Zyklus, bis zu jedem dritten Zyklus wird die Iterationsmatrix $W$ faktorisiert. Dies verdeutlicht, daß der Hindmarsh-Test vergleichsweise früh anzieht.

In den Programmen GEAR und EPISODE findet man mit zum erstenmal den Hindmarsh-Test. Das Programm DIFSUB, siehe Gear (1971), kennt keinen Hindmarsh-Test und faktorisiert die Iterationsmatrix genau dann, wenn die Ordnung gewechselt wird oder Konvergenzschwierigkeiten auftreten.

A.C. Hindmarsh verwendete ursprünglich einen 30%-Test. In dem Programm STINT wird ein 40%/80%-Test verwendet und schließlich das Programm TENDLER benutzt einen erweiterten 40%/100%-Test. Die Erweiterungen liegen hierbei, daß weitere Umstände, wie beispielsweise angesammelte Minuspunkte, die Faktorisierung der Iterationsmatrix $W$ beeinflussen.

Bibliographisch:

1. Alan C. Hindmarsh (*1942)
2. Charles William Gear (1935–2022)
3. C.W. Gear: “The automatic integration of ordinary differential equations” Communications of the ACM, Volume 14, Issue 3, pp. 176 - 179, https://doi.org/10.1145/362566.362571

3. STINT versus LSODE

In particular, we note the sensitivity of STINT and BLEND to changes in computer precision. From time to time we shall use LSODE as a yardstick by which to evaluate the above codes.

P.W. Gaffney (1984)

Nach Erscheinen des Aufsatzes von Tendler/Bickart/Picel (1978) sind eine Reihe von weiteren Programmen und Verfahren entwickelt worden, und zudem ist das Programm GEAR weiter verfeinert und verbessert worden zu dem Programm LSODE. Da das Programm TENDLER dieselben Formeln benutzt wie das Programm STINT, ist es aufschlußreich die Ergebnisse und Daten, die durch Vergleich des Programmes STINT mit anderen Lösern ermittelt wurden, zu sammeln, auszuwerten und schließlich mit in die Entwicklung des Programmes TENDLER hineinfliessen zu lassen. Getestet und beurteilt wurde das Programm STINT erneut von Gaffney (1984). Leitgedanke dieser Messungen war nicht allein schwerpunktmässig ein Vergleich. Jedoch liefern die gewonnenen Daten für eine Gegenüberstellung ebenfalls im begrenzten Umfange Anhaltspunkte.

P.W. Gaffney testete die Programme:

1. STRIDE von Burrage, implizite RK-Verfahren
2. BLEND von Skeel und Kong (blended linear multistep-methods)
3. STINT
4. DIRK von Alexander, implizite RK-Verfahren
5. LSODE von Hindmarsh

Gaffney untersuchte diese Programme nicht wie Enright/Hull (1975) an 19 verschiedenen Testdifferentialgleichungen oder Fox (1972) an 6 verschiedenen Gleichungen, sondern nur an einer einzigen, die jedoch durch Parameterveränderung stark variiert werde konnte. Hiermit ergab sich eine einparametrige Schar von Testgleichungen. P.W. Gaffney betrachtete das folgende Anfangswertproblem, analog den Problemen B2 bis B5 $$ \dot y = \pmatrix{ -10& \omega & 0 & 0 & 0 & 0\cr -\omega&-10 & 0 & 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & -4 & 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 0 & 0 & -1/2 & 0\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1/10\cr } y, \quad y(0) = \pmatrix{1\cr 1\cr 1\cr 1\cr 1\cr 1}, $$ wobei $\omega$ nicht nur zwischen $3$ und $100$ lief, sondern den Bereich zwischen $1$ und $1000$ umfaßte. Die beiden nicht-reellen Eigenwerte $\lambda_{1/2}=-10\pm i\omega$ der Matrix überprüfen, ob die verwendeten Programme auch noch hinreichend effizient arbeiten, wenn die Lösungen der Differentialgleichung gedämpfte, aber stark oszillierende Schwingungen beschreiben. Dies erfordert von den verwendeten Formeln u.a. entweder große Widlund-Winkel, oder die Ordnungssteuerungen der Programme müssen schnell genug in der Lage sein die gewählten Ordnungen zu verringern. Man beachte, daß auch bei den 19 Testdifferentialgleichungen von Enright/Hull (1975), einige verschiedene Gleichungen nur durch Variation von Parametern entstehen.

Nicht allein entscheidend war der Vergleich der Programme, sondern die Auswirkung der Wahl der Rechenanlage und die Wahl der Maschinengenauigkeit auf die Ergebnisse, die dann die obigen Programme für eine partielle Differentialgleichung lieferten. Diese zeitabhängige partielle Differentialgleichung wurde in eine gewöhnliche Differentialgleichung “umgewandelt”, die nun ähnliche Eigenschaften besitzt, wie die oben angegebene Testgleichung, insbesondere ist sie steif und erfordert sehr große Widlund-Winkel. Die semidiskretisierte partielle Differentialgleichung ähnelt von ihrer Schwierigkeit her den Problemen B2 bis B5, und dies ist gerade der Grund, warum die obige Testgleichung gewählt wurde.

Gaffney erstellte nun u.a. die folgenden Vergleichswerte, die hier leicht gekürzt wiedergegeben werden. In der unten gedruckten Tabelle sind zur Gegenüberstellung u.a. die beiden Programme STINT und LSODE angegeben. Zu erwähnen ist, daß das Programm STINT bei der Beschränkung auf die Ordnung $p=2$ genau die gleichen Formeln benutzt wie das Programm LSODE, nämlich die BDF1 und BDF2. Hier zeigt sich deutlich der Einfluß der verschieden gewählten Darstellungsformen der Lösung, die verschiedenen zur Anwendung gelangenden Strategien. Das Programm STINT speichert zusätzlich zu der Iterationsmatrix $W=I-h\gamma J$ auch die Jacobimatrix $J$, während hingegen das Programm LSODE nur alleine die Iterationsmatrix $W$ speichert. Das Programm LSODE besitzt daher nicht die Möglichkeit gezielt nur die Iterationsmatrix zu refaktorisieren, ohne dabei gleichzeitig die Jacobimatrix $J$ mitzuberechnen. Die Refaktorisierung der Iterationsmatrix $W$ hat aber häufig ihre alleinige Ursache in der dominanten Veränderung der Werte $h\gamma$, nicht jedoch in einer Veränderung der Matrix $J$. Dennoch muß dann aus Speicherplatzgründen die Jacobimatrix $J$ mitberechnet werden. Die Weiterentwicklung des Programmes LSODE zu dem Programm VODE trägt diesen Ergebnissen Rechnung, als daß nun auch in VODE eine Option vorhanden ist, die es erlaubt zu bestimmen, ob die Jacobimatrix $J$ getrennt gespeichert werden soll oder nicht. Die Vergleiche, die Hindmarsh/Brown/Byrne (1989) veröffentlichen, zeigen erneut, daß eine separate Speicherung von $J$ sehr nützlich ist.

Hierbei ist $p$ die maximal zulässige Ordnung, und $\overline p$ bezeichnet die mittlere Ordnung, die vom Programm verwendet wurde. $\varepsilon_{\max}$ ist der maximale Fehler, der überhaupt gemacht wurde, und $\varepsilon_{\rm end}$ ist der globale Fehler am Integrationsende, in diesem Falle bei $t=64$. Die angegebenen Werte wurden auf einer Rechenanlage Cray-1 ermittelt.

Vergleicht man nun die obigen Resultate des Programmes STINT mit den anderen Programmen, so ergibt sich das folgende Bild für STINT.

1. Von der CPU-Zeit her ist das Programm STINT zuerst zweitschnellstes Programm, danach dritt- und anschließend wieder zweit-schnell-stes. Das Programm DIRK ist hier stets am effizientesten. Hier gilt aber zu beachten, daß die Funktionsauswertungen und die Jacobimatrixauswertungen ausgesprochen einfach sind.
2. Bei den Jacobimatrixauswertungen bietet das Programm STINT deutliche Vorteile ggü. allen anderen Programmen. Dieses geht aber zu Lasten des Speichers, was bei großen Problemen zu berücksichtigen ist. Allerdings sind bei großdimensionalen Problemen häufig Bandstrukturen vorhanden, sodaß sich der zusätzliche Speicherbedarf nicht im entsprechenden Maße auswirkt.
3. Bei den Funktionsauswertungen zeigt das Programm STINT generell deutlich Vorteile, verglichen mit sämtlichen anderen gegenübergestellten Unterprogrammen. Das CPU-Zeit-günstigste Programm DIRK schneidet bei dieser Betrachtung hier jedesmal am wenigsten günstig ab. Dies unterstreicht nocheinmal, daß bei dem gewählten Testbeispiel die Funktion sehr einfach auszuwerten ist, es sind nämlich nur 8 Gleitkommamultiplikationen und nur 2 Gleitkommaadditionen nötig. Die Jacobimatrix ist sogar konstant. Bei den in der Einleitung erwähnten Homotopieverfahren können die Funktionsauswertungen u.U. relativ aufwendig sein, sodaß das Runge-Kutta-Verfahren DIRK in diesen Fällen nicht mehr CPU-Zeit-mässig brauchbare Werte liefern könnte.

Man beachte die sehr verschiedenen globalen Fehler, die von den untersuchten Programmen geliefert wurden. Dies relativiert die obigen Gegenüberstellungen, jedoch sind die beiden Programme STINT und LSODE gut miteinander vergleichbar. Besondere Aufmerksamkeit gebe man den sehr wenigen Schritten von den beiden Programmen STRIDE und BLEND, d.h. es wurden sehr große Schrittweiten gewählt. Auffällig ist, daß das Programm LSODE deutlich am meisten Jacobimatrixauswertungen benötigte und zwar sogar mehr, als alle anderen Programme zusammen.

Ein wichtiges Anliegen der Vergleiche, die Gaffney durchführte, war der Einfluß der Rechenanlage auf die Ergebnisse der benutzen Programme. Hierbei zeigte das Programm STINT besondere Auffälligkeiten. Bei der nun folgenden Tabelle beobachte man, daß —abweichend vom Üblichen— Verhalten des Programmes STINT, einmal bei Wechsel der Genauigkeit und zum anderen beim Wechsel der Rechenanlage. Es ist hier $\omega = 100$. PDP10/SP beziehungsweise PDP10/DP kennzeichnet die gewählte Genauigkeit, also single precision oder double precision auf einer Rechenanlage vom Typ PDP10.

Zum Vergleich seien hier die entsprechenden Werte für das Programm BLEND angegeben. Die Werte für die anderen Programme findet man in dem schon erwähnten Aufsatz von Gaffney (1984). Es zeigt sich dabei, daß lediglich das Programm STINT besonders auffällige Anzeichen aufweist. Wie bei der obigen Tabelle ist hier $\omega = 100$.

Biographisch:

1. Alan C. Hindmarsh (*1942), math. genealogy
2. Peter N. Brown
3. George Dennis Byrne

4. Rationalisierte Schrittweiten und dessen Einfluß

In einfacher Genauigkeit sind die IBM 360 Systeme Maschinen mit Basis 16 und abgehackter Arithmetik, die etwa sieben Dezimalstellen mitführen. Die Wortlängen und Rundungsfehlereigenschaften sind so schlecht, daß einfache Genauigkeit vollständig nutzlos für die ernsthafte Lösung von Differentialgleichungen ist (im Unterschied zu Lösungen, die als Beispiel im Unterricht vorgeführt werden). Andererseits ist die doppelte Genauigkeit von etwa 16 Dezimalstellen hardwaremässig eingebaut und sie kostet nur etwa 25% mehr als einfache Genauigkeit. Aus diesen Gründen sollte man gewöhnlich auf dieser Serie von Maschinen vollständig mit doppelter Genauigkeit rechnen. (Manche wundern sich, wie billig doppelte Genauigkeit ist, andere, warum eine so schlechte einfache Genauigkeit vorgesehen wurde.)

Lawrence F. Shampine, M.K. Gordon, "Computer Solutions" (1984)

Filippi/Kraska (1973) machten auf den folgenden Sachverhalt aufmerksam. Wählt man die Startschrittweite derart, daß sie im ersten Viertel des Rechnerwortes exakt darstellbar ist und ist ebenfalls der Anfangspunkt $t_0$ so gewählt, daß er exakt im Rechnerwort darstellbar ist und wird nun weiterhin die Schrittweite lediglich halbiert oder verdoppelt, so ergibt sich eine sehr wünschenswerte Genauigkeitsanhebung. Die Einschränkung auf ein Viertel der Wortlänge dient nur zur Illustriation und um genügende Reserven bei der Schrittweitenverdopplung oder Halbierung zu haben.

Die nachstehende Tabelle enthält die Werte für die Differentialgleichung $$ \dot y = \pmatrix{0&15\cr -0.6&0\cr}y, \qquad y(0)=\pmatrix{0\cr 1\cr}, \qquad t\in[0,50], $$ mit der exakten Lösung $$ y(t) = \pmatrix{5\sin3t\cr \cos3t\cr}, \qquad t\in[0,50]. $$ Diese Testdifferentialgleichung wurde einmal mit dual rationalisierter Schrittweite und einmal ohne diesen Effekt integriert und zwar mit von S. Filippi und E. Kraska entworfenen Hybrid-Verfahren. Da bei der obigen Differentialgleichung das Integrationsintervall vergleichsweise lang ist, tritt der erwünschte Effekt besonders deutlich zutage. Die Ergebnisse wurden auf einer Rechenanlage vom Typ CDC 6400 mit 48 bit Mantissenlänge gewonnen.

Wollte man diese Rationalisierung der Schrittweite in das Programm TENDLER einbauen, so wären

1. die Schrittweiten- und Ordnungssteuerung,
2. die Fehlerkontrolle und
3. der Konvergenztest davon betroffen.

Man sollte vermerken, daß dieser Effekt mehr für sehr hohe Genauigkeitsanforderungen konzipiert ist. Wichtig ist, daß die Startzeit $t_0$ eine günstige Interndarstellung besitzt. Ist dies nicht der Fall, so muß die erste Schrittweite so bemessen werden, daß man durch $t_0+h_0$ auf eine günstige Interndarstellung kommt. Dies zu erreichen ist einfach, wenn man Gleitkommazahlen maskieren könnte. Weiß man um die Interndarstellung der Gleitkommazahlen im Hauptspeicher, im Cache und in den Registern, so genügt u.U. ein einfaches §union§.

Biographisch.

1. Siegfried Filippi, math. genealogy
2. Ernst Kraska

Implizite lineare Mehrschrittverfahren benötigen zur Lösung der dabei auftretenden Gleichungssysteme ein Iterationsverfahren. Dies ist entweder die Picard Iteration oder eine der vielen Spielarten der Newton Iteration. Die erste Iterationsart ist leicht zu programmieren und erfordert wenig zusätzlichen Aufwand, ist aber nicht für steife Differentialgleichungen geeignet, da andernfalls hier eine erhebliche Einschränkung der Schrittweite in Kauf zu nehmen wäre. Bei dem Newton Iterationsverfahren liegen die Verhältnisse umgekehrt. Die Schrittweite muß aus Konvergenzgründen des Iterationsverfahrens i.d.R. nicht notwendig stark reduziert werden, allerdings ist der programmiermässige und rechenzeitmässige Aufwand höher. Der Startwert für die Iteration, entweder Picard- oder Newton Iteration, wird häufig durch ein explizites Verfahren geliefert, dem sogenannten Prädiktor. Vorgeschlagen wird auch (insbesondere bei Benutzung einer der zahlreichen Varianten der Newton Iteration) den zuletzt akzeptierten Näherungswert für die Integration, als Startwert für die Iteration zu verwenden. Gelegentlich wird nur dann von Prädiktor-Korrektor-Verfahren gesprochen, wenn mit Hilfe des Picardschen Iterationsverfahren iteriert wird. Im Zusammenhang wird allerdings stets deutlich, welche Iterationsart nun gemeint ist. Hier wird, wie vielerorts üblich, keinerlei Unterschied in der Benennung vorgenommen.

Im ersten Abschnitt wird die Schreibweise von Prädiktor-Korrektor-Verfahren behandelt. Es zeigt sich hierbei, daß es unter gewissen Umständen günstiger ist, die Implizitheit der Korrektorformeln zu beseitigen und somit zu einer expliziten Darstellung der berechneten Näherungslösungen der Differentialgleichungen zu kommen. Anschliessend werden die bei der Picard Iteration wichtigen Konstanten $\gamma$ von mehreren Verfahren einander gegenübergestellt. Verglichen werden hier die BDF, Adams-Verfahren und die zyklischen Formeln von Tendler. Schließlich wird der Startfehler-Satz von Liniger formuliert und bewiesen. Dieser Satz verallgemeinert einen bekannten Satz über Prädiktor-Korrektor-Verfahren, wenn nur die Picard Iteration zur Anwendung gelangt, auf den entsprechenden Satz, wenn die Newton-Raphson Iteration und die Newton-Kantorovich Iteration benutzt wird. Es zeigt sich hierbei, daß bei Picard Iteration, Newton Iteration und Newton-Kantorovich Iteration eine einzige Iteration vollkommen ausreicht um die Konsistenzordnung des Korrektors zu bewahren, wenn sich die Konsistenzordnungen von Prädiktor und Korrektor nur um eine Ordnung unterscheiden. Hiermit wird dann eine sehr gängige Rechenpraxis theoretisch abgesichert.

1. Pädiktor-Korrektor-Verfahren und lineare Differenzengleichungen

1. Bei fester Iterationsanzahl $i$ lassen sich Prädiktor-Korrektor-Verfahren als lineare Differenzengleichungen betrachten und analysieren. Stellt man das resultierende Gesamtverfahren in der Form dar

so wird folgendes deutlich:

1. Die Konvergenzvoraussetzung $\mathopen|h\gamma J\mathclose| < 1$ wird zu einer Stabilitätsbedingung;
2. Es genügt ein Programm, welches bei gegebenen Matrizen $A_i$ und $B_i$, den Widlund-Winkel und weitere für die Stabilität wichtige Eigenschaften berechnet;
3. Die Berechnung des charakteristischen Polynoms mit Hilfe eines Formelmanipulationssystems, wie z.B. REDUCE, siehe Anthony C. Hearn + Rainer Schöpf (2025), wird vereinheitlicht, obwohl natürlich dieses Polynom wegen (2), von geringerem Interesse für sich alleine ist.

2. Für das implizite Euler-Verfahren $y_{n+1}=y_n+hf_{n+1}$ als Korrektor und dem expliziten Euler-Verfahren $y_{n+1}=y_n+hf_n$ als Prädiktor ergibt sich für das $P(EC)^iE$-Verfahren

Mit den Vektoren

ergeben sich für die Matrizen $A_0$, $A_1$, $B_0$ und $B_1$ die Einträge

3. Zum Beispiel erhält man für das $P(EC)(EC)E$-Verfahren mit den beiden Euler-Formeln das dreistufigen Verfahren

und mit den Vektoren

ergeben sich die Matrizen $A_0$, $A_1$, $B_0$ und $B_1$ wie folgt

4. Für das $P(EC)^i$-Verfahren, also Auslassung der letzten Funktionsauswertung und Benutzung des zuletzt verfügbaren Funktionswertes im neuen zusammengesetzten Verfahren, ergibt sich ganz analog

Mit der Schreibweise der Vektoren $z_{n+1}$, $z_n$, $F_{n+1}$ und $F_n$ wie oben, also

bleiben natürlich die Matrizen $A_0$ und $A_1$ unverändert. Lediglich $B_0$ verändert sich und es ergibt sich

5. Konkret für das $P(EC)(EC)$-Verfahren mit den beiden Euler-Formeln erhält man

Mit den üblichen Vektoren

ergeben sich dann die Matrizen $A_0$, $A_1$, $B_0$ und $B_1$ zu

wobei sich selbstverständlich nur die Matrix $B_0$ geändert hat.

6. Die Verallgemeinerung auf mehrstufige Verfahren, bei denen in jeder Stufe eine feste Anzahl an Korrektoriterationen durchgeführt werden, ist nun offensichtlich. Es ist genauso möglich implizite Runge-Kutta Verfahren oder blockimplizite Verfahren mitzubehandeln, wenn die nichtlinearen Gleichungen mit einer festen Anzahl an Iterationen gelöst werden.

Als Beispiel werde das folgende blockimplizite Verfahren behandelt. Der Einfachheit werde lediglich die explizite Euler-Formel als Verfahren zur Besorgung einer Anfangsnäherung benutzt. Man erhält dann

Der Prinzipientreue wegen, wurde in der obigen vierten Stufe $f_{2n+1}^0$ verwendet, ebenso gut wäre es möglich gewesen in diesem Falle schon gleich den Wert $f_{2n+1}^1$ zu benutzen, der ja anschliessend ehedem berechnet werden muß und zwar auf jeden Fall bei $y_{2n+1}^1$. Gleiches gilt für $f_{2n+1}^1$ in der letzten Stufe.

7. Die Annahme, daß die Anzahl der Iterationen schon gleich zu Anfang der Integration festliegt, tritt sehr häufig auf. Beispielsweise verwendet das Programm DE/STEP von Shampine/Gordon (1984) stets den $PECE$-Modus. In dem Programm TENDLER kann der Benutzer frei wählen, welchen Iterationsmodus er wünscht.

Lawrence F. Shampine, Marilyn K. Gordon.

Ihm steht es hier frei, gleich zu Anfang der Integration die Anzahl der Iterationen zu fixieren, oder aber diese Entscheidung dem Programm selber zu überlassen. Im letzteren Falle werden die Anzahl der Iterationen adaptiv aufgrund eines Konvergenzkriteriums festgelegt. Dieser Entscheidungsspielraum gilt hier sogar gleichermaßen für die Newton-Kantorovich Iteration als auch für die Picard Iteration. Natürlich kann auch nachträglich zu jeder Zeit die Iterationsart vom Benutzer beliebig geändert werden. Anwendung findet dies, wenn man zuerst die einem völlig unbekannte Differentialgleichung mit der sichersten Einstellung (i.d.R. mnifloat) numerisch löst. Weiß man dann anschliessend aufgrund der generierten Statistiken wesentlich mehr über die Art der Differentialgleichung, so wählt man anschliessend den besonders günstigen Modus von vorneherein aus. In diesem zweiten Lauf kann man auch die Genauigkeitsanforderung unter Umständen wesentlich restriktiver setzen und erhält dann dennoch bei gleichen Rechenzeiten ein genaueres Resultat. Aber selbstverständlich ist es viel bequemer alle diese Entscheidungen dem Programm TENDLER selbst zu überlassen.

2. Newton Iteration und Prädiktor-Korrektor-Verfahren

1. Prädiktor-Korrektor-Verfahren, bei denen die Auflösung der Implizitheit durch das Newton-Verfahren geschieht, lassen sich ebenfalls als zusammengesetzte lineare Mehrschrittverfahren schreiben und zwar in gänzlich analoger Form wie schon geschehen. Markantester Unterschied ist nun lediglich, daß die Koeffizienten des Verfahrens Matrizen sind, anstatt Skalare, wie sonst.

Das resultierende Matrixpolynom ist letztlich ein Matrixpolynom mit Koeffizienten, die jeweils Blockmatrizen sind. Dies ist nicht gänzlich überraschend, da dies auch der Fall ist, wenn man die Dimension der Differentialgleichung mit in der Schreibweise berücksichtigt. Anders ist nun jedoch, daß nicht jede Komponente gleich behandelt wird. Analoges gilt bei ROW-Verfahren und bei Verfahren mit Ableitungen.

2. Jeder Iterationsschritt mit dem Newton-Verfahren, bzw. mit einer Variante dieses Iterationsverfahrens, ist von der Form:

wegen $z^\nu=hf(y^\nu)$. Nur nebenläufig sei daran erinnert, daß das Verfahren nur so zu Untersuchungszwecken geschrieben wird, programmiert wird es in dieser Gestalt selbstverständlich nicht.

3. In dem Programm TENDLER sind alle Stufen des Verfahrens zweiter Ordnung, nichts anderes als die BDF2 und es wird die explizite Mittelpunktsregel als Prädiktorformel benutzt. Ausführlich ausgeschrieben lautet ein Newton-Kantorovich-$P(EC)(EC)$-Verfahren mithin:

Würde man mit dem Picardschen Iterationsverfahren rechnen, so hätte man wie üblich lediglich $W=I$ zu setzen. Beim $P(EC)(EC)E$-Verfahren hätte man in der ersten Zeile statt $z^1_n$ einfach $z^2_n=z_n$ zu schreiben.

Schreibt man dann das $P(EC)(EC)$-Verfahren als Matrix-Differenzengleichung, so erhält man %für $y^\nu_i$ dann die Matrixdifferenzengleichung

mit den Matrizen $A_0$, $A_1$, $A_2$ und $B_0$, $B_1$, $B_2$ wie folgend \begingroup

und

Die Matrizen $A_0,A_1,A_2,B_2$ hängen von $W$ ab. Es handelt sich in diesem Sinne nicht mehr notwendig um eine Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten.

4. Allgemeiner gilt für die letzten beiden Matrizen $A_\kappa$ und $B_\kappa$ bei einem $P(EC)(EC)$-Verfahren die Darstellung

an der man natürlich auch den allgemeineren Falle, sofort abliest.

3. Gegenüberstellung von $\beta_\kappa/\alpha_\kappa$ für 3 Verfahren

Es folgt eine Gegenüberstellung der Werte $\gamma={\beta_\kappa/\alpha_\kappa}$ für die drei linearen Verfahren Adams-Moulton, BDF und Tendler.

Für das zyklische Verfahren wird dabei der größte Wert $\gamma$ innerhalb des Zykluses angegeben, da dieser ja maßgeblich die Konvergenz der Picard Iteration bestimmt. Dennoch unterscheiden sich bei den Formeln von Joel Marvin Tendler die Werte $\gamma$ innerhalb eines Zykluses nicht angebenswert.

Für die Adams-Moulton-Verfahren ist

mit

Jedes Adams-Moulton-Verfahren ist ein $k$-Schrittverfahren, jedoch der Konvergenzordnung $p=k+1$, außer bei dem impliziten Euler-Verfahren, welches man i.d.R. auch unter den Adams-Moulton-Verfahren untergeordnet findet, welches jedoch als Einschrittverfahren (wie die Trapezregel) nicht die Konvergenzordnung $1+1=2$ hat.

4. Anzahl der Newton Iterationen und Konsistenzordnung

1. Bei Picard-Prädiktor-Korrektor-Verfahren benutzt man das Picardsche Iterationsverfahren zur Lösung der dabei anfallenden Gleichungen. Es zeigt sich dabei, daß die Konsistenzordnung $p_{\max}$ und damit einhergehend die Konvergenzordnung der so gebildeten zusammengesetzten Verfahren, aus einmal Prädiktor als Startwert der Iteration und zum zweiten dem Korrektor, einer Schranke nach oben unterliegt und zwar

Dies gilt sowohl für das $P(EC)^i$- als auch für das $P(EC)^iE$-Verfahren. Hierbei bezeichnet $\hat p$ die Konsistenzordnung des Prädiktors und $p$ ist die Konsistenzordnung des Korrektors. Ein direkter Beweis obiger Behauptung ergäbe sich u.a. mit Hilfe der Begriffe der Totalannullation und der annullierten Dominanz.

Eine völlig analoge Aussage, anstatt für die Picard Iteration, nun für die Newton Iteration und Varianten des Newton-Verfahrens, macht der Startfehler-Satz von Liniger, Liniger (1971), Werner Liniger (1927–2017).

Der Startfehlersatz von Liniger zeigt an, wie sich Fehler in den Startwerten der Iteration ausbreiten.

Mit Newton-Raphson-Verfahren sei gemeint, daß in jedem Iterationsschritt die Iterationsmatrix neu berechnet wird.

Mit Newton-Kantorovich-Verfahren sei bezeichnet dasjenige Iterationsverfahren zur Lösung von Gleichungssystemen, bei welchem die Iterationsmatrix nur ganz zu Anfang der Iteration berechnet wird. Es sei daran erinnert, daß in dem Programm TENDLER und in vielen weiteren Programmen noch weiter gegangen wird. Die Iterationsmatrix wird nicht nur über mehrere Iterationsschritte konstant gelassen, sondern sogar über mehrere Integrationsschritte und dies selbst dann, wenn sich die Schrittweite schon mehrfach geändert hat. Die Schrittweite ist ein wichtiger Bestandteil der Iterationsmatrix. Es gilt nun jedoch der folgende sehr bedeutsame Sachverhalt.

2. Satz: (Startfehler-Satz von Liniger) Voraussetzung: Es bezeichne $i$ die Anzahl der Iterationen und $\hat p$ sei die Konsistenzordnung des Startwertes, also die des Prädiktors, und $p$ sei die Ordnung des Korrektors. Die Schrittweite $h$ sei genügend klein, wie klein, wird beim Beweis angegeben.

Behauptung: Die Konsistenzordnung $p_{\max}$ eines impliziten linearen Mehrschrittverfahrens verhält sich in Abhängigkeit der Anzahl der Iterationen und der Prädiktorkonsistenz, wie folgt:

1. Für die Picard Iteration: $p_{\max}=\min(\hat p+i,p)$.
2. Für die Newton-Kantorovich Iteration: $p_{\max}=\min(\hat p+(\hat p+1)i,p)$.
3. Für die Newton-Raphson Iteration: $p_{\max}=\min\bigl((\hat p+1)2^i-1,p\bigr)$.

3. Dieses Ergebniss zeigt, daß falls die Ordnung des Prädiktors höchstens um eins niedriger ist als die Ordnung des Korrektors, immer eine einzige Iteration vollkommen ausreicht um die Ordnung des Korrektors zu bewahren. Bei den Newton Iterationsarten kann die Startordnung sogar erheblich unter der des Korrektors liegen. Beim Newton-Kantorovich Iterationsverfahren nimmt die Ordnung linear mit der Anzahl der Iterationen zu, und beim Newton-Raphson Iterationsverfahren nimmt die Ordnung sogar quadratisch zu. Diese Ergebnisse sind natürlich aus anderem Zusammenhang sämtlich bekannt:

1. Die Picard Iteration konvergiert linear,
2. das Newton-Kantorovich Iterationsverfahren konvergiert ebenfalls linear, aber asymptotisch schneller und
3. das Newton-Raphson Iterationsverfahren konvergiert quadratisch und damit asymptotisch am schnellsten bei größtem Rechenaufwand im Vergleich mit den beiden anderen Verfahren.

Dies alles natürlich unter der Voraussetzung geeignet guter Startwerte für die Iteration und der eindeutigen Lösbarkeit des Gleichungssystems. Sind diese Grundvoraussetzungen nicht erfüllt, so braucht beispielsweise das Newton-Raphson Iterationsverfahren weder zu konvergieren noch gar schon quadratisch zu konvergieren. Genau zur Sicherstellung dieser Grundvoraussetzungen dient die Einschränkung an $\mathopen|h\mathclose|$.

4. Zur Vorbereitung des Beweises des obigen Satzes seien folgende Bezeichnungen und Abkürzungen zur Vereinfachung eingeführt. Zur Lösung des autonomen Differentialgleichungssystems $\dot y=f(y)$ werde verwendet das implizite lineare Mehrschrittverfahren

Wegen $\alpha_\kappa, \beta_\kappa\ne 0$ ist das (i.d.R. nichtlineare) Gleichungssystem

in jedem Zeitschritt zu lösen, mit

Das Newton-Raphson Iterationsverfahren zur Lösung von $y=\phi(y)$ lautet

mit $\phi_y=h\gamma J$, und $J=f_y$ ist die Jacobimatrix der Funktion $f$. Das Newton-Kantorovich Iterationsverfahren lautet

Schließlich die Picard Iteration lautet in der obigen Schreibweise

Bezeichnet $\varepsilon^\nu$ die Abweichung der $\nu$-ten Iterierten $y^\nu$ von der exakten Lösung $y^*$ der Gleichung $y=\phi(y)$, also

so folgt unmittelbar

Man beachte, daß $y^{*}$ die exakte Lösung der angegebenen Gleichung $y=\phi(y)$ ist und nicht notwendig auch die exakte Lösung der Differentialgleichung. Existenz und Eindeutigkeit von $y^{*}$ mit $y^*=\phi(y^{*})$ ist für genügend kleine Schrittweite $h$ stets garantiert, aufgrund des Banachschen Fixpunktsatzes, Stefan Banach (1892–1945). Dieser Sachverhalt, als auch der nachfolgende Beweis ist, wenn man so will bei dieser Art der Begründung, nicht unabhängig von der Steifheit, sondern ein asymptotisches Resultat, gilt also nur bei ausreichend kleiner Schrittweite $h$.

Zur Abkürzung seien ferner

die Abbruchordnung des Newton-Raphson Iterationsverfahrens und die Abbruchordnung des Newton-Kantorovich Iterationsverfahrens. Dabei sei die Abweichung des Startwertes $y^0$ der Iteration vom exakten Startwert $y^*$ von der Ordnung ${\cal O}(h^g)$, mit einem $g\in\mathbb{N}$.

Beweis: (Startfehlersatzes von Liniger)

Zu (1): Die Picard Iteration lässt sich durch Taylorentwicklung um $y^*$ auch schreiben zu

Wegen $y^*=\phi(y^{*})$ folgt damit

und aufgrund dieser einfachen Rekurrenzgleichung für $\varepsilon^\nu$ daher offensichtlich $\varepsilon^{\nu+1} = {\cal O}(h^{g+\nu+1})$, falls $\varepsilon^\nu = {\cal O}(h^{g+\nu})$. Wegen $\phi_y(\cdot) = {\cal O}(h)$ liefert damit jede Iteration eine $h$-Potenz mehr dazu.

Der Anfangsfehler war ja voraussetzungsmässig von der Ordnung ${\cal O}(h^g)$. Die Schrittweite $h$ muß so klein gewählt werden, daß die obige Rekurrenzgleichung für $\varepsilon^\nu$ kontrahierend ist. In einer Norm muß also gelten $\left|\phi_y(\xi)\right| < 1$.

$\underline{\phi_y(\xi)}$ bezeichnet hier die Jacobimatrix von $\phi$, allerdings wird jede Zeile an möglicherweise verschiedenen Stellen ausgewertet.

Brook Taylor (1685–1731).

Zu (3): Nach dem Satz von Taylor erhält man durch Entwickeln von $\phi$ und $\phi_y$ um $y^{*}$ [$y^* = \phi(y^{*})$] die Beziehungen

Dabei besteht jede Komponente des Vektors $\phi_{yy}(\xi)\varepsilon^\nu\varepsilon^\nu$ aus der quadratischen Form

wobei jede Komponente des Vektors eine “andere” Hessematrix $H_i(\xi_i)$ besitzt, möglicherweise ausgewertet an verschiedenen $\xi_i$, siehe Ortega/Rheinboldt (1970).

Ludwig Otto Hesse (1811–1874), Werner Carl Rheinbold (1928–2024), James McDonough Ortega (*1932).

Für $\phi_{yy}(\zeta)$ gilt entspechendes.

Natürlich ist $\phi_y=h\gamma f_y$ und $\phi_{yy}=h\gamma f_{yy}$, also beide Ausdrücke sind von der Ordnung ${\cal O}(h)$,

Nach kurzer Rechnung erhält man durch konsequentes Einsetzen der beiden Taylorentwicklungen $(T)$ in die Rechenvorschrift $(N)$ der Newton-Raphson Iteration und durch Umformung unter Benutzung von $(D)$ und $y^* = \phi(y^*)$ erhält man

Die obige eingliedrige Rekurrenzgleichung $(*)$ ist nun die Basis für den folgenden Induktionsbeweis.

Die Induktionsverankerung mit $\nu=0$: Für die nullte Iteration ist $R(0)=(g+1)2^0-1=g$. Dies stimmt mit der vorausgesetzten Ordnung des Anfangsfehlers $y^0-y^*= {\cal O}(h^g)$ überein.

Der Induktionsschluß von $\nu$ auf $\nu+1$: Es gelte nun $\varepsilon^\nu = {\cal O}(h^{R(\nu)})$ mit

Die Matrix vor $\varepsilon^{\nu+1}$ in $(*)$ ist $I+{\cal O}(h)$, wegen $\phi_y={\cal O}(h)$, $\phi_{yy}={\cal O}(h)$, $R(\nu) \ge 1$ und damit auch die Inverse dieser Matrix.

Die Invertierbarkeit lässt sich stets durch ein genügend kleines $h$ erzwingen. Für die Inverse beachte man die Neumannsche Reihe. Denkt man sich vor die rechte Seite von $(*)$ den Term $\left[I+{\cal O}(h)\right]^{-1} = \left[I+{\cal O}(h)\right]$, so erkennt man, daß maßgeblich nur $I$ ist. Damit erhält man für $\varepsilon^{\nu+1}$ die Ordnung $\varepsilon^{\nu+1}={\cal O}(h^s)$, mit

wegen der Beziehung $(*)$. Somit gilt auch $\varepsilon^{\nu+1}={\cal O}(h^{R(\nu+1)})$.

Zu (2): Wiederum durch Einsetzen der Taylorentwicklungen $(T)$ in die Iterationsvorschrift $(K)$ des Newton-Kantorovich Iterationsverfahrens und durch Benutzen von $(D)$ und $y^* = \phi(y^*)$, erhält man schließlich eine eingliedrige, implizite Rekurrenzgleichung für $\varepsilon^\nu$ zu

Diese Gleichung ist erneut die Grundlage des nachfolgenden Induktionsganges.

Induktionsverankerung mit $\nu=0$: $K(0)=g+0\cdot(g+1)=g$, was mit der vorausgesetzten Ordnung des Startwertes von $y^0-y^*={\cal O}(h^g)$ übereinstimmt.

Induktionsschluß von $\nu$ auf $\nu+1$: Es gelte nun $\varepsilon^\nu = {\cal O}(h^{K(\nu)})$ mit $K(\nu) = g + (g + 1)\nu$. Die Matrix vor $\varepsilon^{\nu+1}$ bei $(**)$ hat die Form $I+{\cal O}(h)$, weil $\phi_y(y^*) = {\cal O}(h)$, $\phi_{yy}(\zeta) = {\cal O}(h)$, $\varepsilon^0 = {\cal O}(h^g)$, $g \ge 1$ und somit auch die Inverse.

Entscheidend ist nun wiederum lediglich $I$. Auf der rechten Seite der eingliedrigen Rekurrenzgleichung $(**)$ ist der erste Summand $A$ von der Ordnung ${\cal O}(h^{2K(\nu)+1})$ und der zweite Summand $B$ ist von der Ordnung ${\cal O}(h^{g+K(\nu)+1})$, wegen $\varepsilon^0={\cal O}(h^g)$. Nun sieht man aber schnell ein, daß $B$ asymptotisch betrachtet stets dominiert, wegen

aufgrund von

Daher ist $\varepsilon^{\nu+1}$ von der gleichen Ordnung wie $B$, somit $\varepsilon^{\nu+1}={\cal O}(h^s)$, wobei

folglich $\varepsilon^{\nu+1}={\cal O}(h^{K(\nu+1)})$.

Die Bildung der Minima ist natürlich notwendig, da die Konsistenzordnung des Korrektors selbstverständlich niemals überschritten werden kann; man gehe mit der exakten Lösung der Differentialgleichung in die Korrektorformel hinein.

Es bleibt noch die Verbindung zwischen der Iterationsstartordnung $g$ und den Konsistenzordnungen $\hat p$ und $p$ von Prädiktor und Korrektor aufzuzeigen. Bedeutet $y$ die exakte Lösung der Differentialgleichung, so hat man übersichtlich zusammengefasst die folgenden Beziehungen:

Nun ist $y^0 - y^* = {\cal O}(h^{\hat p})$, falls $\hat p\le p$ und damit $g=\hat p$. Dies wegen

Damit folgt schließlich die volle Behauptung des Satzes.     ☐

5. Der Startfehler-Satz von Liniger deutet darauf hin, daß asymptotisch betrachtet mehr als eine Iteration der Genauigkeit wegen nicht notwendig ist, bei entsprechend gewählter Genauigkeit des Prädiktors. Wenn nun trotzdem mehr als einmal iteriert wird, dann eigentlich nur um

1. Information über das Schalten zu erhalten,
2. Ungenauigkeiten in einer zu alten Iterationsmatrix zu kompensieren und abzumildern,
3. Steifheit abzudämpfen, oder
4. die Schrittweite $h$ nicht ausreichend klein ist, sodaß die Voraussetzungen für den Satz von Liniger nicht erfüllt sind.

Man beachte, daß der Startfehler-Satz von Liniger kein spezielles Resultat über implizite lineare Mehrschrittverfahren ist. Der Satz lässt sich leicht verallgemeinern auf andere Verfahren. Lediglich zur Illustriation wurde hier die Sprache der lineraren Mehrschrittverfahren gewählt. Der Satz gilt allgemein für Verfahren, die schließlich zu einer Keplerschen Gleichung $\phi(y) = h\gamma f(y) + \psi$ münden. Der Beweis und die Aussagen des Satzes übertragen sich beispielsweise, wenn man die skalaren Koeffizienten $\alpha_i$ und $\beta_i$ ersetzt durch Matrizen $A_i$ und $B_i$. Da nun die Dimensionen von $\phi$ und $\psi$ größer werden können, verändern sich die erwähnten Zwischenstellen $\xi$ und $\zeta$.

Der Satz macht eine Aussage über das Anschnellen der Ordnung bei linearen und nichtlinearen Iterationsarten. Auf die ausreichend oftmalige Differenzierbarkeit, hier zweimal stetig differenzierbare Funktion $f$, sei nur nebenläufig hingewiesen. Für die Aussage bei der Picard Iteration genügt selbstverständlich einmalige stetige Differenzierbarkeit.

Zum Vergleich mit den zyklischen Formeln von J.M. Tendler, sollen auch noch weitere Formeln angegeben werden, die entweder auf zyklischen Formeln, Verfahren mit Ableitungen, oder blockimpliziten Formeln beruhen. Sie haben die Eigenschaft, daß bei niedrigen Ordnungen ihre Koeffizienten noch vergleichsweise klein sind und ganz sind. Allerdings wurden diese hier vorgestellten Formeln noch nicht in einem schlagkräftigen Programm eingebaut, wenn man einmal in gewissen Umfange von den Formeln von W.H. Enright absieht. Dies liegt z.T. darin, daß sich zu den günstigen Eigenschaften dieser Formeln auch gewisse Nachteile hinzugesellt haben.

1. Die zyklischen Formeln von Donelson und Hansen

Aufgrund der numerischen Untersuchungen läßt sich vermuten, daß kein Donelson-Hansensches $(k=3, M=2)$-zyklisches Verfahren existiert, das in der ganzen linken Halbebene stabil ist.

Matija Mihelčić (1977)

Es seien nun noch die Formeln von Donelson/Hansen (1971) angegeben

Donelson III, John und Hansen, Eldon: "Cyclic Composite Multistep Predictor-Corrector Methods", SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol 8, 1971, pp.137—157

Da die Koeffizienten der Verfahren ganzzahlig und betragsmässig vergleichsweise “klein” sind, eignen sie sich gut für Untersuchungs- und Experimentierzwecke. Die Verfahren sind nicht für steife Differentialgleichungen gedacht und auch nicht geeignet.

Ohne Berücksichtigung eines Prädiktors haben die Verfahren einen sehr kleinen Stabilitätsbereich, siehe Mihelčić (1977) und Albrecht (1979).

1. Matija Mihelčić (Mihelcic): “Fast A-stabile Donelson-Hansensche zyklische Verfahren zur numerischen Integration von 'stiff'-Differentialgleichungssystemen”, Angewandte Informatik, 1977, Vol 19, Heft 7, pp.299—305, Kopie
2. Albrecht, Peter: “Numerische Behandlung gewöhnlicher Differentialgleichungen”, Jül-1274, Februar 1976, Berichte der Kernforschungsanlage Jülich, Institut für Festkörperforschung, Kopie
3. Albrecht, Peter: “Die numerische Behandlung gewöhnlicher Differentialgleichungen — Eine Einführung unter besonderer Berücksichtigung zyklischer Verfahren”, Carl Hanser Verlag, München Wien, 1979, xi+193 S.

Biographisch:

1. John Donelson III
2. Eldon Hansen
3. Matija (Miško) Mihelčić (1935—2011)
4. Peter Albrecht

1. Die beiden folgenden Verfahren benötigen $k=3$ Startwerte, konvergieren jedoch mit der Ordnung $p=2k-1$, bzw. der Ordnung $p=2k$. Hier ist bei beiden Verfahren das Äquilibrierungsmaß $\mu\approx p/2$. Zum Zwecke der weiteren Referierung seien diese beiden Verfahren mit DH1 und DH2 bezeichnet.

DH1 Ordnung 5.

DH2 Ordnung 6.

Für das obige zyklische Verfahren DH1 der Ordnung $p=5$ erhält man das charakteristische Polynom

DH2 hat das charakteristische Polynom mit den Nebenwurzeln

welche auf der Peripherie des Einheitskreises liegen. DH2 ist damit nur schwach stabil.

2. Für die nächsten beiden Verfahren beträgt die Anzahl der Startwerte $\kappa=3$, die Verfahren konvergieren erneut jeweils mit der Ordnung $p=2\kappa-1$ und der Ordnung $p=2\kappa$. Dabei ist das linke Verfahren sogar lediglich zweistufig mit $\mu\approx p/2$ und für das Verfahren 6.ter Ordnung ist $\mu\approx p+3$. Die Verfahren seien im weiteren mit DH3 und DH4 bezeichnet.

DH3 Ordnung 5.

DH4 Ordnung 6.

Das charakteristische Polynom für das zweistufige, zyklische Verfahren DH3 der Ordnung $p=5$ ist

während das dreistufige, zyklische Verfahren DH4 der Ordnung $p=6$, rechts daneben, das charakteristische Polynom besitzt

3. Für die obigen 4 zyklischen Verfahren schlagen Donelson III und Hansen die folgende Prädiktorformel vor:

und zwar für jede Stufe. Das Äquilibrierungsmaß $\mu$ für den Prädiktor beträgt $\mu=72$.

Entgegen den Verfahren von J.M. Tendler liegt hier ein anders Vorzeichenverhalten innerhalb der Stufen zugrunde. Das nachfolgende Verfahren DH5 mit $\kappa=4$ Startwerten konvergiert mit der Ordnung $p=2\kappa-1=7$. Hierzu sind allerdings jetzt $4$ Stufen nötig. Das Äquilibrierungsmaß $\mu$ beträgt hier ungefähr $\mu\approx p+2$.

Als Prädiktor für die beiden Verfahren DH5 und DH6 wird vorgeschlagen

welcher ein äußerst schlechtes Äquilibrierungsmaß von $\mu=250$ aufweist.

4. Die beiden Verfahren DH5 und DH6 der Ordnung 7 sind wie untenstehend.

DH5 Ordnung 7.

Das letzte zyklische Verfahren DH6 mit $\kappa=4$ Startwerten konvergiert mit der Ordnung $p=2\kappa-1=7$, nicht mit der Konvergenzordnung 8. Das Äquilibrierungsmaß ist hier $\mu\approx p+2=9$.

DH6 Ordnung 7.

5. Für DH1 erhält man als Linkseigenvektor zu $\rho(1)=A_1+A_0$ und die daraus sich ergebenden Werte

6. Für das Verfahren DH2, welches die Bedingung der annullierten Dominanz erfüllt, ergibt sich

7. Für das zweistufige Verfahren DH3 ergeben sich die Größen

8. Für DH4, das zweite Verfahren, welches die Bedingung der annullierten Dominanz erfüllt, berechnet man

9. Für das vierstufige, zyklische Verfahren DH5 der Konvergenzordnung 7 erhält man nach kurzer Rechnung

10. Schließlich für das letzte vierstufige, zyklische Verfahren DH6 der Konvergenzordnung 7 berechnet man die Werte

Versehentlich wurde dieses Verfahren bei Donelson III, John und Hansen, Eldon, "Cyclic Composite Multistep Predictor-Corrector Methods", SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol 8, 1971, pp.137—157 auch als Verfahren der Konvergenzordnung $p=8$ angegeben. Allerdings erkennt man, daß die Henricische Fehlerkonstante sehr klein ist.

2. Die Fehlerfaktoren der Verfahren von Donelson und Hansen

Für die oben angegebenen zyklischen Formeln von Donelson III und Hansen werden in unskalierter Form die Fehlerfaktoren aufgeführt. Bei allen Verfahren haben immer alle Stufen die gleich hohe Konsistenzordnung, außer bei dem Verfahren DH2, wo die erste Stufe eine um eins höhere Konsistenzordnung besitzt. In den nachstehenden Tabellen bezeichnet $p$ die Konvergenzordnung des Gesamtzyklus und $q$ bezeichnet die Konsistenzordnung. Es ist also $c_{q+1}\ne0$, aber $c_{q-i}=0$, für $i=0,\ldots,q$. Somit

Bei den beiden Verfahren DH2 und DH3 ist die Bedingung der annullierten Dominanz erfüllt. Erneut ist somit $c_{q+1}$ die erste nichtverschwindende Komponente des Matrix-Vektor-Produktes aus Konsistenzmatrix $C_{q+2,k+\ell}$ und den Koeffizienten $(\alpha,\beta)^\top$ des Verfahrens skaliert mit der entsprechenden Fakultät $(q!)$.

wobei

Es folgen nun die Fehlerkonstanten der 6 zyklischen Formeln von Donelson und Hansen, wobei stufenweise mit dem führenden Koeffizienten $\alpha_{ii}$ skaliert wurde. Die Werte sind auf sechs Stellen gerundet.

wobei

Die Fehlerkonstanten der zyklischen Verfahren, wobei stufenweise mit $\sigma_i(1)$, für $i=1,\ldots,4$, skaliert wird, also stufenweise die Fehlerkonstante von Henrici gebildet wird, lauten:

wobei

3. Mihelčić Verfahren der Ordnung 4

Schließlich sei auch noch das für steife Differentialgleichungen geeignete zyklische Verfahren von Mihelčić (1977) angegeben. Im Gegensatz zu den Formeln von Tendler, welche $p$ Startwerte benötigen zur Erreichung der Ordnung $p$, genügen nun lediglich $p-1$, also hier 3 Startwerte. Das Verfahren ist $A_\infty^{0.066}[21^\circ]$- und $S_\infty^{0.066}[2.8]$-stabil, aber nicht $A_\infty^0[\alpha]$- bzw. $S_\infty^0[\delta]$-stabil. Das Äquilibrierungsmaß beträgt hier $\mu\approx p+2$.

Bei dem steif-stabilen zyklischen Verfahren von Mihelčić der Konvergenzordnung $p=4$ lauten die Fehlerfaktoren

Der Linkseigenvektor zu $\rho(1)$ und die sich hieraus ableitenden Größen sind

Das charakteristische Polynom $\det Q(\mu,0)$ ist proportional zu

das Verfahren also stark $D$-stabil, mit den Nebenwurzeln $\mu_2\approx-0.425$ und $\mu_3\approx0.501$. Es ist

also w.o. angegeben $\mu\approx\pm0.066$ oder $\mu=0$.

4. Steif-stabile Verfahren mit 2.ter Ableitung

1. Ausgangspunkt seien Verfahrensvorschriften der speziellen Form

also implizite Verfahren mit einem Vorkommen der zweiten Ableitung. Die Koeffizienten $\beta,\ldots,\beta_k,\gamma_0$ seien nun so bestimmt, daß das Verfahren die Konsistenzordnung $p=k+2$ hat. Wayne Howard Enright (1974) gibt hier die folgenden Werte an:

Biographisch: Wayne Howard Enright, ResearchGate.

2. Diese Formeln sind $A_\infty^r[\alpha]$- und $S_\infty^r[\delta]$-stabil, dabei aber $r>0$ und $\alpha<90^\circ$ ist. Die Implizitheit der Verfahren führt zu einem Gleichungssystem der Form

Lösung dieser Gleichung mit der Newton-Raphson Iteration ergäbe die Iterationsmatrix $\widehat W$, die zudem noch von der Iterationsstufe abhängig wäre, zu

Es wären also die $n^3$ zweiten Ableitungen $\partial^2f_i/\partial y_\nu\partial y_k$ ($1\le i,k,\nu\le n$) bereitzustellen. Zur Vermeidung dieses Aufwandes setzt man diese $n^3$ Elemente sämtlich zu Null in der Hoffnung, daß die Konvergenzeigenschaften nicht wesentlich beeinträchtigt werden. Man erhält die Iterationsmatrix bei der Newton-Kantorovich Iteration dann zu

Gefahr ist: Ändert sich $f_{yy}$ stark, so wird hiervon auch stark das Verfahren beeinflußt. Bei Differentialgleichungen, wo die $y$-Werte untereinander stark gekoppelt sind, konnte man tatsächlich beobachten, daß Verfahren mit Ableitungen und obiger Iterationsmatrix in ihrer Effizienz und Brauchbarkeit gemindert werden.

3. Ein weiteres Problem ist, daß $J=f_y$ dünn besetzt sein kann, aber $J^2$ nicht. Eine mögliche Abhilfe ist, wenn man $W$ aufspaltet in

und dann komplexe Arithmetik anwendet. Wählt man allerdings $\gamma_0=-(\beta_0/2)^2$, so wird $r$ reell, also

Dies führt zu neuen Formeln, welche noch die Konsistenzordnung $p=k+1$ haben und ebenfalls $A_\infty^r[\alpha]$- und $S_\infty^r[\delta]$-stabil sind. Diese werden hier dargestellt in der Form

und lauten

5. Blockimplizite Verfahren von Rubin

William Benjamin Rubin (1973) stellte die folgenden 6 blockimpliziten 2-Schrittverfahren vor. Kopie: RubinDiss1973.pdf. Das Verfahren vierter Ordnung ist dabei von Harry M. Sloate zuerst angegeben worden.

Die beiden Verfahren R1 und R2 sind $A$-stabil mit Linkseigenvektoren $(7,3)$, $(-37,1863,0)$ und Henricischen Fehlerkonstanten von $-1/90$, $-37/5985$ sind wie untenstehend.

R1. Dieses Verfahren ist nicht D-stabil und damit nicht A-stabil. Siehe Rubin's 4-th Order Method is Neither A-stable Nor D-stable.

R2. Dieses Verfahren ist nicht D-stabil.

R3. Dieses Verfahren ist nicht D-stabil. Es hat Linkseigenvektor $(0,0,0,21,-8)$ und $C_7^H=2035/24192$.

R4. Nicht D-stabil. Es hat Linkseigenvektoren $(0,0,649,-155)$, $(0,0,9,-5)$ und $C_6^H=-8/945$, $C_7^H=?$ sind die beiden Verfahren R4 und R5.

R5. Doppelwurzel der 1.

R6. Fast $A$-stabil mit Linkseigenvektor $(0,0,-2510782677,737536625)$ und $C_6^H=-8/945$.

6. Blockimplizite Verfahren von Sloate/Bickart

Das erste der beiden nachstehenden zusammengesetzten linearen Mehrschrittverfahren von Sloate/Bickart (1973) ist $A$-stabil, allerdings nicht $A_\infty^0$-stabil. Das erste Verfahren BS1 erfüllt die Bedingung der annullierten Dominanz.

Theodore A. Bickart.

BS1.

BS2. Nicht D-stabil, damit nicht A-stabil. Siehe Table III in Sloate/Bickart (1973).

Die Linkseigenvektoren sind $(1,0)$, $(213,-5)$.

Das untere Verfahren mit der Henricischen Fehlerkonstante $-1/90$ erfüllt dabei die zwei Bedingungen:

(1) Die Nullstellen von $\det(B_0+B_1\mu)=0$ haben gleichen Betrag (Null war bei Wahrung der $A$-Stabilität nicht zu erreichen). Dies erfüllt man durch die Forderung

wobei

(2) Die Quadratsumme der $\alpha$-Werte der ersten Stufe $\alpha_{12}^2+\alpha_{11}^2+\alpha_{10}^2+\alpha_{1,-1}^2$ wurde in Abhängigkeit von $\alpha_{11}$, und entsprechend wurde die Quadratsumme der $\alpha$-Werte der zweiten Stufe in Abhängigkeit von $\alpha_{22}$ minimiert. Dies könnte man als quasi-Gaußsches Äquilibrierungsmaß bezeichnen.

7. Blockimplizite Verfahren von Bickart/Picel

Die folgenden 9 blockimpliziten linearen Verfahren von Bickart/Picel (1973) sind $A_\infty^0[\alpha]$-stabil. Es ist immer $p=\ell$.

BP2.

BP3.

BP4.

Die Linkseigenvektoren sind $v_2=(1,0)$, $v_3=(3,0,1)$, $v_4=(2,-1,2,0)$. Die Henricischen Fehlerkonstanten sind $C_2^H=1/3$, $C_3^H=-3/8$, $C_4^H=14/45$.

BP5.

BP6.

Die Linkseigenvektoren sind $v_5=(17,-14,24,-2,19/5)$, $v_6=(11,-14,26,-14,11,0)$. Die Henricischen Fehlerkonstanten sind $C_5^H=-95/288$, $C_6^H=41/140$.

BP7.

Der Linkseigenvektor ist $v_7=(631,-1032,2091,-1664,1221,-120,751/7)$. Die Henricische Fehlerkonstante ist $C_7^H=-5257/17280$.

BP8.

Es ist $v_8=(460,-954,2196,-2459,2196,-954,460,0)$ und $C_8^H=3956/14175$.

BP9.

Es ist $v_9=(20727,-50886,129666,-177102,182880,-110322,51966,-4986,2857)$ und die Henricische Fehlerkonstante ist $C_9^H=-25713/89600$.

BP10.

Es ist $v_{10} = (809,-2338,6668,-11014,67822/5,-11014,6668,-2338,809,0)$ und die Henricische Fehlerkonstante ist $C_{10}^H=80335/299376$.

1. Introductory

1. Quantum Computing: Lecture Notes, by Ronald de Wolf
2. Advanced Quantum Algorithms: Primer on Circuits, QFT and Grover, by Simon Apers
3. Scott Aaronson: Lecture Notes, blog, courses
4. SciRate

2. Computability

1. Directed st-connectivity with few paths is in quantum logspace, also see on this blog
2. Dequantization and Hardness of Spectral Sum Estimation

The Brave browser attracted some interest as it provides protection against malware, and blocks annoying ads, like flickering images, popups, which want you to download shady and harmful software. You can download the Brave browser in the Google playstore.

1. Short story
2. Long story

Clearing the cache in the desktop version of Brave is easy: Go to the settings menu, then search for "clear cache". Done.

1. Short story

On Android the settings menu for Brave does not offer any method to clear the cache. Instead, use the App info to clear the cache.

Long press on the Brave icon.

Press on the encircled i.

Press "Clear data".

Finally, press "Clear cache".

2. Long story

The above short story solves the problem. However, it does not tell, why this might be necessary.

In a particular case for me I had the need to clear the cache, when I upgraded Pagefind 1.3 to 1.4. Apparently, the two version were not compatible, and Pagefind 1.4 was no longer able to search. I solved this by clearing the cache in Brave.

The reason behind the cache problem was that in the NGINX configuration I had:

location ~ \.(js|css|jpg|jpeg|png|webp|mp4|pdf)$ {
    add_header Cache-Control "public, max-age=7776000";
}

JavaScript is advertised by the web-server to be cached by the browser for 90 days: 90 * 60 * 60 * 24 = 7,776,000.